Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

16Multiplication

Trois sacs de sept billes : on pourrait additionner $7 + 7 + 7$ , mais il y a un moyen plus rapide — la multiplication, l’opération de l’addition répétée. Ce chapitre construit les tables de multiplication à partir d’images, puis enseigne la technique en colonnes.

16.1 Ce que signifie multiplier

Définition 16.1 (Multiplication)

Le produit $3 \times 7$ signifie « trois fois sept » :

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

Sur une image, $3 \times 7$ est un rectangle de points : $3$ lignes de $7$ points.

Les mêmes 21 points, comptés par lignes ou par colonnes : l’ordre d’un produit n’a pas d’importance. Connaître 3 × 7 donne 7 × 3 gratuitement — la moitié des tables à apprendre ! — Les mêmes $21$ points, comptés par lignes ou par colonnes : l’ordre d’un produit n’a pas d’importance. Connaître $3 \times 7$ donne $7 \times 3$ gratuitement — la moitié des tables à apprendre !

Proposition 16.2 (Règles utiles)

L’ordre n’a pas d’importance : $a \times b = b \times a$ .
Multiplier par $1$ ne change rien ; multiplier par $0$ donne $0$ .
Multiplier par $10$ ajoute un zéro : $34 \times 10 = 340$ ; par $100$ , deux zéros.
Une table se reconstruit à partir de ses voisins : $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 16.3 (Le carré des tables)

Toutes les tables tiennent dans un carré. Pour lire $6 \times 7$ : ligne $6$ , colonne $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Le carré est symétrique par rapport à sa diagonale — c’est la règle 1 rendue visible.

16.2 Multiplication en colonnes

Méthode 16.4 (Multiplier par un nombre à un chiffre)

Pour calculer $234 \times 6$ :

multiplier les unités : $4 \times 6 = 24$ : écrire $4$ , retenir $2$ ;
multiplier les dizaines et ajouter la retenue : $3 \times 6 + 2 = 20$ : écrire $0$ , retenir $2$ ;
multiplier les centaines et ajouter la retenue : $2 \times 6 + 2 = 14$ : écrire $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Estimer pour vérifier : $234$ est proche de $200$ , et $200 \times 6 = 1\,200$ : la réponse $1\,404$ est plausible.

Exemple 16.5 (Découper pour multiplier de tête)

La technique en colonnes découpe secrètement le nombre par places. De tête, faire pareil :

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

Et avec un voisin ami : $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Pourquoi le découpage fonctionne : un rectangle 23 × 4 de carreaux unité est une partie 20 × 4 plus une partie 3 × 4 — 80 + 12 = 92 carreaux. — Pourquoi le découpage fonctionne : un rectangle $23 \times 4$ de carreaux unité est une partie $20 \times 4$ plus une partie $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ carreaux.

16.3 La multiplication dans les problèmes

Exemple 16.6

Un minibus transporte $9$ passagers. Combien de passagers peuvent transporter $27$ minibus ?

C’est une multiplication : $27$ groupes de $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (en colonnes, ou $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Phrase : les minibus peuvent transporter $243$ passagers.

16.4 Exercices

Exercice 16.1 ★

Écris sous forme de multiplication, puis calcule : $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Solution

Solution de Exercice 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Exercice 16.2 ★

Récite et complète : $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Solution

Solution de Exercice 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Exercice 16.3 ★

Dessine un rectangle de points pour $4 \times 6$ , puis un pour $6 \times 4$ . Que remarques-tu sur les deux comptages ?

Solution

Solution de Exercice 16.3.

Les deux rectangles contiennent les mêmes $24$ points — l’un est l’autre tourné sur le côté : $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Exercice 16.4 ★

Calcule en utilisant les règles de Proposition 16.2 : $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Solution

Solution de Exercice 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Exercice 16.5 ★

Calcule en colonnes : $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Solution

Solution de Exercice 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Exercice 16.6 ★

Calcule de tête en découpant (comme dans Exemple 16.5) : $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Solution

Solution de Exercice 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Exercice 16.7 ★

Calcule avec un voisin ami : $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Solution

Solution de Exercice 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Exercice 16.8 ★

Estime d’abord, puis calcule : $389 \times 5$ (estime avec $400$ ) ; $612 \times 8$ (estime avec $600$ ).

Solution

Solution de Exercice 16.8.

$389 \times 5$ : estimation $400 \times 5 = 2\,000$ ; exactement $1\,945$ .

$612 \times 8$ : estimation $600 \times 8 = 4\,800$ ; exactement $4\,896$ .

Exercice 16.9 ★

Une boîte d’œufs contient $6$ œufs. Combien d’œufs y a-t-il dans $38$ boîtes ? Écris l’opération, calcule, réponds par une phrase.

Solution

Solution de Exercice 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Il y a $228$ œufs dans les boîtes.

Exercice 16.10 ★★

Une classe a $8$ rangées de $4$ bureaux ; chaque bureau accueille $2$ élèves. Combien d’élèves la salle peut-elle accueillir ? (Deux multiplications.)

Solution

Solution de Exercice 16.10.

Bureaux : $8 \times 4 = 32$ . Élèves : $32 \times 2 = 64$ . La salle peut accueillir $64$ élèves.

Exercice 16.11 ★★

Trouve toutes les façons d’arranger $24$ chaises en lignes égales (lignes de $1$ , de $2$ , …). Quels arrangements sont possibles ? (Utilise le carré des tables : cherche $24$ à l’intérieur.)

Solution

Solution de Exercice 16.11.

$24$ apparaît dans le carré des tables comme $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — et les mêmes paires inversées. Arrangements possibles : $1$ ligne de $24$ , $2$ lignes de $12$ , $3$ lignes de $8$ , $4$ lignes de $6$ , $6$ lignes de $4$ , $8$ lignes de $3$ , $12$ lignes de $2$ , $24$ lignes de $1$ .

Exercice 16.12 ★★

Zoé calcule $47 \times 6$ ainsi : $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , puis $240 + 42 = 282$ . Léa calcule $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Explique chaque méthode. Laquelle préfères-tu pour $38 \times 4$ ? Calcule des deux façons.

Solution

Solution de Exercice 16.12.

Zoé découpe $47$ en $40 + 7$ (la technique en colonnes dans sa tête) ; Léa remplace $47$ par le $50$ ami et corrige en enlevant les $3 \times 6$ comptés en trop. Pour $38 \times 4$ : façon Zoé, $120 + 32 = 152$ ; façon Léa, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Les deux fonctionnent — celle de Léa est plus rapide ici car $38$ est proche de $40$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81