Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

55Fractions : les quatre opérations

Ce chapitre achève l’arithmétique des fractions : addition et soustraction avec n’importe quels dénominateurs, multiplication, et — la nouveauté — la division, qui se révèle être une multiplication déguisée. Les signes du Chapitre 54 accompagnent le voyage.

55.1 Additionner avec n’importe quels dénominateurs

Méthode 55.1 (Dénominateur commun)

Pour additionner ou soustraire $\frac ab$ et $\frac cd$ :

trouver un multiple commun de $b$ et $d$ (le produit $b \times d$ fonctionne toujours ; un plus petit économise des efforts) ;
réécrire les deux fractions avec ce dénominateur ;
additionner ou soustraire les numérateurs ; simplifier.

Exemple 55.2

Calculer $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Un multiple commun de $6$ et $4$ est $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Avec des signes : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Multiplier des fractions

Théorème 55.3 (Produit de fractions)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Pourquoi, sur une figure. Prendre $\frac34$ de $\frac25$ d’un carré : couper le carré en $5$ bandes verticales et en garder $2$ ; couper horizontalement en $4$ et garder $3$ rangées de ce qui reste. La partie gardée est une grille de $3 \times 2$ petites cellules sur $4 \times 5$ : fraction $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5 : la région doublement ombrée compte 3 × 2 = 6 cellules sur 4 × 5 = 20, c’est-à-dire 6/20 = 3/10 — numérateurs multipliés, dénominateurs multipliés. — $\frac34 \times \frac25$ : la région doublement ombrée compte $3 \times 2 = 6$ cellules sur $4 \times 5 = 20$ , c’est-à-dire $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — numérateurs multipliés, dénominateurs multipliés.

Exemple 55.4

Simplifier avant de multiplier, en barrant les facteurs communs :

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(le facteur $7$ et un facteur $3$ s’annulent entre haut et bas). Avec des signes, les règles de Théorème 54.1 s’appliquent d’abord : $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Diviser des fractions

Définition 55.5 (Inverse)

L’inverse d’un nombre non nul $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$ , donne $1$ . L’inverse de $\frac ab$ est $\frac ba$ , puisque $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; l’inverse d’un entier $n$ est $\frac1n$ .

Théorème 55.6 (Diviser, c’est multiplier par l’inverse)

Pour $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Démonstration. Par définition, le quotient $q$ de $\frac ab$ par $\frac cd$ est le nombre tel que $q \times \frac cd = \frac ab$ . Vérifier le candidat $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Exemple 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Contrôle de bon sens : diviser par $\frac{7}{10}$ , un nombre plus petit que $1$ , doit donner un résultat plus grand que $\frac35$ — et $\frac67 > \frac35$ en effet ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Exemple 55.8 (Barres de fraction dans des barres de fraction)

Un « double étage » n’est qu’une division écrite verticalement :

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Repérer d’abord la barre principale (la plus longue), puis appliquer Théorème 55.6.

Méthode 55.9 (Calculs mixtes)

Dans une expression mélangeant fractions et les quatre opérations :

appliquer les priorités habituelles (Chapitre 45) ;
convertir chaque division en multiplication par l’inverse ;
décider les signes d’abord (Méthode 54.6), puis multiplier ou trouver des dénominateurs communs ;
simplifier à la première occasion.

Exemple 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(produit d'abord~!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Exercices

Exercice 55.1 ★

Calculer et simplifier :

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Solution

Solution de Exercice 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Exercice 55.2 ★

Calculer (signes d’abord) :

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Solution

Solution de Exercice 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Exercice 55.3 ★

Calculer, en simplifiant avant de multiplier :

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Solution

Solution de Exercice 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplifier par $5$ et par $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (simplifier par $7$ et par $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (signes contraires : négatif).

Exercice 55.4 ★

Donner l’inverse de : $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Solution

Solution de Exercice 55.4.

Inverses : $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (l’inverse garde le signe).

Exercice 55.5 ★

Calculer :

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Solution

Solution de Exercice 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Exercice 55.6 ★

Calculer les doubles étages :

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Solution

Solution de Exercice 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Exercice 55.7 ★

Calculer, en respectant les priorités :

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Solution

Solution de Exercice 55.7.

Produit d’abord : $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Parenthèses d’abord : $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Exercice 55.8 ★★

Un réservoir est plein aux $\frac{2}{5}$ . On ajoute $\frac{1}{3}$ de la capacité du réservoir. Quelle fraction du réservoir est maintenant pleine ? Quelle fraction est encore vide ?

Solution

Solution de Exercice 55.8.

Plein : $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ du réservoir. Vide : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Exercice 55.9 ★★

Les trois quarts des élèves d’une classe ont réussi un contrôle ; parmi ceux-ci, les deux tiers ont obtenu plus de $14$ sur $20$ . Quelle fraction de la classe a obtenu plus de $14$ ? Si cela représente $12$ élèves, quelle est la taille de la classe ?

Solution

Solution de Exercice 55.9.

Fraction avec plus de $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ de la classe. Si cela fait $12$ élèves, la classe en compte $24$ .

Exercice 55.10 ★★

Une corde de $\frac{15}{2}$ m doit être coupée en morceaux de $\frac{3}{4}$ m chacun. Combien de morceaux obtient-on ? (Une division de fractions — vérifier que la réponse est un nombre entier.)

Solution

Solution de Exercice 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ morceaux — un nombre entier, pas de corde perdue.

Exercice 55.11 ★★

Calculer

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Solution

Solution de Exercice 55.11.

$E$ : division d’abord : $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; puis $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (le carré est positif).

Exercice 55.12 ★★★

Simplifier l’expression

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(commencer par la fraction la plus intérieure et remonter, une barre à la fois).

Solution

Solution de Exercice 55.12.

De l’intérieur vers l’extérieur : $1 + 1 = 2$ ; puis $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; puis

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .

55.5 Problème : les fractions égyptiennes

Problème 55.1

Devoir maison — toute fraction est une somme de fractions unitaires deux à deux distinctes

Une fraction unitaire est une fraction de numérateur $1$ . Les scribes de l’Égypte ancienne — le papyrus Rhind a été copié vers $1550$ av. J.-C. — écrivaient toute fraction comme une somme de fractions unitaires deux à deux distinctes : jamais $\frac27 = \frac17 + \frac17$ , mais $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ . Une telle somme s’appelle une écriture égyptienne de la fraction. Ce problème transforme les techniques d’addition et de comparaison de ce chapitre (Méthode 55.1) en une méthode — publiée par Fibonacci en $1202$ — qui produit une écriture égyptienne de toute fraction comprise entre $0$ et $1$ , et s’achève sur une énigme d’héritage restée célèbre.

Partie I — Fractions unitaires et identité de dédoublement.

Calculer $\frac12 + \frac13$ et $\frac12 + \frac14$ , et en déduire des écritures égyptiennes de $\frac56$ et de $\frac34$ .
Vérifier l’entrée des scribes pour $\frac27$ : montrer que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
Vérifier que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ et que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$ . Démontrer ensuite l’identité de dédoublement : pour tout entier $n \geq 1$ ,

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$
En déduire une écriture égyptienne de $1$ lui-même, comme somme de trois fractions unitaires distinctes.
Dédoubler le dernier terme de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ pour obtenir une seconde écriture égyptienne de $\frac56$ , à trois fractions unitaires. Expliquer pourquoi aucune fraction n’a d’écriture égyptienne unique.

Partie II — La méthode gloutonne de Fibonacci. La méthode est la suivante : retrancher la plus grande fraction unitaire qui tient, et recommencer avec ce qui reste.

En passant par des dénominateurs communs, montrer que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Pourquoi cela prouve-t-il que $\frac14$ est la plus grande fraction unitaire inférieure à $\frac27$ ?
Calculer $\frac27 - \frac14$ . Quelle écriture de $\frac27$ la méthode gloutonne produit-elle ?
Passons à $\frac57$ . Montrer que la plus grande fraction unitaire inférieure à $\frac57$ est $\frac12$ , et calculer $\frac57 - \frac12$ .
Montrer que la plus grande fraction unitaire inférieure à $\frac{3}{14}$ est $\frac15$ (comparer $\frac{3}{14}$ à $\frac14$ puis à $\frac15$ ), calculer $\frac{3}{14} - \frac15$ , et conclure :

$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$

Vérifier cette écriture directement avec le dénominateur commun $70$ .
Appliquer la méthode gloutonne à $\frac45$ , en vérifiant à chaque étape que la fraction unitaire choisie est bien la plus grande qui tienne, et vérifier l’écriture finale.

Partie III — Pourquoi la méthode s’arrête toujours, et le dix-huitième chameau.

Aux questions 7 à 10, la méthode a été appliquée à $\frac27$ , $\frac57$ et $\frac45$ . Pour chacune, dresser la liste des numérateurs des restes successifs (avant toute simplification). Qu’observe-t-on ?
Pour une fraction $\frac ab$ et un entier $n$ , montrer que

$\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$
Supposons que la méthode gloutonne retranche $\frac1n$ de $\frac ab$ : alors $\frac1n$ tient, mais $\frac{1}{n-1}$ est déjà trop grande, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ . En mettant les deux au dénominateur commun $b \times (n - 1)$ , en déduire que $b > a \times n - a$ , donc que le nouveau numérateur vérifie

$a \times n - b < a .$

Expliquer pourquoi cela démontre que la méthode s’arrête toujours.
Un vieux conte : un père meurt en laissant $17$ chameaux, en léguant $\frac12$ du troupeau à son aîné, $\frac13$ au deuxième, $\frac19$ au troisième — et aucune des parts n’est un nombre entier de chameaux. Un voisin prête à la famille un dix-huitième chameau ; les enfants prennent $9$ , $6$ et $2$ chameaux, et le chameau emprunté est rendu. Calculer $\frac12 + \frac13 + \frac19$ et expliquer le tour de passe-passe : pourquoi le troupeau a-t-il pu se partager en chameaux entiers, et pourquoi aucun enfant n’a-t-il reçu moins que ce que promettait le testament ?
Réparer le testament : proposer trois fractions unitaires distinctes dont la somme vaut exactement $1$ , et donner la plus petite taille de troupeau pour laquelle les trois parts sont des nombres entiers de chameaux.

Solution

Solution de Problème 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ et $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$ . Donc $\frac56 = \frac12 + \frac13$ et $\frac34 = \frac12 + \frac14$ sont des écritures égyptiennes (les fractions unitaires y sont bien distinctes).

2. Avec le dénominateur commun $28$ :

\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$ , et $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$ . En général, le dénominateur commun de $\frac{1}{n+1}$ et de $\frac{1}{n(n+1)}$ est $n(n+1)$ :

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} .

4. Partir de $1 = \frac12 + \frac12$ et dédoubler la seconde moitié par la question 3 :

1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,

trois fractions unitaires distinctes.

5. En dédoublant le $\frac13$ de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ , on obtient

\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .

Aucune écriture égyptienne n’est jamais unique : l’identité de dédoublement peut toujours remplacer la fraction unitaire de plus grand dénominateur par deux nouvelles fractions unitaires encore plus petites — de toute écriture on en fabrique donc une autre.

6. Avec le dénominateur $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$ . Avec le dénominateur $28$ : $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$ . Les fractions unitaires décroissent à mesure que leur dénominateur grandit, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; comme $\frac13$ (et tout ce qui la dépasse) est trop grande et que $\frac14$ tient, $\frac14$ est la plus grande fraction unitaire inférieure à $\frac27$ .

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$ : la méthode gloutonne produit $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ , exactement l’entrée des scribes de la question 2.

8. Avec le dénominateur $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$ , tandis que la seule fraction unitaire plus grande, $1$ , dépasse $\frac57$ . Donc $\frac12$ est la plus grande qui tienne, et

\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .

9. Avec le dénominateur $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$ , donc $\frac14$ est trop grande. Avec le dénominateur $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ , donc $\frac15$ tient : c’est la plus grande fraction unitaire inférieure à $\frac{3}{14}$ . Alors

\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}, \qquad\text{d'où}\qquad \frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .

Vérification : $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$ .

10. Première étape : $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ et $1 > \frac45$ , on retranche donc $\frac12$ : $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$ . Deuxième étape : $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ est trop grande, et $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ tient ; on retranche donc $\frac14$ : $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$ . Conclusion :

\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20}, \qquad \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac45 . \checkmark

11. Les numérateurs des restes successifs sont : pour $\frac27$ : $2$ , puis $1$ ; pour $\frac57$ : $5$ , puis $3$ , puis $1$ ; pour $\frac45$ : $4$ , puis $3$ , puis $1$ . Chaque liste est strictement décroissante.

12. Le dénominateur commun de $\frac ab$ et de $\frac1n$ est $b \times n$ :

\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .

13. Au dénominateur commun $b \times (n-1)$ , l’inégalité $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compare les numérateurs $b$ et $a \times (n - 1)$ :

b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,

et en ajoutant $a - b$ aux deux membres on obtient $a > a \times n - b$ . Ainsi, après chaque étape gloutonne, le numérateur du reste (question 12) est un entier strictement plus petit que le précédent. Or des entiers ne peuvent pas décroître strictement indéfiniment : après au plus $a$ étapes, le reste a pour numérateur $1$ — c’est une fraction unitaire — ou vaut $0$ , et la méthode s’arrête.

14. Avec le dénominateur commun $18$ :

\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} ,

c’est-à-dire moins que $1$ : le testament a oublié $\frac{1}{18}$ du troupeau. Ce manque est tout le secret du tour. Sur $18$ chameaux, les parts $\frac12$ , $\frac13$ , $\frac19$ sont les entiers $9$ , $6$ et $2$ , dont la somme vaut $9 + 6 + 2 = 17$ : exactement le troupeau, et le dix-huitième chameau rentre chez lui. Et personne ne peut se plaindre : sur $17$ chameaux, le testament promettait $\frac{17}{2} = 8.5$ , puis $\frac{17}{3} \approx 5.67$ , puis $\frac{17}{9} \approx 1.89$ chameaux, et chaque enfant a reçu strictement davantage ( $9$ , $6$ et $2$ ). Le $\frac{1}{18}$ oublié est ce que le chameau du voisin a comblé le temps du partage.

15. La question 4 fournit le testament réparé :

\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .

Les parts sont entières lorsque la taille du troupeau est divisible par $2$ , par $3$ et par $6$ — c’est-à-dire divisible par $6$ . Le plus petit troupeau convenable compte $6$ chameaux : parts $3$ , $2$ et $1$ , et rien ne reste.

Termes définis dans ce chapitre

Inverse

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