Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

30Calculer avec les décimaux

Les nombres décimaux s’additionnent, se soustraient et se multiplient presque comme les entiers — tout l’art est de savoir où va la virgule. Ce chapitre couvre les méthodes en colonnes et la magie de la multiplication ou de la division par $10$ , $100$ , $1000$ . (Multiplier deux décimaux entre eux attend Chapitre 38.)

30.1 Additionner et soustraire

Méthode 30.1 (Colonnes avec une virgule)

Écrire les nombres avec les virgules alignées (alors les unités sont sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes) ;
compléter la partie décimale plus courte avec des zéros ;
additionner ou soustraire comme avec les entiers ;
faire descendre la virgule du résultat droit en bas.

Exemple 30.2

$27.5 + 3.86$ (compléter $27.5 = 27.50$ ) :

\begin{array}{r} 2\,7.5\,0 \\ +\ \ \ 3.8\,6 \\ \hline 3\,1.3\,6 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 1\,2.4\,0 \\ -\ \ \ 5.6\,5 \\ \hline \ \ \,6.7\,5 \end{array}

Pour la soustraction ( $12.4 - 5.65$ ) : compléter, emprunter comme d’habitude, et vérifier en additionnant : $6.75 + 5.65 = 12.4$ .

Exemple 30.3 (Compléments mentaux)

Que faut-il ajouter à $7.6$ pour atteindre $10$ ? Monter : $7.6 \to 8$ fait $0.4$ , puis $8 \to 10$ fait $2$ : le complément est $2.4$ . Pratique pour la monnaie : payer $10$ pour un article à $7.60$ , recevoir $2.40$ de rendu.

30.2 Dix fois plus grand, dix fois plus petit

Proposition 30.4 (Fois et divisé par 10, 100, 1000)

Multiplier par $10$ fait valoir chaque chiffre dix fois plus : les chiffres glissent d’une place à gauche — ce qui ressemble à la virgule qui avance d’une place à droite. Diviser fait l’inverse :

3.47 \times 10 = 34.7, \qquad 3.47 \times 100 = 347, \qquad 52.1 \div 10 = 5.21, \qquad 6 \div 100 = 0.06 .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Multiplier par 10 : chaque chiffre monte d’une place à gauche. La virgule ne bouge pas vraiment — ce sont les chiffres qui bougent. — Multiplier par $10$ : chaque chiffre monte d’une place à gauche. La virgule ne bouge pas vraiment — ce sont les chiffres qui bougent.

Exemple 30.5 (Les conversions, encore)

Les unités de mesure sont des puissances de dix les unes des autres, donc les conversions sont juste ces décalages : $2.35$ m $= 235$ cm ( $\times 100$ ) ; $470$ g $= 0.47$ kg ( $\div 1000$ ) ; $1.5$ L $= 150$ cL.

30.3 Multiplier un décimal par un entier

Méthode 30.6 (Décimal fois entier)

Calculer comme s’il n’y avait pas de virgule, puis donner au résultat autant de chiffres décimaux que le facteur décimal :

4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610 \ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .

Estimer pour placer la virgule avec confiance : $4.35$ est proche de $4$ , et $4 \times 6 = 24$ — donc $26.1$ , ni $2.61$ ni $261$ .

Exemple 30.7 (L’addition répétée marche toujours)

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$ : quatre quarts font un tout, en habits décimaux. Multiplier par un entier, c’est toujours « autant de fois ».

Exemple 30.8 (Courses)

Trois cahiers à $2.45$ chacun et un stylo à $1.20$ :

cahiers : $2.45 \times 3 = 7.35$ ;
total : $7.35 + 1.20 = 8.55$ ;
rendu sur $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

30.4 Exercices

Exercice 30.1 ★

Calculer en colonnes : $45.7 + 8.93$ ; $16.25 + 3.75$ ; $0.86 + 12.4$ .

Solution

Solution de Exercice 30.1.

$45.7 + 8.93 = 54.63$ ; $16.25 + 3.75 = 20$ ; $0.86 + 12.4 = 13.26$ .

Exercice 30.2 ★

Calculer en colonnes et vérifier : $9.4 - 2.72$ ; $20 - 13.45$ ; $6.03 - 5.9$ .

Solution

Solution de Exercice 30.2.

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (vérif. : $6.68 + 2.72 = 9.4$ ).

$20 - 13.45 = 6.55$ (vérif. : $6.55 + 13.45 = 20$ ).

$6.03 - 5.9 = 0.13$ .

Exercice 30.3 ★

Compléments mentaux à $10$ (comme dans Exemple 30.3) : $6.2$ ; $3.75$ ; $9.99$ .

Solution

Solution de Exercice 30.3.

$6.2 \to 10$ : $3.8$ . $3.75 \to 10$ : $6.25$ . $9.99 \to 10$ : $0.01$ .

Exercice 30.4 ★

Calculer sans colonnes :

7.24 \times 10, \qquad 0.58 \times 100, \qquad 34.5 \div 10, \qquad 7 \div 100, \qquad 0.3 \times 1000 .

Solution

Solution de Exercice 30.4.

$72.4$ ; $58$ ; $3.45$ ; $0.07$ ; $300$ .

Exercice 30.5 ★

Convertir : $4.05$ m en cm ; $325$ cm en m ; $0.6$ kg en g ; $85$ cL en L.

Solution

Solution de Exercice 30.5.

$4.05$ m $= 405$ cm ; $325$ cm $= 3.25$ m ; $0.6$ kg $= 600$ g ; $85$ cL $= 0.85$ L.

Exercice 30.6 ★

Estimer d’abord, puis calculer : $6.2 \times 4$ ; $3.45 \times 8$ ; $12.5 \times 6$ .

Solution

Solution de Exercice 30.6.

$6.2 \times 4$ : estimation $24$ ; exact $24.8$ .

$3.45 \times 8$ : estimation $28$ ( $3.5 \times 8$ ) ; exact $27.6$ .

$12.5 \times 6$ : estimation $75$ ; exact $75$ .

Exercice 30.7 ★

Un tour de piste mesure $0.4$ km. Quelle longueur pour $7$ tours ? Et pour $25$ tours ?

Solution

Solution de Exercice 30.7.

$7$ tours : $0.4 \times 7 = 2.8$ km. $25$ tours : $0.4 \times 25 = 10$ km.

Exercice 30.8 ★

Léa achète $2$ baguettes à $1.15$ chacune et un gâteau à $12.60$ . Elle paie avec un billet de $20$ . Calculer son total et sa monnaie.

Solution

Solution de Exercice 30.8.

Baguettes : $1.15 \times 2 = 2.30$ . Total : $2.30 + 12.60 = 14.90$ . Monnaie : $20 - 14.90 = 5.10$ .

Exercice 30.9 ★

Une bouteille contient $1.5$ L. Combien de litres dans un pack de $6$ bouteilles ? Une famille boit $0.75$ L par jour : pendant combien de jours un pack suffit-il ? (Combien de fois $0.75$ rentre-t-il dans $9$ ?)

Solution

Solution de Exercice 30.9.

Pack : $1.5 \times 6 = 9$ L. Jours : $0.75 + 0.75 = 1.5$ L tous les deux jours, donc $9$ L durent $12$ jours (douze portions de $0.75$ : $12 \times 0.75 = 9$ ).

Exercice 30.10 ★★

Milo calcule $5.6 \times 3 = 15.18$ , en raisonnant « $5 \times 3 = 15$ et $6 \times 3 = 18$ ». Utiliser une estimation pour montrer que la réponse est forcément fausse, puis calculer correctement.

Solution

Solution de Exercice 30.10.

Estimation : $5.6$ est plus que $5.5$ , et $5.5 \times 3 = 16.5$ — donc le produit doit être plus que $16.5$ , et $15.18$ est trop petit. Correctement : $56 \times 3 = 168$ , un chiffre décimal, donc $5.6 \times 3 = 16.8$ . Milo a collé ses deux produits partiels ( $15$ et $18$ ) côte à côte au lieu de les additionner avec leurs places : $15 + 1.8 = 16.8$ .

Exercice 30.11 ★★

Les quatre tours d’une coureuse ont pris $65.4$ s, $64.9$ s, $65.0$ s et $66.1$ s.

Calculer le temps total des quatre tours.
Le record pour quatre tours est $260$ s. L’a-t-elle battu ? De combien ?

Solution

Solution de Exercice 30.11.

1. $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ s.

2. $261.4 > 260$ : elle n’a pas battu le record ; elle était à $1.4$ s au-dessus.