Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

66Algèbre et équations

Les lettres désignent des nombres, et calculer avec des lettres prouve des faits sur tous les nombres à la fois. Ce chapitre pratique le développement et la factorisation — y compris les trois identités qui vous accompagneront à travers toutes les mathématiques — et résout des équations du premier degré, des équations-produits et des inégalités simples, toujours une étape justifiée à la fois.

66.1 Développer

Définition 66.1 (Développer)

Développer signifie transformer un produit en une somme, en utilisant la distributivité :

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemple 66.2

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Les signes voyagent avec les termes :

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Théorème 66.3 (Les trois identités)

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Démonstration. Développer chaque membre de gauche. Pour la première : $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Pour la seconde, remplacer $b$ par $-b$ dans la première. Pour la troisième : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (les termes croisés s’annulent). ∎

L’identité (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vue comme aires : le grand carré de côté a+b est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « 2ab », c’est oublier les deux rectangles ! — L’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , vue comme aires : le grand carré de côté $a+b$ est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « $2ab$ », c’est oublier les deux rectangles !

Exemple 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Calcul mental : $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , et $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Factoriser

Méthode 66.5 (Factoriser)

Pour factoriser une expression, essayer dans l’ordre :

facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$ , où $k$ peut lui-même être une parenthèse ;
différence de carrés : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
carré parfait : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (et avec $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Toujours vérifier en développant le résultat.

Exemple 66.6

Facteur commun : $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Parenthèse commune :

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Différence de carrés : $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , et

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Chaque facteur a encore un facteur commun : $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Équations

Méthode 66.7 (Équations du premier degré)

Pour résoudre une équation comme $5x - 3 = 2x + 9$ :

rassembler les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, en ajoutant la même quantité aux deux membres ;
réduire chaque membre ;
diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ;
vérifier la solution dans l’équation originale.

Exemple 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(ajouter $3 - 2x$ aux deux membres)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(diviser par 3).} \end{align*}

Vérification : $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$ . La solution est $4$ .

Avec des parenthèses, développer d’abord : $3(x - 2) = x + 8$ devient $3x - 6 = x + 8$ , donc $2x = 14$ et $x = 7$ .

Théorème 66.9 (Règle du produit nul)

Un produit est nul si et seulement si au moins un facteur est nul :

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .

Démonstration. Si un facteur est nul le produit l’est clairement. Réciproquement si $A B = 0$ avec $A \neq 0$ , diviser les deux membres par $A$ donne $B = 0$ . ∎

Exemple 66.10

Résoudre $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : soit $x - 3 = 0$ soit $2x + 10 = 0$ , donc les solutions sont $3$ et $-5$ .

Résoudre $x^2 - 49 = 0$ : factoriser d’abord, $(x-7)(x+7) = 0$ , solutions $7$ et $-7$ .

Résoudre $x^2 = 3x$ : ne jamais diviser par $x$ ! Déplacer et factoriser : $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , solutions $0$ et $3$ .

66.4 Inégalités

Proposition 66.11 (Règles pour les inégalités)

Une inégalité est conservée lorsqu’on ajoute le même nombre aux deux membres, et lorsqu’on multiplie les deux membres par le même nombre positif. Multiplier les deux membres par un nombre négatif renverse le signe de l’inégalité.

Démonstration. Si $a \leq b$ alors $b - a \geq 0$ . En ajoutant $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , donc $a + c \leq b + c$ . En multipliant par $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , donc $ac \leq bc$ . En multipliant par $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , donc $ac \geq bc$ : l’ordre est renversé. ∎

Exemple 66.12

Résoudre $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(soustraire 7)} \\ x &> -4 && \text{(diviser par $-2$~: renverser le signe).} \end{align*}

Les solutions sont tous les nombres strictement plus grands que $-4$ : sur une droite numérique, un point creux en $-4$ et un hachurage vers la droite.

Les solutions de 7 - 2x < 15 : tous les x > -4 (point creux : -4 lui-même n’est pas solution). — Les solutions de $7 - 2x < 15$ : tous les $x > -4$ (point creux : $-4$ lui-même n’est pas solution).

66.5 Exercices

Exercice 66.1 ★

Développer et réduire :

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solution

Solution de Exercice 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Exercice 66.2 ★

Développer à l’aide des identités :

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solution

Solution de Exercice 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Exercice 66.3 ★

Calculer mentalement, à l’aide d’une identité : $101^2$ ; $59^2$ (écrire $59 = 60 - 1$ ) ; $53 \times 47$ .

Solution

Solution de Exercice 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Exercice 66.4 ★

Factoriser :

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solution

Solution de Exercice 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Exercice 66.5 ★

Résoudre, en écrivant chaque étape :

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solution

Solution de Exercice 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , donc $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , donc $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , donc $2x = 16$ et $x = 8$ .

Exercice 66.6 ★★

Résoudre en utilisant la règle du produit nul :

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solution

Solution de Exercice 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ ou $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ ou $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : la solution unique $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 8$ .

Exercice 66.7 ★★

Factoriser $E = (3x + 2)^2 - 25$ , puis résoudre $E = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 66.7.

Différence de carrés avec $a = 3x + 2$ et $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Règle du produit nul : $3x + 7 = 0$ donne $x = -\frac73$ , et $3x - 3 = 0$ donne $x = 1$ .

Exercice 66.8 ★★

Résoudre les inégalités et représenter les solutions sur une droite numérique :

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solution

Solution de Exercice 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , donc $x \geq 4$ (point plein en $4$ , hachurer à droite).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , diviser par $-2$ renverse le signe : $x < 2$ (point creux en $2$ , hachurer à gauche).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , donc $3x \leq -9$ , donc $x \leq -3$ (point plein en $-3$ , hachurer à gauche).

Exercice 66.9 ★★

Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ , j’ajoute $7$ , et j’obtiens le même résultat que si je l’avais multiplié par $5$ et soustrait $9$ . Quel est mon nombre ? (Mettre en place une équation et la résoudre.)

Solution

Solution de Exercice 66.9.

Soit $x$ le nombre : $3x + 7 = 5x - 9$ . Alors $16 = 2x$ , donc $x = 8$ . Vérification : $3 \times 8 + 7 = 31$ et $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Exercice 66.10 ★★★

Soit $n$ un nombre entier.

Développer $(n + 1)(n - 1)$ et en déduire que le produit des deux voisins de $n$ est toujours $n^2 - 1$ (par ex. $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ .

Solution

Solution de Exercice 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (troisième identité). Les voisins de $n$ sont $n - 1$ et $n + 1$ , donc leur produit est $n^2 - 1$ : par ex. $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Trois entiers consécutifs s’écrivent $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Leur somme est

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

un multiple de $3$ (trois fois le milieu).

66.6 Problème : l’algèbre des chiffres

Problème 66.1

Devoir maison — pourquoi les critères de divisibilité fonctionnent, le tour du 1089 démasqué, et du calcul mental qui ressemble à de la sorcellerie

L’école primaire a enseigné des règles (un nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l’est) ; les magiciens font des tours (tout le monde termine sur $1089$ ) ; les marchés connaissent des raccourcis ( $35^2 = 1225$ , instantanément). Tout cela n’est qu’un seul et même secret : un nombre de chiffres $a$ , $b$ , $c$ est l’expression $100a + 10b + c$ , et l’algèbre de ce chapitre (Théorème 66.3, développer, factoriser) sait la démonter. À la fin de ce problème, on aura démontré les règles, démasqué le tour, et appris la sorcellerie.

Partie I — Les chiffres au microscope.

Un nombre à deux chiffres, de chiffre des dizaines $a$ et de chiffre des unités $b$ , s’écrit $10a + b$ . Développer et factoriser la différence entre le nombre et son retourné, $(10a + b) - (10b + a)$ , et énoncer la découverte. La vérifier sur $72 - 27$ .
Démontrer le critère de divisibilité par $9$ pour les nombres à trois chiffres : vérifier l’identité

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

et expliquer pourquoi elle montre qu’un nombre et la somme de ses chiffres laissent le même reste dans la division par $9$ — l’un est donc divisible par $9$ exactement quand l’autre l’est (Proposition 64.3, désormais démontré).
En déduire le critère de divisibilité par $3$ à partir de la même identité, en une phrase.
« La preuve par neuf », le contrôle des comptables : pour tester $47 \times 86 = 4\,042$ , on remplace chaque nombre par la somme des chiffres de la somme de ses chiffres : $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , et $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; puis $4\,042 \to 10 \to 1$ : cohérent. Expliquer pourquoi un produit correct doit forcément passer le test (écrire $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ et développer), et trouver un résultat faux que le test ne détecte pas (pourquoi des chiffres intervertis lui sont-ils invisibles ?).
Démontrer le critère de divisibilité par $11$ pour les nombres à quatre chiffres : vérifier

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

et s’en servir pour décider si $2\,926$ est divisible par $11$ .

Partie II — Le tour du 1089. Le tour : penser à un nombre de trois chiffres dont le premier et le dernier diffèrent d’au moins $2$ ; le retourner ; soustraire le plus petit du plus grand ; retourner le résultat ; additionner les deux derniers nombres. Le magicien annonce : 1089.

Exécuter le tour sur $742$ , puis sur un nombre de son choix.
Notons $a$ , $b$ , $c$ les chiffres du nombre, avec $a > c$ . Factoriser la première soustraction, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , et énumérer toutes les valeurs qu’elle peut prendre lorsque $a - c$ parcourt $2$ à $9$ .
Chacun de ces multiples de $99$ a une allure frappante. En posant $m = a - c$ , vérifier l’identité

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

et y lire les trois chiffres de $99m$ .
Additionner $99m$ et son propre retourné, à l’aide des chiffres de la question 8, et démontrer que le total vaut $1089$ — quel que soit $m$ . Le tour est mort ; vive l’algèbre.
Pourquoi le magicien a-t-il exigé que le premier et le dernier chiffres diffèrent d’au moins $2$ ? Examiner les cas $a = c$ et $a - c = 1$ (où la soustraction donne $99$ , qu’il faut écrire $099$ pour que le retournement fonctionne), et énoncer les petites lignes qui gardent le tour honnête.

Partie III — Sorcellerie d’usage courant.

Le tour de la date de naissance : « multiplier son mois de naissance par $5$ , ajouter $7$ , doubler, ajouter son jour de naissance, retrancher $14$ . » Montrer que le résultat vaut toujours $10m + d$ — le mois et le jour, lisibles d’un coup d’œil. (L’essayer sur quelqu’un.)
On redessine le tour ainsi : « multiplier le mois par $5$ , ajouter $9$ , doubler, ajouter le jour. » Quel nombre le spectateur doit-il désormais retrancher à la fin pour obtenir la même lecture mois–jour ?
Le tour du chiffre manquant : le spectateur choisit un nombre quelconque, en retranche la somme de ses chiffres (la question 2 dit que le résultat est toujours un multiple de $9$ — expliquer pourquoi pour un nombre à trois chiffres), puis barre un chiffre non nul et nous lit les chiffres restants. Expliquer comment retrouver le chiffre barré, et pourquoi il fallait exclure le $0$ .
Sorcellerie de marché : démontrer l’identité $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , énoncer la règle qui élève au carré n’importe quel nombre terminé par $5$ , et calculer de tête $45^2$ , $85^2$ et $105^2$ .
Bouquet final, dans le prolongement de l’Exercice 66.10 : démontrer que la somme de cinq entiers consécutifs est toujours un multiple de $5$ , mais que la somme de quatre entiers consécutifs n’est jamais un multiple de $4$ . (Deux courts calculs — et une morale sur ce que l’algèbre fait des mots « toujours » et « jamais ».)

Solution

Solution de Problème 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : la différence entre un nombre à deux chiffres et son retourné est toujours un multiple de $9$ . Vérification : $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ , et $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. En développant le membre de droite : $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . Le nombre est donc égal à un multiple de $9$ augmenté de la somme de ses chiffres : dans la division par $9$ , les deux laissent le même reste. En particulier, un reste $0$ pour l’un signifie un reste $0$ pour l’autre : le critère de divisibilité par $9$ est démontré.

3. $9(11a + b)$ est aussi un multiple de $3$ : la même identité montre donc que le nombre et la somme de ses chiffres laissent le même reste dans la division par $3$ , d’où le critère de divisibilité par $3$ .

4. Écrivons $47 = 9k + 2$ et $86 = 9l + 5$ . Alors

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

le produit laisse le même reste que $2 \times 5 = 10$ , à savoir $1$ . Un résultat correct doit donc lui aussi laisser le reste $1$ — ce que fait $4\,042$ . Mais le test ne voit que les restes : $4\,042$ et $4\,402$ (chiffres intervertis) le passent de façon identique ; réussir ne prouve donc rien — c’est l’échec qui condamne.

5. En développant : $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . Le nombre est donc divisible par $11$ exactement lorsque sa somme alternée $-a + b - c + d$ l’est. Pour $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ , divisible par $11$ : oui, $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$ . Tout autre exemple valable aboutit aussi à $1\,089$ .

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . Pour $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . Les trois chiffres de $99m$ sont donc $m - 1$ , puis $9$ , puis $10 - m$ (vérification sur $495$ : $m = 5$ donne $4$ , $9$ , $5$ ).

9. Le retourné de $99m$ a pour chiffres $10 - m$ , $9$ , $m - 1$ : il vaut donc $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . En additionnant :

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

indépendamment de $m$ . Quel que soit le nombre de départ, le magicien ne risque rien.

10. Si $a = c$ , la soustraction donne $0$ et le tour meurt aussitôt. Si $a - c = 1$ , elle donne $99$ , qu’il faut traiter comme la chaîne de trois chiffres $099$ (retourné $990$ , $99 + 990 = 1\,089$ : sauvé !). Les petites lignes : un écart de $1$ ne fonctionne que si le spectateur écrit le résultat de la soustraction sur trois chiffres, zéro initial compris — exiger un écart d’au moins $2$ évite la discussion.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : les dizaines (et les centaines, d’octobre à décembre) donnent le mois, les unités (et les dizaines) le jour.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : il faut retrancher $18$ .

13. D’après la question 2, $n - (\text{somme des chiffres de } n) = 9(11a + b)$ pour un $n$ à trois chiffres : c’est toujours un multiple de $9$ (des identités analogues valent pour n’importe quelle longueur). Or un multiple de $9$ a une somme de chiffres multiple de $9$ (question 2 encore) : les chiffres énoncés par le spectateur doivent donc être complétés jusqu’au multiple de $9$ suivant, et le chiffre manquant est ce complément. Ambiguïté : si les chiffres lus totalisent déjà un multiple de $9$ , le chiffre barré pourrait être $0$ ou $9$ — exclure le $0$ lève le doute.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : écrire $t(t+1)$ , puis coller $25$ derrière. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ , donc $2\,025$ . $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , donc $7\,225$ . $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ , donc $11\,025$ .

15. Cinq entiers consécutifs : $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : un multiple de $5$ , toujours. Quatre entiers consécutifs : $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : reste $2$ dans la division par $4$ , donc jamais un multiple. L’algèbre transforme « ça a l’air de marcher » en toujours, et « je n’ai pas trouvé d’exemple » en jamais — deux mots qu’aucune quantité de tests ne peut atteindre (Méthode 48.8).

Termes définis dans ce chapitre

Développer

Voir les 395 termes du glossaire