Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

61Proportionnalité, vitesse et moyennes

La proportionnalité (Chapitre 49) rencontre maintenant le monde physique : vitesse, débits, conversions d’unités — des quantités qui sont des quotients de deux autres. Le chapitre se clôt sur les moyennes pondérées, où la pensée proportionnelle évite une erreur classique.

61.1 Vitesse moyenne

Définition 61.1 (Vitesse moyenne)

La vitesse moyenne d’un trajet est le quotient

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{distance divisée par durée}\right),

en kilomètres par heure (km/h), mètres par seconde (m/s), … La formule s’inverse : $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$ .

Exemple 61.2

Un train parcourt $270$ km en $1$ h $30$ min. Convertir d’abord le temps : $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Puis

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Distance à $90$ km/h pendant $2$ h $20$ min $= \frac73$ h : $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Temps pour $35$ km à $14$ km/h : $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

Remarque 61.3 (Les minutes ne sont pas des décimaux)

$1$ h $30$ min vaut $1.5$ h, mais $1$ h $20$ min n’est pas $1.2$ h : c’est $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Toujours convertir les minutes en fraction d’heure ( $60$ min $= 1$ h) avant de diviser.

À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente est la vitesse. — À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente *est* la vitesse.

Méthode 61.4 (Convertir des vitesses)

Pour convertir des km/h en m/s : $1$ km $= 1000$ m et $1$ h $= 3600$ s, donc

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Pour convertir des m/s en km/h, multiplier par $3.6$ .

Exemple 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Un sprinter parcourant $100$ m en $10$ s se déplace à $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Grandeurs quotients

Exemple 61.6 (Débit, densité, prix au kilo)

La vitesse a de nombreux cousins, tous traités de la même façon :

un robinet remplit $48$ L en $4$ min : débit $\frac{48}{4} = 12$ L/min, donc remplir une baignoire de $150$ L prend $\frac{150}{12} = 12.5$ min ;
$0.6$ kg de fromage coûtent $9$ euros : prix $\frac{9}{0.6} = 15$ euros par kg ;
une voiture consomme $6.3$ L pour $90$ km : consommation $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L pour $100$ km.

Identifier le quotient, et la formule à trois voies ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) fait le reste.

61.3 Moyennes pondérées

Définition 61.7 (Moyenne pondérée)

Lorsque des valeurs $v_1, v_2, \dots$ s’accompagnent d’effectifs (ou de poids) $n_1, n_2, \dots$ , leur moyenne pondérée est

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

total des valeurs, divisé par le total des poids.

Exemple 61.8

Un contrôle a été passé par deux groupes : groupe 1, $12$ élèves, moyenne $11$ ; groupe 2, $18$ élèves, moyenne $14$ . Moyenne de toute la classe :

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Pas $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : le plus grand groupe tire la moyenne vers la sienne — les poids comptent.

Exemple 61.9 (Vitesse moyenne sur deux étapes)

Un cycliste parcourt $30$ km à $30$ km/h, puis $30$ km à $15$ km/h. La vitesse moyenne sur tout le trajet n’est pas $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calculer avec la définition :

temps : $\frac{30}{30} = 1$ h, puis $\frac{30}{15} = 2$ h ; total $3$ h ;
distance totale $60$ km, donc $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

L’étape lente dure plus longtemps, donc elle pèse plus — une moyenne de vitesses doit être pondérée par le temps.

61.4 Exercices

Exercice 61.1 ★

Calculer la vitesse moyenne : $150$ km en $2$ h ; $27$ km en $45$ min ; $100$ m en $12.5$ s.

Solution

Solution de Exercice 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h : $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Exercice 61.2 ★

Calculer la distance : $2$ h à $85$ km/h ; $40$ min à $90$ km/h. Calculer le temps : $315$ km à $90$ km/h (en h et min).

Solution

Solution de Exercice 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h : $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

Exercice 61.3 ★

Convertir : $72$ km/h en m/s ; $5$ m/s en km/h ; $108$ km/h en m/s.

Solution

Solution de Exercice 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Exercice 61.4 ★

Un robinet débite $15$ L/min. Combien de temps pour remplir un réservoir de $600$ L ? Combien de litres en $2$ h $30$ ?

Solution

Solution de Exercice 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min : $15 \times 150 = 2250$ L.

Exercice 61.5 ★

Quelle est la meilleure affaire : $1.2$ kg de pommes pour $3.30$ euros, ou $0.8$ kg pour $2.16$ euros ? Comparer les prix au kilogramme.

Solution

Solution de Exercice 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg contre $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg : la seconde offre est (légèrement) la meilleure affaire.

Exercice 61.6 ★

Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12.4$ à un contrôle ; une autre classe de $35$ élèves a une moyenne de $10$ . Calculer la moyenne des deux classes réunies.

Solution

Solution de Exercice 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Exercice 61.7 ★

Le son se propage à environ $340$ m/s. On voit un éclair et on entend le tonnerre $6$ secondes plus tard. À quelle distance a frappé l’éclair (à $100$ m près) ?

Solution

Solution de Exercice 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Exercice 61.8 ★★

Un randonneur marche $2$ h à $5$ km/h, se repose $30$ min, puis marche $1$ h $30$ à $4$ km/h. Calculer la distance totale et la vitesse moyenne y compris le repos (distance totale sur le temps écoulé total).

Solution

Solution de Exercice 61.8.

Distances : $2 \times 5 = 10$ km, puis $1.5 \times 4 = 6$ km : total $16$ km. Temps écoulé : $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. Vitesse moyenne : $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Exercice 61.9 ★★

Notes avec coefficients : une élève a obtenu $15$ (coefficient $3$ ), $9$ (coefficient $2$ ) et $12$ (coefficient $1$ ). Calculer la moyenne pondérée. Quelle moyenne simple (non pondérée) aurait-elle, et pourquoi diffèrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 61.9.

Pondérée : $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Simple : $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Elles diffèrent car les coefficients donnent à la note $15$ trois fois le poids de la note $12$ .

Exercice 61.10 ★★

Une voiture parcourt $120$ km à $80$ km/h puis $120$ km à $120$ km/h.

Calculer la durée de chaque étape, puis la vitesse moyenne sur tout le trajet.
Expliquer pourquoi la réponse est inférieure à $100$ km/h, le milieu des deux vitesses.

Solution

Solution de Exercice 61.10.

1. Temps : $\frac{120}{80} = 1.5$ h et $\frac{120}{120} = 1$ h. Vitesse moyenne : $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. La voiture passe plus de temps à $80$ km/h ( $1.5$ h) qu’à $120$ km/h ( $1$ h) : la vitesse lente pèse plus dans la moyenne pondérée par le temps, la tirant sous le milieu $100$ .

Exercice 61.11 ★★★

Deux villages sont distants de $18$ km. Anna part du premier à $10{:}00$ en marchant à $5$ km/h vers le second ; Boris part du second au même moment en marchant à $4$ km/h vers le premier. À quelle heure se rencontrent-ils, et à quelle distance du village d’Anna ? (Ensemble ils referment l’écart à $5 + 4$ km/h.)

Solution

Solution de Exercice 61.11.

L’écart de $18$ km se referme à $5 + 4 = 9$ km/h : ils se rencontrent après $\frac{18}{9} = 2$ h, à $12{:}00$ . Anna a alors marché $2 \times 5 = 10$ km : ils se rencontrent à $10$ km du village d’Anna (et $8$ km de celui de Boris — vérification : $10 + 8 = 18$ ).

61.5 Problème : la moyenne harmonique, ou pourquoi le trajet de retour gâche la moyenne

Problème 61.1

Devoir maison — la vitesse moyenne sur deux distances égales vaut $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ , et elle ne dépasse jamais le milieu des deux vitesses

Exemple 61.9 et Exercice 61.10 se sont toutes deux terminées par la même surprise : aller à une vitesse, revenir à une autre, et la vitesse moyenne tombe en dessous du milieu des deux. Ce problème trouve la formule exacte qui explique la surprise — un nouveau genre de moyenne, la moyenne harmonique — démontre que la surprise est un théorème, et la pousse jusqu’à son extrême logique : un rattrapage qu’aucune vitesse au monde ne peut réaliser.

Partie I — La formule de l’aller-retour. Un trajet parcourt une distance $d$ à la vitesse $v_1$ , puis la même distance $d$ à la vitesse $v_2$ (tous ces nombres étant positifs).

Exprimer les deux durées, puis la durée totale, sous forme de fractions faisant intervenir $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
La vitesse moyenne du trajet entier vaut $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — une fraction à étages (Exemple 55.8). La simplifier et démontrer :

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
Contrôler la formule sur les deux calculs cités plus haut : $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h (Exemple 61.9), et $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h (Exercice 61.10).
La distance $d$ a disparu de la formule. Qu’est-ce que cela signifie, concrètement, pour la cycliste ?
Supposons maintenant que le trajet passe la même durée $T$ à chaque vitesse. Montrer que la vitesse moyenne vaut alors $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , le simple milieu. Dans le langage de la Définition 61.7 : par quelle grandeur une moyenne de vitesses doit-elle toujours être pondérée, et qu’est-ce qui change d’un scénario à l’autre ?

Partie II — Harmonique contre arithmétique. Pour deux nombres positifs $v_1$ , $v_2$ , posons

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(leur \emph{moyenne harmonique}),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(leur \emph{moyenne arithmétique}).}

Calculer $H$ et $A$ pour les couples $(30, 15)$ et $(80, 120)$ . Laquelle des deux moyennes l’emporte à chaque fois ?
Mettre $A - H$ au dénominateur commun $2(v_1 + v_2)$ , développer le numérateur avec les identités remarquables (Problème 57.1), et démontrer :

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
En déduire le théorème caché derrière toutes ces surprises : pour des vitesses positives, $H \leq A$ toujours, avec égalité exactement lorsque $v_1 = v_2$ . Pourquoi un carré au numérateur règle-t-il l’affaire ?
Démontrer l’élégante identité $H \times A = v_1 \times v_2$ : les deux moyennes redonnent, en se multipliant, le produit de départ.
Une voiture parcourt $60$ km à $40$ km/h et $60$ km à $60$ km/h. Prévoir la vitesse moyenne par la formule, puis la confirmer par le chemin long, avec les durées et la distance totale.

Partie III — Le rattrapage impossible.

Une cycliste s’engage dans une course de $30$ km en espérant une moyenne de $30$ km/h. Quelle durée totale la course peut-elle prendre, au plus ? Elle parcourt les $15$ premiers kilomètres à $15$ km/h : que reste-t-il de ce budget-temps ?
Montrer que la moyenne espérée est devenue littéralement impossible : calculer sa vitesse moyenne si elle parcourt la seconde moitié à $90$ km/h, et expliquer pourquoi même une vitesse arbitrairement énorme la laisse en deçà de $30$ km/h.
Elle abaisse son objectif à $20$ km/h. Quelle vitesse sur les $15$ derniers kilomètres l’atteint ? Vérifier la réponse avec la formule de la moyenne harmonique.
Un robinet d’eau froide remplit seul une baignoire en $20$ min ; un robinet d’eau chaude la remplit seul en $30$ min. Quelle fraction de la baignoire les deux robinets ensemble remplissent-ils par minute, et combien de temps leur faut-il ? Comparer la réponse à $H(20, 30)$ — que remarque-t-on ?
Un avion effectue le même trajet à l’aller et au retour : $900$ km/h avec le vent, $700$ km/h contre lui. Calculer la vitesse moyenne de l’aller-retour, et expliquer en une phrase pourquoi un vent, quel qu’il soit, allonge toujours un aller-retour.

Solution

Solution de Problème 61.1.

1. D’après Définition 61.1, $t_1 = \frac{d}{v_1}$ et $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; le trajet entier dure $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ pour une distance de $2d$ .

2. Factorisons $d$ au dénominateur et simplifions-le :

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

Dénominateur commun à l’intérieur : $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , et diviser revient à multiplier par l’inverse (Théorème 55.6) :

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, comme dans Exemple 61.9 ; et $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, comme trouvé dans Exercice 61.10.

4. La moyenne ne dépend que des deux vitesses, et pas de $d$ : un aller-retour de $1$ km et un aller-retour de $100$ km aux deux mêmes vitesses ont exactement la même vitesse moyenne. (C’est pourquoi la formule a pu être contrôlée sur des trajets de longueurs différentes.)

5. En roulant la durée $T$ à chaque vitesse, les distances valent $v_1 T$ et $v_2 T$ , donc

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

Une moyenne de vitesses est toujours pondérée par le temps (Définition 61.7). À durées égales, les deux vitesses ont le même poids : c’est le simple milieu. À distances égales, la vitesse la plus lente occupe plus de temps, donc davantage de poids — et la moyenne glisse vers elle.

6. Pour $(30, 15)$ : $H = 20$ et $A = 22.5$ . Pour $(80, 120)$ : $H = 96$ et $A = 100$ . La moyenne arithmétique l’emporte les deux fois.

7. Au dénominateur commun $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

et le numérateur se développe avec les identités du Problème 57.1 :

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. Un carré n’est jamais négatif, et $2(v_1 + v_2)$ est positif : donc $A - H \geq 0$ , c’est-à-dire $H \leq A$ , pour tout couple de vitesses positives. L’égalité exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$ , c’est-à-dire $v_1 = v_2$ : dès que les deux vitesses diffèrent, la moyenne de l’aller-retour tombe strictement en dessous du milieu — la surprise est un théorème.

9. Multiplions :

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

après simplification du facteur $2$ et du facteur $v_1 + v_2$ .

10. Par la formule : $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Par le chemin long : $\frac{60}{40} = 1.5$ h et $\frac{60}{60} = 1$ h, soit $120$ km en $2.5$ h : $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Les deux concordent.

11. Réaliser une moyenne de $30$ km/h sur $30$ km demande une durée totale d’au plus $\frac{30}{30} = 1$ h. Or les $15$ premiers kilomètres à $15$ km/h prennent déjà $\frac{15}{15} = 1$ h : le budget-temps entier est dépensé, avec la moitié du parcours restant à faire.

12. À $90$ km/h, la seconde moitié prend $\frac{15}{90} = \frac16$ h, donc la course dure $\frac76$ h et

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/h} < 30 .

Quelle que soit la vitesse de la seconde moitié, sa durée est un nombre positif : la durée totale dépasse donc $1$ h et la moyenne reste strictement inférieure à $30$ km/h. (Par la formule : $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ imposerait $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ , c’est-à-dire $0 = 450$ — aucune vitesse $v_2$ ne convient.)

13. Une moyenne de $20$ km/h autorise $\frac{30}{20} = 1.5$ h ; après la première heure, il reste $15$ km à faire en $0.5$ h : il lui faut $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Vérification : $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

14. Par minute, les robinets remplissent $\frac{1}{20}$ et $\frac{1}{30}$ de la baignoire ; ensemble

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

de la baignoire par minute : la baignoire se remplit en $12$ min. Et $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : les deux robinets réunis mettent exactement la moitié de la moyenne harmonique de leurs durées individuelles — les débits s’ajoutent, on est donc encore en terrain de moyenne harmonique.

15. Même distance à l’aller et au retour, donc

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},

en dessous des $800$ km/h par air calme. En une phrase : l’avion passe plus de temps à voler contre le vent qu’avec lui, donc l’étape lente pèse davantage dans la moyenne pondérée par le temps — un vent ne peut qu’allonger un aller-retour.

Termes définis dans ce chapitre

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