Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

59Milieux et parallèles

Joindre les milieux de deux côtés d’un triangle : le segment obtenu est toujours parallèle au troisième côté, et exactement deux fois plus court. Ce « théorème des milieux » et sa réciproque sont le premier avant-goût d’une grande idée — les parallèles découpent des longueurs proportionnellement — qui s’épanouit en le théorème de Thalès au Chapitre 68.

59.1 Le théorème des milieux

Théorème 59.1 (Théorème des milieux)

Dans un triangle $ABC$ , soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Alors la droite $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ , et

IJ = \frac{BC}{2} .

Idée de preuve. Soit $K$ le symétrique de $I$ par rapport à $J$ (un demi-tour, Chapitre 52). Le quadrilatère $AICK$ a des diagonales $[IK]$ et $[AC]$ se croisant en leur milieu commun $J$ : c’est un parallélogramme, donc $KC$ est parallèle à $AI$ , c’est-à-dire à $(AB)$ , et $KC = AI = IB$ . Alors $IBCK$ a deux côtés opposés ( $[IB]$ et $[KC]$ ) parallèles et égaux : c’est un parallélogramme aussi (Théorème 52.9), donc $(IK) \parallel (BC)$ — c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BC)$ — et $BC = IK = 2\,IJ$ . ∎

Le segment des milieux [IJ] (rouge) est parallèle au troisième côté (BC) et deux fois plus court. — Le segment des milieux $[IJ]$ (rouge) est parallèle au troisième côté $(BC)$ et deux fois plus court.

Exemple 59.2

Dans un triangle $ABC$ avec $BC = 9$ cm, les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$ sont joints. Sans aucune mesure : $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. Le petit triangle $AIJ$ est une copie à demi-échelle de $ABC$ — son périmètre est aussi la moitié du périmètre de $ABC$ .

Théorème 59.3 (Réciproque)

Dans un triangle $ABC$ , la droite passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et parallèle à $(BC)$ coupe le côté $[AC]$ en son milieu.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 59.4

Un chemin traverse un champ triangulaire, partant du milieu d’un côté et courant parallèle au côté opposé. La réciproque garantit que le chemin sort exactement au milieu de l’autre côté — sans mesure nécessaire du côté lointain.

Méthode 59.5 (Choisir entre théorème et réciproque)

Deux milieux connus $\Rightarrow$ utiliser le théorème direct : conclure parallélisme et demi-longueur.
Un milieu et une parallèle connus $\Rightarrow$ utiliser la réciproque : conclure que le point d’intersection est un milieu.
Écrire quel triangle, quels milieux et quel théorème on utilise — une phrase chacun.

59.2 Triangles à demi-échelle

Proposition 59.6 (Le triangle des milieux)

Joindre les trois milieux des côtés d’un triangle le découpe en quatre triangles d’aires égales, chacun une copie à demi-échelle de l’original.

Démonstration. Chaque côté du triangle des milieux est parallèle à un côté de $ABC$ et deux fois plus court (Théorème 59.1, appliqué trois fois). Les quatre petits triangles ont des côtés des trois mêmes longueurs, donc ce sont des copies identiques ; ensemble ils pavent $ABC$ , donc chacun a le quart de son aire. ∎

Le triangle des milieux IJK découpe ABC en quatre triangles égaux — une figure à retenir. — Le triangle des milieux $IJK$ découpe $ABC$ en quatre triangles égaux — une figure à retenir.

Remarque 59.7 (Vers Thalès)

Le théorème des milieux est le cas « une moitié » d’un fait plus général : une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés dans des rapports égaux — un tiers et un tiers, deux cinquièmes et deux cinquièmes … Cet énoncé général est le théorème de Thalès (Chapitre 68) ; le cas des milieux est le seul nécessaire cette année.

59.3 Exercices

Exercice 59.1 ★

Dans un triangle $RST$ , $M$ est le milieu de $[RS]$ et $N$ le milieu de $[RT]$ , avec $ST = 7$ cm. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ et de la longueur $MN$ ? Citer le théorème utilisé.

Solution

Solution de Exercice 59.1.

$M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle $RST$ : par le théorème des milieux (Théorème 59.1), $(MN) \parallel (ST)$ et $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

Exercice 59.2 ★

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et la droite passant par $I$ parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $J$ , avec $AC = 11$ cm. Calculer $AJ$ , en citant le théorème utilisé.

Solution

Solution de Exercice 59.2.

$I$ est un milieu et $(IJ) \parallel (BC)$ : par la réciproque (Théorème 59.3), $J$ est le milieu de $[AC]$ , donc $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

Exercice 59.3 ★

Tracer un triangle $ABC$ avec $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, placer les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$ , et mesurer $IJ$ pour vérifier le théorème. Calculer le périmètre de $AIJ$ sans rien mesurer d’autre.

Solution

Solution de Exercice 59.3.

La mesure donne $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ . Périmètre de $AIJ$ : $AI = 4$ , $AJ = 3$ , $IJ = 3.5$ : total $10.5$ cm — la moitié du périmètre de $ABC$ ( $8 + 6 + 7 = 21$ cm).

Exercice 59.4 ★

$IJK$ est le triangle des milieux de $ABC$ , dont les côtés mesurent $10$ , $12$ et $16$ cm. Donner les trois côtés de $IJK$ et son périmètre. Comment se comparent les deux périmètres ?

Solution

Solution de Exercice 59.4.

Chaque côté de $IJK$ est la moitié d’un côté de $ABC$ : $5$ , $6$ et $8$ cm. Périmètre : $19$ cm, la moitié de $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

Exercice 59.5 ★

L’aire d’un triangle est $36$ cm $^2$ . Quelle est l’aire de son triangle des milieux ? De chacun des quatre petits triangles ?

Solution

Solution de Exercice 59.5.

Le triangle des milieux est l’un des quatre triangles égaux de Proposition 59.6 : aire $\frac{36}{4} = 9$ cm $^2$ — et chacun des quatre petits triangles a pour aire $9$ cm $^2$ .

Exercice 59.6 ★★

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ , $J$ celui de $[AC]$ et $K$ celui de $[BC]$ . Montrer que $IJKB$ est un parallélogramme. (Comparer $[IJ]$ et $[BK]$ : parallèles ? égaux ?)

Solution

Solution de Exercice 59.6.

Par le théorème des milieux dans $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$ , c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BK)$ , et $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (puisque $K$ est le milieu de $[BC]$ ). Deux côtés opposés de $IJKB$ sont parallèles et égaux : c’est un parallélogramme (Théorème 52.9, critère 3).

Exercice 59.7 ★★

Une voile triangulaire a son bord le plus bas long de $6.4$ m. Une couture de renfort joint les milieux des deux autres bords. Quelle longueur de couture faut-il ? Et si la couture joignait au contraire les points situés au quart de chaque bord, en partant du sommet du haut ? (Conjecture avec un dessin ; la preuve est celle de Thalès, Chapitre 68.)

Solution

Solution de Exercice 59.7.

La couture joint deux milieux : $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Au quart depuis le sommet du haut, le dessin suggère une couture de $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, parallèle à la base — confirmé par Thalès au Chapitre 68.

Exercice 59.8 ★★

Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $A$ , $M$ est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$ , et la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ rencontre $[AC]$ en $N$ .

Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ .
Expliquer pourquoi $(MN)$ est perpendiculaire à $(AC)$ .

Solution

Solution de Exercice 59.8.

1. $M$ est le milieu de $[BC]$ et $(MN) \parallel (AB)$ : par la réciproque du théorème des milieux (dans le triangle $ABC$ , côté $[AC]$ ), $N$ est le milieu de $[AC]$ .

2. $(MN) \parallel (AB)$ et $(AB) \perp (AC)$ (angle droit en $A$ ) : une droite parallèle à $(AB)$ est aussi perpendiculaire à $(AC)$ (Proposition 40.3). Donc $(MN) \perp (AC)$ — le segment $[MN]$ est le morceau de médiatrice montrant à nouveau que $MA = MC$ (Théorème 60.1).

Exercice 59.9 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ (la conjecture de Exercice 52.11).

Appliquer le théorème des milieux dans le triangle $ABC$ au segment $[IJ]$ , et dans le triangle $ACD$ au segment $[LK]$ : comparer chacun à la diagonale $[AC]$ .
Conclure que $IJKL$ est toujours un parallélogramme.

Solution

Solution de Exercice 59.9.

1. Dans le triangle $ABC$ , $I$ et $J$ sont milieux de $[AB]$ et $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ et $IJ = \frac{AC}{2}$ . Dans le triangle $ACD$ , $L$ et $K$ sont milieux de $[DA]$ et $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ et $LK = \frac{AC}{2}$ .

2. Donc $[IJ]$ et $[LK]$ sont parallèles (tous deux parallèles à la diagonale $(AC)$ ) et égaux (tous deux la moitié de $AC$ ) : $IJKL$ est un parallélogramme (Théorème 52.9, critère 3) — pour tout quadrilatère $ABCD$ , comme conjecturé en Exercice 52.11.