Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

18Figures et angles droits

Carrés, rectangles, triangles, cercles : les figures sont de vieilles amies. Ce chapitre les regarde avec l’œil du géomètre — qu’est-ce qui fait exactement d’un carré un carré ? — et présente l’outil qui décide : l’équerre et son angle droit.

18.1 L’angle droit

Définition 18.1 (Angle droit)

Un angle droit est l’angle d’un coin de feuille de papier, ou de l’équerre. Deux droites qui forment un angle droit sont perpendiculaires. Dans les figures, un angle droit se marque par un petit carré dans le coin.

Méthode 18.2 (Vérifier un angle droit)

Placer le coin de l’équerre exactement sur le coin à tester ;
glisser un bord de l’équerre le long d’un côté de l’angle ;
si l’autre côté de l’angle suit exactement l’autre bord, l’angle est droit — s’il s’ouvre plus large ou plus étroit, ce n’est pas un angle droit.

Seul le premier angle est droit — et seuls le petit carré de marque, ou l’équerre, peuvent le certifier : l’œil seul se trompe facilement.

18.2 Les figures et leurs règles

Définition 18.3 (Carré, rectangle, triangle)

Un rectangle a $4$ côtés et $4$ angles droits ; ses côtés opposés ont la même longueur.
Un carré est un rectangle dont les $4$ côtés ont tous la même longueur.
Un triangle a $3$ côtés ; un triangle rectangle a un angle droit.
Un cercle se trace au compas : tous ses points sont à la même distance (le rayon) du centre.

La galerie des figures, avec leurs marques : petits carrés pour les angles droits, petits traits pour les côtés égaux.

Exemple 18.4 (Pourquoi les marques comptent)

Une figure un peu penchée peut ressembler à un carré sans l’être. Les marques disent la vérité : $4$ petits carrés d’angle droit $+$ $4$ traits d’égalité $=$ un vrai carré. Quand on dessine, mettre les marques ; quand on lit une figure, ne se fier qu’aux marques et aux mesures données.

18.3 Dessiner sur du papier quadrillé

Méthode 18.5 (Constructions sur un quadrillage)

Le papier quadrillé offre des angles droits gratuits : ses lignes sont perpendiculaires.

Pour dessiner un rectangle $5$ sur $3$ : choisir un croisement, compter $5$ cases à droite, $3$ cases vers le haut, et fermer la figure le long des lignes du quadrillage ;
pour vérifier des longueurs égales, compter les cases ;
les pas en diagonale font des lignes penchées : aller « $1$ à droite, $1$ en haut » répétément trace une ligne à $45^\circ$ .

Deux constructions sur le quadrillage : les lignes du quadrillage garantissent les angles droits.

Exemple 18.6 (Un programme de construction)

Une figure peut se décrire par des instructions : « 1. Dessiner un carré $ABCD$ de côté $4$ cm. 2. Dessiner le cercle de centre $A$ passant par $B$ . » En suivant un programme ligne par ligne, n’importe qui peut redessiner la même figure — et en écrire un force à nommer chaque point. Essaie avec un camarade : l’un écrit, l’autre dessine.

18.4 Exercices

Exercice 18.1 ★

Dans la classe, trouve (sans mesurer) trois angles droits et un angle qui n’est pas droit. Comment peux-tu vérifier chacun ?

Solution

Solution de Exercice 18.1.

Angles droits typiques : les coins du tableau, d’une feuille de papier, de la porte. Un angle non droit : l’ouverture d’une paire de ciseaux, les aiguilles de l’horloge à $1$ heure. Chacun se vérifie à l’équerre (Méthode 18.2) — jamais à l’œil seul.

Exercice 18.2 ★

Dessine un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm à la règle et à l’équerre. Marque ses angles droits et ses côtés égaux.

Solution

Solution de Exercice 18.2.

Construction : un côté de $6$ cm, angles droits aux deux extrémités avec l’équerre, côtés de $4$ cm, fermer la figure. Marques : $4$ petits carrés dans les coins, un trait sur chaque côté de $6$ cm, un double trait sur chaque côté de $4$ cm.

Exercice 18.3 ★

Dessine un carré de côté $5$ cm. Combien d’angles droits a-t-il ? Combien de côtés égaux ? Marque tout.

Solution

Solution de Exercice 18.3.

Un carré a $4$ angles droits et $4$ côtés égaux — tous marqués.

Exercice 18.4 ★

Sur du papier quadrillé, dessine : un carré $4 \times 4$ ; un rectangle $7 \times 2$ ; un triangle rectangle de côtés $3$ et $5$ cases.

Solution

Solution de Exercice 18.4.

Constructions sur quadrillage ; le quadrillage garantit les angles droits, et le comptage des cases garantit les longueurs.

Exercice 18.5 ★

Vrai ou faux ? Explique. « Tout carré est un rectangle. » « Tout rectangle est un carré. » « Un triangle peut avoir deux angles droits. » (Essaie d’en dessiner un !)

Solution

Solution de Exercice 18.5.

« Tout carré est un rectangle » : vrai — il a $4$ angles droits, c’est tout ce qu’un rectangle demande.

« Tout rectangle est un carré » : faux — un rectangle $6 \times 4$ a des côtés inégaux.

« Un triangle peut avoir deux angles droits » : faux — les deux côtés tirés des deux angles droits seraient perpendiculaires à la même base, donc ne se rencontreraient jamais pour fermer le triangle.

Exercice 18.6 ★

Dessine un cercle de rayon $4$ cm. Marque son centre $O$ , un point $A$ sur le cercle, et trace le rayon $[OA]$ . Quelle est la longueur de $OA$ ? Et si $B$ est un autre point du cercle, quelle est la longueur de $OB$ ?

Solution

Solution de Exercice 18.6.

$OA = 4$ cm (le rayon). $OB = 4$ cm aussi : tout point du cercle est à la même distance du centre.

Exercice 18.7 ★

Suis ce programme : « 1. Dessine un rectangle $ABCD$ avec $AB = 6$ cm et $BC = 3$ cm. 2. Marque le point $M$ au milieu de $[AB]$ . 3. Relie $M$ à $C$ et à $D$ . » En quelles figures le rectangle a-t-il été découpé ?

Solution

Solution de Exercice 18.7.

Le rectangle est découpé en trois triangles : deux triangles rectangles ( $AMD$ et $MBC$ , rectangles en $A$ et $B$ ) et le triangle du milieu $MCD$ .

Exercice 18.8 ★

Classe les figures : lesquelles ont au moins un angle droit ? Un carré ; un rectangle (non carré) ; un triangle rectangle ; un cercle ; la lettre L dessinée avec des traits épais.

Solution

Solution de Exercice 18.8.

Avec au moins un angle droit : le carré, le rectangle, le triangle rectangle, et la lettre L (ses coins intérieurs et extérieurs). Le cercle n’a aucun coin.

Exercice 18.9 ★★

Sur du papier quadrillé, dessine un carré penché dont les côtés vont « $2$ à droite, $1$ en haut » (et les tours correspondants). Compte les cases pour te convaincre que les quatre côtés ont la même longueur.

Solution

Solution de Exercice 18.9.

Chaque côté croise « $2$ à droite, $1$ en haut » (ou les versions tournées « $1$ à droite, $2$ en bas », etc.) : chaque côté est la diagonale d’un bloc $2 \times 1$ de cases, donc les quatre ont la même longueur.

Exercice 18.10 ★★

Écris un programme de construction (instructions numérotées, points nommés) pour : un carré de côté $3$ cm posé sur un rectangle $3$ cm $\times$ $2$ cm, comme une maison sur son rez-de- chaussée. Teste ton programme sur un camarade.

Solution

Solution de Exercice 18.10.

Un programme correct : « 1. Dessiner un rectangle $ABCD$ avec $AB = 3$ cm (bas) et $BC = 2$ cm. 2. Sur le côté $[DC]$ , dessiner le carré $DCEF$ de côté $3$ cm, à l’extérieur du rectangle. » Tout programme clair, numéroté et complet est correct — le tester en le suivant mot à mot.

Exercice 18.11 ★★

Combien de carrés peux-tu trouver dans une grille $3 \times 3$ de petits carrés ? (Compte les $1 \times 1$ , les $2 \times 2$ et les $3 \times 3$ .)

Solution

Solution de Exercice 18.11.

Carrés $1 \times 1$ : $9$ . Carrés $2 \times 2$ : $4$ . $3 \times 3$ : $1$ . Total : $9 + 4 + 1 = 14$ carrés.