Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

23La division

L’année 3 divisait avec les tables et de petits restes (Chapitre 17) ; ce chapitre installe la méthode écrite complète — la division posée — qui traite n’importe quel nombre, groupe de chiffres par groupe de chiffres.

23.1 La méthode de la division posée

Méthode 23.1 (Division posée par un nombre à un chiffre)

Pour diviser $749$ par $6$ :

on prend le chiffre le plus à gauche, $7$ (centaines) : $6$ rentre $1$ fois dans $7$ ; on écrit $1$ au quotient, on soustrait $6$ , reste $1$ ;
on abaisse le chiffre suivant, $4$ : on divise maintenant $14$ (dizaines) : $6 \times 2 = 12$ ; on écrit $2$ , reste $2$ ;
on abaisse le $9$ : on divise $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; on écrit $4$ , reste $5$ ;
plus de chiffre : le quotient est $124$ , le reste $5$ .

Vérification : $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$ , et $5 < 6$ .

La division posée de 749 par 6, écrite en entier : chaque soustraction apparaît, chaque chiffre reste dans sa colonne, et les flèches grises montrent les chiffres que l’on abaisse. — La division posée de $749$ par $6$ , écrite en entier : chaque soustraction apparaît, chaque chiffre reste dans sa colonne, et les flèches grises montrent les chiffres que l’on abaisse.

Exemple 23.2 (Un zéro au quotient)

Diviser $618$ par $3$ : centaines, $6 \div 3 = 2$ ; dizaines, on abaisse le $1$ : $3$ rentre $0$ fois dans $1$ — on écrit le $0$ ! — reste $1$ ; unités, on abaisse le $8$ : $18 \div 3 = 6$ . Quotient $206$ , reste $0$ . Oublier le zéro du milieu (écrire $26$ ) est l’erreur classique ; la vérification $3 \times 26 = 78 \neq 618$ la rattrape aussitôt.

Exemple 23.3 (Estimer la taille du quotient)

Avant de diviser $749$ par $6$ , on encadre la réponse : $6 \times 100 = 600$ et $6 \times 200 = 1\,200$ , donc le quotient est entre $100$ et $200$ — il aura trois chiffres. Cette estimation d’une ligne évite la plupart des erreurs de place.

23.2 Choisir ce que la question demande

Méthode 23.4 (Quotient, reste, ou quotient plus un)

Comme dans Méthode 17.5, c’est l’histoire qui décide :

« combien de …complets » ou « combien chacun » : le quotient ;
« combien il reste » : le reste ;
« combien de contenants pour tout » : le quotient, plus un si le reste n’est pas zéro.

Exemple 23.5

$530$ livres doivent être emballés dans des cartons de $8$ .

530 = 8 \times 66 + 2 .

Combien de cartons pleins ? $66$ . Combien de livres ne sont pas dans un carton plein ? $2$ . Combien de cartons pour emballer tous les livres ? $67$ . Trois questions, une division.

Exemple 23.6 (Partage équitable d’argent)

Quatre amis partagent équitablement le coût d’un cadeau de $92$ : $92 \div 4 = 23$ exactement (reste $0$ ). Chacun paie $23$ . Quand le reste est zéro, la division « tombe juste » et le partage est parfaitement équitable.

23.3 Exercices

Exercice 23.1 ★

Encadrer chaque quotient comme dans Exemple 23.3 (entre quels deux nombres « ronds » ?), puis calculer la division posée : $96 \div 4$ ; $87 \div 5$ .

Solution

Solution de Exercice 23.1.

$96 \div 4$ : entre $4 \times 20 = 80$ et $4 \times 30 = 120$ , donc le quotient a deux chiffres ; la division posée donne $24$ , reste $0$ .

$87 \div 5$ : entre $5 \times 10 = 50$ et $5 \times 20 = 100$ ; quotient $17$ , reste $2$ ( $87 = 5 \times 17 + 2$ ).

Exercice 23.2 ★

Calculer les divisions posées et vérifier chacune : $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$ .

Solution

Solution de Exercice 23.2.

$672 \div 4 = 168$ , reste $0$ (vérif. : $4 \times 168 = 672$ ).

$925 \div 7 = 132$ , reste $1$ (vérif. : $7 \times 132 + 1 = 925$ ).

$804 \div 6 = 134$ , reste $0$ (vérif. : $6 \times 134 = 804$ ).

Exercice 23.3 ★

Attention au zéro (voir Exemple 23.2) : $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$ .

Solution

Solution de Exercice 23.3.

$816 \div 4 = 204$ (l’étape des dizaines est $1 \div 4$ : zéro fois — écrire le $0$ ).

$420 \div 7 = 60$ .

$2\,512 \div 5 = 502$ , reste $2$ (vérif. : $5 \times 502 + 2 = 2\,512$ ).

Exercice 23.4 ★

Écrire l’égalité de vérification ( $a = b \times q + r$ ) pour : $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$ .

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$85 = 9 \times 9 + 4$ (quotient $9$ , reste $4$ ).

$1\,000 = 3 \times 333 + 1$ .

Exercice 23.5 ★

$156$ œufs sont mis dans des boîtes de $6$ . Combien de boîtes sont remplies ?

Solution

Solution de Exercice 23.5.

$156 \div 6 = 26$ : vingt-six boîtes sont remplies, rien ne reste.

Exercice 23.6 ★

Un ruban de $250$ cm est découpé en morceaux de $8$ cm. Combien de morceaux, et quelle longueur reste-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 23.6.

$250 = 8 \times 31 + 2$ : trente et un morceaux, et $2$ cm de ruban restant.

Exercice 23.7 ★

$375$ élèves vont à un spectacle en bus de $52$ places. Combien de bus faut-il ? (Quel cas de Méthode 23.4 est-ce ? Diviser par $52$ en utilisant les multiples : $52 \times 7 = 364$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$375 = 52 \times 7 + 11$ : sept bus transportent $364$ élèves, $11$ restent — le cas « plus un » : $8$ bus sont nécessaires.

Exercice 23.8 ★

Trois amis se partagent équitablement $234$ billes. Combien de billes chacun ? Vérifier avec une multiplication.

Solution

Solution de Exercice 23.8.

$234 \div 3 = 78$ : chacun obtient $78$ billes. Vérif. : $3 \times 78 = 234$ .

Exercice 23.9 ★

Trouver le dividende : la division par $7$ donne le quotient $58$ et le reste $3$ .

Solution

Solution de Exercice 23.9.

Dividende $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$ .

Exercice 23.10 ★★

Un bibliothécaire range $438$ livres, $9$ par étagère. Les étagères viennent par bibliothèques de $6$ étagères. Combien d’étagères faut-il ? Combien de bibliothèques doit-on acheter ? (Deux divisions, toutes deux avec une question « plus un ».)

Solution

Solution de Exercice 23.10.

Étagères : $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ étagères pleines et $6$ livres de plus — $49$ étagères sont nécessaires. Bibliothèques : $49 = 6 \times 8 + 1$ : huit bibliothèques pleines et une étagère en plus — $9$ bibliothèques doivent être achetées.

Exercice 23.11 ★★

Dans une division par $8$ , le quotient est égal au reste. Quels sont les dividendes possibles ? Les lister tous. (Le reste doit rester strictement inférieur à $8$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.11.

Quotient $=$ reste $= r$ avec $r < 8$ , donc $r$ vaut $0, 1, \dots, 7$ et le dividende est $8r + r = 9r$ : les dividendes possibles sont $0$ , $9$ , $18$ , $27$ , $36$ , $45$ , $54$ , $63$ .