Mathematics · Livre 1 · Grades 1–9

Mathématiques du primaire et du collège

Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

53Aires et volumes

L’année 6 a mesuré rectangles, triangles rectangles et pavés (Chapitre 43). Avec une paire de ciseaux — couper un morceau ici, coller là — les mêmes idées donnent maintenant les aires des parallélogrammes, de tous les triangles et du disque, et les volumes des prismes et des cylindres.

53.1 Aire d’un parallélogramme

Théorème 53.1 (Parallélogramme)

Un parallélogramme de côté de longueur bb (sa base) et de distance hh entre ce côté et le côté opposé (sa hauteur) a pour aire

A=b×h.A = b \times h .

Preuve par les ciseaux. Couper le triangle rectangle qui dépasse d’un côté et le coller de l’autre : le parallélogramme devient un rectangle b×hb \times h de même aire. ∎

La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le parallélogramme en rectangle — même aire, b × h.
La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le parallélogramme en rectangle — même aire, b×hb \times h.

Remarque 53.2

La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases, et non la longueur du côté oblique ! Un parallélogramme très oblique peut avoir de longs côtés et une petite aire.

53.2 Aire d’un triangle

Théorème 53.3 (Triangle)

Un triangle de base bb et de hauteur correspondante hh (la distance perpendiculaire du sommet opposé à la droite-support de la base) a pour aire

A=b×h2.A = \frac{b \times h}{2} .

Démonstration. Deux copies du triangle, l’une tournée d’un demi-tour autour du milieu d’un côté, s’assemblent en un parallélogramme de base bb et de hauteur hh (c’est la symétrie centrale à l’œuvre, Proposition 52.4). Le triangle en est la moitié : bh2\frac{bh}{2}. ∎

Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un parallélogramme : l’aire du triangle est b× h/2. N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec sa propre hauteur.
Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un parallélogramme : l’aire du triangle est b×h2\frac{b\times h}{2}. N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec sa propre hauteur.

Exemple 53.4

Un triangle a une base de 99 cm et la hauteur correspondante mesure 44 cm :

A=9×42=362=18 cm2.A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Pour un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et sa hauteur : on retrouve la formule de Proposition 43.6.

53.3 Aire d’un disque

Théorème 53.5 (Disque)

Un disque de rayon rr a pour aire

A=πr2.A = \pi r^2 .

Idée de preuve. Découper le disque en de nombreuses parts minces égales et les disposer tête-bêche : elles forment presque un parallélogramme de hauteur rr dont la base est la moitié de la circonférence, πr\pi r (Proposition 43.3). Son aire est proche de πr×r=πr2\pi r \times r = \pi r^2, et l’approximation devient parfaite lorsque les parts s’amincissent. Une preuve complète demande le calcul intégral, présenté dans le volume suivant de cette série. ∎

Trancher le disque et dérouler les parts : presque un parallélogramme de base π r (la moitié du bord) et de hauteur r.
Trancher le disque et dérouler les parts : presque un parallélogramme de base πr\pi r (la moitié du bord) et de hauteur rr.

Exemple 53.6

Un plateau de table ronde a pour rayon 6060 cm. Son aire est π×602=3600π≈11 310\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310 cm2^2, un peu plus de 1.11.1 m2^2. Attention à la différence : le périmètre 2πr2\pi r utilise rr, l’aire πr2\pi r^2 utilise r2r^2.

53.4 Prismes et cylindres

Définition 53.7 (Prisme, cylindre)

Un prisme est un solide à deux faces polygonales identiques et parallèles (les bases) jointes par des rectangles ; un cylindre est la même chose avec des disques pour bases. La hauteur est la distance entre les deux bases.

Théorème 53.8 (Volumes)

Pour un prisme ou un cylindre d’aire de base BB et de hauteur hh :

V=B×h.V = B \times h .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 53.9

Une tente est un prisme couché sur le côté : ses bases sont des triangles de base 22 m et de hauteur 1.51.5 m, et la tente mesure 33 m de long.

  1. Aire de base : B=2×1.52=1.5B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5 m2^2.
  2. Volume : V=B×h=1.5×3=4.5V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5 m3^3.

Une boîte de conserve de rayon 44 cm et de hauteur 1111 cm : V=π×42×11=176π≈553V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553 cm3^3, à peu près un demi-litre.

53.5 Exercices

Exercice 53.1 ★

Calculer l’aire d’un parallélogramme de base 88 cm et de hauteur 55 cm ; d’un autre de base 6.56.5 m et de hauteur 44 m.

Solution

Solution de Exercice 53.1.

8×5=408 \times 5 = 40 cm2^2 ; 6.5×4=266.5 \times 4 = 26 m2^2.

Exercice 53.2 ★

Un parallélogramme a des côtés de 1010 cm et 66 cm, et la hauteur relative à la base de 1010 cm mesure 44 cm. Calculer son aire. Pourquoi la réponse n’est-elle pas 6060 cm2^2 ?

Solution

Solution de Exercice 53.2.

A=10×4=40A = 10 \times 4 = 40 cm2^2. La réponse n’est pas 10×6=6010 \times 6 = 60 car le côté de 66 cm est oblique : la formule utilise la hauteur (distance perpendiculaire), qui vaut 44 cm.

Exercice 53.3 ★

Calculer l’aire d’un triangle de base 1212 cm et de hauteur 77 cm ; d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 99 et 66 ; d’un triangle de base 5.55.5 m et de hauteur 22 m.

Solution

Solution de Exercice 53.3.

12×72=42\frac{12 \times 7}{2} = 42 cm2^2 ; 9×62=27\frac{9 \times 6}{2} = 27 ; 5.5×22=5.5\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5 m2^2.

Exercice 53.4 ★

Calculer l’aire d’un disque de rayon 55 cm, puis d’un demi-disque de rayon 1010 cm (valeurs exactes avec π\pi, puis arrondies à l’unité).

Solution

Solution de Exercice 53.4.

Disque : π×52=25π≈79\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79 cm2^2. Demi-disque de rayon 1010 : π×1022=50π≈157\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157 cm2^2.

Exercice 53.5 ★

Calculer le périmètre et l’aire d’un disque de rayon 33 cm. Laquelle des deux réponses est en cm et laquelle en cm2^2 ?

Solution

Solution de Exercice 53.5.

Périmètre : 2π×3=6π≈18.82\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8 cm (une longueur, en cm). Aire : π×32=9π≈28.3\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3 cm2^2 (une surface, en cm2^2).

Exercice 53.6 ★

Calculer le volume d’un prisme d’aire de base 2424 cm2^2 et de hauteur 1010 cm ; d’un cylindre de rayon 33 cm et de hauteur 88 cm (exact, puis arrondi).

Solution

Solution de Exercice 53.6.

Prisme : 24×10=24024 \times 10 = 240 cm3^3. Cylindre : π×32×8=72π≈226\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226 cm3^3.

Exercice 53.7 ★

Un triangle a pour aire 2828 cm2^2 et pour base 88 cm. Trouver la hauteur correspondante, en écrivant d’abord l’équation.

Solution

Solution de Exercice 53.7.

8×h2=28\frac{8 \times h}{2} = 28, donc 4h=284h = 28 et h=7h = 7 cm.

Exercice 53.8 ★★

Tracer un triangle quelconque et mesurer soigneusement les trois paires base–hauteur. Calculer b×h2\frac{b \times h}{2} pour chaque paire : les trois résultats devraient coïncider (à l’erreur de mesure près). Pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 53.8.

Les trois produits coïncident car chacun calcule la même quantité — l’aire du triangle. Cela donne un contrôle pratique des constructions, et un moyen de calculer une hauteur à partir d’une autre paire base–hauteur (utilisé en Exercice 53.12).

Exercice 53.9 ★★

Un jardin en forme de trapèze peut se découper, par une diagonale, en deux triangles partageant la même hauteur h=20h = 20 m, de bases 3030 m et 1818 m. Calculer son aire totale. Peut-on deviner une formule générale pour le trapèze ?

Solution

Solution de Exercice 53.9.

Les deux triangles ont pour aires 30×202=300\frac{30 \times 20}{2} = 300 m2^2 et 18×202=180\frac{18 \times 20}{2} = 180 m2^2 : total 480480 m2^2. Formule générale suggérée : pour des côtés parallèles aa et bb à distance hh,

A=(a+b)×h2A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— la formule du trapèze (ici (30+18)×202=480\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480).

Exercice 53.10 ★★

Un vase cylindrique de rayon 66 cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de 1515 cm. Toute l’eau est versée dans une boîte vide de base 1818 cm ×\times 1212 cm. Quelle hauteur d’eau atteint-on dans la boîte ? (Même volume, base différente.)

Solution

Solution de Exercice 53.10.

Volume d’eau : π×62×15=540π≈1 696\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696 cm3^3. Base de la boîte : 18×12=21618 \times 12 = 216 cm2^2. Hauteur atteinte : 540π216=2.5π≈7.9\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9 cm.

Exercice 53.11 ★★

Une pizza de diamètre 3030 cm coûte 99 euros ; une de diamètre 4040 cm coûte 1414 euros. Calculer les deux aires et le prix pour 100100 cm2^2. Quelle pizza est la meilleure affaire ?

Solution

Solution de Exercice 53.11.

Rayons 1515 et 2020 cm. Aires : 225π≈707225\pi \approx 707 cm2^2 et 400π≈1257400\pi \approx 1257 cm2^2. Prix pour 100100 cm2^2 : 97.07≈1.27\frac{9}{7.07} \approx 1.27 euros et 1412.57≈1.11\frac{14}{12.57} \approx 1.11 euros. La grande pizza est la meilleure affaire — les aires croissent avec le carré du diamètre.

Exercice 53.12 ★★★

Les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent 66 cm et 88 cm, et son hypoténuse mesure 1010 cm. Calculer son aire avec les côtés de l’angle droit, puis utiliser cette aire pour trouver la hauteur relative à l’hypoténuse.

Solution

Solution de Exercice 53.12.

Avec les côtés de l’angle droit : A=6×82=24A = \frac{6 \times 8}{2} = 24 cm2^2. Avec l’hypoténuse comme base : 24=10×h2=5h24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h, donc h=4.8h = 4.8 cm.

53.6 Problème : le carré qui s’évanouit

Problème 53.1

Devoir maison — une célèbre « preuve » que 64=6564 = 65, démasquée par les aires et les pentes, avec pizzas et anneaux pour le dessert

Un magicien découpe un carré 8×88 \times 8 en quatre pièces, les fait glisser, et les rassemble en un rectangle 5×135 \times 13. Le public compte : 8×8=648 \times 8 = 64, mais 5×13=655 \times 13 = 65 — une unité d’aire est apparue de nulle part ! Les formules d’aire de ce chapitre sont exactement les outils qui démasquent le tour. Le problème met ensuite le raisonnement honnête sur les aires au travail : sur des trapèzes, sur des piles inclinées, sur l’économie de la pizza — et revient enfin au magicien pour un second numéro, plus étrange encore.

Partie I — Le tour, exécuté puis démasqué. Les quatre pièces du carré 8×88 \times 8 sont : deux triangles rectangles de côtés de l’angle droit 88 et 33, et deux trapèzes rectangles de côtés parallèles 55 et 33 et de hauteur 55.

  1. Calculer l’aire du carré de départ et l’aire du rectangle annoncé. Énoncer le scandale en une ligne.
  2. Calculer l’aire de chacune des quatre pièces (Théorème 53.3 ; pour les trapèzes, découper ou utiliser Exercice 53.9).
  3. Additionner les quatre aires. Laquelle des deux figures — le carré ou le rectangle — les pièces peuvent-elles réellement remplir ?
  4. Dans la disposition en rectangle, l’hypoténuse d’un triangle (qui monte de 33 sur 88) est censée prolonger le côté oblique d’un trapèze (qui monte de 22 sur 55) en une seule « diagonale » droite. Tester l’alignement : monter de 33 sur 88 et monter de 22 sur 55, est-ce la même pente (Théorème 49.3) ?
  5. Expliquer où se cache le soixante-cinquième carré : quelle est la forme du vide le long de la fausse diagonale, quelle est son aire exacte, et pourquoi l’œil ne le voit-il pas ? (Quelle largeur moyenne a une écharde de cette aire étirée sur la diagonale du rectangle, longue d’environ 1313 unités ?)

Partie II — Raisonner honnêtement sur les aires.

  1. Tracer deux droites parallèles distantes de 44 cm, une base de 66 cm sur l’une d’elles, et trois triangles différents sur cette base, dont les sommets sont pris en divers points de l’autre droite. Calculer les trois aires. Pourquoi sont-elles toutes égales, où que le sommet glisse sur sa droite ?

  2. Démontrer la formule du trapèze en général : un trapèze de côtés parallèles BB et bb et de hauteur hh, coupé suivant une diagonale, donne deux triangles de même hauteur hh. Conclure :

    A=(B+b)×h2.A = \frac{(B + b) \times h}{2} .
  3. L’appliquer à un trapèze où B=9B = 9 cm, b=5b = 5 cm, h=4h = 4 cm.
  4. Les charpentiers utilisent la même formule sous un autre habit : aire == (moyenne des deux côtés parallèles) ×\times hauteur. Expliquer pourquoi c’est la même règle, et refaire la question 8 de cette façon.
  5. Incliner une pile bien rangée de cartes à jouer pour en faire une pile penchée. Expliquer pourquoi le volume n’a pas changé, et ce que cela dit de la hauteur dans la formule du prisme V=B×hV = B \times h (Théorème 53.8) : quelle hauteur faut-il prendre pour une pile penchée — la longueur oblique ou la hauteur verticale ? (Comparer avec Exercice 53.2, une dimension plus bas.)

Partie III — Anneaux, pizzas et le retour du magicien.

  1. Un bassin circulaire de rayon 33 m occupe le centre d’une pelouse circulaire de rayon 55 m. Calculer l’aire de l’anneau de gazon (exacte avec π\pi, puis arrondie au m2^2).
  2. Trouver le rayon du disque unique dont l’aire vaut exactement celle de cet anneau. (Les trois rayons dont on dispose désormais forment un triplet célèbre, dont l’histoire est racontée au Chapitre 58.)
  3. Qu’est-ce qui fait le plus de pizza : une pizza de diamètre 4040 cm, ou deux pizzas de diamètre 2828 cm ? Calculer et comparer.
  4. Pour doubler l’aire d’une pizza, par quel facteur son rayon doit-il grandir, à peu près ? Tester le candidat 1.41.4 (se rappeler que les aires suivent le carré du facteur d’agrandissement, Problème 44.1), et dire où le facteur exact — le nombre dont le carré vaut 22 — fait son entrée officielle (Exemple 58.9).
  5. Le magicien revient : il découpe un carré 13×1313 \times 13 où les nombres 55, 88, 1313 jouent les rôles tenus tout à l’heure par 33, 55, 88, et rassemble un rectangle 8×218 \times 21. Calculer les deux aires : qu’est-ce qui s’évanouit cette fois ? Les nombres 3,5,8,13,213, 5, 8, 13, 21 sont des termes consécutifs de la suite du Problème 47.1 — énoncer la régularité des gains et des pertes du magicien, et la morale : pourquoi les aires ne mentent-elles jamais ?
Solution

Solution de Problème 53.1.

1. Carré : 8×8=648 \times 8 = 64. Rectangle : 5×13=655 \times 13 = 65. Les mêmes quatre pièces semblent couvrir 6464 unités d’aire dans une figure et 6565 dans l’autre : une unité d’aire aurait été créée à partir de rien.

2. Chaque triangle : 8×32=12\frac{8 \times 3}{2} = 12. Chaque trapèze : (5+3)×52=20\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20.

3. 12+12+20+20=6412 + 12 + 20 + 20 = 64 : les pièces totalisent 6464, elles peuvent donc remplir exactement le carré — et ne peuvent pas remplir le rectangle de 6565 unités. L’image du rectangle contient forcément un trou.

4. Une même pente exigerait que monter de 33 sur 88 soit proportionnel à monter de 22 sur 55 ; produits en croix : 3×5=153 \times 5 = 15 et 2×8=162 \times 8 = 16. Ils diffèrent : l’hypoténuse et le côté oblique ne s’alignent pas. La « diagonale » du rectangle est un mensonge — deux pentes légèrement différentes qui se rejoignent sous un angle très ouvert.

5. Le long de la fausse diagonale, les quatre pièces laissent un vide long et extrêmement fin — une écharde en forme de parallélogramme très aplati — dont l’aire vaut exactement l’unité manquante, 65−64=165 - 64 = 1. Étirée sur une diagonale d’environ 1313 unités, sa largeur moyenne vaut environ 1÷13≈0.081 \div 13 \approx 0.08 unité : sur un vrai dessin, moins que le trait de crayon qui la dissimule.

6. Chaque triangle a une base de 66 cm et une hauteur de 44 cm — la distance entre les parallèles, où que soit le sommet — donc chaque aire vaut 6×42=12\frac{6 \times 4}{2} = 12 cm2^2 (Théorème 53.3). Faire glisser le sommet le long de la parallèle change la forme, jamais la base ni la hauteur : des aires égales à jamais.

7. La diagonale découpe le trapèze en un triangle de base BB et un triangle de base bb, tous deux de hauteur hh (la distance entre les côtés parallèles) :

A=B×h2+b×h2=(B+b)×h2.A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. A=(9+5)×42=562=28A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28 cm2^2.

9. La moyenne des côtés parallèles vaut B+b2\frac{B + b}{2}, donc (moyenne) ×h=(B+b)×h2\times h = \frac{(B+b) \times h}{2} : la même formule, factorisée autrement. Vérification : moyenne =9+52=7= \frac{9+5}{2} = 7, et 7×4=287 \times 4 = 28 cm2^2.

10. La pile penchée contient exactement les mêmes cartes — les mêmes couches, chacune de même aire — donc le même volume. Dans V=B×hV = B \times h, la hauteur doit se mesurer perpendiculairement à la base (la hauteur verticale de la pile), et non le long de l’inclinaison : exactement comme l’aire du parallélogramme réclame la hauteur perpendiculaire et non le côté oblique (Exercice 53.2), une dimension plus haut.

11. Anneau =π×52−π×32=25π−9π=16π≈50= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50 m2^2 (Théorème 53.5).

12. Un disque d’aire 16π16\pi a pour rayon 44, puisque π×42=16π\pi \times 4^2 = 16\pi. Les rayons 33, 44, 55 : le triplet le plus célèbre des mathématiques, qui tient la vedette au Chapitre 58.

13. Une pizza de 4040 cm : rayon 2020, aire π×400≈1 257\pi \times 400 \approx 1\,257 cm2^2. Deux pizzas de 2828 cm : rayon 1414, à elles deux 2×π×196=392π≈1 2322 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232 cm2^2. La grande pizza seule fait plus de pizza que les deux moyennes.

14. Multiplier le rayon par 1.41.4 multiplie l’aire par 1.42=1.961.4^2 = 1.96 — presque le double. Le facteur exact est le nombre dont le carré vaut 22, soit environ 1.4141.414 : le nombre de la diagonale de l’Exemple 58.9. (Règle de pouce : une moitié plus large, c’est presque deux fois plus de pizza.)

15. 13×13=16913 \times 13 = 169, mais 8×21=1688 \times 21 = 168 : cette fois, une unité d’aire disparaît — les pièces se chevauchent le long d’une écharde au lieu de laisser un vide. Avec les termes consécutifs 3,5,8,13,213, 5, 8, 13, 21 de la suite de Hemachandra–Fibonacci, les produits basculent alternativement une unité au-dessus et une unité au-dessous du carré (5×13=65=82+15 \times 13 = 65 = 8^2 + 1, puis 8×21=168=132−18 \times 21 = 168 = 13^2 - 1) : le magicien « gagne » et « perd » une unité tour à tour. Les aires ne mentent jamais : des pièces totalisant 6464 couvrent 6464, où qu’on les fasse glisser — chaque unité manquante ou excédentaire se cache dans une écharde, en attendant qu’un contrôle de pente la démasque.

Termes définis dans ce chapitre

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