Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

33Constructions géométriques

Règle, équerre, compas : avec ces trois outils et un peu de méthode, toute figure décrite en mots peut se construire exactement. Ce chapitre construit perpendiculaires, parallèles, triangles et les quadrilatères spéciaux — d’abord le métier, la théorie plus tard (Chapitres 40 et 41).

33.1 Perpendiculaires et parallèles passant par un point

Méthode 33.1 (Les deux constructions de base)

Perpendiculaire à $d$ passant par $A$ : glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que son autre côté de l’angle droit atteigne $A$ ; tracer ; marquer l’angle droit.

Parallèle à $d$ passant par $A$ : appuyer une règle contre l’équerre comme un rail posé le long de $d$ ; glisser l’équerre jusqu’à $A$ ; tracer. (Vérifier : l’écart entre les deux droites est le même partout.)

Exemple 33.2 (Enchaîner des constructions)

Beaucoup de figures sont des chaînes de ces deux gestes. Un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm : tracer $[AB]$ ; perpendiculaire en $A$ ; perpendiculaire en $B$ ; marquer $D$ et $C$ à $3$ cm du même côté ; joindre. Chaque étape est une construction de base.

33.2 Triangles au compas

Méthode 33.3 (Triangle à partir de trois côtés)

Pour construire un triangle de côtés $6$ cm, $5$ cm, $4$ cm :

tracer le plus long côté, $[AB]$ avec $AB = 6$ cm ;
arc de centre $A$ et de rayon $5$ cm ;
arc de centre $B$ et de rayon $4$ cm ;
leur croisement est le troisième sommet $C$ ; joindre.

Le compas garantit les longueurs : tout point du premier arc est exactement à $5$ cm de $A$ .

Deux arcs, un croisement : le triangle 6–5–4 construit au compas. (Si les deux petits côtés ensemble étaient plus courts que la base, les arcs ne se rencontreraient pas — plus sur ce point dans .) — Deux arcs, un croisement : le triangle $6$ – $5$ – $4$ construit au compas. (Si les deux petits côtés ensemble étaient plus courts que la base, les arcs ne se rencontreraient pas — plus sur ce point dans Chapitre 51.)

Exemple 33.4 (Isocèle et équilatéral gratuitement)

Même ouverture de compas pour les deux arcs $\Rightarrow$ triangle isocèle. Ouverture égale à la base $\Rightarrow$ équilatéral. Le compas ne mesure pas : il copie les longueurs, ce qui est encore mieux.

33.3 Les quadrilatères spéciaux, par construction

Méthode 33.5 (Construire la famille)

Rectangle : deux paires de parallèles se croisant à angle droit — ou la chaîne de Exemple 33.2 ;
carré : un rectangle dont les quatre côtés utilisent la même longueur — la reporter au compas ;
losange : quatre côtés égaux — tracer un côté, puis deux arcs de compas depuis ses extrémités avec la même ouverture fixent les deux autres sommets (un losange, c’est deux triangles isocèles collés le long d’une diagonale).

Après la construction, toujours vérifier avec les outils : équerre sur les coins, compas sur les côtés.

Exemple 33.6 (Reconnaître d’après une description)

« Un quadrilatère avec quatre côtés de $4$ cm et un angle droit » — le construire : les quatre côtés égaux forcent une forme de losange, et plaquer un coin à angle droit redresse tous les autres : le résultat est un carré. Certaines descriptions décrivent secrètement une forme plus spéciale qu’elles ne l’annoncent. (Pourquoi l’angle droit se propage aux quatre coins est expliqué dans Chapitre 52.)

33.4 Cercles dans les constructions

Exemple 33.7 (Le cercle comme outil)

« Trouver tous les points à $3$ cm de $A$ » : le cercle de centre $A$ , rayon $3$ cm. « Trouver tous les points à $3$ cm de $A$ et $4$ cm de $B$ » : tracer les deux cercles ; leurs croisements (deux, un ou zéro points) sont les réponses. Les cartes au trésor et les constructions de triangles utilisent exactement cette idée.

33.5 Exercices

Exercice 33.1 ★

Tracer une droite $d$ et un point $A$ à environ $3$ cm d’elle. Construire la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ , puis la parallèle à $d$ passant par $A$ . Marquer les angles droits.

Solution

Solution de Exercice 33.1.

Les deux constructions suivent Méthode 33.1 ; la perpendiculaire et la parallèle par $A$ sont elles-mêmes perpendiculaires l’une à l’autre.

Exercice 33.2 ★

Construire un rectangle $ABCD$ avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm, en suivant Exemple 33.2. Vérifier le quatrième angle avec l’équerre : si la construction est exacte, il est droit automatiquement.

Solution

Solution de Exercice 33.2.

Chaîne de perpendiculaires comme dans Exemple 33.2. Si les trois angles construits sont exactement droits et les longueurs exactes, le quatrième angle n’a d’autre choix que d’être droit aussi — un rectangle bien construit se vérifie tout seul.

Exercice 33.3 ★

Construire un triangle de côtés $7$ cm, $6$ cm et $3$ cm (Méthode 33.3).

Solution

Solution de Exercice 33.3.

Base $[AB]$ de $7$ cm ; arcs de rayons $6$ cm (depuis $A$ ) et $3$ cm (depuis $B$ ) ; le croisement est $C$ .

Exercice 33.4 ★

Construire un triangle isocèle de base $5$ cm et de côtés égaux $7$ cm ; puis un triangle équilatéral de côté $6$ cm.

Solution

Solution de Exercice 33.4.

Isocèle : base $5$ cm, les deux arcs avec la même ouverture de $7$ cm. Équilatéral : base $6$ cm, les deux arcs avec l’ouverture de $6$ cm.

Exercice 33.5 ★

Construire un carré de côté $5$ cm. Quels outils garantissent les angles droits ? Lesquels garantissent les côtés égaux ?

Solution

Solution de Exercice 33.5.

L’équerre garantit les angles droits ; le compas (ou la règle) reporte le côté de $5$ cm sur les quatre côtés.

Exercice 33.6 ★

Construire un losange de côté $4$ cm qui n’est pas un carré (choisir sa propre ouverture pour le premier coin). Vérifier les quatre côtés au compas.

Solution

Solution de Exercice 33.6.

Tracer un côté $[AB]$ de $4$ cm, choisir une direction pour $[AD]$ (pas perpendiculaire, pour éviter le carré), $AD = 4$ cm ; puis des arcs de $4$ cm depuis $B$ et depuis $D$ se croisent en $C$ . Le compas confirme les quatre côtés égaux.

Exercice 33.7 ★

Tracer deux points $A$ et $B$ avec $AB = 5$ cm. Construire tous les points situés à $4$ cm de $A$ et à $3$ cm de $B$ . Combien y en a-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 33.7.

Le cercle de centre $A$ , rayon $4$ cm, et le cercle de centre $B$ , rayon $3$ cm, se croisent en deux points (un au-dessus, un au-dessous de la droite $(AB)$ ), car $4 + 3 > 5$ et les cercles se chevauchent.

Exercice 33.8 ★

Écrire un programme de construction (étapes numérotées, points nommés) pour un rectangle $6$ cm $\times$ $2$ cm surmonté d’un triangle isocèle de côtés égaux $4$ cm (une forme de crayon). Faire exécuter le programme par un camarade.

Solution

Solution de Exercice 33.8.

Un programme correct : « 1. Tracer un rectangle $ABCD$ avec $AB = 6$ cm (bas) et $BC = 2$ cm. 2. Tracer deux arcs de rayon $4$ cm centrés en $D$ et en $C$ (les coins du haut) ; nommer $S$ leur croisement au-dessus du rectangle. 3. Tracer $[DS]$ et $[CS]$ . » (La pointe du crayon est le triangle isocèle $DSC$ .)

Exercice 33.9 ★★

Essayer de construire un triangle de côtés $8$ cm, $3$ cm et $4$ cm. Que se passe-t-il avec les arcs ? Expliquer en une phrase pourquoi ce triangle ne peut pas exister.

Solution

Solution de Exercice 33.9.

Les arcs de rayons $3$ cm et $4$ cm, tracés depuis les deux extrémités de la base de $8$ cm, ne se rencontrent jamais : même bout à bout, $3 + 4 = 7$ cm ne peut pas couvrir $8$ cm. Deux côtés ensemble doivent toujours être plus longs que le troisième — sinon le triangle ne peut pas se fermer.

Exercice 33.10 ★★

Construire un losange dont les diagonales mesurent $6$ cm et $4$ cm, sachant que les diagonales d’un losange se croisent en leur milieu à angle droit : tracer les diagonales d’abord, puis joindre leurs quatre extrémités.

Solution

Solution de Exercice 33.10.

Tracer un segment de $6$ cm et son milieu $O$ ; tracer la perpendiculaire en $O$ ; marquer dessus deux points à $2$ cm de $O$ (un de chaque côté) ; joindre les quatre extrémités dans l’ordre. Le compas confirme les quatre côtés égaux.

Exercice 33.11 ★★

Une chèvre est attachée à un piquet $A$ par une corde de $4$ m, dans un pré plat avec une clôture droite passant à $3$ m de $A$ . Dessiner un plan (1 cm par mètre) : quelle région la chèvre peut-elle atteindre ? Où la clôture la limite-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 33.11.

Sur le plan, la chèvre atteint le disque de centre $A$ et de rayon $4$ cm, coupé par la ligne de clôture à $3$ cm de $A$ : sa région est le disque moins la tranche au-delà de la clôture. Le long de la clôture, elle peut brouter sur un segment (où le cercle croise la ligne de clôture) ; au-delà, rien.