Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

40Droites, cercles et angles

La géométrie commence avec une règle, une équerre et un compas. Ce chapitre fixe le vocabulaire — points, segments, demi-droites, droites, cercles —, introduit les deux positions spéciales des droites (parallèles et perpendiculaires), et enseigne à mesurer et tracer des angles.

40.1 Points, segments, droites

Définition 40.1 (Objets de base)

Par deux points distincts $A$ et $B$ passent :

le segment $[AB]$ : la partie de la droite entre $A$ et $B$ (il a une longueur, notée $AB$ ) ;
la demi-droite $[AB)$ : part de $A$ , passe par $B$ et continue indéfiniment ;
la droite $(AB)$ : s’étend indéfiniment des deux côtés. Deux points déterminent exactement une droite.

Des points sur la même droite sont dits alignés.

Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : [ s’arrête, ( continue. — Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : $[$ s’arrête, $($ continue.

40.2 Droites parallèles et perpendiculaires

Définition 40.2 (Perpendiculaires, parallèles)

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se croisent à angle droit ; on écrit $d_1 \perp d_2$ et on marque l’angle droit d’un petit carré. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se rencontrent jamais, aussi loin qu’on les prolonge ; on écrit $d_1 \parallel d_2$ .

Un croisement à angle droit (marqué du petit carré) et deux parallèles : même direction, pas de point de croisement.

Proposition 40.3 (Deux faits utiles)

Si deux droites sont toutes deux perpendiculaires à une troisième, elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 40.4 (Tracer avec l’équerre)

Pour tracer la perpendiculaire à une droite $d$ passant par un point $P$ :

placer un côté de l’angle droit de l’équerre le long de $d$ ;
glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que l’autre côté atteigne $P$ ;
tracer la droite le long de ce côté, et marquer l’angle droit.

Pour une parallèle par $P$ : tracer une perpendiculaire à $d$ , puis la perpendiculaire à cette droite par $P$ (Proposition 40.3).

40.3 Cercles

Définition 40.5 (Cercle)

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble de tous les points situés à distance exactement $r$ de $O$ . Un segment du centre au cercle est un rayon ; un segment joignant deux points du cercle en passant par le centre est un diamètre — sa longueur est $2r$ ; un segment joignant deux points du cercle est une corde.

Un cercle avec un rayon [OM], un diamètre [AB] (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le rayon) et une corde [CD]. — Un cercle avec un rayon $[OM]$ , un diamètre $[AB]$ (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le rayon) et une corde $[CD]$ .

Exemple 40.6

« Tracer le cercle de centre $O$ passant par $A$ » : ouvrir le compas de $O$ à $A$ — le rayon est la distance $OA$ — et tourner. Tout point de ce cercle est à la même distance de $O$ que $A$ .

40.4 Angles

Définition 40.7 (Angle)

Deux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ de même origine $A$ forment l’angle $\widehat{BAC}$ ; le point $A$ est son sommet (toujours la lettre du milieu !). Les angles se mesurent en degrés ( $^\circ$ ), de $0^\circ$ à $360^\circ$ pour un tour complet. Un angle est :

droit s’il mesure $90^\circ$ ;
aigu s’il mesure moins de $90^\circ$ ;
obtus s’il mesure entre $90^\circ$ et $180^\circ$ ;
plat s’il mesure $180^\circ$ (les deux demi-droites forment une droite).

Les quatre familles d’angles. L’angle droit (90) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand. — Les quatre familles d’angles. L’angle droit ( $90^\circ$ ) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand.

Méthode 40.8 (Mesurer un angle avec un rapporteur)

Placer le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l’angle ;
aligner sa ligne $0^\circ$ avec un côté de l’angle ;
lire la graduation croisée par l’autre côté — en utilisant l’échelle qui commence à $0$ du côté aligné ;
vérifier à l’œil : un angle aigu doit lire moins de $90^\circ$ , un obtus plus.

Exemple 40.9

Avant de mesurer, estimer ! Un angle un peu plus ouvert que le coin d’une feuille de papier est un peu plus de $90^\circ$ ; la moitié d’un angle droit est $45^\circ$ ; le tiers d’un angle droit est $30^\circ$ . Si le rapporteur dit $150^\circ$ pour un angle qui semble aigu, on a lu la mauvaise échelle : la mesure correcte est $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Exercices

Exercice 40.1 ★

Tracer trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés. Tracer en couleurs différentes : le segment $[AB]$ , la demi-droite $[CA)$ , la droite $(BC)$ .

Solution

Solution de Exercice 40.1.

Construction libre. Le segment s’arrête en $A$ et $B$ ; la demi-droite part de $C$ et continue au-delà de $A$ ; la droite continue des deux côtés de $B$ et $C$ .

Exercice 40.2 ★

Vrai ou faux ? « $[AB]$ et $[BA]$ sont le même segment. » « $[AB)$ et $[BA)$ sont la même demi-droite. » « $(AB)$ et $(BA)$ sont la même droite. » Expliquer chaque réponse.

Solution

Solution de Exercice 40.2.

« $[AB] = [BA]$ » : vrai — la partie entre les deux points ne dépend pas de l’ordre.

« $[AB) = [BA)$ » : faux — $[AB)$ part de $A$ , $[BA)$ part de $B$ ; elles pointent dans des directions opposées.

« $(AB) = (BA)$ » : vrai — les deux noms décrivent la même droite illimitée.

Exercice 40.3 ★

Tracer une droite $d$ et un point $P$ hors de $d$ . Construire avec l’équerre : la perpendiculaire à $d$ par $P$ , puis la parallèle à $d$ par $P$ . Décrire les étapes.

Solution

Solution de Exercice 40.3.

Étapes : glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que son côté perpendiculaire passe par $P$ ; tracer cette perpendiculaire, l’appeler $p$ . Puis tracer la perpendiculaire à $p$ passant par $P$ de la même façon : par Proposition 40.3, elle est parallèle à $d$ .

Exercice 40.4 ★

Les droites $a$ et $b$ sont toutes deux perpendiculaires à une droite $c$ , et une quatrième droite $e$ est perpendiculaire à $a$ . Que peut-on dire de $a$ et $b$ ? De $e$ et $c$ ? Justifier avec Proposition 40.3.

Solution

Solution de Exercice 40.4.

$a$ et $b$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $c$ , donc $a \parallel b$ (fait 1). Pour $e$ et $c$ : toutes deux sont perpendiculaires à la même droite $a$ (on nous dit $e \perp a$ , et $a \perp c$ signifie aussi $c \perp a$ ), donc le fait 1 s’applique encore : $e \parallel c$ .

Exercice 40.5 ★

Tracer un cercle de centre $O$ de rayon $3$ cm. Placer un point $M$ sur le cercle, un point $N$ à l’intérieur, un point $P$ à l’extérieur. Que peut-on dire des distances $OM$ , $ON$ , $OP$ par rapport à $3$ cm ?

Solution

Solution de Exercice 40.5.

$OM = 3$ cm exactement ( $M$ est sur le cercle) ; $ON < 3$ cm ( $N$ à l’intérieur) ; $OP > 3$ cm ( $P$ à l’extérieur).

Exercice 40.6 ★

Un cercle a un diamètre de $9$ cm. Quel est son rayon ? Un autre a un rayon de $2.6$ cm : quel est son diamètre ?

Solution

Solution de Exercice 40.6.

Rayon $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diamètre $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Exercice 40.7 ★

Nommer l’angle marqué en trois lettres, puis le classer (aigu, droit, obtus, plat) : un angle de $72^\circ$ au sommet $R$ entre les demi-droites vers $S$ et $T$ ; un angle de $148^\circ$ au sommet $B$ entre les demi-droites vers $A$ et $C$ ; un angle de $90^\circ$ au sommet $O$ entre les demi-droites vers $M$ et $N$ .

Solution

Solution de Exercice 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : aigu. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtus. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : droit. (Le sommet est toujours la lettre du milieu.)

Exercice 40.8 ★

Estimer, puis mesurer au rapporteur, les trois angles d’un triangle dessiné soi-même. Additionner les trois mesures : que trouve-t-on ? (Garder sa réponse pour Chapitre 51.)

Solution

Solution de Exercice 40.8.

Les mesures dépendent du triangle dessiné, mais la somme des trois angles est toujours (très proche de) $180^\circ$ — les petites différences viennent de l’imprécision de mesure. Chapitre 51 prouve que la somme est exactement $180^\circ$ .

Exercice 40.9 ★

Tracer un angle $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ au rapporteur, puis un angle de $130^\circ$ . Comment obtenir le second à partir du premier sans le rapporteur ?

Solution

Solution de Exercice 40.9.

Construction libre. Pour obtenir $130^\circ$ à partir de $65^\circ$ sans le rapporteur : copier l’angle de $65^\circ$ deux fois côte à côte ( $65 + 65 = 130$ ), par exemple au papier calque ou par report d’angle à la règle et au compas.

Exercice 40.10 ★★

Deux villages $A$ et $B$ sont dessinés sur une carte. Où sont les points situés à $3$ cm de $A$ et à $2$ cm de $B$ ? Dessiner une figure montrant combien de tels points il peut y avoir ( $0$ , $1$ ou $2$ selon la distance $AB$ ).

Solution

Solution de Exercice 40.10.

Les points à $3$ cm de $A$ forment le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm ; ceux à $2$ cm de $B$ forment le cercle de centre $B$ et de rayon $2$ cm. Les points cherchés sont les intersections des deux cercles : deux points si les cercles se croisent ( $AB$ strictement entre $1$ et $5$ cm), un s’ils se touchent ( $AB = 5$ cm ou $AB = 1$ cm), aucun s’ils sont trop éloignés ou l’un à l’intérieur de l’autre.

Exercice 40.11 ★★

Une horloge indique 3 heures : quel est l’angle entre les deux aiguilles ? Même question à 5 heures, et à 6 heures. (Un tour complet est $360^\circ$ pour $12$ heures.)

Solution

Solution de Exercice 40.11.

Les $12$ marques d’heures partagent le tour complet en $12$ angles de $360 \div 12 = 30^\circ$ . À 3 heures, les aiguilles couvrent $3$ marques : $90^\circ$ (un angle droit). À 5 heures : $5 \times 30 = 150^\circ$ . À 6 heures : $180^\circ$ (un angle plat).

Exercice 40.12 ★★★

Tracer un segment $[AB]$ de $6$ cm. Construire le point $C$ tel que $AC = BC = 6$ cm, en n’utilisant que le compas, et mesurer l’angle $\widehat{CAB}$ . Quel triangle a-t-on construit, et que conjecture-t-on sur ses angles ?

Solution

Solution de Exercice 40.12.

Tracer deux arcs de rayon $6$ cm centrés en $A$ et en $B$ ; leur point de croisement est $C$ . Les trois côtés mesurent $6$ cm : le triangle est équilatéral, et chaque angle mesure $60^\circ$ (la mesure le confirme). Conjecture : un triangle équilatéral a trois angles égaux de $60^\circ$ .