Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

67Fonctions linéaires et affines

« Trois kilogrammes coûtent trois fois plus cher qu’un » : c’est la proportionnalité, la façon la plus simple dont deux quantités peuvent être liées. Les fonctions linéaires sont la proportionnalité dans le langage des fonctions ; les fonctions affines ajoutent un montant de départ fixe. Leurs graphiques sont des droites, et lire ces droites est la compétence que ce chapitre construit.

67.1 Proportionnalité et fonctions linéaires

Définition 67.1 (Fonction linéaire)

Une fonction linéaire multiplie tout nombre par un nombre fixe $a$ :

f(x) = a x .

Le nombre $a$ est le coefficient de $f$ . Deux quantités sont proportionnelles exactement lorsque l’une est une fonction linéaire de l’autre.

Exemple 67.2

Si les pommes coûtent $3$ l’unité de kilogramme, le prix de $x$ kilogrammes est $f(x) = 3x$ : en acheter deux fois plus coûte deux fois plus, et le prix de $2.5$ kg est $f(2.5) = 7.5$ .

Réciproquement, si une fonction linéaire satisfait $f(4) = 10$ , alors $a = \frac{10}{4} = 2.5$ et $f(x) = 2.5x$ : une seule valeur détermine complètement une fonction linéaire.

Proposition 67.3 (Graphique d’une fonction linéaire)

Le graphique de $f(x) = ax$ est une droite passant par l’origine. Réciproquement, toute droite non verticale passant par l’origine est le graphique d’une fonction linéaire.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Deux fonctions linéaires : les deux graphiques passent par l’origine ; le coefficient a est la hauteur atteinte en x = 1. — Deux fonctions linéaires : les deux graphiques passent par l’origine ; le coefficient $a$ est la hauteur atteinte en $x = 1$ .

67.2 Fonctions affines

Définition 67.4 (Fonction affine)

Une fonction affine a la forme

f(x) = a x + b ,

où $a$ et $b$ sont des nombres fixes. Les fonctions linéaires sont le cas particulier $b = 0$ ; les fonctions constantes le cas $a = 0$ .

Exemple 67.5

Une salle de sport facture des frais d’inscription de $20$ , puis $5$ par visite : le coût total de $x$ visites est $f(x) = 5x + 20$ . Le coût n’est pas proportionnel au nombre de visites (10 visites ne coûtent pas deux fois plus que 5), mais chaque visite supplémentaire ajoute le même montant, $5$ .

Proposition 67.6 (Graphique d’une fonction affine)

Le graphique de $f(x) = ax + b$ est une droite :

$b = f(0)$ est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe vertical en $(0, b)$ ;
$a$ est le coefficient directeur : avancer d’une unité vers la droite fait monter de $a$ unités (descendre si $a < 0$ ) ; la fonction est croissante lorsque $a > 0$ , décroissante lorsque $a < 0$ ;
pour deux entrées $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Preuve du dernier point. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; diviser par $v - u$ . Le reste est admis à ce niveau (le volume suivant donne un traitement complet des droites et de leurs équations). ∎

Lire y = ax + b sur son graphique : la droite coupe l’axe des y à la hauteur b, et monte de a pour chaque pas unitaire vers la droite (ici a = 1, b = 1). — Lire $y = ax + b$ sur son graphique : la droite coupe l’axe des $y$ à la hauteur $b$ , et monte de $a$ pour chaque pas unitaire vers la droite (ici $a = 1$ , $b = 1$ ).

Méthode 67.7 (Trouver une fonction affine à partir de deux valeurs)

Étant donnés $f(u)$ et $f(v)$ avec $u \neq v$ :

calculer le coefficient directeur $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
substituer l’une des deux valeurs connues dans $f(x) = ax + b$ pour trouver $b$ ;
vérifier avec l’autre valeur.

Exemple 67.8

Trouver la fonction affine avec $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

puis $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ donne $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Vérification : $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Pourcentages

Proposition 67.9 (Variation en pourcentage)

Augmenter une quantité de $t\,\%$ la multiplie par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; la diminuer de $t\,\%$ la multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$ . Les variations en pourcentage sont des fonctions linéaires.

Démonstration. Augmenter $x$ de $t\,\%$ signifie ajouter $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Même calcul avec un signe moins pour une diminution. ∎

Exemple 67.10

Un prix de $80$ augmente de $15\,\%$ : nouveau prix $80 \times 1.15 = 92$ . Un prix de $60$ diminue de $30\,\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Enchaîner des variations multiplie les facteurs. Une hausse de $20\,\%$ suivie d’une baisse de $20\,\%$ donne $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : une baisse de $4\,\%$ au total, pas un retour au départ !

67.4 Exercices

Exercice 67.1 ★

Parmi ces fonctions, lesquelles sont linéaires ? affines ? ni l’un ni l’autre ?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solution

Solution de Exercice 67.1.

Linéaires : $f$ et $k$ (forme $ax$ ). Affines mais non linéaires : $g$ (coefficient $3$ , ordonnée à l’origine $-5$ ) et $m$ (constante, coefficient $0$ ). Ni l’un ni l’autre : $h$ , à cause du carré.

Exercice 67.2 ★

Soit $f(x) = 2x - 3$ . Calculer $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ , et trouver le nombre $x$ tel que $f(x) = 9$ .

Solution

Solution de Exercice 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . Et $f(x) = 9$ signifie $2x - 3 = 9$ , donc $2x = 12$ et $x = 6$ .

Exercice 67.3 ★

Une fonction linéaire satisfait $f(6) = 15$ . Trouver son coefficient, puis calculer $f(10)$ et $f(-2)$ .

Solution

Solution de Exercice 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , donc $f(x) = 2.5x$ . Puis $f(10) = 25$ et $f(-2) = -5$ .

Exercice 67.4 ★

Tracer sur le même repère les graphiques de $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ et $h(x) = -x + 4$ . Que peut-on dire des graphiques de $f$ et $g$ ?

Solution

Solution de Exercice 67.4.

$f$ passe par l’origine avec coefficient $2$ ; $g$ a le même coefficient mais coupe l’axe des $y$ en $3$ ; $h$ décroît depuis $(0, 4)$ avec coefficient $-1$ . Les graphiques de $f$ et $g$ sont des droites parallèles (même coefficient, ordonnées à l’origine différentes).

Exercice 67.5 ★

Trouver la fonction affine telle que $f(1) = 5$ et $f(3) = 11$ ; puis celle telle que $g(0) = 4$ et $g(2) = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 67.5.

Pour $f$ : coefficient $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , puis $5 = 3 \times 1 + b$ donne $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Pour $g$ : coefficient $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , et $g(0) = 4$ est déjà l’ordonnée à l’origine : $g(x) = -2x + 4$ .

Exercice 67.6 ★★

Calculer : le prix après une hausse de $25\,\%$ sur $120$ ; le prix après une remise de $40\,\%$ sur $65$ ; le prix d’origine si un article coûte $69$ après une remise de $25\,\%$ .

Solution

Solution de Exercice 67.6.

Hausse de $25\,\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Remise de $40\,\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Prix d’origine $p$ avec $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Exercice 67.7 ★★

Un forfait téléphonique A coûte $10$ par mois plus $0.05$ par minute d’appels ; le forfait B coûte $25$ par mois avec appels illimités.

Exprimer le coût mensuel du forfait A en fonction du nombre $x$ de minutes.
À partir de combien de minutes par mois le forfait B est-il moins cher ?

Solution

Solution de Exercice 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. Le forfait B est moins cher lorsque $25 < 0.05x + 10$ , c’est-à-dire $15 < 0.05x$ , c’est-à-dire $x > 300$ . À partir de $301$ minutes ( $5$ heures) par mois, le forfait B l’emporte.

Exercice 67.8 ★★

Une population de $2000$ bactéries augmente de $10\,\%$ chaque heure.

Combien de bactéries y a-t-il après une heure ? Après deux heures ?
Expliquer pourquoi la réponse après deux heures n’est pas $2400$ .

Solution

Solution de Exercice 67.8.

1. Après une heure : $2000 \times 1.1 = 2200$ . Après deux heures : $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. La seconde hausse s’applique à $2200$ , et non à $2000$ : croître de $10\,\%$ deux fois multiplie par $1.1^2 = 1.21$ , une hausse de $21\,\%$ , pas de $20\,\%$ .

Exercice 67.9 ★★

Le graphique d’une fonction affine passe par les points $(2, 3)$ et $(6, 1)$ .

Calculer son coefficient directeur. La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Donner son expression, et calculer l’entrée pour laquelle la sortie est $0$ .

Solution

Solution de Exercice 67.9.

1. Coefficient : $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : la fonction est décroissante.

2. $f(x) = -0.5x + b$ avec $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , donc $b = 4$ et $f(x) = -0.5x + 4$ . Sortie $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ donne $x = 8$ .

Exercice 67.10 ★★★

Un magasin augmente d’abord un prix de $t\,\%$ , puis baisse le nouveau prix de $t\,\%$ .

Montrer que le prix final égale l’original multiplié par $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
En déduire que le prix final est toujours plus bas que l’original (pour $0 < t \leq 100$ ), et trouver la variation en pourcentage globale pour $t = 10$ .

Solution

Solution de Exercice 67.10.

1. Les deux variations multiplient le prix par

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(troisième identité avec $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Pour $0 < t \leq 100$ , $\frac{t^2}{10000} > 0$ , donc le facteur est inférieur à $1$ : le prix final est plus bas que l’original. Pour $t = 10$ : facteur $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , soit une baisse globale de $1\,\%$ .

67.5 Problème : les deux thermomètres

Problème 67.1

Devoir maison — Celsius, Fahrenheit et les fonctions affines de la vie courante : une température se lit de la même façon sur les deux échelles, et un coefficient directeur constant est la signature de la droite

Les Américains entendent « $68$ degrés » et s’habillent légèrement ; les Européens l’entendent et attrapent un manteau. Les deux thermomètres du monde sont reliés par une fonction affine — et la construire à partir de deux données est exactement le savoir-faire de la Méthode 67.7. Ce problème construit la conversion, trouve l’étrange température où les deux échelles s’accordent, lit ensuite les taxis, les grillons et les bougies avec les mêmes lunettes, et s’achève sur le test qui reconnaît la rectitude elle-même.

Partie I — Construire la conversion. Deux données fixent l’échelle Fahrenheit : l’eau gèle à $32\,^\circ$ F et bout à $212\,^\circ$ F (soit à $0\,^\circ$ C et $100\,^\circ$ C).

Trouver la fonction affine $F = f(C)$ qui convertit les degrés Celsius en degrés Fahrenheit (Méthode 67.7 avec les valeurs $f(0) = 32$ et $f(100) = 212$ ).
Convertir en degrés Fahrenheit : une douce journée à $20\,^\circ$ C ; les $37\,^\circ$ C du corps humain ; un glacial $-10\,^\circ$ C.
Résoudre en $C$ pour construire la conversion inverse, et l’appliquer à $50\,^\circ$ F puis à $98.6\,^\circ$ F.
$f$ est-elle une fonction linéaire (Définition 67.1) ? Vérifier les signes qui ne trompent pas : que vaut $f(0)$ , et doubler la lecture Celsius double-t-il la lecture Fahrenheit ? Conclure avec le mot juste (Définition 67.4).
L’énigme classique : existe-t-il une température qui se lit avec le même nombre sur les deux échelles ? Résoudre $f(x) = x$ , et décrire ce que la solution signifie sur la représentation graphique de $f$ (quelle droite le graphe coupe-t-il en ce point ?).

Partie II — Des fonctions affines en liberté.

Le taxi A facture $3$ euros plus $1.50$ par km ; le taxi B facture $2$ euros par km, sans prise en charge. Écrire les deux fonctions de prix et les comparer pour une course de $4$ km puis de $8$ km.
Trouver la distance d’équilibre à laquelle les deux taxis coûtent la même chose, et décrire la situation sur un graphe (deux droites — que se passe-t-il au point d’intersection, avant, après ?).
Règle empirique des naturalistes : un grillon stridule environ $N = 7T - 30$ fois par minute à la température $T\,^\circ$ C. Combien de stridulations par une soirée à $20\,^\circ$ C ? On compte $82$ stridulations en une minute : quelle température le grillon annonce-t-il ?
Un téléphone acheté $600$ euros perd $15$ euros de valeur par mois : écrire la fonction de valeur $v(t)$ , trouver quand le téléphone vaut $240$ euros, puis quand le modèle affirme qu’il ne vaut plus rien. La formule a-t-elle encore un sens au-delà de cette date ?
Les variations en pourcentage sont des fonctions linéaires : $+25\,\%$ est la multiplication par $1.25$ , et $-20\,\%$ la multiplication par $0.8$ (Proposition 67.9). Les composer : que fait à un prix une hausse de $25\,\%$ suivie d’une baisse de $20\,\%$ ? Expliquer le petit miracle, et comparer avec Exercice 67.10.

Partie III — Tout est dans le coefficient directeur.

Une bougie mesure $20$ cm au moment où on l’allume et $17$ cm une demi-heure plus tard. En supposant une fonte affine, trouver $h(t)$ (hauteur en cm, $t$ en minutes), et prévoir l’instant où la bougie s’éteint.
Deux cyclistes roulent sur la même route : la distance du premier est $d_1(t) = 24t$ (en km après $t$ heures), celle du second $d_2(t) = 10 + 18t$ . Lequel est parti avec de l’avance, lequel roule le plus vite, et à quel instant et à quel kilomètre le premier rattrape-t-il le second ?
Soient $f(x) = 2x + 3$ et $g(x) = -0.5x + 7$ . Calculer $f(x) + g(x)$ et vérifier que c’est encore une fonction affine. Quels sont, en général, le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une somme ?
Discuter complètement l’équation $mx + p = 0$ : combien de solutions lorsque $m \neq 0$ (et laquelle) ? Lorsque $m = 0$ et $p \neq 0$ ? Lorsque $m = 0$ et $p = 0$ ? (Chaque cas a son histoire graphique : où une droite de coefficient directeur $m$ coupe-t-elle l’axe horizontal ?)
Le test d’alignement : les points $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ sont-ils sur une même droite ? Et $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calculer les taux d’accroissement entre les couples et trancher. Énoncer la morale : un taux d’accroissement constant est la signature des fonctions affines — les courbes, elles, changent de taux, et mesurer cela est une histoire pour le volume suivant.

Solution

Solution de Problème 67.1.

1. Coefficient directeur : $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; ordonnée à l’origine $f(0) = 32$ . D’où

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (la fameuse journée douce) ; $f(37) = 98.6\,^\circ$ F ; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. De $F = 1.8C + 32$ on tire $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Alors $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, et $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ , et $f(20) = 68$ n’est pas le double de $f(10) = 50$ : la fonction n’est pas linéaire. Son graphe est une droite qui ne passe pas par l’origine : $f$ est affine, et non linéaire.

5. $1.8x + 32 = x$ donne $0.8x = -32$ , donc $x = -40$ : à quarante degrés sous zéro, les deux thermomètres affichent $-40$ . Sur le graphe, la droite de $f$ coupe exactement là la droite d’équation $y = x$ .

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ et $p_B(k) = 2k$ . Pour $4$ km : $9$ euros contre $8$ : B est moins cher. Pour $8$ km : $15$ contre $16$ : A est moins cher.

7. $1.5k + 3 = 2k$ donne $k = 6$ : à six kilomètres, les deux coûtent $12$ euros. Graphiquement, la droite de B (passant par l’origine, plus pentue) part en dessous de celle de A et la coupe en $(6, 12)$ : B gagne sur les courtes distances, A sur les longues.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ stridulations par minute. De $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Il vaut $240$ : $600 - 15t = 240$ , $t = 24$ mois. Il ne vaut plus rien : $t = 40$ mois. Au-delà de $40$ mois, la formule devient négative — or la valeur d’un téléphone s’arrête à zéro : tout modèle affine a un domaine où il a du sens.

10. En composant : $\times 1.25$ puis $\times 0.8$ revient à multiplier par $1.25 \times 0.8 = 1$ : le prix revient exactement à son point de départ. Aucun miracle : les pourcentages agissent sur des références différentes (la baisse s’applique au prix déjà augmenté), et ici les multiplicateurs se compensent par hasard — l’histoire générale, avec sa perte incompressible $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , est celle de l’Exercice 67.10.

11. Coefficient directeur : $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm par minute ; $h(t) = 20 - 0.1t$ . Elle s’éteint lorsque $h(t) = 0$ : $t = 200$ minutes — trois heures et vingt minutes de lumière.

12. Le second est parti avec $10$ km d’avance (l’ordonnée à l’origine) ; le premier va plus vite ( $24 > 18$ km/h). Rattrapage : $24t = 10 + 18t$ donne $6t = 10$ , $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, au kilomètre $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : c’est encore une fonction affine, dont le coefficient directeur est la somme des coefficients directeurs et l’ordonnée à l’origine la somme des ordonnées à l’origine — cela se voit en regroupant les termes semblables dans $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. Si $m \neq 0$ : exactement une solution, $x = -\frac pm$ — une droite non horizontale coupe l’axe une fois. Si $m = 0$ et $p \neq 0$ : aucune solution — une droite horizontale située au-dessus ou en dessous de l’axe ne le touche jamais. Si $m = 0$ et $p = 0$ : tout $x$ est solution — la droite est l’axe.

15. Premier triplet : taux $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ et $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : égaux, les points sont alignés (sur $y = 2x + 3$ ). Second triplet : $\frac{9-5}{2} = 2$ mais $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : ils ne sont pas alignés. Les fonctions affines sont exactement celles dont le taux d’accroissement est constant — un seul nombre, le coefficient directeur, raconte toute l’histoire ; pour les courbes, le taux lui-même change d’un point à l’autre, et le poursuivre conduit à la dérivée, dans le volume suivant.

Termes définis dans ce chapitre

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