Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

47Fractions : comparer et additionner

L’année 6 a présenté les fractions comme parts et comme quotients exacts (Chapitre 39). Ce chapitre apprend à calculer avec elles : reconnaître des fractions égales, comparer, additionner et soustraire — pour l’instant avec des dénominateurs amiables ; le cas général arrive au Chapitre 63.

47.1 Fractions égales

Théorème 47.1 (Fractions égales)

Une fraction est inchangée lorsque son numérateur et son dénominateur sont multipliés, ou divisés, par le même nombre non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , et dans l’autre sens $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (simplifiée par $6$ ).

Pour tester si $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{10}{15}$ sont égales, simplifier les deux : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — oui, égales.

47.2 Comparer des fractions

Méthode 47.3 (Comparer deux fractions)

Même dénominateur : comparer les numérateurs : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
Un dénominateur est multiple de l’autre : réécrire la fraction la plus grossière, puis comparer : $\frac{5}{6}$ contre $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Comparer à $1$ ou $\frac12$ lorsque c’est possible : $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ tranche $\frac98$ contre $\frac79$ d’un coup.

Comparer 5/6 et 7/12 sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre 5/6 = 10/12, plus que 7/12. — Comparer $\frac56$ et $\frac{7}{12}$ sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre $\frac56 = \frac{10}{12}$ , plus que $\frac{7}{12}$ .

47.3 Additionner et soustraire

Théorème 47.4 (Même dénominateur)

Des fractions de même dénominateur s’additionnent (ou se soustraient) en additionnant (ou soustrayant) les numérateurs :

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Pourquoi. $a$ parts de taille $\frac1d$ plus $b$ parts de la même taille font $a + b$ parts de cette taille. ∎

Méthode 47.5 (Dénominateurs différents)

Lorsqu’un dénominateur est multiple de l’autre :

réécrire la fraction de plus petit dénominateur pour que les deux aient le plus grand (Théorème 47.1) ;
additionner ou soustraire les numérateurs ;
simplifier le résultat si possible.

Exemple 47.6

Calculer $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , étape par étape :

$8$ est multiple de $4$ : réécrire $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
additionner : $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
rien à simplifier : le résultat est $\dfrac{11}{8}$ , c’est-à-dire $1 + \dfrac38$ .

Autre : $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (écrire d’abord le nombre entier sur le dénominateur $5$ ).

Exemple 47.7 (Un piège classique)

$\dfrac12 + \dfrac13$ n’est pas $\dfrac{2}{5}$ ! Additionner séparément numérateurs et dénominateurs est faux — la réponse $\frac25$ serait plus petite que $\frac12$ , absurde quand on ajoute une quantité positive à $\frac12$ . (La somme correcte, $\frac56$ , demande un dénominateur commun $6$ ; la méthode générale est au Chapitre 63.)

47.4 Multiplier une fraction par un nombre

Proposition 47.8 (Fraction fois un nombre)

Pour un nombre $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

Prendre $\frac ab$ de une quantité, c’est multiplier par $\frac ab$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : six fois deux tiers font quatre entiers. Et « $\frac34$ de $60$ euros » c’est $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euros — la même réponse qu’en divisant par $4$ puis multipliant par $3$ (Méthode 39.8).

47.5 Exercices

Exercice 47.1 ★

Compléter : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Solution

Solution de Exercice 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Exercice 47.2 ★

Simplifier autant que possible : $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Solution

Solution de Exercice 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Exercice 47.3 ★

$\dfrac{15}{35}$ et $\dfrac{21}{49}$ sont-elles égales ? Et $\dfrac{16}{28}$ et $\dfrac{20}{36}$ ? Justifier en simplifiant.

Solution

Solution de Exercice 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ et $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : égales.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ et $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : pour comparer, $\frac47 = \frac{36}{63}$ et $\frac59 = \frac{35}{63}$ — pas égales.

Exercice 47.4 ★

Comparer (écrire le raisonnement, pas seulement la réponse) :

\frac{7}{11} \text{ et } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ et } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ et } \frac{19}{20}.

Solution

Solution de Exercice 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (même dénominateur).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ tandis que $\dfrac{19}{20} < 1$ , donc $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Exercice 47.5 ★

Calculer et simplifier si possible :

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Solution

Solution de Exercice 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Exercice 47.6 ★

Calculer en utilisant Méthode 47.5 :

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Solution

Solution de Exercice 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Exercice 47.7 ★

Calculer :

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Solution

Solution de Exercice 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Exercice 47.8 ★

Calculer :

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ de } 45 .

Solution

Solution de Exercice 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ de $45$ vaut $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Exercice 47.9 ★★

Marc a mangé $\frac14$ d’une pizza et Julie $\frac38$ de la même pizza. Quelle fraction de la pizza ont-ils mangée ensemble ? Quelle fraction reste-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 47.9.

Ensemble : $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ de la pizza. Reste : $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Exercice 47.10 ★★

Une bouteille contient $\frac34$ L de jus. Léa en verse $\frac16$ L deux fois. Combien de jus reste-t-il ? (Dénominateur commun : $12$ .)

Solution

Solution de Exercice 47.10.

Versé : $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Restant :

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Exercice 47.11 ★★

Expliquer, avec l’argument de Exemple 47.7, pourquoi $\frac35 + \frac12$ ne peut pas être $\frac{4}{7}$ , sans calculer la somme correcte.

Solution

Solution de Exercice 47.11.

Ajouter la quantité positive $\frac12$ à $\frac35$ doit donner un résultat plus grand que $\frac35$ . Or $\frac47 < \frac35$ (en effet $\frac47 = \frac{20}{35}$ et $\frac35 = \frac{21}{35}$ ) : la somme annoncée est plus petite que l’un de ses termes — impossible.

Exercice 47.12 ★★★

Calculer la somme

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

étape par étape (de gauche à droite). Observer le motif des sommes partielles : quel nombre approchent-elles lorsque l’on ajoute de plus en plus de termes $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ ?

Solution

Solution de Exercice 47.12.

Étape par étape :

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

Les sommes partielles $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ se rapprochent à chaque fois de moitié vers $1$ : à chaque étape, la part manquante est coupée en deux. Les sommes s’approchent de $1$ sans jamais l’atteindre.