Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

26Droites et polygones

Avec une règle, une équerre et un compas, la géométrie devient un métier. Ce chapitre enseigne les deux positions spéciales des droites — perpendiculaires et parallèles — au niveau des outils, et fait un tour de la famille des polygones. (La théorie de ces notions arrive dans Chapitre 40.)

26.1 Perpendiculaires et parallèles

Définition 26.1 (Perpendiculaires, parallèles)

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se croisent en formant un angle droit (vérifié avec l’équerre, marqué d’un petit carré). Deux droites sont parallèles lorsqu’elles vont dans la même direction et ne se croisent jamais — comme les deux rails d’une voie, toujours à la même distance l’un de l’autre.

Méthode 26.2 (Tracer avec l’équerre)

Perpendiculaire à une droite $d$ passant par un point $P$ : poser un côté de l’angle droit le long de $d$ , glisser jusqu’à ce que l’autre côté atteigne $P$ , tracer.

Parallèle à $d$ passant par $P$ : poser un côté de l’équerre le long de $d$ , appuyer la règle contre un autre côté comme un rail, faire glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à $P$ , tracer.

Les deux constructions. Les droites parallèles gardent un écart constant : mesurer l’écart en deux endroits est une bonne vérification.

Exemple 26.3 (Les repérer dans les figures)

Dans un rectangle, chaque côté est perpendiculaire à ses deux voisins et parallèle au côté opposé. Le papier quadrillé est un réseau tout prêt de parallèles et de perpendiculaires — c’est ce qui le rend si confortable pour dessiner.

26.2 Polygones

Définition 26.4 (Polygone)

Un polygone est une figure fermée dont le bord est formé de segments de droite, ses côtés ; les points de coin sont les sommets. Les polygones se nomment d’après leur nombre de côtés : triangle ( $3$ ), quadrilatère ( $4$ ), pentagone ( $5$ ), hexagone ( $6$ ), octogone ( $8$ ).

La famille des polygones (le pentagone et l’hexagone dessinés ici sont réguliers : côtés égaux et angles égaux). Un cercle n’est pas un polygone : son bord n’est pas fait de segments. — La famille des polygones (le pentagone et l’hexagone dessinés ici sont *réguliers* : côtés égaux et angles égaux). Un cercle n’est pas un polygone : son bord n’est pas fait de segments.

Exemple 26.5 (Décrire un polygone)

Un jeu utile : décrire une figure si précisément qu’un camarade puisse la redessiner sans la voir. « Un quadrilatère $ABCD$ avec $AB = 5$ cm, l’angle en $A$ droit, $AD = 3$ cm … » — le vocabulaire est ce qui fait fonctionner le message.

26.3 Le cercle et le compas

Définition 26.6 (Cercle)

Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm est l’ensemble de tous les points situés exactement à $3$ cm de $O$ . Le compas le trace : pointe sur $O$ , ouverture $3$ cm, on tourne. Un diamètre est un segment passant par le centre et joignant deux points du cercle ; il mesure deux fois le rayon.

Exemple 26.7 (Le compas comme garde-distance)

Le compas fait plus que tracer des cercles : il transporte des distances. Pour marquer tous les points à $4$ cm d’un point $A$ , on trace le cercle de centre $A$ , rayon $4$ cm ; pour comparer deux segments sans règle, on ouvre le compas sur l’un et on le teste sur l’autre.

Méthode 26.8 (Reproduire une figure sur un quadrillage)

Choisir un sommet de départ et sa position sur le quadrillage vierge ;
parcourir la figure sommet par sommet, en comptant les pas du quadrillage (« $3$ à droite, $2$ en haut ») ;
joindre les sommets dans l’ordre, et comparer au modèle : mêmes longueurs, mêmes directions.

26.4 Exercices

Exercice 26.1 ★

Tracer une droite $d$ et un point $P$ hors de $d$ . Construire la perpendiculaire à $d$ passant par $P$ , puis la parallèle à $d$ passant par $P$ (avec la méthode règle-rail). Marquer l’angle droit.

Solution

Solution de Exercice 26.1.

Constructions avec Méthode 26.2 ; le petit carré marque l’angle droit entre $d$ et la perpendiculaire.

Exercice 26.2 ★

Regarder les lettres capitales E, H, N, T, Z. Dans chacune, trouver une paire de traits parallèles et une paire de traits perpendiculaires lorsqu’elles existent.

Solution

Solution de Exercice 26.2.

E : les trois traits horizontaux sont parallèles ; chacun est perpendiculaire au vertical. H : les deux traits verticaux sont parallèles, la barre transversale est perpendiculaire aux deux. N : les deux traits verticaux sont parallèles ; la diagonale n’est ni parallèle ni perpendiculaire. T : les deux traits sont perpendiculaires. Z : les traits du haut et du bas sont parallèles ; la diagonale n’est ni l’un ni l’autre.

Exercice 26.3 ★

Nommer chaque polygone : $6$ côtés ; $4$ côtés ; $3$ côtés ; $8$ côtés ; $5$ côtés. Combien de sommets chacun a-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 26.3.

Hexagone ; quadrilatère ; triangle ; octogone ; pentagone. Un polygone a autant de sommets que de côtés : $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Exercice 26.4 ★

Dessiner un pentagone quelconque (pas nécessairement régulier) et étiqueter ses sommets $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Combien de côtés a-t-il ? Tracer ses diagonales issues de $A$ (segments joignant $A$ à des sommets non voisins) : combien y en a-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 26.4.

Un pentagone a $5$ côtés. Depuis $A$ , les non-voisins sont $C$ et $D$ : deux diagonales, $[AC]$ et $[AD]$ .

Exercice 26.5 ★

Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm ; un diamètre $[AB]$ ; et un point $M$ du cercle non situé sur $[AB]$ . Donner les longueurs $OA$ , $OM$ et $AB$ sans mesurer.

Solution

Solution de Exercice 26.5.

$OA = 4$ cm (rayon) ; $OM = 4$ cm (tout point du cercle) ; $AB = 8$ cm (un diamètre vaut deux fois le rayon).

Exercice 26.6 ★

Avec le compas comme garde-distance (Exemple 26.7), comparer les côtés d’un triangle dessiné par un camarade et décider s’il a deux côtés égaux.

Solution

Solution de Exercice 26.6.

Ouvrir le compas le long d’un côté, puis reporter cette ouverture sur les deux autres côtés : si l’écart pointe-crayon s’ajuste exactement à un second côté, ces deux côtés sont égaux.

Exercice 26.7 ★

Sur papier quadrillé, reproduire ce chemin et le fermer en polygone : partir d’un point $A$ ; aller $4$ à droite ; $2$ en haut ; $3$ à gauche ; $2$ en haut ; puis revenir en $A$ en ligne droite. Quel est le nom du polygone obtenu (compter ses côtés) ?

Solution

Solution de Exercice 26.7.

Le chemin se ferme en un polygone à $5$ côtés — un pentagone (pas régulier !).

Exercice 26.8 ★

Vrai ou faux ? Expliquer avec un dessin. « Deux droites perpendiculaires se croisent toujours. » « Deux droites parallèles ne se croisent jamais. » « Une droite peut être parallèle à une droite et perpendiculaire à une autre. »

Solution

Solution de Exercice 26.8.

« Les droites perpendiculaires se croisent toujours » : vrai — elles se croisent à l’angle droit lui-même.

« Les droites parallèles ne se croisent jamais » : vrai — c’est leur définition.

« Une droite peut être parallèle à une droite et perpendiculaire à une autre » : vrai — sur papier quadrillé, une droite horizontale est parallèle à toute droite horizontale et perpendiculaire à toute droite verticale.

Exercice 26.9 ★★

Tracer une droite $d$ , puis une droite $e$ perpendiculaire à $d$ , puis une droite $f$ perpendiculaire à $e$ . Regarder $d$ et $f$ : que remarque-t-on ? (Cette observation devient un théorème dans Chapitre 40.)

Solution

Solution de Exercice 26.9.

Les droites $d$ et $f$ semblent parallèles — et elles le sont toujours : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles (Proposition 40.3 le rend officiel).

Exercice 26.10 ★★

Décrire la figure ci-dessous en mots pour un camarade, sans la montrer : un carré de côté $4$ cm, avec un cercle de rayon $2$ cm centré au milieu du carré (touchant les quatre côtés). Écrire la description sous forme d’instructions numérotées.

Solution

Solution de Exercice 26.10.

Un programme correct : « 1. Tracer un carré $ABCD$ de côté $4$ cm. 2. Marquer le point $O$ où ses diagonales se croisent. 3. Tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ cm. » Le cercle touche chaque côté en son milieu.

Exercice 26.11 ★★

Combien de diagonales a un quadrilatère ? Un pentagone ? Un hexagone ? Dessiner les trois cas, compter soigneusement, et décrire le motif observé.

Solution

Solution de Exercice 26.11.

Quadrilatère : $2$ diagonales. Pentagone : $5$ . Hexagone : $9$ . Chaque nouveau sommet ajoute de plus en plus de diagonales — les comptes croissent de plus en plus vite ( $+3$ , puis $+4$ , …).