57Calcul littéral et équations

Solution de Problème 57.1.

1. Double distributivité (Théorème 57.1) avec $c = a$, $d = b$ :

puisque $ab$ et $ba$ sont le même produit.

2. Même développement, en surveillant les signes :

cette fois les termes croisés $-ab$ et $+ba$ se compensent au lieu de doubler.

3. Le carré de côté $a + b$ se découpe en quatre morceaux : un carré $a \times a$ (le $a^2$), un carré $b \times b$ (le $b^2$), et deux rectangles $a \times b$ (ensemble, le $2ab$). L’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ énonce que les quatre aires remplissent le grand carré — c’est le dessin de la double distributivité, les deux côtés étant partagés de la même façon.

4. Avec les identités :

5. Pour $a = 3$, $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ alors que $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. La formule de Zoé oublie les deux rectangles $a \times b$ du dessin — les $2ab = 24$ manquants, et l’on a bien $25 + 24 = 49$.

6. $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $1 + 3 + 5 = 9$ ; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ ; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Les résultats sont les carrés parfaits $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

7. Les nombres impairs partent de $1$ et montent par pas de $2$ : le $n$-ième s’atteint après $n - 1$ pas de $2$ depuis $1$, il vaut donc $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Vérification : $n = 1, 2, 3$ donnent $1, 3, 5$.

8. Par la première identité,

la différence de deux carrés consécutifs est exactement le $(n+1)$-ième nombre impair (question 7 avec $n + 1$ à la place de $n$ : $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

9. Construisons les carrés l’un après l’autre. On part d’une seule case : $1 = 1^2$. Pour passer du carré de côté $1$ au carré de côté $2$, on ajoute $2 \times 1 + 1 = 3$ cases (question 8) : $1 + 3 = 2^2$. Pour passer au côté $3$, on ajoute $2 \times 2 + 1 = 5$ cases : $1 + 3 + 5 = 3^2$. Chaque nouveau nombre impair est exactement la couche en L qui complète le carré suivant : après avoir ajouté les $n$ premiers nombres impairs, le carré de côté $n$ est achevé, $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

10. Les nombres impairs de $1$ à $99$ sont les $50$ premiers ($2n - 1 = 99$ donne $n = 50$), donc

Et $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$ : les vingt premiers nombres impairs (de $1$ à $39$) totalisent $400$.

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$ : la première identité avec $a = x$, $b = 3$. L’équation s’écrit donc $(x + 3)^2 = 0$. Or un carré n’est nul que si le nombre lui-même est nul (Théorème 54.1 : un nombre non nul a une distance à zéro non nulle, donc son carré aussi). D’où $x + 3 = 0$ : l’unique solution est $x = -3$.

12. D’après Théorème 54.1, la distance à zéro d’un produit est le produit des distances. Si les deux facteurs sont non nuls, les deux distances sont non nulles, donc la distance du produit l’est aussi : le produit ne peut pas valoir $0$. Un produit nul impose donc au moins un facteur nul. Pour $(x - 2)(x + 5) = 0$ : ou bien $x - 2 = 0$, ou bien $x + 5 = 0$, d’où les deux solutions $x = 2$ et $x = -5$.

13. $x^2 = 49$ devient $x^2 - 49 = 0$, et la troisième identité le factorise :

D’après la question 12, $x = 7$ ou $x = -7$ : deux solutions. Toutes les équations résolues jusqu’ici dans ce chapitre étaient du premier degré et avaient exactement une solution ; un carré dans l’équation peut en produire deux.

14. Ramenons tout dans le membre de gauche : $x^2 - 6x + 9 = 0$, et reconnaissons la deuxième identité : $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. L’équation est donc $(x - 3)^2 = 0$, ce qui impose $x - 3 = 0$ (comme à la question 11) : $x = 3$ est l’unique solution — la vérification de l’Exercice 57.3 l’avait trouvée, et la factorisation prouve qu’il n’y en a pas d’autre.

15. Par la troisième identité,

En général, $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$ : la différence de deux carrés consécutifs est la somme des deux nombres — le même $2n + 1$ qu’à la question 8, obtenu cette fois par la troisième identité plutôt que par la première.