Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

47Fractions : comparer et additionner

L’année 6 a présenté les fractions comme parts et comme quotients exacts (Chapitre 39). Ce chapitre apprend à calculer avec elles : reconnaître des fractions égales, comparer, additionner et soustraire — pour l’instant avec des dénominateurs amiables ; le cas général arrive au Chapitre 63.

47.1 Fractions égales

Théorème 47.1 (Fractions égales)

Une fraction est inchangée lorsque son numérateur et son dénominateur sont multipliés, ou divisés, par le même nombre non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , et dans l’autre sens $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (simplifiée par $6$ ).

Pour tester si $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{10}{15}$ sont égales, simplifier les deux : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — oui, égales.

47.2 Comparer des fractions

Méthode 47.3 (Comparer deux fractions)

Même dénominateur : comparer les numérateurs : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
Un dénominateur est multiple de l’autre : réécrire la fraction la plus grossière, puis comparer : $\frac{5}{6}$ contre $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Comparer à $1$ ou $\frac12$ lorsque c’est possible : $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ tranche $\frac98$ contre $\frac79$ d’un coup.

Comparer 5/6 et 7/12 sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre 5/6 = 10/12, plus que 7/12. — Comparer $\frac56$ et $\frac{7}{12}$ sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre $\frac56 = \frac{10}{12}$ , plus que $\frac{7}{12}$ .

47.3 Additionner et soustraire

Théorème 47.4 (Même dénominateur)

Des fractions de même dénominateur s’additionnent (ou se soustraient) en additionnant (ou soustrayant) les numérateurs :

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Pourquoi. $a$ parts de taille $\frac1d$ plus $b$ parts de la même taille font $a + b$ parts de cette taille. ∎

Méthode 47.5 (Dénominateurs différents)

Lorsqu’un dénominateur est multiple de l’autre :

réécrire la fraction de plus petit dénominateur pour que les deux aient le plus grand (Théorème 47.1) ;
additionner ou soustraire les numérateurs ;
simplifier le résultat si possible.

Exemple 47.6

Calculer $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , étape par étape :

$8$ est multiple de $4$ : réécrire $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
additionner : $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
rien à simplifier : le résultat est $\dfrac{11}{8}$ , c’est-à-dire $1 + \dfrac38$ .

Autre : $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (écrire d’abord le nombre entier sur le dénominateur $5$ ).

Exemple 47.7 (Un piège classique)

$\dfrac12 + \dfrac13$ n’est pas $\dfrac{2}{5}$ ! Additionner séparément numérateurs et dénominateurs est faux — la réponse $\frac25$ serait plus petite que $\frac12$ , absurde quand on ajoute une quantité positive à $\frac12$ . (La somme correcte, $\frac56$ , demande un dénominateur commun $6$ ; la méthode générale est au Chapitre 63.)

47.4 Multiplier une fraction par un nombre

Proposition 47.8 (Fraction fois un nombre)

Pour un nombre $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

Prendre $\frac ab$ de une quantité, c’est multiplier par $\frac ab$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : six fois deux tiers font quatre entiers. Et « $\frac34$ de $60$ euros » c’est $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euros — la même réponse qu’en divisant par $4$ puis multipliant par $3$ (Méthode 39.8).

47.5 Exercices

Exercice 47.1 ★

Compléter : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Solution

Solution de Exercice 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Exercice 47.2 ★

Simplifier autant que possible : $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Solution

Solution de Exercice 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Exercice 47.3 ★

$\dfrac{15}{35}$ et $\dfrac{21}{49}$ sont-elles égales ? Et $\dfrac{16}{28}$ et $\dfrac{20}{36}$ ? Justifier en simplifiant.

Solution

Solution de Exercice 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ et $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : égales.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ et $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : pour comparer, $\frac47 = \frac{36}{63}$ et $\frac59 = \frac{35}{63}$ — pas égales.

Exercice 47.4 ★

Comparer (écrire le raisonnement, pas seulement la réponse) :

\frac{7}{11} \text{ et } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ et } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ et } \frac{19}{20}.

Solution

Solution de Exercice 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (même dénominateur).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ tandis que $\dfrac{19}{20} < 1$ , donc $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Exercice 47.5 ★

Calculer et simplifier si possible :

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Solution

Solution de Exercice 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Exercice 47.6 ★

Calculer en utilisant Méthode 47.5 :

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Solution

Solution de Exercice 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Exercice 47.7 ★

Calculer :

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Solution

Solution de Exercice 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Exercice 47.8 ★

Calculer :

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ de } 45 .

Solution

Solution de Exercice 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ de $45$ vaut $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Exercice 47.9 ★★

Marc a mangé $\frac14$ d’une pizza et Julie $\frac38$ de la même pizza. Quelle fraction de la pizza ont-ils mangée ensemble ? Quelle fraction reste-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 47.9.

Ensemble : $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ de la pizza. Reste : $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Exercice 47.10 ★★

Une bouteille contient $\frac34$ L de jus. Léa en verse $\frac16$ L deux fois. Combien de jus reste-t-il ? (Dénominateur commun : $12$ .)

Solution

Solution de Exercice 47.10.

Versé : $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Restant :

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Exercice 47.11 ★★

Expliquer, avec l’argument de Exemple 47.7, pourquoi $\frac35 + \frac12$ ne peut pas être $\frac{4}{7}$ , sans calculer la somme correcte.

Solution

Solution de Exercice 47.11.

Ajouter la quantité positive $\frac12$ à $\frac35$ doit donner un résultat plus grand que $\frac35$ . Or $\frac47 < \frac35$ (en effet $\frac47 = \frac{20}{35}$ et $\frac35 = \frac{21}{35}$ ) : la somme annoncée est plus petite que l’un de ses termes — impossible.

Exercice 47.12 ★★★

Calculer la somme

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

étape par étape (de gauche à droite). Observer le motif des sommes partielles : quel nombre approchent-elles lorsque l’on ajoute de plus en plus de termes $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ ?

Solution

Solution de Exercice 47.12.

Étape par étape :

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

Les sommes partielles $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ se rapprochent à chaque fois de moitié vers $1$ : à chaque étape, la part manquante est coupée en deux. Les sommes s’approchent de $1$ sans jamais l’atteindre.

47.6 Problème : les fractions cachées dans une mesure de musique

Problème 47.1

Devoir maison — les valeurs de notes sont des fractions qui doivent tomber juste, le comptage des rythmes cache une suite célèbre, et la parité gouverne les danses des Balkans

La musique s’écrit en fractions. Une ronde dure $1$ mesure (dans la mesure courante à $4/4$ ) ; une blanche dure $\frac12$ ; viennent ensuite la noire $\frac14$ , la croche $\frac18$ et la double croche $\frac{1}{16}$ . Une loi inviolable : les durées d’une mesure doivent totaliser exactement la valeur de la mesure — $1$ dans une mesure à $4/4$ . Chacune des questions ci-dessous est l’arithmétique de ce chapitre (Théorème 47.4, Méthode 47.5) mise en musique ; on y croisera une suite de comptage découverte par des savants indiens il y a mille ans.

Partie I — Des notes qui doivent tomber juste.

Vérifier que chacune de ces mesures est correcte à $4/4$ : (a) blanche $+$ noire $+$ noire ; (b) noire $+$ croche $+$ croche $+$ blanche.
Un copiste a écrit : blanche $+$ noire $+$ croche. Quelle fraction de la mesure est écrite, et quelle note unique la complète ?
Combien de doubles croches remplissent une mesure entière ? Combien de doubles croches font une croche ?
Un point placé après une note ajoute la moitié de sa valeur : une blanche pointée vaut $\frac12 + \frac14$ , une noire pointée vaut $\frac14 + \frac18$ . Calculer ces deux valeurs.
Une valse s’écrit à $3/4$ : chaque mesure doit totaliser $\frac34$ . Vérifier qu’une seule blanche pointée remplit une mesure de valse, et écrire deux autres mesures de valse correctes n’utilisant que des noires et des croches.

Partie II — L’atelier du copiste.

Une mesure à $4/4$ contient : noire pointée $+$ croche $+$ noire. Que manque-t-il ?
Qu’est-ce qui dure le plus longtemps, une croche pointée ou une noire ? Comparer en doubles croches.
Une liaison colle des durées ensemble en un seul son prolongé : combien de temps dure une blanche liée à une croche ? Cela fait combien de doubles croches ?
Les notes d’une mesure totalisent $\frac{11}{16}$ ; le reste est du silence. Quelle est la durée de ce silence ?
Un batteur remplit une noire ( $\frac{4}{16}$ de la mesure) en n’utilisant que des croches ( $\frac{2}{16}$ ) et des doubles croches ( $\frac{1}{16}$ ), l’ordre comptant : par exemple croche–double–double, ou double–croche–double. Vérifier que ces deux exemples sont corrects, puis dresser la liste de tous les rythmes possibles. Combien y en a-t-il ?

Partie III — Une suite millénaire, et une mesure impaire.

Comptons les rythmes du batteur pour des notes plus longues. Tout rythme se termine soit par une double croche, soit par une croche ; expliquer pourquoi cela donne la règle : (rythmes remplissant $n$ doubles croches) $=$ (rythmes remplissant $n - 1$ ) $+$ (rythmes remplissant $n - 2$ ). En partant de $1$ rythme pour une double croche et de $2$ pour deux, construire le tableau jusqu’à $n = 8$ : combien de rythmes remplissent une blanche ?
Les nombres obtenus — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — ont été publiés par le savant indien Hemachandra vers l’an 1150, en comptant exactement de tels rythmes, deux générations avant que Fibonacci ne les consigne en Italie. Énoncer en une phrase la règle qui les définit, et la vérifier sur les trois dernières cases du tableau.
Le style « swing » remplace deux croches égales par un couple long–court : $\frac16$ puis $\frac{1}{12}$ . Vérifier que l’échange est correct (même durée totale), en utilisant le dénominateur commun $12$ .
Un triolet tasse trois notes égales dans une noire. Combien dure chaque note (vérifier la réponse en la multipliant par $3$ , Proposition 47.8) ? Même question pour trois notes égales remplissant une blanche.
Les danses des Balkans emploient la mesure à $7/8$ : chaque mesure totalise $\frac78$ . Vérifier que noire pointée $+$ noire $+$ noire la remplit. Expliquer ensuite pourquoi aucune combinaison de blanches et de noires seules, si nombreuses soient-elles, ne pourra jamais remplir une mesure à $7/8$ . (Compter en croches et penser au pair et à l’impair.)

Solution

Solution de Problème 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : correcte. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : correcte.

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : il manque une croche.

3. Une mesure vaut $1 = \frac{16}{16}$ : seize doubles croches. Une croche vaut $\frac18 = \frac{2}{16}$ : deux doubles croches.

4. Blanche pointée : $\frac12 + \frac14 = \frac34$ . Noire pointée : $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ .

5. La blanche pointée vaut $\frac34$ (question 4) : exactement une mesure de valse. Autres remplissages, par exemple : noire $+$ noire $+$ noire ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), ou noire $+$ croche $+$ croche $+$ noire ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ ).

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : il manque une noire ( $\frac14$ ).

7. Croche pointée : $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ . Noire : $\frac{4}{16}$ . La noire est la plus longue.

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , c’est-à-dire $\frac{10}{16}$ : dix doubles croches.

9. $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ de la mesure est du silence.

10. Les deux exemples totalisent $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : correct. Tous les rythmes remplissant quatre doubles croches avec des morceaux de $2$ et de $1$ :

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

cinq rythmes.

11. Un rythme remplissant $n$ doubles croches se termine soit par une double croche — et ce qui précède remplit $n - 1$ — soit par une croche — et ce qui précède remplit $n - 2$ . Chaque rythme est ainsi compté exactement une fois, donc $\text{rythmes}(n) = \text{rythmes}(n-1) + \text{rythmes}(n-2)$ . Tableau :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
rythmes	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

Une blanche ( $8$ doubles croches) se bat de $34$ façons. ( $n = 4$ redonne les cinq rythmes de la question 10.)

12. Chaque nombre est la somme des deux précédents : $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — la règle démontrée à la question 11, vieille de mille ans et connue aujourd’hui sous le nom de règle de Fibonacci.

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : la même durée que deux croches ordinaires ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ). L’échange du swing est correct.

14. Chaque note du triolet dure $\frac{1}{12}$ : vérification, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (Proposition 47.8). Pour une blanche : chacune dure $\frac16$ , puisque $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ .

15. Noire pointée $+$ noire $+$ noire : en croches, $3 + 2 + 2 = 7$ croches $= \frac78$ : correct. Les blanches et les noires valent $4$ et $2$ croches — deux nombres pairs. Toute somme de nombres pairs est paire, alors qu’une mesure à $7/8$ demande $7$ croches, un nombre impair : c’est impossible. Pour remplir une mesure impaire, il faut faire apparaître quelque chose d’impair — une croche ou une note pointée.