Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

35Cubes et pavés

Quitter la page plane : les solides sont les formes du monde réel — dés, boîtes de céréales, boîtes de conserve, balles. Ce chapitre apprend à les nommer, compter leurs faces et arêtes, les déplier en patrons, et mesurer leur volume en comptant de petits cubes. (Les formules de volume arrivent dans Chapitre 43.)

35.1 La famille des solides

Définition 35.1 (Solides et leur vocabulaire)

Un solide occupe de l’espace. Les côtés plats sont des faces ; les faces se rejoignent le long d’arêtes ; les arêtes se rejoignent en des sommets. Portraits de famille :

le cube : $6$ faces carrées, $12$ arêtes, $8$ sommets ;
le pavé (prisme droit à base rectangulaire) : $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets ;
le cylindre : deux faces disques et une face enroulée (une boîte de conserve) ;
la pyramide : une base polygonale et des triangles se rejoignant en un sommet ;
la boule (sphère) : une surface parfaitement ronde, pas de face, pas d’arête.

La galerie des solides. Les traits en pointillés montrent les arêtes cachées — le dos du solide, vu à travers.

Exemple 35.2 (Compter sur le cube)

Vérifier sur un dé : $6$ faces (les nombres $1$ à $6$ ), $8$ sommets (les coins), $12$ arêtes (passer un doigt le long : $4$ en haut, $4$ en bas, $4$ verticales). Et $6 + 8 = 12 + 2$ — le même motif curieux vaut pour le pavé et la pyramide (Exemple 62.2 y reviendra).

35.2 Patrons

Définition 35.3 (Patron)

Un patron d’un solide est un dessin plat de toutes ses faces, attachées le long d’arêtes, qui se plie pour former le solide — le solide déplié comme une boîte en carton aplatie pour le recyclage.

Trois arrangements de six carrés. Les deux premiers se plient en cube ; le troisième non — en pliant, deux carrés tombent sur la même face et le cube reste ouvert. Les découper et essayer !

Exemple 35.4 (Lire un patron)

Sur un dé, les faces opposées additionnent $7$ . Sur un patron, les faces opposées sont celles séparées par exactement un carré dans une rangée (ou autour d’un coin) — pas les voisines ! Marquer les paires sur le patron avant de plier est un excellent exercice pour voir l’espace à plat.

35.3 Volume : compter les cubes

Définition 35.5 (Volume par comptage)

Le volume d’un solide construit avec des cubes unitaires est le nombre de cubes qu’il contient. L’unité peut être le centimètre cube (cm $^3$ ) ou le mètre cube (m $^3$ ).

Exemple 35.6 (Compter un pavé couche par couche)

Un pavé de $4$ cubes de long, $3$ de large, $2$ de haut : la couche du bas contient $4 \times 3 = 12$ cubes, et il y a $2$ couches :

12 \times 2 = 24 \text{ cubes} .

Compter par couches marche toujours — et prouve discrètement la formule $V = L \times \ell \times h$ de Chapitre 43.

Un pavé 4 × 3 × 2 de cubes unitaires, compté couche par couche. — Un pavé $4 \times 3 \times 2$ de cubes unitaires, compté couche par couche.

Exemple 35.7 (Mêmes cubes, formes différentes)

Huit cubes unitaires peuvent construire un cube $2 \times 2 \times 2$ , un bâton $8 \times 1 \times 1$ , ou une plaque $4 \times 2 \times 1$ : trois solides différents, un volume ( $8$ cubes). Le volume compte la matière, pas la forme.

35.4 Exercices

Exercice 35.1 ★

Nommer un objet réel en forme de : cube ; pavé ; cylindre ; boule ; pyramide.

Solution

Solution de Exercice 35.1.

Par exemple : un dé (cube) ; une boîte de céréales (pavé) ; une boîte de conserve (cylindre) ; un ballon de football (boule) ; certains toits ou les monuments d’Égypte (pyramide).

Exercice 35.2 ★

Combien de faces, d’arêtes et de sommets a un pavé ? Vérifier le motif faces $+$ sommets $=$ arêtes $+ 2$ .

Solution

Solution de Exercice 35.2.

Un pavé a $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets — et $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Exercice 35.3 ★

Quelles faces d’un pavé sont identiques ? (Regrouper les six faces par paires.) Qu’y a-t-il de spécial aux faces du cube ?

Solution

Solution de Exercice 35.3.

Les six faces viennent en trois paires de faces opposées identiques (haut–bas, avant–arrière, gauche–droite). Sur un cube, les six faces sont des carrés identiques.

Exercice 35.4 ★

Dessiner un patron d’un cube de côté $2$ cm (utiliser le modèle en croix du chapitre), le découper et le plier.

Solution

Solution de Exercice 35.4.

Patron en croix : quatre carrés de $2$ cm en rangée, un au-dessus et un en dessous du deuxième carré. Plier l’anneau de quatre donne les côtés ; les deux carrés en plus ferment le haut et le bas.

Exercice 35.5 ★

Sur le patron en croix d’un dé, placer les nombres $1$ à $6$ de sorte que les faces opposées additionnent $7$ . (Utiliser Exemple 35.4 pour trouver d’abord les paires opposées.)

Solution

Solution de Exercice 35.5.

Sur le patron en croix (quatre carrés en rangée, un au-dessus, un en dessous du deuxième), les paires opposées sont : les carrés $1$ et $3$ de la rangée ; les carrés $2$ et $4$ de la rangée ; les carrés du haut et du bas. Un étiquetage correct : rangée $= 1, 2, 6, 5$ ; haut $= 3$ ; bas $= 4$ — alors $1{+}6$ , $2{+}5$ , $3{+}4$ font tous $7$ .

Exercice 35.6 ★

Compter les cubes unitaires : un pavé de $5$ de long, $2$ de large, $3$ de haut ; un cube de côté $3$ ; un empilement en L fait d’une plaque $3 \times 2 \times 1$ avec une plaque $1 \times 2 \times 1$ dessus.

Solution

Solution de Exercice 35.6.

Pavé : $5 \times 2 = 10$ par couche, $3$ couches : $30$ cubes. Cube : $3 \times 3 \times 3 = 27$ . Empilement en L : $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ cubes.

Exercice 35.7 ★

Un pavé contient exactement $12$ cubes unitaires en une couche. Donner deux formes de couche possibles ( $L \times \ell$ ), et pour chacune, le volume du pavé s’il a $3$ telles couches.

Solution

Solution de Exercice 35.7.

Couches de $12$ : par exemple $4 \times 3$ ou $6 \times 2$ (ou $12 \times 1$ ). Avec $3$ couches, le volume est $12 \times 3 = 36$ cubes dans tous les cas.

Exercice 35.8 ★

Avec $27$ cubes unitaires, quel cube peut-on construire ? Avec $64$ ? (Penser au comptage par couches à l’envers.)

Solution

Solution de Exercice 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : un cube de côté $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : un cube de côté $4$ .

Exercice 35.9 ★★

Des morceaux de sucre de côté $1$ cm viennent dans une boîte de $10$ cm de long, $5$ cm de large, $4$ cm de haut (dimensions intérieures). Combien de morceaux de sucre tiennent ? Si une famille en utilise $6$ par jour, pendant combien de jours une boîte suffit-elle (arrondir sensément) ?

Solution

Solution de Exercice 35.9.

La boîte contient $10 \times 5 \times 4 = 200$ morceaux de sucre. À $6$ par jour : $200 = 6 \times 33 + 2$ , donc la boîte dure $33$ jours complets (et $2$ morceaux restent pour le matin du jour $34$ ).

Exercice 35.10 ★★

Un cube $3 \times 3 \times 3$ est peint en rouge à l’extérieur, puis découpé en $27$ cubes unitaires. Combien de petits cubes ont de la peinture sur exactement $3$ faces ? Sur $2$ ? Sur $1$ ? Sur aucune ? (Vérifier : les quatre comptes doivent additionner $27$ .)

Solution

Solution de Exercice 35.10.

Peinture sur $3$ faces : les $8$ cubes des coins. Sur $2$ faces : les milieux des $12$ arêtes : $12$ cubes. Sur $1$ face : les centres des $6$ faces : $6$ cubes. Sur aucune : le seul cube caché au centre : $1$ . Vérif. : $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓