Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

66Algèbre et équations

Les lettres désignent des nombres, et calculer avec des lettres prouve des faits sur tous les nombres à la fois. Ce chapitre pratique le développement et la factorisation — y compris les trois identités qui vous accompagneront à travers toutes les mathématiques — et résout des équations du premier degré, des équations-produits et des inégalités simples, toujours une étape justifiée à la fois.

66.1 Développer

Définition 66.1 (Développer)

Développer signifie transformer un produit en une somme, en utilisant la distributivité :

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemple 66.2

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Les signes voyagent avec les termes :

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Théorème 66.3 (Les trois identités)

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Démonstration. Développer chaque membre de gauche. Pour la première : $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Pour la seconde, remplacer $b$ par $-b$ dans la première. Pour la troisième : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (les termes croisés s’annulent). ∎

L’identité (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vue comme aires : le grand carré de côté a+b est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « 2ab », c’est oublier les deux rectangles ! — L’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , vue comme aires : le grand carré de côté $a+b$ est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « $2ab$ », c’est oublier les deux rectangles !

Exemple 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Calcul mental : $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , et $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Factoriser

Méthode 66.5 (Factoriser)

Pour factoriser une expression, essayer dans l’ordre :

facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$ , où $k$ peut lui-même être une parenthèse ;
différence de carrés : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
carré parfait : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (et avec $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Toujours vérifier en développant le résultat.

Exemple 66.6

Facteur commun : $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Parenthèse commune :

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Différence de carrés : $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , et

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Chaque facteur a encore un facteur commun : $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Équations

Méthode 66.7 (Équations du premier degré)

Pour résoudre une équation comme $5x - 3 = 2x + 9$ :

rassembler les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, en ajoutant la même quantité aux deux membres ;
réduire chaque membre ;
diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ;
vérifier la solution dans l’équation originale.

Exemple 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(ajouter $3 - 2x$ aux deux membres)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(diviser par 3).} \end{align*}

Vérification : $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$ . La solution est $4$ .

Avec des parenthèses, développer d’abord : $3(x - 2) = x + 8$ devient $3x - 6 = x + 8$ , donc $2x = 14$ et $x = 7$ .

Théorème 66.9 (Règle du produit nul)

Un produit est nul si et seulement si au moins un facteur est nul :

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .

Démonstration. Si un facteur est nul le produit l’est clairement. Réciproquement si $A B = 0$ avec $A \neq 0$ , diviser les deux membres par $A$ donne $B = 0$ . ∎

Exemple 66.10

Résoudre $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : soit $x - 3 = 0$ soit $2x + 10 = 0$ , donc les solutions sont $3$ et $-5$ .

Résoudre $x^2 - 49 = 0$ : factoriser d’abord, $(x-7)(x+7) = 0$ , solutions $7$ et $-7$ .

Résoudre $x^2 = 3x$ : ne jamais diviser par $x$ ! Déplacer et factoriser : $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , solutions $0$ et $3$ .

66.4 Inégalités

Proposition 66.11 (Règles pour les inégalités)

Une inégalité est conservée lorsqu’on ajoute le même nombre aux deux membres, et lorsqu’on multiplie les deux membres par le même nombre positif. Multiplier les deux membres par un nombre négatif renverse le signe de l’inégalité.

Démonstration. Si $a \leq b$ alors $b - a \geq 0$ . En ajoutant $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , donc $a + c \leq b + c$ . En multipliant par $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , donc $ac \leq bc$ . En multipliant par $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , donc $ac \geq bc$ : l’ordre est renversé. ∎

Exemple 66.12

Résoudre $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(soustraire 7)} \\ x &> -4 && \text{(diviser par $-2$~: renverser le signe).} \end{align*}

Les solutions sont tous les nombres strictement plus grands que $-4$ : sur une droite numérique, un point creux en $-4$ et un hachurage vers la droite.

Les solutions de 7 - 2x < 15 : tous les x > -4 (point creux : -4 lui-même n’est pas solution). — Les solutions de $7 - 2x < 15$ : tous les $x > -4$ (point creux : $-4$ lui-même n’est pas solution).

66.5 Exercices

Exercice 66.1 ★

Développer et réduire :

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solution

Solution de Exercice 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Exercice 66.2 ★

Développer à l’aide des identités :

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solution

Solution de Exercice 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Exercice 66.3 ★

Calculer mentalement, à l’aide d’une identité : $101^2$ ; $59^2$ (écrire $59 = 60 - 1$ ) ; $53 \times 47$ .

Solution

Solution de Exercice 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Exercice 66.4 ★

Factoriser :

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solution

Solution de Exercice 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Exercice 66.5 ★

Résoudre, en écrivant chaque étape :

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solution

Solution de Exercice 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , donc $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , donc $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , donc $2x = 16$ et $x = 8$ .

Exercice 66.6 ★★

Résoudre en utilisant la règle du produit nul :

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solution

Solution de Exercice 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ ou $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ ou $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : la solution unique $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 8$ .

Exercice 66.7 ★★

Factoriser $E = (3x + 2)^2 - 25$ , puis résoudre $E = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 66.7.

Différence de carrés avec $a = 3x + 2$ et $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Règle du produit nul : $3x + 7 = 0$ donne $x = -\frac73$ , et $3x - 3 = 0$ donne $x = 1$ .

Exercice 66.8 ★★

Résoudre les inégalités et représenter les solutions sur une droite numérique :

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solution

Solution de Exercice 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , donc $x \geq 4$ (point plein en $4$ , hachurer à droite).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , diviser par $-2$ renverse le signe : $x < 2$ (point creux en $2$ , hachurer à gauche).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , donc $3x \leq -9$ , donc $x \leq -3$ (point plein en $-3$ , hachurer à gauche).

Exercice 66.9 ★★

Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ , j’ajoute $7$ , et j’obtiens le même résultat que si je l’avais multiplié par $5$ et soustrait $9$ . Quel est mon nombre ? (Mettre en place une équation et la résoudre.)

Solution

Solution de Exercice 66.9.

Soit $x$ le nombre : $3x + 7 = 5x - 9$ . Alors $16 = 2x$ , donc $x = 8$ . Vérification : $3 \times 8 + 7 = 31$ et $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Exercice 66.10 ★★★

Soit $n$ un nombre entier.

Développer $(n + 1)(n - 1)$ et en déduire que le produit des deux voisins de $n$ est toujours $n^2 - 1$ (par ex. $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ .

Solution

Solution de Exercice 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (troisième identité). Les voisins de $n$ sont $n - 1$ et $n + 1$ , donc leur produit est $n^2 - 1$ : par ex. $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Trois entiers consécutifs s’écrivent $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Leur somme est

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

un multiple de $3$ (trois fois le milieu).