Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

52Symétrie centrale et parallélogrammes

Tourner une figure d’un demi-tour autour d’un point : c’est la symétrie centrale, la deuxième transformation du livre après les réflexions du Chapitre 42. Sa figure vedette est le parallélogramme — le quadrilatère symétrique par rapport au point de croisement de ses propres diagonales.

52.1 Symétrie centrale

Définition 52.1 (Symétrique par rapport à un point)

Le symétrique d’un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M'$ tel que $O$ est le milieu de $[MM']$ . La figure symétrique est ce que devient l’original après un demi-tour ( $180^\circ$ ) autour de $O$ .

Symétrie par rapport à O : chaque point et son image sont alignés avec O, à distances égales de part et d’autre (traits de coche). — Symétrie par rapport à $O$ : chaque point et son image sont alignés avec $O$ , à distances égales de part et d’autre (traits de coche).

Méthode 52.2 (Construire le symétrique d’un point)

Pour construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $O$ :

tracer la droite $(MO)$ et la prolonger au-delà de $O$ ;
mesurer $MO$ (règle ou compas) ;
placer $M'$ sur le prolongement avec $OM' = OM$ .

Sur papier quadrillé : compter les pas horizontaux et verticaux de $M$ à $O$ , et répéter les mêmes pas depuis $O$ pour atteindre $M'$ .

Exemple 52.3 (Sur un quadrillage)

Si $M$ est à $3$ carreaux à gauche et $1$ carreau en haut de $O$ , son symétrique $M'$ est à $3$ carreaux à droite et $1$ carreau en bas de $O$ : la symétrie centrale inverse les deux directions à la fois (une réflexion n’en inverse qu’une).

Proposition 52.4 (Ce qu’un demi-tour conserve)

La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les périmètres et les aires ; l’image d’une droite est une droite parallèle, l’image d’un segment est un segment parallèle de même longueur, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon (centré au symétrique du centre).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 52.5

Comparer avec les réflexions (Proposition 42.4) : les deux conservent longueurs et angles ; mais la réflexion retourne les figures (un « b » devient un « d »), tandis que le demi-tour les garde lisibles — à l’envers (un « b » devient un « q »). Et à la différence d’une réflexion, un demi-tour envoie toute droite sur une droite qui lui est parallèle.

Définition 52.6 (Centre de symétrie)

Un point $O$ est un centre de symétrie d’une figure lorsque le demi-tour autour de $O$ envoie la figure exactement sur elle-même. Par exemple, les lettres S, N, Z ont un centre de symétrie ; un cercle en a un (son centre) ; un triangle n’en a jamais.

52.2 Parallélogrammes

Définition 52.7 (Parallélogramme)

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se croisent en leur milieu commun. Ce point de croisement est alors un centre de symétrie de la figure : chaque sommet est l’image par demi-tour du sommet opposé.

Théorème 52.8 (Propriétés d’un parallélogramme)

Dans un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ :

les côtés opposés sont parallèles : $(AB) \parallel (CD)$ et $(BC) \parallel (AD)$ ;
les côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $BC = AD$ ;
les angles opposés sont égaux : $\widehat A = \widehat C$ et $\widehat B = \widehat D$ .

Démonstration. Le demi-tour autour de $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$ (définition : $O$ est le milieu des deux diagonales). Il envoie donc le segment $[AB]$ sur le segment $[CD]$ ; par Proposition 52.4 l’image est parallèle à $[AB]$ et de même longueur : points 1 et 2. Il envoie aussi l’angle en $A$ sur l’angle en $C$ , et les angles sont conservés : point 3. ∎

Un parallélogramme et son centre O : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont parallèles et égaux (traits de coche). — Un parallélogramme et son centre $O$ : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont parallèles et égaux (traits de coche).

Théorème 52.9 (Reconnaître un parallélogramme)

Un quadrilatère (sans côtés croisés) est un parallélogramme dès que l’une des conditions suivantes est remplie :

ses diagonales ont le même milieu (la définition) ;
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 52.10

$ABCD$ a $(AB) \parallel (CD)$ et $AB = CD = 5$ cm. Le critère 3 s’applique : $ABCD$ est un parallélogramme — donc sans autre mesure on sait aussi que $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , et que ses diagonales se coupent en leur milieu.

Remarque 52.11 (Parallélogrammes particuliers)

Le rectangle, le losange et le carré du Chapitre 41 sont exactement les parallélogrammes avec une propriété supplémentaire : diagonales égales (rectangle), diagonales perpendiculaires (losange), les deux (carré). L’argument d’angles promis en Exemple 41.6 fonctionne maintenant : dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (angles alternes-internes/correspondants avec les parallèles, Théorème 51.2), donc un angle droit force les quatre.

52.3 Exercices

Exercice 52.1 ★

Sur papier quadrillé, placer $O$ , puis $M$ à quatre carreaux à droite de $O$ et un carreau en haut. Construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $O$ , et le symétrique de $M$ par rapport à la droite verticale du quadrillage passant par $O$ . Comparer les deux images.

Solution

Solution de Exercice 52.1.

Image par demi-tour : $M'$ est à quatre carreaux à gauche de $O$ et un carreau en bas (les deux directions inversées). Image par réflexion par rapport à la droite verticale : quatre carreaux à gauche mais toujours un carreau en haut. Les deux images diffèrent : elles sont des images miroir verticales l’une de l’autre.

Exercice 52.2 ★

Tracer un triangle $ABC$ et un point $O$ à l’extérieur. Construire son image $A'B'C'$ par le demi-tour autour de $O$ . Que peut-on dire des longueurs $A'B'$ et $AB$ ? Des droites $(A'B')$ et $(AB)$ ?

Solution

Solution de Exercice 52.2.

$A'B' = AB$ (les demi-tours conservent les longueurs) et $(A'B') \parallel (AB)$ (l’image d’une droite est une droite parallèle, Proposition 52.4).

Exercice 52.3 ★

Quels chiffres, écrits comme sur un afficheur de calculatrice ( $0$ à $9$ ), ont un centre de symétrie ? Quelles lettres majuscules parmi H, A, N, S, T, Z, O ?

Solution

Solution de Exercice 52.3.

Chiffres de calculatrice avec un centre de symétrie : $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (et $1$ s’il est dessiné comme une simple barre). Lettres : H, N, S, Z, O en ont un ; A et T n’en ont pas (elles ont un axe à la place).

Exercice 52.4 ★

$KLMN$ est un parallélogramme de centre $O$ avec $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm et $\widehat K = 115^\circ$ . Donner, avec raisons : $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , et le milieu de $[LN]$ .

Solution

Solution de Exercice 52.4.

Côtés opposés égaux : $MN = KL = 7$ cm et $NK = LM = 4$ cm. Angles opposés égaux : $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . Les diagonales se coupent en leur milieu commun, et ce point est $O$ : le milieu de $[LN]$ est $O$ .

Exercice 52.5 ★

Construire un parallélogramme $ABCD$ à partir de ses diagonales : $AC = 8$ cm et $BD = 5$ cm, se croisant en leurs milieux avec un angle de $60^\circ$ entre elles. (Tracer d’abord les diagonales !)

Solution

Solution de Exercice 52.5.

Tracer un segment $[AC]$ de $8$ cm, marquer son milieu $O$ , tracer par $O$ une droite faisant $60^\circ$ avec $(AC)$ , et placer $B$ et $D$ dessus à $2.5$ cm de $O$ de part et d’autre. Joindre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : les diagonales se coupent en leurs milieux, donc $ABCD$ est un parallélogramme par définition.

Exercice 52.6 ★

Dans un parallélogramme, un angle mesure $115^\circ$ . En utilisant la remarque sur les angles consécutifs supplémentaires, donner les trois autres angles.

Solution

Solution de Exercice 52.6.

Les angles consécutifs sont supplémentaires : à côté de $115^\circ$ se trouve $180 - 115 = 65^\circ$ . Les angles opposés sont égaux, donc les quatre angles sont $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (somme $360^\circ$ ).

Exercice 52.7 ★★

Placer $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ et le point $O(2.5, 2.5)$ . Calculer les coordonnées des images $A'$ et $B'$ par le demi-tour autour de $O$ (utiliser le comptage sur le quadrillage de Exemple 52.3).

Solution

Solution de Exercice 52.7.

De $A(1,1)$ à $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ à droite et $1.5$ en haut ; en continuant de même : $A'(4, 4)$ . De $B(4,2)$ à $O$ : $1.5$ à gauche et $0.5$ en haut ; en continuant : $B'(1, 3)$ .

Exercice 52.8 ★★

$ABCD$ est un quadrilatère dans lequel $AB = CD$ . Est-ce suffisant pour en faire un parallélogramme ? Sinon, esquisser un contre-exemple (un trapèze isocèle aide), et indiquer ce qu’il faut ajouter à l’hypothèse.

Solution

Solution de Exercice 52.8.

Non. Un trapèze isocèle a ses deux côtés obliques égaux sans être un parallélogramme (les deux côtés parallèles ont des longueurs différentes). Ce qui suffit est le critère 3 de Théorème 52.9 : deux côtés opposés égaux et parallèles.

Exercice 52.9 ★★

Soit $ABC$ un triangle et $O$ le milieu de $[BC]$ . Construire le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ . Montrer que $ABA'C$ est un parallélogramme. (Quel critère de Théorème 52.9 s’obtient gratuitement ici ?)

Solution

Solution de Exercice 52.9.

$O$ est le milieu de $[BC]$ par choix, et il est le milieu de $[AA']$ par construction du symétrique. Le quadrilatère $ABA'C$ a des diagonales $[AA']$ et $[BC]$ partageant le milieu $O$ : le critère 1 (la définition) en fait un parallélogramme sans coût supplémentaire.

Exercice 52.10 ★★

Vrai ou faux, avec une raison : « un quadrilatère dont les angles opposés sont égaux deux à deux est un parallélogramme » ; « un parallélogramme à diagonales perpendiculaires est un losange » ; « un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle ».

Solution

Solution de Exercice 52.10.

« Angles opposés égaux $\Rightarrow$ parallélogramme » : vrai (c’est un autre critère de reconnaissance ; avec la somme des angles $360^\circ$ , des paires opposées égales forcent des angles consécutifs supplémentaires, d’où des côtés parallèles par Théorème 51.2).

« Diagonales perpendiculaires $\Rightarrow$ losange » : vrai pour un parallélogramme (les diagonales se coupent déjà en leurs milieux).

« Un angle droit $\Rightarrow$ rectangle » : vrai — les angles consécutifs sont supplémentaires, donc les quatre deviennent droits.

Exercice 52.11 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de ses côtés $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Tracer plusieurs exemples. Que semble toujours être $IJKL$ ? (La preuve, avec le théorème des milieux, arrive au Chapitre 59 — et à nouveau avec les vecteurs, dans le volume de lycée.)

Solution

Solution de Exercice 52.11.

Quel que soit le quadrilatère — même très irrégulier — les milieux $I$ , $J$ , $K$ , $L$ forment toujours un parallélogramme. La preuve avec le théorème des milieux est au Chapitre 59 (Exercice 59.9).