Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

40Droites, cercles et angles

La géométrie commence avec une règle, une équerre et un compas. Ce chapitre fixe le vocabulaire — points, segments, demi-droites, droites, cercles —, introduit les deux positions spéciales des droites (parallèles et perpendiculaires), et enseigne à mesurer et tracer des angles.

40.1 Points, segments, droites

Définition 40.1 (Objets de base)

Par deux points distincts $A$ et $B$ passent :

le segment $[AB]$ : la partie de la droite entre $A$ et $B$ (il a une longueur, notée $AB$ ) ;
la demi-droite $[AB)$ : part de $A$ , passe par $B$ et continue indéfiniment ;
la droite $(AB)$ : s’étend indéfiniment des deux côtés. Deux points déterminent exactement une droite.

Des points sur la même droite sont dits alignés.

Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : [ s’arrête, ( continue. — Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : $[$ s’arrête, $($ continue.

40.2 Droites parallèles et perpendiculaires

Définition 40.2 (Perpendiculaires, parallèles)

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se croisent à angle droit ; on écrit $d_1 \perp d_2$ et on marque l’angle droit d’un petit carré. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se rencontrent jamais, aussi loin qu’on les prolonge ; on écrit $d_1 \parallel d_2$ .

Un croisement à angle droit (marqué du petit carré) et deux parallèles : même direction, pas de point de croisement.

Proposition 40.3 (Deux faits utiles)

Si deux droites sont toutes deux perpendiculaires à une troisième, elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 40.4 (Tracer avec l’équerre)

Pour tracer la perpendiculaire à une droite $d$ passant par un point $P$ :

placer un côté de l’angle droit de l’équerre le long de $d$ ;
glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que l’autre côté atteigne $P$ ;
tracer la droite le long de ce côté, et marquer l’angle droit.

Pour une parallèle par $P$ : tracer une perpendiculaire à $d$ , puis la perpendiculaire à cette droite par $P$ (Proposition 40.3).

40.3 Cercles

Définition 40.5 (Cercle)

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble de tous les points situés à distance exactement $r$ de $O$ . Un segment du centre au cercle est un rayon ; un segment joignant deux points du cercle en passant par le centre est un diamètre — sa longueur est $2r$ ; un segment joignant deux points du cercle est une corde.

Un cercle avec un rayon [OM], un diamètre [AB] (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le rayon) et une corde [CD]. — Un cercle avec un rayon $[OM]$ , un diamètre $[AB]$ (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le rayon) et une corde $[CD]$ .

Exemple 40.6

« Tracer le cercle de centre $O$ passant par $A$ » : ouvrir le compas de $O$ à $A$ — le rayon est la distance $OA$ — et tourner. Tout point de ce cercle est à la même distance de $O$ que $A$ .

40.4 Angles

Définition 40.7 (Angle)

Deux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ de même origine $A$ forment l’angle $\widehat{BAC}$ ; le point $A$ est son sommet (toujours la lettre du milieu !). Les angles se mesurent en degrés ( $^\circ$ ), de $0^\circ$ à $360^\circ$ pour un tour complet. Un angle est :

droit s’il mesure $90^\circ$ ;
aigu s’il mesure moins de $90^\circ$ ;
obtus s’il mesure entre $90^\circ$ et $180^\circ$ ;
plat s’il mesure $180^\circ$ (les deux demi-droites forment une droite).

Les quatre familles d’angles. L’angle droit (90) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand. — Les quatre familles d’angles. L’angle droit ( $90^\circ$ ) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand.

Méthode 40.8 (Mesurer un angle avec un rapporteur)

Placer le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l’angle ;
aligner sa ligne $0^\circ$ avec un côté de l’angle ;
lire la graduation croisée par l’autre côté — en utilisant l’échelle qui commence à $0$ du côté aligné ;
vérifier à l’œil : un angle aigu doit lire moins de $90^\circ$ , un obtus plus.

Exemple 40.9

Avant de mesurer, estimer ! Un angle un peu plus ouvert que le coin d’une feuille de papier est un peu plus de $90^\circ$ ; la moitié d’un angle droit est $45^\circ$ ; le tiers d’un angle droit est $30^\circ$ . Si le rapporteur dit $150^\circ$ pour un angle qui semble aigu, on a lu la mauvaise échelle : la mesure correcte est $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Exercices

Exercice 40.1 ★

Tracer trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés. Tracer en couleurs différentes : le segment $[AB]$ , la demi-droite $[CA)$ , la droite $(BC)$ .

Solution

Solution de Exercice 40.1.

Construction libre. Le segment s’arrête en $A$ et $B$ ; la demi-droite part de $C$ et continue au-delà de $A$ ; la droite continue des deux côtés de $B$ et $C$ .

Exercice 40.2 ★

Vrai ou faux ? « $[AB]$ et $[BA]$ sont le même segment. » « $[AB)$ et $[BA)$ sont la même demi-droite. » « $(AB)$ et $(BA)$ sont la même droite. » Expliquer chaque réponse.

Solution

Solution de Exercice 40.2.

« $[AB] = [BA]$ » : vrai — la partie entre les deux points ne dépend pas de l’ordre.

« $[AB) = [BA)$ » : faux — $[AB)$ part de $A$ , $[BA)$ part de $B$ ; elles pointent dans des directions opposées.

« $(AB) = (BA)$ » : vrai — les deux noms décrivent la même droite illimitée.

Exercice 40.3 ★

Tracer une droite $d$ et un point $P$ hors de $d$ . Construire avec l’équerre : la perpendiculaire à $d$ par $P$ , puis la parallèle à $d$ par $P$ . Décrire les étapes.

Solution

Solution de Exercice 40.3.

Étapes : glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que son côté perpendiculaire passe par $P$ ; tracer cette perpendiculaire, l’appeler $p$ . Puis tracer la perpendiculaire à $p$ passant par $P$ de la même façon : par Proposition 40.3, elle est parallèle à $d$ .

Exercice 40.4 ★

Les droites $a$ et $b$ sont toutes deux perpendiculaires à une droite $c$ , et une quatrième droite $e$ est perpendiculaire à $a$ . Que peut-on dire de $a$ et $b$ ? De $e$ et $c$ ? Justifier avec Proposition 40.3.

Solution

Solution de Exercice 40.4.

$a$ et $b$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $c$ , donc $a \parallel b$ (fait 1). Pour $e$ et $c$ : toutes deux sont perpendiculaires à la même droite $a$ (on nous dit $e \perp a$ , et $a \perp c$ signifie aussi $c \perp a$ ), donc le fait 1 s’applique encore : $e \parallel c$ .

Exercice 40.5 ★

Tracer un cercle de centre $O$ de rayon $3$ cm. Placer un point $M$ sur le cercle, un point $N$ à l’intérieur, un point $P$ à l’extérieur. Que peut-on dire des distances $OM$ , $ON$ , $OP$ par rapport à $3$ cm ?

Solution

Solution de Exercice 40.5.

$OM = 3$ cm exactement ( $M$ est sur le cercle) ; $ON < 3$ cm ( $N$ à l’intérieur) ; $OP > 3$ cm ( $P$ à l’extérieur).

Exercice 40.6 ★

Un cercle a un diamètre de $9$ cm. Quel est son rayon ? Un autre a un rayon de $2.6$ cm : quel est son diamètre ?

Solution

Solution de Exercice 40.6.

Rayon $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diamètre $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Exercice 40.7 ★

Nommer l’angle marqué en trois lettres, puis le classer (aigu, droit, obtus, plat) : un angle de $72^\circ$ au sommet $R$ entre les demi-droites vers $S$ et $T$ ; un angle de $148^\circ$ au sommet $B$ entre les demi-droites vers $A$ et $C$ ; un angle de $90^\circ$ au sommet $O$ entre les demi-droites vers $M$ et $N$ .

Solution

Solution de Exercice 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : aigu. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtus. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : droit. (Le sommet est toujours la lettre du milieu.)

Exercice 40.8 ★

Estimer, puis mesurer au rapporteur, les trois angles d’un triangle dessiné soi-même. Additionner les trois mesures : que trouve-t-on ? (Garder sa réponse pour Chapitre 51.)

Solution

Solution de Exercice 40.8.

Les mesures dépendent du triangle dessiné, mais la somme des trois angles est toujours (très proche de) $180^\circ$ — les petites différences viennent de l’imprécision de mesure. Chapitre 51 prouve que la somme est exactement $180^\circ$ .

Exercice 40.9 ★

Tracer un angle $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ au rapporteur, puis un angle de $130^\circ$ . Comment obtenir le second à partir du premier sans le rapporteur ?

Solution

Solution de Exercice 40.9.

Construction libre. Pour obtenir $130^\circ$ à partir de $65^\circ$ sans le rapporteur : copier l’angle de $65^\circ$ deux fois côte à côte ( $65 + 65 = 130$ ), par exemple au papier calque ou par report d’angle à la règle et au compas.

Exercice 40.10 ★★

Deux villages $A$ et $B$ sont dessinés sur une carte. Où sont les points situés à $3$ cm de $A$ et à $2$ cm de $B$ ? Dessiner une figure montrant combien de tels points il peut y avoir ( $0$ , $1$ ou $2$ selon la distance $AB$ ).

Solution

Solution de Exercice 40.10.

Les points à $3$ cm de $A$ forment le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm ; ceux à $2$ cm de $B$ forment le cercle de centre $B$ et de rayon $2$ cm. Les points cherchés sont les intersections des deux cercles : deux points si les cercles se croisent ( $AB$ strictement entre $1$ et $5$ cm), un s’ils se touchent ( $AB = 5$ cm ou $AB = 1$ cm), aucun s’ils sont trop éloignés ou l’un à l’intérieur de l’autre.

Exercice 40.11 ★★

Une horloge indique 3 heures : quel est l’angle entre les deux aiguilles ? Même question à 5 heures, et à 6 heures. (Un tour complet est $360^\circ$ pour $12$ heures.)

Solution

Solution de Exercice 40.11.

Les $12$ marques d’heures partagent le tour complet en $12$ angles de $360 \div 12 = 30^\circ$ . À 3 heures, les aiguilles couvrent $3$ marques : $90^\circ$ (un angle droit). À 5 heures : $5 \times 30 = 150^\circ$ . À 6 heures : $180^\circ$ (un angle plat).

Exercice 40.12 ★★★

Tracer un segment $[AB]$ de $6$ cm. Construire le point $C$ tel que $AC = BC = 6$ cm, en n’utilisant que le compas, et mesurer l’angle $\widehat{CAB}$ . Quel triangle a-t-on construit, et que conjecture-t-on sur ses angles ?

Solution

Solution de Exercice 40.12.

Tracer deux arcs de rayon $6$ cm centrés en $A$ et en $B$ ; leur point de croisement est $C$ . Les trois côtés mesurent $6$ cm : le triangle est équilatéral, et chaque angle mesure $60^\circ$ (la mesure le confirme). Conjecture : un triangle équilatéral a trois angles égaux de $60^\circ$ .

40.6 Problème : la géométrie du cadran d’une horloge

Problème 40.1

Devoir maison — les angles comme fractions d’un tour : les lire sur une horloge, traquer les instants où les aiguilles se rejoignent, et découper une journée en camembert

Une horloge est un rapporteur qui donne l’heure : son cadran est un tour complet de $360^\circ$ , découpé par les douze repères des heures en douze angles égaux. Exercice 40.11 a mesuré l’écart des aiguilles à 3 h et à 6 h ; ce problème en construit la théorie complète — y compris les instants où aucune aiguille ne pointe vers un repère — répond à une question que peu d’adultes tranchent correctement (« combien de fois les deux aiguilles sont-elles exactement l’une sur l’autre ? »), et se termine en découpant une journée entière en diagramme circulaire.

Partie I — Des fractions de tour.

Un tour complet mesure $360^\circ$ . Combien de degrés font un demi-tour, un quart de tour, un douzième de tour ?
Les douze repères des heures découpent le cadran en douze angles égaux de sommet le centre. Combien de degrés séparent deux repères voisins ? Retrouver la réponse de l’Exercice 40.11 pour 3 h en comptant les repères.
Donner l’angle entre les aiguilles à 1 h, à 4 h et à 7 h. (À 7 h les aiguilles partagent le cadran en deux angles ; « l’angle entre les aiguilles » désigne toujours le plus petit des deux.)
La grande aiguille fait un tour complet en $60$ minutes. Combien de degrés balaie-t-elle par minute ?
La petite aiguille passe d’un repère au suivant — $30^\circ$ — en $60$ minutes. Combien de degrés balaie-t-elle par minute ? (Un nombre décimal, Chapitre 38.)

Partie II — Les instants où rien ne pointe vers un repère.

À 3 h 30, la grande aiguille pointe vers le $6$ . Où se trouve exactement la petite ? Calculer l’angle de chaque aiguille à partir du $12$ (en mesurant dans le sens des aiguilles d’une montre), et en déduire l’angle entre les aiguilles.
À 6 h 30, beaucoup de gens croient que les aiguilles sont l’une sur l’autre. Deviner d’abord, puis calculer l’angle comme à la question 6. Qui avait raison ?
Calculer l’angle entre les aiguilles à 9 h 15.
Expliquer pourquoi, quelque part entre 1 h 00 et 1 h 10, les deux aiguilles sont forcément exactement l’une sur l’autre : où est la grande aiguille par rapport à la petite à 1 h 00, et où à 1 h 10 ? Laquelle va le plus vite, et pourquoi cela règle-t-il la question ?
En douze heures, combien de fois les deux aiguilles sont-elles exactement l’une sur l’autre ? (Il y a une rencontre dans chaque intervalle entre deux heures successives — à une exception près : que se passe-t-il entre 11 h et 12 h ? Dresser la liste des heures approximatives de rencontre, puis compter.) Et sur une journée entière ?

Partie III — Les angles autour d’un point : les diagrammes circulaires.

Les douze secteurs du cadran remplissent ensemble le cadran : leurs angles totalisent $360^\circ$ . Expliquer pourquoi c’est vrai pour n’importe quelle collection d’angles de même sommet qui remplissent un tour complet autour de ce sommet, sans chevauchement ni trou.
Zoé note l’emploi du temps de sa journée de $24$ heures : sommeil $9$ h, école $6$ h, jeu $3$ h, repas $2$ h, tout le reste $4$ h. Elle veut un diagramme circulaire : un disque où chaque activité reçoit un secteur, avec des angles proportionnels aux durées. Quelle fraction de la journée représente chaque activité, et combien de degrés reçoit son secteur ? Vérifier que les cinq angles totalisent $360^\circ$ .
Décrire, étape par étape, comment tracer le diagramme de Zoé au compas et au rapporteur (Méthode 40.8) : où placer le premier rayon, et comment chaque nouveau secteur démarre là où le précédent s’achève.
Dans un autre diagramme circulaire d’une journée, un secteur mesure exactement $90^\circ$ . Quelle fraction du disque cela représente-t-il, et combien d’heures ?
Le bouquet final, retour à l’horloge : en $24$ heures, combien de tours complets fait la petite aiguille ? La grande aiguille ? La trotteuse ? (L’une de ces réponses dépasse le millier.)

Solution

Solution de Problème 40.1.

1. Un demi-tour : $360 \div 2 = 180^\circ$ . Un quart : $360 \div 4 = 90^\circ$ . Un douzième : $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Douze angles égaux remplissant $360^\circ$ : $30^\circ$ entre deux repères voisins. À 3 h les aiguilles enjambent $3$ repères : $3 \times 30 = 90^\circ$ — un angle droit, comme trouvé en Exercice 40.11.

3. À 1 h : $1 \times 30 = 30^\circ$ . À 4 h : $4 \times 30 = 120^\circ$ . À 7 h les aiguilles enjambent $7$ repères d’un côté, $7 \times 30 = 210^\circ$ : l’angle entre les aiguilles est donc celui de l’autre côté, $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ en $60$ minutes : $360 \div 60 = 6^\circ$ par minute.

5. $30^\circ$ en $60$ minutes : $30 \div 60 = 0.5^\circ$ par minute — un demi-degré. La petite aiguille rampe, la grande avance à grandes enjambées.

6. Depuis 3 h 00, en $30$ minutes, la petite aiguille a avancé de $30 \times 0.5 = 15^\circ$ au-delà du $3$ : elle se trouve exactement à mi-chemin entre le $3$ et le $4$ , à $90 + 15 = 105^\circ$ du $12$ . La grande aiguille pointe vers le $6$ : $180^\circ$ . Angle entre les aiguilles : $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. Le calcul l’emporte sur l’intuition : la grande aiguille est à $180^\circ$ , mais la petite a quitté le $6$ — elle est à $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . L’angle entre les aiguilles vaut $195 - 180 = 15^\circ$ : c’est proche, mais elles ne sont pas l’une sur l’autre.

8. Grande aiguille sur le $3$ : $90^\circ$ . Petite aiguille : $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Différence : $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , donc l’angle entre les aiguilles vaut $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — presque un angle plat.

9. À 1 h 00 la grande aiguille ( $0^\circ$ ) est derrière la petite ( $30^\circ$ ). À 1 h 10 la grande ( $60^\circ$ ) est devant elle ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). La grande aiguille va plus vite ( $6^\circ$ par minute contre $0.5^\circ$ ) : entre 1 h 00 et 1 h 10 elle rattrape puis dépasse la petite — et à l’instant du dépassement, les deux aiguilles sont exactement l’une sur l’autre.

10. Ce rattrapage se reproduit encore et encore : les aiguilles se rejoignent à 12 h 00 exactement, puis vers 1 h 05, 2 h 11, 3 h 16, 4 h 22, 5 h 27, 6 h 33, 7 h 38, 8 h 44, 9 h 49 et 10 h 55. La rencontre que l’on attendrait entre 11 h et 12 h tombe exactement à 12 h 00, qui ouvre déjà le tour suivant — en douze heures les aiguilles coïncident donc $11$ fois, et non $12$ . Sur une journée entière : $22$ fois.

11. Des angles de même sommet, sans chevauchement ni trou, pavent le tour complet autour de ce sommet : en tournant une fois autour du point, on traverse chaque angle exactement une fois, et un tour complet vaut $360^\circ$ . Les mesures totalisent donc $360^\circ$ — quels que soient le nombre d’angles et leurs tailles.

12. Chaque heure de la journée vaut $360 \div 24 = 15^\circ$ . Donc :

\text{sommeil } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{école } 90^\circ, \quad \text{jeu } 45^\circ, \quad \text{repas } 30^\circ, \quad \text{reste } 60^\circ,

et $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : le disque est rempli, sans trou ni chevauchement (question 11).

13. Tracer un cercle au compas et un rayon (la ligne de départ). Poser le centre du rapporteur sur le centre du cercle, sa graduation $0^\circ$ sur ce rayon, et marquer $135^\circ$ ; tracer le nouveau rayon : le secteur du sommeil est fait. Poser ensuite la graduation $0^\circ$ sur ce rayon et marquer $90^\circ$ pour l’école, et ainsi de suite — chaque secteur démarre là où le précédent s’achève. Après le dernier secteur, le tracé se referme exactement sur le rayon de départ.

14. $90^\circ$ , c’est $\frac{90}{360} = \frac14$ du disque (Méthode 39.7) : cela représente donc un quart de la journée, soit $24 \div 4 = 6$ heures.

15. La petite aiguille fait un tour en $12$ heures : $2$ tours par jour. La grande aiguille, un tour par heure : $24$ tours. La trotteuse, un tour par minute : $24 \times 60 = 1\,440$ tours par jour.

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