Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

61Proportionnalité, vitesse et moyennes

La proportionnalité (Chapitre 49) rencontre maintenant le monde physique : vitesse, débits, conversions d’unités — des quantités qui sont des quotients de deux autres. Le chapitre se clôt sur les moyennes pondérées, où la pensée proportionnelle évite une erreur classique.

61.1 Vitesse moyenne

Définition 61.1 (Vitesse moyenne)

La vitesse moyenne d’un trajet est le quotient

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{distance divisée par durée}\right),

en kilomètres par heure (km/h), mètres par seconde (m/s), … La formule s’inverse : $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$ .

Exemple 61.2

Un train parcourt $270$ km en $1$ h $30$ min. Convertir d’abord le temps : $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Puis

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Distance à $90$ km/h pendant $2$ h $20$ min $= \frac73$ h : $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Temps pour $35$ km à $14$ km/h : $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

Remarque 61.3 (Les minutes ne sont pas des décimaux)

$1$ h $30$ min vaut $1.5$ h, mais $1$ h $20$ min n’est pas $1.2$ h : c’est $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Toujours convertir les minutes en fraction d’heure ( $60$ min $= 1$ h) avant de diviser.

À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente est la vitesse. — À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente *est* la vitesse.

Méthode 61.4 (Convertir des vitesses)

Pour convertir des km/h en m/s : $1$ km $= 1000$ m et $1$ h $= 3600$ s, donc

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Pour convertir des m/s en km/h, multiplier par $3.6$ .

Exemple 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Un sprinter parcourant $100$ m en $10$ s se déplace à $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Grandeurs quotients

Exemple 61.6 (Débit, densité, prix au kilo)

La vitesse a de nombreux cousins, tous traités de la même façon :

un robinet remplit $48$ L en $4$ min : débit $\frac{48}{4} = 12$ L/min, donc remplir une baignoire de $150$ L prend $\frac{150}{12} = 12.5$ min ;
$0.6$ kg de fromage coûtent $9$ euros : prix $\frac{9}{0.6} = 15$ euros par kg ;
une voiture consomme $6.3$ L pour $90$ km : consommation $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L pour $100$ km.

Identifier le quotient, et la formule à trois voies ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) fait le reste.

61.3 Moyennes pondérées

Définition 61.7 (Moyenne pondérée)

Lorsque des valeurs $v_1, v_2, \dots$ s’accompagnent d’effectifs (ou de poids) $n_1, n_2, \dots$ , leur moyenne pondérée est

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

total des valeurs, divisé par le total des poids.

Exemple 61.8

Un contrôle a été passé par deux groupes : groupe 1, $12$ élèves, moyenne $11$ ; groupe 2, $18$ élèves, moyenne $14$ . Moyenne de toute la classe :

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Pas $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : le plus grand groupe tire la moyenne vers la sienne — les poids comptent.

Exemple 61.9 (Vitesse moyenne sur deux étapes)

Un cycliste parcourt $30$ km à $30$ km/h, puis $30$ km à $15$ km/h. La vitesse moyenne sur tout le trajet n’est pas $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calculer avec la définition :

temps : $\frac{30}{30} = 1$ h, puis $\frac{30}{15} = 2$ h ; total $3$ h ;
distance totale $60$ km, donc $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

L’étape lente dure plus longtemps, donc elle pèse plus — une moyenne de vitesses doit être pondérée par le temps.

61.4 Exercices

Exercice 61.1 ★

Calculer la vitesse moyenne : $150$ km en $2$ h ; $27$ km en $45$ min ; $100$ m en $12.5$ s.

Solution

Solution de Exercice 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h : $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Exercice 61.2 ★

Calculer la distance : $2$ h à $85$ km/h ; $40$ min à $90$ km/h. Calculer le temps : $315$ km à $90$ km/h (en h et min).

Solution

Solution de Exercice 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h : $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

Exercice 61.3 ★

Convertir : $72$ km/h en m/s ; $5$ m/s en km/h ; $108$ km/h en m/s.

Solution

Solution de Exercice 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Exercice 61.4 ★

Un robinet débite $15$ L/min. Combien de temps pour remplir un réservoir de $600$ L ? Combien de litres en $2$ h $30$ ?

Solution

Solution de Exercice 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min : $15 \times 150 = 2250$ L.

Exercice 61.5 ★

Quelle est la meilleure affaire : $1.2$ kg de pommes pour $3.30$ euros, ou $0.8$ kg pour $2.16$ euros ? Comparer les prix au kilogramme.

Solution

Solution de Exercice 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg contre $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg : la seconde offre est (légèrement) la meilleure affaire.

Exercice 61.6 ★

Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12.4$ à un contrôle ; une autre classe de $35$ élèves a une moyenne de $10$ . Calculer la moyenne des deux classes réunies.

Solution

Solution de Exercice 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Exercice 61.7 ★

Le son se propage à environ $340$ m/s. On voit un éclair et on entend le tonnerre $6$ secondes plus tard. À quelle distance a frappé l’éclair (à $100$ m près) ?

Solution

Solution de Exercice 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Exercice 61.8 ★★

Un randonneur marche $2$ h à $5$ km/h, se repose $30$ min, puis marche $1$ h $30$ à $4$ km/h. Calculer la distance totale et la vitesse moyenne y compris le repos (distance totale sur le temps écoulé total).

Solution

Solution de Exercice 61.8.

Distances : $2 \times 5 = 10$ km, puis $1.5 \times 4 = 6$ km : total $16$ km. Temps écoulé : $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. Vitesse moyenne : $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Exercice 61.9 ★★

Notes avec coefficients : une élève a obtenu $15$ (coefficient $3$ ), $9$ (coefficient $2$ ) et $12$ (coefficient $1$ ). Calculer la moyenne pondérée. Quelle moyenne simple (non pondérée) aurait-elle, et pourquoi diffèrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 61.9.

Pondérée : $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Simple : $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Elles diffèrent car les coefficients donnent à la note $15$ trois fois le poids de la note $12$ .

Exercice 61.10 ★★

Une voiture parcourt $120$ km à $80$ km/h puis $120$ km à $120$ km/h.

Calculer la durée de chaque étape, puis la vitesse moyenne sur tout le trajet.
Expliquer pourquoi la réponse est inférieure à $100$ km/h, le milieu des deux vitesses.

Solution

Solution de Exercice 61.10.

1. Temps : $\frac{120}{80} = 1.5$ h et $\frac{120}{120} = 1$ h. Vitesse moyenne : $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. La voiture passe plus de temps à $80$ km/h ( $1.5$ h) qu’à $120$ km/h ( $1$ h) : la vitesse lente pèse plus dans la moyenne pondérée par le temps, la tirant sous le milieu $100$ .

Exercice 61.11 ★★★

Deux villages sont distants de $18$ km. Anna part du premier à $10{:}00$ en marchant à $5$ km/h vers le second ; Boris part du second au même moment en marchant à $4$ km/h vers le premier. À quelle heure se rencontrent-ils, et à quelle distance du village d’Anna ? (Ensemble ils referment l’écart à $5 + 4$ km/h.)

Solution

Solution de Exercice 61.11.

L’écart de $18$ km se referme à $5 + 4 = 9$ km/h : ils se rencontrent après $\frac{18}{9} = 2$ h, à $12{:}00$ . Anna a alors marché $2 \times 5 = 10$ km : ils se rencontrent à $10$ km du village d’Anna (et $8$ km de celui de Boris — vérification : $10 + 8 = 18$ ).