Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

57Calcul littéral et équations

L’année 7 a introduit les lettres et réduit des expressions simples (Chapitre 48). Ce chapitre ajoute les deux compétences qui rendent l’algèbre puissante : développer des produits de parenthèses, et résoudre des équations — trouver le nombre caché derrière la lettre.

57.1 Développer

Théorème 57.1 (Distributivité simple et double)

Pour tous nombres :

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Démonstration. La première règle est Théorème 45.6 (signes inclus : $k$ et les termes peuvent être négatifs, Chapitre 54). Pour la seconde, appliquer la première règle deux fois, en traitant $(c + d)$ comme un seul nombre :

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere

∎

Exemple 57.2

Attention aux signes à chaque terme :

\begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(un moins devant inverse les deux signes)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*}

Double distributivité comme aires : le rectangle (a+b) × (c+d) se découpe en quatre rectangles plus petits — un par terme du développement. — Double distributivité comme aires : le rectangle $(a+b) \times (c+d)$ se découpe en quatre rectangles plus petits — un par terme du développement.

Méthode 57.3 (Développer et réduire)

Développer chaque produit, en écrivant chaque terme avec son signe ;
regrouper les termes semblables ( $x^2$ avec $x^2$ , $x$ avec $x$ , nombres avec nombres) ;
vérifier avec une valeur : substituer par ex. $x = 2$ dans l’original et dans le résultat — des résultats égaux attrapent la plupart des erreurs.

57.2 Résoudre des équations

Définition 57.4 (Équation)

Une équation est une égalité avec un nombre inconnu, noté $x$ (ou toute autre lettre). La résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ rendant l’égalité vraie — les solutions.

Théorème 57.5 (Règles de la balance)

Une équation conserve exactement les mêmes solutions lorsque :

le même nombre est ajouté à (ou soustrait de) les deux membres ;
les deux membres sont multipliés (ou divisés) par le même nombre non nul.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Une équation est une balance en équilibre : tout ce qui est fait à un plateau doit l’être à l’autre, et l’équilibre — l’égalité — survit.

Méthode 57.6 (Résoudre une équation du premier degré)

Développer et réduire chaque membre si besoin ;
ajouter ou soustraire des deux côtés pour rassembler les termes en $x$ d’un côté, les nombres purs de l’autre ;
réduire, puis diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ;
vérifier en substituant la valeur trouvée dans l’équation originale.

Exemple 57.7

Résoudre $7x - 5 = 4x + 16$ :

\begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(ajouter $5$, soustraire $4x$, des deux côtés)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(diviser les deux membres par 3).} \end{align*}

Vérification : membre de gauche $7 \times 7 - 5 = 44$ ; membre de droite $4 \times 7 + 16 = 44$ . La solution est $7$ .

Exemple 57.8 (Avec parenthèses et négatifs)

Résoudre $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ :

\begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(développer les deux membres)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(réduire)} \\ 5x &= 15 && \text{(ajouter $2x + 12$ des deux côtés)} \\ x &= 3 . \end{align*}

Vérification : $3(3 - 4) = -3$ et $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$ . Solution : $3$ .

Méthode 57.9 (Résoudre un problème par une équation)

Choisir l’inconnue : « soit $x$ … » (la quantité demandée, ou une quantité plus simple qui s’y rattache) ;
traduire l’histoire en une équation ;
la résoudre ;
interpréter : répondre à la question d’origine en une phrase, avec les unités, et vérifier la réponse face à l’histoire.

Exemple 57.10

Lucas a $4$ ans de plus que sa sœur ; ensemble leurs âges somment à $26$ . Soit $x$ l’âge de la sœur ; alors Lucas a $x + 4$ , et

x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 .

La sœur a $11$ ans, Lucas $15$ . Vérification : $11 + 15 = 26$ et $15 - 11 = 4$ .

57.3 Ordre et inégalités

Proposition 57.11 (Opérations et ordre)

Ajouter le même nombre aux deux membres d’une inégalité la conserve ; multiplier les deux membres par un nombre positif la conserve ; multiplier par un nombre négatif la renverse :

2 < 5 \ \text{ mais }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 57.12

Résoudre $5 - 2x \leq 11$ : soustraire $5$ des deux côtés, $-2x \leq 6$ ; diviser par $-2$ et renverser : $x \geq -3$ . Tous les nombres supérieurs ou égaux à $-3$ sont solutions — une équation a d’ordinaire une solution, une inégalité en a toute une demi-droite.

57.4 Exercices

Exercice 57.1 ★

Développer et réduire :

5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5).

Solution

Solution de Exercice 57.1.

$5(2x + 3) = 10x + 15$ .

$-3(4x - 1) = -12x + 3$ .

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$ .

Exercice 57.2 ★

Développer et réduire :

(x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6).

Solution

Solution de Exercice 57.2.

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$ .

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$ .

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$ .

Exercice 57.3 ★

$x = 3$ est-il solution de $4x - 5 = 7$ ? De $2x + 1 = x + 4$ ? De $x^2 = 6x - 9$ ? (Substituer et comparer les deux membres.)

Solution

Solution de Exercice 57.3.

$4 \times 3 - 5 = 7$ : oui. $2 \times 3 + 1 = 7$ et $3 + 4 = 7$ : oui. $3^2 = 9$ et $6 \times 3 - 9 = 9$ : oui — $x = 3$ résout les trois.

Exercice 57.4 ★

Résoudre, avec une vérification :

x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 .

Solution

Solution de Exercice 57.4.

$x + 9 = 4$ : $x = -5$ (vérification : $-5 + 9 = 4$ ).

$5x = -35$ : $x = -7$ .

$\frac x3 = 8$ : $x = 24$ .

$2x - 7 = 13$ : $2x = 20$ , $x = 10$ (vérification : $20 - 7 = 13$ ).

Exercice 57.5 ★

Résoudre :

6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 .

Solution

Solution de Exercice 57.5.

$6x + 5 = 2x + 25$ : $4x = 20$ , donc $x = 5$ .

$9 - 4x = x - 11$ : $20 = 5x$ , donc $x = 4$ .

$3(x + 2) = 2x + 11$ : $3x + 6 = 2x + 11$ , donc $x = 5$ .

Exercice 57.6 ★

Résoudre $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ , en développant d’abord, et vérifier la solution.

Solution

Solution de Exercice 57.6.

$8x - 12 = 5x + 30$ , donc $3x = 42$ et $x = 14$ . Vérification : $4(28 - 3) = 100$ et $5(14 + 6) = 100$ .

Exercice 57.7 ★

Traduire et résoudre : « le triple d’un nombre, diminué de $8$ , vaut $19$ » ; « le double d’un nombre augmenté de $5$ égale le nombre augmenté de $12$ ».

Solution

Solution de Exercice 57.7.

« $3x - 8 = 19$ » : $3x = 27$ , $x = 9$ .

« $2x + 5 = x + 12$ » : $x = 7$ .

Exercice 57.8 ★★

La longueur d’un rectangle dépasse de $5$ cm sa largeur, et son périmètre est $58$ cm. Soit $x$ la largeur : écrire une équation, la résoudre et donner les deux dimensions.

Solution

Solution de Exercice 57.8.

Largeur $x$ , longueur $x + 5$ ; périmètre $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$ , donc $4x = 48$ et $x = 12$ : largeur $12$ cm, longueur $17$ cm (vérification : $2 \times (12 + 17) = 58$ ).

Exercice 57.9 ★★

Trois nombres entiers consécutifs ont pour somme $141$ . Appeler le milieu $n$ et trouver les trois.

Solution

Solution de Exercice 57.9.

Les nombres sont $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ avec somme $3n = 141$ , donc $n = 47$ : les nombres sont $46$ , $47$ , $48$ .

Exercice 57.10 ★★

Résoudre les inégalités et décrire les solutions :

3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 .

Solution

Solution de Exercice 57.10.

$3x + 4 > 19$ : $3x > 15$ , donc $x > 5$ .

$7 - 2x \geq 1$ : $-2x \geq -6$ , diviser par $-2$ renverse : $x \leq 3$ .

$5(x-1) < 2x + 7$ : $5x - 5 < 2x + 7$ , donc $3x < 12$ et $x < 4$ .

Exercice 57.11 ★★

Mia a $140$ euros d’économies et ajoute $15$ euros chaque mois ; Tom a $200$ euros et ajoute $10$ euros chaque mois. Après combien de mois Mia aura-t-elle strictement plus que Tom ? (Mettre en place une inégalité.)

Solution

Solution de Exercice 57.11.

Après $n$ mois, Mia a $140 + 15n$ et Tom $200 + 10n$ . Mia mène lorsque

140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 :

à partir du $13$ ^e mois.

Exercice 57.12 ★★★

Résoudre l’équation $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ . (Multiplier les deux membres par $20$ , le dénominateur commun, puis procéder comme d’habitude ; vérifier la solution dans l’équation originale.)

Solution

Solution de Exercice 57.12.

Multiplier les deux membres par $20$ :

5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}.

Vérification : $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$ , et $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$ . Égaux : la solution est $\frac{19}{3}$ .