Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

27La symétrie

Papillons, visages, flocons de neige : la nature aime les figures dont les deux moitiés coïncident quand on les plie. Ce chapitre explore la symétrie avec des plis et du papier quadrillé — les constructions à l’équerre attendent Chapitre 42.

27.1 Plier et faire coïncider

Définition 27.1 (Axe de symétrie)

Une droite est un axe de symétrie d’une figure lorsque le pliage de la figure le long de cette droite fait coïncider les deux moitiés exactement. Une figure peut n’avoir aucun axe, un seul, ou plusieurs.

Plier le long du trait en pointillés : les moitiés coïncident. Le dernier triangle n’a aucun pli qui fonctionne — pas d’axe de symétrie.

Exemple 27.2 (Tester avec du papier calque)

Calquer la figure, retourner le calque le long de l’axe candidat, et le reposer : si le calque recouvre exactement la figure, l’axe est authentique. L’œil seul se trompe souvent — la diagonale d’un rectangle semble un axe, mais le test du pli dit non (essayez !).

27.2 Compléter des figures sur un quadrillage

Méthode 27.3 (Symétrique d’une figure par rapport à une ligne du quadrillage)

L’axe est une ligne verticale (ou horizontale) du quadrillage.

Prendre chaque sommet de la figure à tour de rôle ;
compter sa distance à l’axe en carreaux ;
placer le sommet image à la même distance de l’autre côté, sur la même ligne (ou colonne) ;
joindre les sommets images dans le même ordre, et vérifier : l’image est le jumeau miroir de la figure.

Compléter par rapport à l’axe rouge : chaque sommet saute à la même distance de l’autre côté. Les sommets touchant l’axe resteraient en place.

Exemple 27.4 (Même forme, même taille, retournée)

L’image a exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles que l’original : la symétrie copie la figure — mais la retourne, comme une main gauche et une main droite. Si la lettre originale est un F, son image miroir est un F à l’envers, pas un autre F.

27.3 Axes des formes usuelles

Exemple 27.5 (Compter les axes)

En pliant :

un carré : $4$ axes (deux par les milieux des côtés opposés, deux le long des diagonales) ;
un rectangle : $2$ axes (milieux des côtés opposés seulement !) ;
un triangle isocèle : $1$ ; un triangle équilatéral : $3$ ;
un cercle : toute droite passant par son centre — plus d’axes qu’on ne peut en compter.

Exemple 27.6 (Symétrie dans l’alphabet)

A, M, T, U, V ont un axe vertical ; B, C, D, E en ont un horizontal ; H, I, O, X ont les deux. Des mots faits des bonnes lettres peuvent aussi être symétriques : MUM a un axe vertical ; OXO marche dans les deux sens.

27.4 Exercices

Exercice 27.1 ★

Calquer et plier : lesquelles de ces figures ont un axe de symétrie — un carré ; un rectangle (non carré) ; un triangle scalène (tous les côtés différents) ; un cercle ?

Solution

Solution de Exercice 27.1.

Carré : oui ( $4$ axes). Rectangle : oui ( $2$ ). Triangle scalène : aucun pli ne fonctionne. Cercle : oui — toute droite passant par le centre.

Exercice 27.2 ★

Dessiner les axes de symétrie de : un carré ; un rectangle ; un triangle équilatéral. Combien pour chacun ?

Solution

Solution de Exercice 27.2.

Carré : $4$ (deux médianes, deux diagonales). Rectangle : $2$ (les médianes seulement). Triangle équilatéral : $3$ (une par chaque sommet).

Exercice 27.3 ★

Utiliser le test du papier calque de Exemple 27.2 pour montrer que la diagonale d’un rectangle $6 \times 4$ n’est pas un axe de symétrie.

Solution

Solution de Exercice 27.3.

En pliant le long de la diagonale, les deux moitiés triangulaires ont la même forme mais ne se superposent pas — l’une est « tournée du mauvais côté » : le calque se pose à côté de la figure, pas dessus. Donc la diagonale n’est pas un axe.

Exercice 27.4 ★

Sur papier quadrillé, dessiner un axe vertical et la lettre L (trois carreaux de haut, deux de large) à $2$ carreaux de l’axe. Construire son image miroir.

Solution

Solution de Exercice 27.4.

Le L image est à $2$ carreaux de l’autre côté de l’axe, écrit à l’envers (un L miroir), mêmes dimensions.

Exercice 27.5 ★

Sur papier quadrillé, dessiner un axe horizontal et un petit drapeau (un triangle $1 \times 1$ sur un mât de $3$ carreaux) au-dessus. Compléter la figure par symétrie sous l’axe.

Solution

Solution de Exercice 27.5.

La figure complétée montre le drapeau et son reflet à l’envers sous l’axe, mât sous mât.

Exercice 27.6 ★

Une figure touche son axe de symétrie en un point $P$ . Où se trouve l’image de $P$ ? Expliquer avec l’image du pliage.

Solution

Solution de Exercice 27.6.

$P$ ne bouge pas : plier le long de l’axe laisse tout point sur l’axe exactement où il est — $P$ est sa propre image.

Exercice 27.7 ★

Classer les lettres capitales A, B, E, F, H, N, O, T : axe vertical ? axe horizontal ? les deux ? aucun ?

Solution

Solution de Exercice 27.7.

Axe vertical : A, H, O, T. Axe horizontal : B, E, H, O. Les deux : H, O. Aucun : F, N.

Exercice 27.8 ★

Un triangle a pour côtés $5$ cm, $5$ cm et $3$ cm. A-t-il un axe de symétrie ? Quels côtés le pli échange-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 27.8.

Oui : le triangle est isocèle, et son axe passe par le sommet entre les deux côtés de $5$ cm et par le milieu de la base de $3$ cm. Le pli échange les deux côtés égaux.

Exercice 27.9 ★★

Sur papier quadrillé, dessiner une figure de son invention qui a exactement deux axes de symétrie, et tracer les deux axes. (Indice : penser à un rectangle, ou à une croix.)

Solution

Solution de Exercice 27.9.

Toute figure avec exactement deux axes convient : un rectangle (non carré), un signe plus aux bras de deux longueurs différentes (horizontal long, vertical court), un ovale. Les deux axes se croisent toujours au centre de la figure.

Exercice 27.10 ★★

La moitié d’un dessin symétrique est donnée : la moitié gauche d’une maison (un mur carré et la moitié d’un toit triangulaire), avec un axe vertical le long de son bord droit. Décrire ou dessiner la maison complète. Comment les longueurs de la moitié droite complétée se comparent-elles à celles de la moitié gauche ?

Solution

Solution de Exercice 27.10.

La maison complète est la moitié gauche plus son jumeau miroir : un mur deux fois plus large que le demi-mur, sous un toit triangulaire complet. Chaque longueur à droite égale son partenaire à gauche — la symétrie copie exactement les longueurs.

Exercice 27.11 ★★

Aya affirme : « tout triangle avec deux côtés égaux a un axe de symétrie, et tout triangle avec un axe de symétrie a deux côtés égaux. » Tester sa double affirmation sur des dessins : un triangle isocèle, un équilatéral, un scalène. Le pliage la soutient-il ?

Solution

Solution de Exercice 27.11.

Les dessins soutiennent les deux sens : le triangle isocèle se plie le long de la droite passant par son sommet (deux côtés égaux $\to$ axe) ; l’équilatéral se plie de trois façons ; le scalène n’a pas d’axe (pas de côtés égaux $\to$ pas d’axe). La double affirmation d’Aya est juste — elle sera prouvée dans Chapitre 42.