Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

53Aires et volumes

L’année 6 a mesuré rectangles, triangles rectangles et pavés (Chapitre 43). Avec une paire de ciseaux — couper un morceau ici, coller là — les mêmes idées donnent maintenant les aires des parallélogrammes, de tous les triangles et du disque, et les volumes des prismes et des cylindres.

53.1 Aire d’un parallélogramme

Théorème 53.1 (Parallélogramme)

Un parallélogramme de côté de longueur $b$ (sa base) et de distance $h$ entre ce côté et le côté opposé (sa hauteur) a pour aire

A = b \times h .

Preuve par les ciseaux. Couper le triangle rectangle qui dépasse d’un côté et le coller de l’autre : le parallélogramme devient un rectangle $b \times h$ de même aire. ∎

La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le parallélogramme en rectangle — même aire, b × h. — La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le parallélogramme en rectangle — même aire, $b \times h$ .

Remarque 53.2

La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases, et non la longueur du côté oblique ! Un parallélogramme très oblique peut avoir de longs côtés et une petite aire.

53.2 Aire d’un triangle

Théorème 53.3 (Triangle)

Un triangle de base $b$ et de hauteur correspondante $h$ (la distance perpendiculaire du sommet opposé à la droite-support de la base) a pour aire

A = \frac{b \times h}{2} .

Démonstration. Deux copies du triangle, l’une tournée d’un demi-tour autour du milieu d’un côté, s’assemblent en un parallélogramme de base $b$ et de hauteur $h$ (c’est la symétrie centrale à l’œuvre, Proposition 52.4). Le triangle en est la moitié : $\frac{bh}{2}$ . ∎

Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un parallélogramme : l’aire du triangle est b× h/2. N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec sa propre hauteur. — Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un parallélogramme : l’aire du triangle est $\frac{b\times h}{2}$ . N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec *sa propre* hauteur.

Exemple 53.4

Un triangle a une base de $9$ cm et la hauteur correspondante mesure $4$ cm :

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Pour un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et sa hauteur : on retrouve la formule de Proposition 43.6.

53.3 Aire d’un disque

Théorème 53.5 (Disque)

Un disque de rayon $r$ a pour aire

A = \pi r^2 .

Idée de preuve. Découper le disque en de nombreuses parts minces égales et les disposer tête-bêche : elles forment presque un parallélogramme de hauteur $r$ dont la base est la moitié de la circonférence, $\pi r$ (Proposition 43.3). Son aire est proche de $\pi r \times r = \pi r^2$ , et l’approximation devient parfaite lorsque les parts s’amincissent. Une preuve complète demande le calcul intégral, dans le volume de lycée. ∎

Trancher le disque et dérouler les parts : presque un parallélogramme de base π r (la moitié du bord) et de hauteur r. — Trancher le disque et dérouler les parts : presque un parallélogramme de base $\pi r$ (la moitié du bord) et de hauteur $r$ .

Exemple 53.6

Un plateau de table ronde a pour rayon $60$ cm. Son aire est $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , un peu plus de $1.1$ m $^2$ . Attention à la différence : le périmètre $2\pi r$ utilise $r$ , l’aire $\pi r^2$ utilise $r^2$ .

53.4 Prismes et cylindres

Définition 53.7 (Prisme, cylindre)

Un prisme est un solide à deux faces polygonales identiques et parallèles (les bases) jointes par des rectangles ; un cylindre est la même chose avec des disques pour bases. La hauteur est la distance entre les deux bases.

Théorème 53.8 (Volumes)

Pour un prisme ou un cylindre d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ :

V = B \times h .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 53.9

Une tente est un prisme couché sur le côté : ses bases sont des triangles de base $2$ m et de hauteur $1.5$ m, et la tente mesure $3$ m de long.

Aire de base : $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volume : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Une boîte de conserve de rayon $4$ cm et de hauteur $11$ cm : $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , à peu près un demi-litre.

53.5 Exercices

Exercice 53.1 ★

Calculer l’aire d’un parallélogramme de base $8$ cm et de hauteur $5$ cm ; d’un autre de base $6.5$ m et de hauteur $4$ m.

Solution

Solution de Exercice 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Exercice 53.2 ★

Un parallélogramme a des côtés de $10$ cm et $6$ cm, et la hauteur relative à la base de $10$ cm mesure $4$ cm. Calculer son aire. Pourquoi la réponse n’est-elle pas $60$ cm $^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . La réponse n’est pas $10 \times 6 = 60$ car le côté de $6$ cm est oblique : la formule utilise la hauteur (distance perpendiculaire), qui vaut $4$ cm.

Exercice 53.3 ★

Calculer l’aire d’un triangle de base $12$ cm et de hauteur $7$ cm ; d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $9$ et $6$ ; d’un triangle de base $5.5$ m et de hauteur $2$ m.

Solution

Solution de Exercice 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Exercice 53.4 ★

Calculer l’aire d’un disque de rayon $5$ cm, puis d’un demi-disque de rayon $10$ cm (valeurs exactes avec $\pi$ , puis arrondies à l’unité).

Solution

Solution de Exercice 53.4.

Disque : $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Demi-disque de rayon $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Exercice 53.5 ★

Calculer le périmètre et l’aire d’un disque de rayon $3$ cm. Laquelle des deux réponses est en cm et laquelle en cm $^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 53.5.

Périmètre : $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (une longueur, en cm). Aire : $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (une surface, en cm $^2$ ).

Exercice 53.6 ★

Calculer le volume d’un prisme d’aire de base $24$ cm $^2$ et de hauteur $10$ cm ; d’un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $8$ cm (exact, puis arrondi).

Solution

Solution de Exercice 53.6.

Prisme : $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Cylindre : $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Exercice 53.7 ★

Un triangle a pour aire $28$ cm $^2$ et pour base $8$ cm. Trouver la hauteur correspondante, en écrivant d’abord l’équation.

Solution

Solution de Exercice 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , donc $4h = 28$ et $h = 7$ cm.

Exercice 53.8 ★★

Tracer un triangle quelconque et mesurer soigneusement les trois paires base–hauteur. Calculer $\frac{b \times h}{2}$ pour chaque paire : les trois résultats devraient coïncider (à l’erreur de mesure près). Pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 53.8.

Les trois produits coïncident car chacun calcule la même quantité — l’aire du triangle. Cela donne un contrôle pratique des constructions, et un moyen de calculer une hauteur à partir d’une autre paire base–hauteur (utilisé en Exercice 53.12).

Exercice 53.9 ★★

Un jardin en forme de trapèze peut se découper, par une diagonale, en deux triangles partageant la même hauteur $h = 20$ m, de bases $30$ m et $18$ m. Calculer son aire totale. Peut-on deviner une formule générale pour le trapèze ?

Solution

Solution de Exercice 53.9.

Les deux triangles ont pour aires $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ et $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : total $480$ m $^2$ . Formule générale suggérée : pour des côtés parallèles $a$ et $b$ à distance $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— la formule du trapèze (ici $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Exercice 53.10 ★★

Un vase cylindrique de rayon $6$ cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de $15$ cm. Toute l’eau est versée dans une boîte vide de base $18$ cm $\times$ $12$ cm. Quelle hauteur d’eau atteint-on dans la boîte ? (Même volume, base différente.)

Solution

Solution de Exercice 53.10.

Volume d’eau : $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Base de la boîte : $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Hauteur atteinte : $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Exercice 53.11 ★★

Une pizza de diamètre $30$ cm coûte $9$ euros ; une de diamètre $40$ cm coûte $14$ euros. Calculer les deux aires et le prix pour $100$ cm $^2$ . Quelle pizza est la meilleure affaire ?

Solution

Solution de Exercice 53.11.

Rayons $15$ et $20$ cm. Aires : $225\pi \approx 707$ cm $^2$ et $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Prix pour $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euros et $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euros. La grande pizza est la meilleure affaire — les aires croissent avec le carré du diamètre.

Exercice 53.12 ★★★

Les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent $6$ cm et $8$ cm, et son hypoténuse mesure $10$ cm. Calculer son aire avec les côtés de l’angle droit, puis utiliser cette aire pour trouver la hauteur relative à l’hypoténuse.

Solution

Solution de Exercice 53.12.

Avec les côtés de l’angle droit : $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . Avec l’hypoténuse comme base : $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , donc $h = 4.8$ cm.