Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

21Les grands nombres

Les milliers étaient le plafond de Chapitre 14 ; maintenant le plafond monte jusqu’aux millions. L’astuce qui rend les grands nombres lisibles, c’est de découper leurs chiffres en groupes de trois — les classes.

21.1 Classes de trois chiffres

Définition 21.1 (Classes)

En partant de la droite, les chiffres d’un nombre sont regroupés en classes de trois : la classe des unités, la classe des milliers, la classe des millions. Chaque classe a ses propres unités, dizaines et centaines. Par exemple

6\,309\,452 = 6 \text{ millions} + 309 \text{ milliers} + 452 \text{ unités},

qui se lit « six millions trois cent neuf mille quatre cent cinquante-deux ».

Le tableau des classes de 6\,309\,452 (c = centaines, d = dizaines, u = unités de chaque classe). Lire un grand nombre, c’est lire chaque classe, suivie de son nom. — Le tableau des classes de $6\,309\,452$ (c $=$ centaines, d $=$ dizaines, u $=$ unités de chaque classe). Lire un grand nombre, c’est lire chaque classe, suivie de son nom.

Exemple 21.2 (Écrire avec les classes)

« Douze millions quarante mille cinq cents » a $12$ dans la classe des millions, $040$ dans celle des milliers, $500$ dans celle des unités :

12\,040\,500 .

Les zéros de $040$ sont indispensables : chaque classe (sauf la plus à gauche) doit afficher ses trois chiffres.

Exemple 21.3 (Combien de milliers ?)

Le nombre $6\,309\,452$ contient $6\,309$ milliers (tout ce qui est à gauche de la classe des unités) : $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . Demander « combien de milliers » n’est pas demander un seul chiffre, mais tout un préfixe du nombre.

21.2 Comparer et arrondir

Méthode 21.4 (Comparer de grands nombres)

Exactement comme dans Méthode 14.4, avec les classes en raccourci : plus de chiffres gagne ; même longueur, on compare de la gauche — classe par classe, puis chiffre par chiffre.

Exemple 21.5

$2\,145\,890$ et $2\,148\,540$ : millions égaux ( $2$ ), classe des milliers $145 < 148$ , donc

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Définition 21.6 (Arrondi)

Pour arrondir un nombre au millier le plus proche (ou à la dizaine, à la centaine, au million …), on le remplace par le multiple de $1\,000$ le plus proche. Si le nombre est exactement à mi-chemin, on arrondit vers le haut. En pratique : on regarde le chiffre juste en dessous de la place d’arrondi — $5$ ou plus arrondit vers le haut, $4$ ou moins vers le bas.

Exemple 21.7

$37\,614$ arrondi au millier le plus proche : le chiffre des centaines est $6$ , donc on arrondit vers le haut : $38\,000$ . Arrondi à la centaine la plus proche : $37\,600$ . Arrondi à la dizaine de milliers la plus proche : $40\,000$ .

Arrondi de 37\,614 au millier le plus proche : il dépasse la marque du milieu 37\,500, donc on arrondit vers le haut à 38\,000. — Arrondi de $37\,614$ au millier le plus proche : il dépasse la marque du milieu $37\,500$ , donc on arrondit vers le haut à $38\,000$ .

Exemple 21.8 (Ordres de grandeur dans le monde)

L’arrondi est la façon dont on utilise vraiment les grands nombres : un pays de $67\,842\,591$ habitants, c’est « environ $68$ millions » ; une ville de $214\,376$ personnes, c’est « environ $200\,000$ ». Le chiffre exact change chaque jour de toute façon — l’arrondi porte l’information utile.

21.3 Exercices

Exercice 21.1 ★

Écrire en chiffres, avec les classes séparées : « trois millions cinq cent vingt mille » ; « sept millions huit » ; « deux cent quarante mille soixante ».

Solution

Solution de Exercice 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Exercice 21.2 ★

Écrire en lettres : $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Solution

Solution de Exercice 21.2.

$5\,204\,300$ : cinq millions deux cent quatre mille trois cents.

$10\,050\,000$ : dix millions cinquante mille.

$999\,999$ : neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf.

Exercice 21.3 ★

Dans $8\,472\,156$ : quel chiffre est celui des dizaines de milliers ? Celui des centaines de la classe des millions ? Combien de milliers le nombre contient-il (voir Exemple 21.3) ?

Solution

Solution de Exercice 21.3.

Dizaines de milliers : $7$ . Centaines de la classe des millions : il n’y a pas de chiffre des centaines de millions dans un nombre à sept chiffres — la classe des millions de $8\,472\,156$ ne contient que le chiffre $8$ (unités de millions). Milliers contenus : $8\,472$ (car $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Exercice 21.4 ★

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Solution

Solution de Exercice 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (classe des milliers $456 < 465$ ) ; $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Exercice 21.5 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Solution

Solution de Exercice 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Exercice 21.6 ★

Arrondir $63\,782$ : à la dizaine la plus proche ; à la centaine la plus proche ; au millier le plus proche ; à la dizaine de milliers la plus proche.

Solution

Solution de Exercice 21.6.

À la dizaine : $63\,780$ . À la centaine : $63\,800$ . Au millier : $64\,000$ . À la dizaine de milliers : $60\,000$ .

Exercice 21.7 ★

Arrondir au million le plus proche : $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Solution

Solution de Exercice 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (les $499\,999$ n’atteignent pas la moitié d’un million) ; $10\,000\,000$ (exactement à mi-chemin, on arrondit vers le haut).

Exercice 21.8 ★

Compter par pas : trois pas de $1\,000$ à partir de $998\,500$ ; deux pas de $100\,000$ à partir de $950\,000$ . Que se passe-t-il pour les classes quand on franchit un million ?

Solution

Solution de Exercice 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : le second pas franchit le million, et une nouvelle classe s’allume à gauche.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : même franchissement dès le premier pas.

Exercice 21.9 ★

Un stade accueille $81\,338$ spectateurs. Un journal écrit « plus de $80\,000$ fans » ; une radio dit « environ $81\,000$ ». Les deux ont-ils raison ? À quelle place chacun a-t-il arrondi ?

Solution

Solution de Exercice 21.9.

Les deux ont raison. « Plus de $80\,000$ » arrondit vers le bas à la dizaine de milliers ( $81\,338 \to 80\,000$ ) ; « environ $81\,000$ » arrondit au millier le plus proche ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Exercice 21.10 ★★

En utilisant chaque chiffre de $1$ à $7$ exactement une fois, écrire le plus grand nombre à sept chiffres possible, le plus petit, et celui le plus proche de $4\,000\,000$ .

Solution

Solution de Exercice 21.10.

Le plus grand : $7\,654\,321$ . Le plus petit : $1\,234\,567$ . Le plus proche de $4\,000\,000$ : juste en dessous marche moins bien — $3\,765\,421$ est à $234\,579$ , tandis que juste au-dessus, $4\,123\,567$ , n’est qu’à $123\,567$ : le plus proche est $4\,123\,567$ .

Exercice 21.11 ★★

Quel est le plus grand nombre entier qui s’arrondit à $50\,000$ lorsqu’on arrondit au millier le plus proche ? Et le plus petit ?

Solution

Solution de Exercice 21.11.

L’arrondi au millier le plus proche donne $50\,000$ pour tous les nombres de $49\,500$ (mi-chemin arrondi vers le haut) à $50\,499$ . Le plus grand : $50\,499$ ; le plus petit : $49\,500$ .