Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

55Fractions : les quatre opérations

Ce chapitre achève l’arithmétique des fractions : addition et soustraction avec n’importe quels dénominateurs, multiplication, et — la nouveauté — la division, qui se révèle être une multiplication déguisée. Les signes du Chapitre 54 accompagnent le voyage.

55.1 Additionner avec n’importe quels dénominateurs

Méthode 55.1 (Dénominateur commun)

Pour additionner ou soustraire $\frac ab$ et $\frac cd$ :

trouver un multiple commun de $b$ et $d$ (le produit $b \times d$ fonctionne toujours ; un plus petit économise des efforts) ;
réécrire les deux fractions avec ce dénominateur ;
additionner ou soustraire les numérateurs ; simplifier.

Exemple 55.2

Calculer $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Un multiple commun de $6$ et $4$ est $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Avec des signes : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Multiplier des fractions

Théorème 55.3 (Produit de fractions)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Pourquoi, sur une figure. Prendre $\frac34$ de $\frac25$ d’un carré : couper le carré en $5$ bandes verticales et en garder $2$ ; couper horizontalement en $4$ et garder $3$ rangées de ce qui reste. La partie gardée est une grille de $3 \times 2$ petites cellules sur $4 \times 5$ : fraction $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5 : la région doublement ombrée compte 3 × 2 = 6 cellules sur 4 × 5 = 20, c’est-à-dire 6/20 = 3/10 — numérateurs multipliés, dénominateurs multipliés. — $\frac34 \times \frac25$ : la région doublement ombrée compte $3 \times 2 = 6$ cellules sur $4 \times 5 = 20$ , c’est-à-dire $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — numérateurs multipliés, dénominateurs multipliés.

Exemple 55.4

Simplifier avant de multiplier, en barrant les facteurs communs :

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(le facteur $7$ et un facteur $3$ s’annulent entre haut et bas). Avec des signes, les règles de Théorème 54.1 s’appliquent d’abord : $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Diviser des fractions

Définition 55.5 (Inverse)

L’inverse d’un nombre non nul $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$ , donne $1$ . L’inverse de $\frac ab$ est $\frac ba$ , puisque $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; l’inverse d’un entier $n$ est $\frac1n$ .

Théorème 55.6 (Diviser, c’est multiplier par l’inverse)

Pour $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Démonstration. Par définition, le quotient $q$ de $\frac ab$ par $\frac cd$ est le nombre tel que $q \times \frac cd = \frac ab$ . Vérifier le candidat $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Exemple 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Contrôle de bon sens : diviser par $\frac{7}{10}$ , un nombre plus petit que $1$ , doit donner un résultat plus grand que $\frac35$ — et $\frac67 > \frac35$ en effet ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Exemple 55.8 (Barres de fraction dans des barres de fraction)

Un « double étage » n’est qu’une division écrite verticalement :

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Repérer d’abord la barre principale (la plus longue), puis appliquer Théorème 55.6.

Méthode 55.9 (Calculs mixtes)

Dans une expression mélangeant fractions et les quatre opérations :

appliquer les priorités habituelles (Chapitre 45) ;
convertir chaque division en multiplication par l’inverse ;
décider les signes d’abord (Méthode 54.6), puis multiplier ou trouver des dénominateurs communs ;
simplifier à la première occasion.

Exemple 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(produit d'abord~!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Exercices

Exercice 55.1 ★

Calculer et simplifier :

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Solution

Solution de Exercice 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Exercice 55.2 ★

Calculer (signes d’abord) :

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Solution

Solution de Exercice 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Exercice 55.3 ★

Calculer, en simplifiant avant de multiplier :

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Solution

Solution de Exercice 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplifier par $5$ et par $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (simplifier par $7$ et par $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (signes contraires : négatif).

Exercice 55.4 ★

Donner l’inverse de : $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Solution

Solution de Exercice 55.4.

Inverses : $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (l’inverse garde le signe).

Exercice 55.5 ★

Calculer :

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Solution

Solution de Exercice 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Exercice 55.6 ★

Calculer les doubles étages :

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Solution

Solution de Exercice 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Exercice 55.7 ★

Calculer, en respectant les priorités :

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Solution

Solution de Exercice 55.7.

Produit d’abord : $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Parenthèses d’abord : $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Exercice 55.8 ★★

Un réservoir est plein aux $\frac{2}{5}$ . On ajoute $\frac{1}{3}$ de la capacité du réservoir. Quelle fraction du réservoir est maintenant pleine ? Quelle fraction est encore vide ?

Solution

Solution de Exercice 55.8.

Plein : $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ du réservoir. Vide : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Exercice 55.9 ★★

Les trois quarts des élèves d’une classe ont réussi un contrôle ; parmi ceux-ci, les deux tiers ont obtenu plus de $14$ sur $20$ . Quelle fraction de la classe a obtenu plus de $14$ ? Si cela représente $12$ élèves, quelle est la taille de la classe ?

Solution

Solution de Exercice 55.9.

Fraction avec plus de $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ de la classe. Si cela fait $12$ élèves, la classe en compte $24$ .

Exercice 55.10 ★★

Une corde de $\frac{15}{2}$ m doit être coupée en morceaux de $\frac{3}{4}$ m chacun. Combien de morceaux obtient-on ? (Une division de fractions — vérifier que la réponse est un nombre entier.)

Solution

Solution de Exercice 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ morceaux — un nombre entier, pas de corde perdue.

Exercice 55.11 ★★

Calculer

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Solution

Solution de Exercice 55.11.

$E$ : division d’abord : $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; puis $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (le carré est positif).

Exercice 55.12 ★★★

Simplifier l’expression

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(commencer par la fraction la plus intérieure et remonter, une barre à la fois).

Solution

Solution de Exercice 55.12.

De l’intérieur vers l’extérieur : $1 + 1 = 2$ ; puis $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; puis

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .