Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

67Fonctions linéaires et affines

« Trois kilogrammes coûtent trois fois plus cher qu’un » : c’est la proportionnalité, la façon la plus simple dont deux quantités peuvent être liées. Les fonctions linéaires sont la proportionnalité dans le langage des fonctions ; les fonctions affines ajoutent un montant de départ fixe. Leurs graphiques sont des droites, et lire ces droites est la compétence que ce chapitre construit.

67.1 Proportionnalité et fonctions linéaires

Définition 67.1 (Fonction linéaire)

Une fonction linéaire multiplie tout nombre par un nombre fixe $a$ :

f(x) = a x .

Le nombre $a$ est le coefficient de $f$ . Deux quantités sont proportionnelles exactement lorsque l’une est une fonction linéaire de l’autre.

Exemple 67.2

Si les pommes coûtent $3$ l’unité de kilogramme, le prix de $x$ kilogrammes est $f(x) = 3x$ : en acheter deux fois plus coûte deux fois plus, et le prix de $2.5$ kg est $f(2.5) = 7.5$ .

Réciproquement, si une fonction linéaire satisfait $f(4) = 10$ , alors $a = \frac{10}{4} = 2.5$ et $f(x) = 2.5x$ : une seule valeur détermine complètement une fonction linéaire.

Proposition 67.3 (Graphique d’une fonction linéaire)

Le graphique de $f(x) = ax$ est une droite passant par l’origine. Réciproquement, toute droite non verticale passant par l’origine est le graphique d’une fonction linéaire.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Deux fonctions linéaires : les deux graphiques passent par l’origine ; le coefficient a est la hauteur atteinte en x = 1. — Deux fonctions linéaires : les deux graphiques passent par l’origine ; le coefficient $a$ est la hauteur atteinte en $x = 1$ .

67.2 Fonctions affines

Définition 67.4 (Fonction affine)

Une fonction affine a la forme

f(x) = a x + b ,

où $a$ et $b$ sont des nombres fixes. Les fonctions linéaires sont le cas particulier $b = 0$ ; les fonctions constantes le cas $a = 0$ .

Exemple 67.5

Une salle de sport facture des frais d’inscription de $20$ , puis $5$ par visite : le coût total de $x$ visites est $f(x) = 5x + 20$ . Le coût n’est pas proportionnel au nombre de visites (10 visites ne coûtent pas deux fois plus que 5), mais chaque visite supplémentaire ajoute le même montant, $5$ .

Proposition 67.6 (Graphique d’une fonction affine)

Le graphique de $f(x) = ax + b$ est une droite :

$b = f(0)$ est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe vertical en $(0, b)$ ;
$a$ est le coefficient directeur : avancer d’une unité vers la droite fait monter de $a$ unités (descendre si $a < 0$ ) ; la fonction est croissante lorsque $a > 0$ , décroissante lorsque $a < 0$ ;
pour deux entrées $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Preuve du dernier point. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; diviser par $v - u$ . Le reste est admis à ce niveau (le volume de lycée donne un traitement complet des droites et de leurs équations). ∎

Lire y = ax + b sur son graphique : la droite coupe l’axe des y à la hauteur b, et monte de a pour chaque pas unitaire vers la droite (ici a = 1, b = 1). — Lire $y = ax + b$ sur son graphique : la droite coupe l’axe des $y$ à la hauteur $b$ , et monte de $a$ pour chaque pas unitaire vers la droite (ici $a = 1$ , $b = 1$ ).

Méthode 67.7 (Trouver une fonction affine à partir de deux valeurs)

Étant donnés $f(u)$ et $f(v)$ avec $u \neq v$ :

calculer le coefficient directeur $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
substituer l’une des deux valeurs connues dans $f(x) = ax + b$ pour trouver $b$ ;
vérifier avec l’autre valeur.

Exemple 67.8

Trouver la fonction affine avec $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

puis $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ donne $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Vérification : $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Pourcentages

Proposition 67.9 (Variation en pourcentage)

Augmenter une quantité de $t\,\%$ la multiplie par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; la diminuer de $t\,\%$ la multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$ . Les variations en pourcentage sont des fonctions linéaires.

Démonstration. Augmenter $x$ de $t\,\%$ signifie ajouter $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Même calcul avec un signe moins pour une diminution. ∎

Exemple 67.10

Un prix de $80$ augmente de $15\,\%$ : nouveau prix $80 \times 1.15 = 92$ . Un prix de $60$ diminue de $30\,\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Enchaîner des variations multiplie les facteurs. Une hausse de $20\,\%$ suivie d’une baisse de $20\,\%$ donne $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : une baisse de $4\,\%$ au total, pas un retour au départ !

67.4 Exercices

Exercice 67.1 ★

Parmi ces fonctions, lesquelles sont linéaires ? affines ? ni l’un ni l’autre ?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solution

Solution de Exercice 67.1.

Linéaires : $f$ et $k$ (forme $ax$ ). Affines mais non linéaires : $g$ (coefficient $3$ , ordonnée à l’origine $-5$ ) et $m$ (constante, coefficient $0$ ). Ni l’un ni l’autre : $h$ , à cause du carré.

Exercice 67.2 ★

Soit $f(x) = 2x - 3$ . Calculer $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ , et trouver le nombre $x$ tel que $f(x) = 9$ .

Solution

Solution de Exercice 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . Et $f(x) = 9$ signifie $2x - 3 = 9$ , donc $2x = 12$ et $x = 6$ .

Exercice 67.3 ★

Une fonction linéaire satisfait $f(6) = 15$ . Trouver son coefficient, puis calculer $f(10)$ et $f(-2)$ .

Solution

Solution de Exercice 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , donc $f(x) = 2.5x$ . Puis $f(10) = 25$ et $f(-2) = -5$ .

Exercice 67.4 ★

Tracer sur le même repère les graphiques de $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ et $h(x) = -x + 4$ . Que peut-on dire des graphiques de $f$ et $g$ ?

Solution

Solution de Exercice 67.4.

$f$ passe par l’origine avec coefficient $2$ ; $g$ a le même coefficient mais coupe l’axe des $y$ en $3$ ; $h$ décroît depuis $(0, 4)$ avec coefficient $-1$ . Les graphiques de $f$ et $g$ sont des droites parallèles (même coefficient, ordonnées à l’origine différentes).

Exercice 67.5 ★

Trouver la fonction affine telle que $f(1) = 5$ et $f(3) = 11$ ; puis celle telle que $g(0) = 4$ et $g(2) = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 67.5.

Pour $f$ : coefficient $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , puis $5 = 3 \times 1 + b$ donne $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Pour $g$ : coefficient $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , et $g(0) = 4$ est déjà l’ordonnée à l’origine : $g(x) = -2x + 4$ .

Exercice 67.6 ★★

Calculer : le prix après une hausse de $25\,\%$ sur $120$ ; le prix après une remise de $40\,\%$ sur $65$ ; le prix d’origine si un article coûte $69$ après une remise de $25\,\%$ .

Solution

Solution de Exercice 67.6.

Hausse de $25\,\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Remise de $40\,\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Prix d’origine $p$ avec $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Exercice 67.7 ★★

Un forfait téléphonique A coûte $10$ par mois plus $0.05$ par minute d’appels ; le forfait B coûte $25$ par mois avec appels illimités.

Exprimer le coût mensuel du forfait A en fonction du nombre $x$ de minutes.
À partir de combien de minutes par mois le forfait B est-il moins cher ?

Solution

Solution de Exercice 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. Le forfait B est moins cher lorsque $25 < 0.05x + 10$ , c’est-à-dire $15 < 0.05x$ , c’est-à-dire $x > 300$ . À partir de $301$ minutes ( $5$ heures) par mois, le forfait B l’emporte.

Exercice 67.8 ★★

Une population de $2000$ bactéries augmente de $10\,\%$ chaque heure.

Combien de bactéries y a-t-il après une heure ? Après deux heures ?
Expliquer pourquoi la réponse après deux heures n’est pas $2400$ .

Solution

Solution de Exercice 67.8.

1. Après une heure : $2000 \times 1.1 = 2200$ . Après deux heures : $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. La seconde hausse s’applique à $2200$ , et non à $2000$ : croître de $10\,\%$ deux fois multiplie par $1.1^2 = 1.21$ , une hausse de $21\,\%$ , pas de $20\,\%$ .

Exercice 67.9 ★★

Le graphique d’une fonction affine passe par les points $(2, 3)$ et $(6, 1)$ .

Calculer son coefficient directeur. La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Donner son expression, et calculer l’entrée pour laquelle la sortie est $0$ .

Solution

Solution de Exercice 67.9.

1. Coefficient : $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : la fonction est décroissante.

2. $f(x) = -0.5x + b$ avec $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , donc $b = 4$ et $f(x) = -0.5x + 4$ . Sortie $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ donne $x = 8$ .

Exercice 67.10 ★★★

Un magasin augmente d’abord un prix de $t\,\%$ , puis baisse le nouveau prix de $t\,\%$ .

Montrer que le prix final égale l’original multiplié par $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
En déduire que le prix final est toujours plus bas que l’original (pour $0 < t \leq 100$ ), et trouver la variation en pourcentage globale pour $t = 10$ .

Solution

Solution de Exercice 67.10.

1. Les deux variations multiplient le prix par

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(troisième identité avec $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Pour $0 < t \leq 100$ , $\frac{t^2}{10000} > 0$ , donc le facteur est inférieur à $1$ : le prix final est plus bas que l’original. Pour $t = 10$ : facteur $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , soit une baisse globale de $1\,\%$ .