Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

52Symétrie centrale et parallélogrammes

Tourner une figure d’un demi-tour autour d’un point : c’est la symétrie centrale, la deuxième transformation du livre après les réflexions du Chapitre 42. Sa figure vedette est le parallélogramme — le quadrilatère symétrique par rapport au point de croisement de ses propres diagonales.

52.1 Symétrie centrale

Définition 52.1 (Symétrique par rapport à un point)

Le symétrique d’un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M'$ tel que $O$ est le milieu de $[MM']$ . La figure symétrique est ce que devient l’original après un demi-tour ( $180^\circ$ ) autour de $O$ .

Symétrie par rapport à O : chaque point et son image sont alignés avec O, à distances égales de part et d’autre (traits de coche). — Symétrie par rapport à $O$ : chaque point et son image sont alignés avec $O$ , à distances égales de part et d’autre (traits de coche).

Méthode 52.2 (Construire le symétrique d’un point)

Pour construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $O$ :

tracer la droite $(MO)$ et la prolonger au-delà de $O$ ;
mesurer $MO$ (règle ou compas) ;
placer $M'$ sur le prolongement avec $OM' = OM$ .

Sur papier quadrillé : compter les pas horizontaux et verticaux de $M$ à $O$ , et répéter les mêmes pas depuis $O$ pour atteindre $M'$ .

Exemple 52.3 (Sur un quadrillage)

Si $M$ est à $3$ carreaux à gauche et $1$ carreau en haut de $O$ , son symétrique $M'$ est à $3$ carreaux à droite et $1$ carreau en bas de $O$ : la symétrie centrale inverse les deux directions à la fois (une réflexion n’en inverse qu’une).

Proposition 52.4 (Ce qu’un demi-tour conserve)

La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les périmètres et les aires ; l’image d’une droite est une droite parallèle, l’image d’un segment est un segment parallèle de même longueur, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon (centré au symétrique du centre).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 52.5

Comparer avec les réflexions (Proposition 42.4) : les deux conservent longueurs et angles ; mais la réflexion retourne les figures (un « b » devient un « d »), tandis que le demi-tour les garde lisibles — à l’envers (un « b » devient un « q »). Et à la différence d’une réflexion, un demi-tour envoie toute droite sur une droite qui lui est parallèle.

Définition 52.6 (Centre de symétrie)

Un point $O$ est un centre de symétrie d’une figure lorsque le demi-tour autour de $O$ envoie la figure exactement sur elle-même. Par exemple, les lettres S, N, Z ont un centre de symétrie ; un cercle en a un (son centre) ; un triangle n’en a jamais.

52.2 Parallélogrammes

Définition 52.7 (Parallélogramme)

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se croisent en leur milieu commun. Ce point de croisement est alors un centre de symétrie de la figure : chaque sommet est l’image par demi-tour du sommet opposé.

Théorème 52.8 (Propriétés d’un parallélogramme)

Dans un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ :

les côtés opposés sont parallèles : $(AB) \parallel (CD)$ et $(BC) \parallel (AD)$ ;
les côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $BC = AD$ ;
les angles opposés sont égaux : $\widehat A = \widehat C$ et $\widehat B = \widehat D$ .

Démonstration. Le demi-tour autour de $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$ (définition : $O$ est le milieu des deux diagonales). Il envoie donc le segment $[AB]$ sur le segment $[CD]$ ; par Proposition 52.4 l’image est parallèle à $[AB]$ et de même longueur : points 1 et 2. Il envoie aussi l’angle en $A$ sur l’angle en $C$ , et les angles sont conservés : point 3. ∎

Un parallélogramme et son centre O : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont parallèles et égaux (traits de coche). — Un parallélogramme et son centre $O$ : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont parallèles et égaux (traits de coche).

Théorème 52.9 (Reconnaître un parallélogramme)

Un quadrilatère (sans côtés croisés) est un parallélogramme dès que l’une des conditions suivantes est remplie :

ses diagonales ont le même milieu (la définition) ;
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 52.10

$ABCD$ a $(AB) \parallel (CD)$ et $AB = CD = 5$ cm. Le critère 3 s’applique : $ABCD$ est un parallélogramme — donc sans autre mesure on sait aussi que $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , et que ses diagonales se coupent en leur milieu.

Remarque 52.11 (Parallélogrammes particuliers)

Le rectangle, le losange et le carré du Chapitre 41 sont exactement les parallélogrammes avec une propriété supplémentaire : diagonales égales (rectangle), diagonales perpendiculaires (losange), les deux (carré). L’argument d’angles promis en Exemple 41.6 fonctionne maintenant : dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (angles alternes-internes/correspondants avec les parallèles, Théorème 51.2), donc un angle droit force les quatre.

52.3 Exercices

Exercice 52.1 ★

Sur papier quadrillé, placer $O$ , puis $M$ à quatre carreaux à droite de $O$ et un carreau en haut. Construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $O$ , et le symétrique de $M$ par rapport à la droite verticale du quadrillage passant par $O$ . Comparer les deux images.

Solution

Solution de Exercice 52.1.

Image par demi-tour : $M'$ est à quatre carreaux à gauche de $O$ et un carreau en bas (les deux directions inversées). Image par réflexion par rapport à la droite verticale : quatre carreaux à gauche mais toujours un carreau en haut. Les deux images diffèrent : elles sont des images miroir verticales l’une de l’autre.

Exercice 52.2 ★

Tracer un triangle $ABC$ et un point $O$ à l’extérieur. Construire son image $A'B'C'$ par le demi-tour autour de $O$ . Que peut-on dire des longueurs $A'B'$ et $AB$ ? Des droites $(A'B')$ et $(AB)$ ?

Solution

Solution de Exercice 52.2.

$A'B' = AB$ (les demi-tours conservent les longueurs) et $(A'B') \parallel (AB)$ (l’image d’une droite est une droite parallèle, Proposition 52.4).

Exercice 52.3 ★

Quels chiffres, écrits comme sur un afficheur de calculatrice ( $0$ à $9$ ), ont un centre de symétrie ? Quelles lettres majuscules parmi H, A, N, S, T, Z, O ?

Solution

Solution de Exercice 52.3.

Chiffres de calculatrice avec un centre de symétrie : $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (et $1$ s’il est dessiné comme une simple barre). Lettres : H, N, S, Z, O en ont un ; A et T n’en ont pas (elles ont un axe à la place).

Exercice 52.4 ★

$KLMN$ est un parallélogramme de centre $O$ avec $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm et $\widehat K = 115^\circ$ . Donner, avec raisons : $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , et le milieu de $[LN]$ .

Solution

Solution de Exercice 52.4.

Côtés opposés égaux : $MN = KL = 7$ cm et $NK = LM = 4$ cm. Angles opposés égaux : $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . Les diagonales se coupent en leur milieu commun, et ce point est $O$ : le milieu de $[LN]$ est $O$ .

Exercice 52.5 ★

Construire un parallélogramme $ABCD$ à partir de ses diagonales : $AC = 8$ cm et $BD = 5$ cm, se croisant en leurs milieux avec un angle de $60^\circ$ entre elles. (Tracer d’abord les diagonales !)

Solution

Solution de Exercice 52.5.

Tracer un segment $[AC]$ de $8$ cm, marquer son milieu $O$ , tracer par $O$ une droite faisant $60^\circ$ avec $(AC)$ , et placer $B$ et $D$ dessus à $2.5$ cm de $O$ de part et d’autre. Joindre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : les diagonales se coupent en leurs milieux, donc $ABCD$ est un parallélogramme par définition.

Exercice 52.6 ★

Dans un parallélogramme, un angle mesure $115^\circ$ . En utilisant la remarque sur les angles consécutifs supplémentaires, donner les trois autres angles.

Solution

Solution de Exercice 52.6.

Les angles consécutifs sont supplémentaires : à côté de $115^\circ$ se trouve $180 - 115 = 65^\circ$ . Les angles opposés sont égaux, donc les quatre angles sont $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (somme $360^\circ$ ).

Exercice 52.7 ★★

Placer $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ et le point $O(2.5, 2.5)$ . Calculer les coordonnées des images $A'$ et $B'$ par le demi-tour autour de $O$ (utiliser le comptage sur le quadrillage de Exemple 52.3).

Solution

Solution de Exercice 52.7.

De $A(1,1)$ à $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ à droite et $1.5$ en haut ; en continuant de même : $A'(4, 4)$ . De $B(4,2)$ à $O$ : $1.5$ à gauche et $0.5$ en haut ; en continuant : $B'(1, 3)$ .

Exercice 52.8 ★★

$ABCD$ est un quadrilatère dans lequel $AB = CD$ . Est-ce suffisant pour en faire un parallélogramme ? Sinon, esquisser un contre-exemple (un trapèze isocèle aide), et indiquer ce qu’il faut ajouter à l’hypothèse.

Solution

Solution de Exercice 52.8.

Non. Un trapèze isocèle a ses deux côtés obliques égaux sans être un parallélogramme (les deux côtés parallèles ont des longueurs différentes). Ce qui suffit est le critère 3 de Théorème 52.9 : deux côtés opposés égaux et parallèles.

Exercice 52.9 ★★

Soit $ABC$ un triangle et $O$ le milieu de $[BC]$ . Construire le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ . Montrer que $ABA'C$ est un parallélogramme. (Quel critère de Théorème 52.9 s’obtient gratuitement ici ?)

Solution

Solution de Exercice 52.9.

$O$ est le milieu de $[BC]$ par choix, et il est le milieu de $[AA']$ par construction du symétrique. Le quadrilatère $ABA'C$ a des diagonales $[AA']$ et $[BC]$ partageant le milieu $O$ : le critère 1 (la définition) en fait un parallélogramme sans coût supplémentaire.

Exercice 52.10 ★★

Vrai ou faux, avec une raison : « un quadrilatère dont les angles opposés sont égaux deux à deux est un parallélogramme » ; « un parallélogramme à diagonales perpendiculaires est un losange » ; « un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle ».

Solution

Solution de Exercice 52.10.

« Angles opposés égaux $\Rightarrow$ parallélogramme » : vrai (c’est un autre critère de reconnaissance ; avec la somme des angles $360^\circ$ , des paires opposées égales forcent des angles consécutifs supplémentaires, d’où des côtés parallèles par Théorème 51.2).

« Diagonales perpendiculaires $\Rightarrow$ losange » : vrai pour un parallélogramme (les diagonales se coupent déjà en leurs milieux).

« Un angle droit $\Rightarrow$ rectangle » : vrai — les angles consécutifs sont supplémentaires, donc les quatre deviennent droits.

Exercice 52.11 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de ses côtés $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Tracer plusieurs exemples. Que semble toujours être $IJKL$ ? (La preuve, avec le théorème des milieux, arrive au Chapitre 59 — et à nouveau avec les vecteurs, dans un volume ultérieur.)

Solution

Solution de Exercice 52.11.

Quel que soit le quadrilatère — même très irrégulier — les milieux $I$ , $J$ , $K$ , $L$ forment toujours un parallélogramme. La preuve avec le théorème des milieux est au Chapitre 59 (Exercice 59.9).

52.4 Problème : le gâteau, la médiane et l’impossible second centre

Problème 52.1

Devoir maison — le demi-tour à l’œuvre : des partages de gâteau équitables, un encadrement des médianes, et pourquoi aucune figure ne peut avoir deux centres de symétrie

Le demi-tour a l’air de la plus simple des transformations — et pourtant il découpe les gâteaux en moitiés démontrablement équitables, mesure les médianes d’un triangle, et cache une petite perle de mathématiques pures : une figure bornée peut avoir un centre de symétrie, mais jamais deux. La démonstration repose sur une découverte que l’on fera dans la partie I : deux demi-tours, effectués l’un après l’autre, se ramènent à un glissement.

Partie I — Gymnastique du demi-tour.

Sur du papier quadrillé, prendre l’origine $O(0, 0)$ pour centre. En comptant les carreaux comme dans Exemple 52.3, donner les images de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ et $P(0, -5)$ par le demi-tour de centre $O$ . Quelle est la règle générale pour $(x, y)$ ?
Le centre est maintenant $C(2, 1)$ . Calculer l’image de $M(5, 3)$ , et vérifier la recette générale : chaque coordonnée de l’image vaut le double de celle du centre, moins celle du point.
Les cartes à jouer sont dessinées pour se lire de la même façon à l’endroit et à l’envers — une symétrie centrale, de sorte qu’aucun joueur ne voie la carte « de travers ». Expliquer pourquoi, sur une carte comptant un nombre impair de points, un point doit se trouver exactement au centre de la carte.
Deux demi-tours d’affilée : prendre les centres $O_1(2, 0)$ et $O_2(5, 0)$ . Envoyer le point $A(1, 1)$ par le demi-tour de centre $O_1$ , puis envoyer l’image par le demi-tour de centre $O_2$ . Comparer le départ et l’arrivée. Recommencer avec $B(0, 3)$ . À quelle transformation unique et simple les deux demi-tours se sont-ils ramenés ?
Comparer le glissement de la question 4 à la distance $O_1 O_2$ , et énoncer la découverte. (Comparer avec les deux miroirs parallèles du Problème 42.1 : même phénomène, nouveaux acteurs.)

Partie II — Gâteaux et médianes.

Soit $O$ le centre d’un parallélogramme. Expliquer pourquoi toute droite passant par $O$ rencontre le bord en deux points symétriques par rapport à $O$ , et pourquoi cette droite découpe le parallélogramme en deux morceaux qui sont des copies exactes l’un de l’autre par demi-tour — donc de même aire.
Le théorème du pâtissier : un gâteau rectangulaire se partage parfaitement équitablement par n’importe quelle coupe droite passant par son centre. Mieux : un gâteau rectangulaire est percé d’un trou rectangulaire (n’importe quelle taille, n’importe quelle position, même incliné). Décrire l’unique coupe droite qui donne deux parts contenant autant de gâteau l’une que l’autre — et la justifier par la question 6.
Trois sommets d’un parallélogramme $ABCD$ sont $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ et $C(8, 5)$ . Calculer les coordonnées de $D$ et celles du centre $O$ .
Exercice 52.9 a construit, à partir d’un triangle $ABC$ et du milieu $O$ de $[BC]$ , le parallélogramme $ABA'C$ où $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ . S’en servir, avec l’inégalité triangulaire (Théorème 51.6) dans le triangle $ABA'$ , pour démontrer l’encadrement de la médiane : la médiane $[AO]$ vérifie

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Remarquer que $AA' = 2\,AO$ et $BA' = AC$ .)
Dans un triangle où $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm, entre quelles deux valeurs la longueur de la médiane issue de $A$ doit-elle se situer ? (Utiliser les deux sens de l’inégalité triangulaire dans $ABA'$ .)

Partie III — Combien de centres une figure peut-elle avoir ?

Pour chaque figure, dire si elle possède un centre de symétrie, et où : un segment ; une droite entière ; un triangle équilatéral ; un carré ; un cercle ; les lettres S et Z.
Démontrer la réponse pour le triangle équilatéral : un demi-tour envoyant le triangle sur lui-même apparierait les trois sommets — mais trois est impair, donc un sommet serait envoyé sur lui-même. Qu’est-ce que cela obligerait ce sommet à être, et pourquoi est-ce impossible ?
Généraliser la question 12 : expliquer pourquoi aucun polygone ayant un nombre impair de sommets n’a de centre de symétrie.
La perle : supposons qu’une figure possède deux centres de symétrie distincts $O_1$ et $O_2$ . Effectuer les deux demi-tours l’un après l’autre et utiliser la découverte de la question 5 : quel mouvement devrait envoyer la figure exactement sur elle-même ? Expliquer pourquoi une figure tenant sur une feuille de papier ne peut pas y survivre, et conclure.
La conclusion de la question 14 laisse une échappatoire : les figures non bornées. Vérifier sur une frise infinie — disons une bande sans fin d’empreintes de pas, gauche, droite, gauche, droite … — qu’elle possède (au moins) deux centres de symétrie différents, et identifier la translation annoncée par la question 14.

Solution

Solution de Problème 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Règle : le demi-tour de centre l’origine envoie $(x, y)$ sur $(-x, -y)$ — les deux coordonnées changent de signe.

2. À partir de $M(5, 3)$ : trois carreaux à droite de $C$ deviennent trois carreaux à gauche, deux vers le haut deviennent deux vers le bas : image $(-1, -1)$ . Vérification de la recette : le double du centre moins le point, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. Le demi-tour de centre la carte échange les points deux par deux. Avec un nombre impair de points, l’un d’eux n’a pas de partenaire : il est donc sa propre image, et le seul point qui soit sa propre image est le centre lui-même. D’où le point du milieu du 3, du 5, du 7 … pile au centre (regarder une vraie carte : il y est).

4. Par $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; puis par $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Départ $A(1,1)$ , arrivée $(7,1)$ : glissé de $6$ vers la droite, sans retournement. De même pour $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : glissé de $6$ vers la droite. Les deux demi-tours se ramènent à une translation.

5. Le glissement vaut $6$ , et $O_1 O_2 = 3$ : la translation parcourt le double de la distance entre les centres (dans le sens de $O_1$ vers $O_2$ ) — exactement comme les deux miroirs parallèles translataient du double de leur écart dans Problème 42.1.

6. Le demi-tour de centre $O$ envoie le parallélogramme sur lui-même (c’est ce que signifie pour lui « centre de symétrie », Théorème 52.8). Une droite passant par $O$ est elle aussi envoyée sur elle-même : les deux points où elle coupe le bord s’échangent donc, et ils sont symétriques par rapport à $O$ . Les deux morceaux du parallélogramme de part et d’autre de la droite s’échangent également : ce sont donc des copies exactes (Proposition 52.4) — de même aire.

7. Couper suivant la droite qui joint les deux centres : celui du rectangle du gâteau et celui du trou. Par la question 6 appliquée au rectangle du gâteau, la coupe partage le gâteau en deux ; appliquée au rectangle du trou (la droite passe aussi par son centre), elle partage le trou en deux. Chaque part reçoit la moitié du gâteau moins la moitié du trou : parfaitement équitable.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (les diagonales ont le même milieu, donc $D$ est l’image de $B$ par le demi-tour de centre le centre du parallélogramme). Centre : milieu de $[AC]$ , $O(4,\ 2.5)$ .

9. Dans le parallélogramme $ABA'C$ , les côtés opposés sont égaux : $BA' = AC$ . L’inégalité triangulaire dans $ABA'$ donne $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Comme $O$ est le milieu de $[AA']$ , on a $AA' = 2\,AO$ , donc $2\,AO < AB + AC$ , c’est-à-dire $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Majoration : $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Minoration : dans $ABA'$ , $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , donc $AO > 1$ cm. La médiane issue de $A$ est strictement comprise entre $1$ et $6$ cm.

11. Segment : oui, son milieu. Droite : oui — chacun de ses points est un centre. Triangle équilatéral : aucun. Carré : oui, le point d’intersection des diagonales. Cercle : oui, son centre. S et Z : oui, leur point milieu (retourner la page : elles se lisent de la même façon).

12. Le demi-tour apparierait les trois sommets entre eux ; trois étant impair, un sommet $A$ serait sa propre image, ce qui obligerait $A$ à être le centre du demi-tour. Les deux autres sommets $B$ et $C$ seraient alors symétriques par rapport à $A$ — donc $A$ serait le milieu de $[BC]$ , ce qui alignerait les trois sommets. Or un triangle n’a pas trois sommets alignés : contradiction. Aucun centre n’existe.

13. Le même argument de parité : un demi-tour conservant le polygone apparie ses sommets ; un nombre impair de sommets impose un sommet fixe, qui doit être le centre et le milieu du segment joignant deux autres sommets — trois sommets alignés, impossible dans un polygone … donc aucun polygone ayant un nombre impair de sommets n’a de centre de symétrie.

14. Effectuer le demi-tour de centre $O_1$ , puis celui de centre $O_2$ , envoie la figure sur elle-même à chaque fois — donc leur composée aussi. D’après la question 5, cette composée est la translation du double de la distance $O_1 O_2$ , qui n’est pas nulle puisque les centres diffèrent. Or une figure tenant sur une feuille ne peut pas être égale à elle-même glissée d’une quantité fixe non nulle (la glisser assez de fois la fait sortir entièrement de la feuille). Une figure bornée a donc au plus un centre de symétrie.

15. Sur la bande sans fin, le demi-tour de centre le point situé à mi-chemin entre une empreinte gauche et l’empreinte droite suivante envoie le motif sur lui-même ; le point situé un pas complet plus loin aussi : voilà deux centres distincts. La composée des deux demi-tours est la translation du double du demi-pas — exactement le glissement d’un pas qui, visiblement, envoie la frise infinie sur elle-même, comme l’annonce la question 14. Les motifs non bornés vivent selon d’autres règles : c’est la mathématique des papiers peints.

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