Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

59Milieux et parallèles

Joindre les milieux de deux côtés d’un triangle : le segment obtenu est toujours parallèle au troisième côté, et exactement deux fois plus court. Ce « théorème des milieux » et sa réciproque sont le premier avant-goût d’une grande idée — les parallèles découpent des longueurs proportionnellement — qui s’épanouit en le théorème de Thalès au Chapitre 68.

59.1 Le théorème des milieux

Théorème 59.1 (Théorème des milieux)

Dans un triangle $ABC$ , soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Alors la droite $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ , et

IJ = \frac{BC}{2} .

Idée de preuve. Soit $K$ le symétrique de $I$ par rapport à $J$ (un demi-tour, Chapitre 52). Le quadrilatère $AICK$ a des diagonales $[IK]$ et $[AC]$ se croisant en leur milieu commun $J$ : c’est un parallélogramme, donc $KC$ est parallèle à $AI$ , c’est-à-dire à $(AB)$ , et $KC = AI = IB$ . Alors $IBCK$ a deux côtés opposés ( $[IB]$ et $[KC]$ ) parallèles et égaux : c’est un parallélogramme aussi (Théorème 52.9), donc $(IK) \parallel (BC)$ — c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BC)$ — et $BC = IK = 2\,IJ$ . ∎

Le segment des milieux [IJ] (rouge) est parallèle au troisième côté (BC) et deux fois plus court. — Le segment des milieux $[IJ]$ (rouge) est parallèle au troisième côté $(BC)$ et deux fois plus court.

Exemple 59.2

Dans un triangle $ABC$ avec $BC = 9$ cm, les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$ sont joints. Sans aucune mesure : $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. Le petit triangle $AIJ$ est une copie à demi-échelle de $ABC$ — son périmètre est aussi la moitié du périmètre de $ABC$ .

Théorème 59.3 (Réciproque)

Dans un triangle $ABC$ , la droite passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et parallèle à $(BC)$ coupe le côté $[AC]$ en son milieu.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 59.4

Un chemin traverse un champ triangulaire, partant du milieu d’un côté et courant parallèle au côté opposé. La réciproque garantit que le chemin sort exactement au milieu de l’autre côté — sans mesure nécessaire du côté lointain.

Méthode 59.5 (Choisir entre théorème et réciproque)

Deux milieux connus $\Rightarrow$ utiliser le théorème direct : conclure parallélisme et demi-longueur.
Un milieu et une parallèle connus $\Rightarrow$ utiliser la réciproque : conclure que le point d’intersection est un milieu.
Écrire quel triangle, quels milieux et quel théorème on utilise — une phrase chacun.

59.2 Triangles à demi-échelle

Proposition 59.6 (Le triangle des milieux)

Joindre les trois milieux des côtés d’un triangle le découpe en quatre triangles d’aires égales, chacun une copie à demi-échelle de l’original.

Démonstration. Chaque côté du triangle des milieux est parallèle à un côté de $ABC$ et deux fois plus court (Théorème 59.1, appliqué trois fois). Les quatre petits triangles ont des côtés des trois mêmes longueurs, donc ce sont des copies identiques ; ensemble ils pavent $ABC$ , donc chacun a le quart de son aire. ∎

Le triangle des milieux IJK découpe ABC en quatre triangles égaux — une figure à retenir. — Le triangle des milieux $IJK$ découpe $ABC$ en quatre triangles égaux — une figure à retenir.

Remarque 59.7 (Vers Thalès)

Le théorème des milieux est le cas « une moitié » d’un fait plus général : une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés dans des rapports égaux — un tiers et un tiers, deux cinquièmes et deux cinquièmes … Cet énoncé général est le théorème de Thalès (Chapitre 68) ; le cas des milieux est le seul nécessaire cette année.

59.3 Exercices

Exercice 59.1 ★

Dans un triangle $RST$ , $M$ est le milieu de $[RS]$ et $N$ le milieu de $[RT]$ , avec $ST = 7$ cm. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ et de la longueur $MN$ ? Citer le théorème utilisé.

Solution

Solution de Exercice 59.1.

$M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle $RST$ : par le théorème des milieux (Théorème 59.1), $(MN) \parallel (ST)$ et $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

Exercice 59.2 ★

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et la droite passant par $I$ parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $J$ , avec $AC = 11$ cm. Calculer $AJ$ , en citant le théorème utilisé.

Solution

Solution de Exercice 59.2.

$I$ est un milieu et $(IJ) \parallel (BC)$ : par la réciproque (Théorème 59.3), $J$ est le milieu de $[AC]$ , donc $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

Exercice 59.3 ★

Tracer un triangle $ABC$ avec $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, placer les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$ , et mesurer $IJ$ pour vérifier le théorème. Calculer le périmètre de $AIJ$ sans rien mesurer d’autre.

Solution

Solution de Exercice 59.3.

La mesure donne $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ . Périmètre de $AIJ$ : $AI = 4$ , $AJ = 3$ , $IJ = 3.5$ : total $10.5$ cm — la moitié du périmètre de $ABC$ ( $8 + 6 + 7 = 21$ cm).

Exercice 59.4 ★

$IJK$ est le triangle des milieux de $ABC$ , dont les côtés mesurent $10$ , $12$ et $16$ cm. Donner les trois côtés de $IJK$ et son périmètre. Comment se comparent les deux périmètres ?

Solution

Solution de Exercice 59.4.

Chaque côté de $IJK$ est la moitié d’un côté de $ABC$ : $5$ , $6$ et $8$ cm. Périmètre : $19$ cm, la moitié de $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

Exercice 59.5 ★

L’aire d’un triangle est $36$ cm $^2$ . Quelle est l’aire de son triangle des milieux ? De chacun des quatre petits triangles ?

Solution

Solution de Exercice 59.5.

Le triangle des milieux est l’un des quatre triangles égaux de Proposition 59.6 : aire $\frac{36}{4} = 9$ cm $^2$ — et chacun des quatre petits triangles a pour aire $9$ cm $^2$ .

Exercice 59.6 ★★

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ , $J$ celui de $[AC]$ et $K$ celui de $[BC]$ . Montrer que $IJKB$ est un parallélogramme. (Comparer $[IJ]$ et $[BK]$ : parallèles ? égaux ?)

Solution

Solution de Exercice 59.6.

Par le théorème des milieux dans $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$ , c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BK)$ , et $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (puisque $K$ est le milieu de $[BC]$ ). Deux côtés opposés de $IJKB$ sont parallèles et égaux : c’est un parallélogramme (Théorème 52.9, critère 3).

Exercice 59.7 ★★

Une voile triangulaire a son bord le plus bas long de $6.4$ m. Une couture de renfort joint les milieux des deux autres bords. Quelle longueur de couture faut-il ? Et si la couture joignait au contraire les points situés au quart de chaque bord, en partant du sommet du haut ? (Conjecture avec un dessin ; la preuve est celle de Thalès, Chapitre 68.)

Solution

Solution de Exercice 59.7.

La couture joint deux milieux : $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Au quart depuis le sommet du haut, le dessin suggère une couture de $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, parallèle à la base — confirmé par Thalès au Chapitre 68.

Exercice 59.8 ★★

Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $A$ , $M$ est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$ , et la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ rencontre $[AC]$ en $N$ .

Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ .
Expliquer pourquoi $(MN)$ est perpendiculaire à $(AC)$ .

Solution

Solution de Exercice 59.8.

1. $M$ est le milieu de $[BC]$ et $(MN) \parallel (AB)$ : par la réciproque du théorème des milieux (dans le triangle $ABC$ , côté $[AC]$ ), $N$ est le milieu de $[AC]$ .

2. $(MN) \parallel (AB)$ et $(AB) \perp (AC)$ (angle droit en $A$ ) : une droite parallèle à $(AB)$ est aussi perpendiculaire à $(AC)$ (Proposition 40.3). Donc $(MN) \perp (AC)$ — le segment $[MN]$ est le morceau de médiatrice montrant à nouveau que $MA = MC$ (Théorème 60.1).

Exercice 59.9 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ (la conjecture de Exercice 52.11).

Appliquer le théorème des milieux dans le triangle $ABC$ au segment $[IJ]$ , et dans le triangle $ACD$ au segment $[LK]$ : comparer chacun à la diagonale $[AC]$ .
Conclure que $IJKL$ est toujours un parallélogramme.

Solution

Solution de Exercice 59.9.

1. Dans le triangle $ABC$ , $I$ et $J$ sont milieux de $[AB]$ et $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ et $IJ = \frac{AC}{2}$ . Dans le triangle $ACD$ , $L$ et $K$ sont milieux de $[DA]$ et $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ et $LK = \frac{AC}{2}$ .

2. Donc $[IJ]$ et $[LK]$ sont parallèles (tous deux parallèles à la diagonale $(AC)$ ) et égaux (tous deux la moitié de $AC$ ) : $IJKL$ est un parallélogramme (Théorème 52.9, critère 3) — pour tout quadrilatère $ABCD$ , comme conjecturé en Exercice 52.11.

59.4 Problème : les trois médianes et le centre de gravité

Problème 59.1

Devoir maison — les médianes d’un triangle se coupent en un même point, aux deux tiers de chacune d’elles

Découper un triangle dans du carton rigide : il tiendra en équilibre, parfaitement à plat, sur une pointe de crayon placée en un point bien particulier — le centre de gravité du triangle. Ce problème trouve ce point. Une médiane d’un triangle est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. On démontrera — avec le théorème des milieux employé deux fois, d’une manière inattendue — que les trois médianes passent toutes par un même point, et on situera ce point précisément.

Partie I — Échauffement.

Tracer un grand triangle $ABC$ (sans forme particulière), construire les milieux $I$ de $[AB]$ , $J$ de $[AC]$ et $K$ de $[BC]$ , et tracer les trois médianes $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Qu’observe-t-on ?
Démontrer qu’une médiane découpe le triangle en deux triangles de même aire. (Comparer les bases et les hauteurs, et utiliser la formule de l’aire : base $\times$ hauteur $\div\ 2$ .) Pour un triangle d’aire $36$ cm $^2$ , quelles sont les aires des deux morceaux ?
Dans le triangle $ABC$ , que dit Théorème 59.1 du segment $[IJ]$ ?

Partie II — Deux médianes se coupent aux deux tiers. Les médianes $[BJ]$ et $[CI]$ se coupent en un point ; appelons-le $G$ . Soit $M$ le milieu de $[GB]$ et $N$ le milieu de $[GC]$ .

Appliquer le théorème des milieux dans le triangle $GBC$ : que dit-il du segment $[MN]$ ?
En déduire que $(IJ) \parallel (MN)$ et $IJ = MN$ , et conclure à l’aide du Théorème 52.9 que $IJNM$ est un parallélogramme.
Expliquer pourquoi $I$ et $N$ sont tous deux sur la médiane $(CI)$ , et $J$ et $M$ tous deux sur la médiane $(BJ)$ — les diagonales du parallélogramme $IJNM$ sont donc $[IN]$ et $[JM]$ , et elles se coupent exactement en $G$ . Que dit alors la définition d’un parallélogramme au sujet de $G$ ?
En déduire que $BM = MG = GJ$ , et conclure :

$BG = 2 \times GJ$

— le point $G$ se trouve sur la médiane $[BJ]$ aux deux tiers depuis le sommet $B$ . Énoncer et justifier le résultat analogue sur la médiane $[CI]$ .
Oublions maintenant $[CI]$ et reprenons exactement le même raisonnement sur le couple de médianes $[BJ]$ et $[AK]$ : leur point d’intersection se trouve lui aussi aux deux tiers de $[BJ]$ depuis $B$ . Expliquer pourquoi cela oblige ce point à être le même point $G$ — et conclure que les trois médianes passent par $G$ .
Dans un triangle où la médiane $[BJ]$ mesure $9$ cm, à quelle distance $G$ se trouve-t-il de $B$ , et de $J$ ?
Justifier en une phrase que $AG = 2 \times GK$ également.

Partie III — Six parts égales, et des coordonnées. Les trois médianes découpent le triangle en six petits triangles autour de $G$ .

Dans le triangle $GBC$ , le segment $[GK]$ est une médiane. En déduire que les deux petits triangles $GBK$ et $GKC$ ont la même aire.
À l’aide de la question 2 dans les triangles $ABK$ et $AKC$ (tous deux coupés par la médiane $[AK]$ de $ABC$ ), montrer que les triangles $ABG$ et $ACG$ ont la même aire. En recommençant avec une autre médiane, conclure que les trois triangles $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ ont tous pour aire le tiers de celle de $ABC$ .
Chacun de ces trois triangles est coupé en deux par un morceau de médiane (par exemple $[GI]$ est une médiane du triangle $ABG$ — issue de quel sommet ?). Conclure : les six petites parts autour de $G$ ont toutes la même aire, le sixième du triangle.
Dans un repère quadrillé, placer $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ et $C(0, 6)$ , avec $K(3, 3)$ milieu de $[BC]$ . Utiliser le théorème des deux tiers de la partie II pour calculer les coordonnées de $G$ sur la médiane $[AK]$ ; vérifier ensuite que le même point se trouve aux deux tiers de la médiane $[BJ]$ , où $J(0, 3)$ . Comparer les coordonnées de $G$ aux moyennes

$\frac{0 + 6 + 0}{3}, \qquad \frac{0 + 0 + 6}{3} .$
Le final de l’équilibre : à l’aide des questions 2 et 8, expliquer pourquoi le triangle de carton tient en équilibre sur le tranchant d’un couteau posé le long d’une médiane quelconque — autant de carton de chaque côté — et pourquoi la pointe du crayon doit donc être placée en $G$ , le point que les physiciens appellent le centre de gravité. (Une démonstration d’équilibre pleinement rigoureuse réclame le calcul intégral des volumes universitaires ; l’égalité des aires la rend crédible dès aujourd’hui.)

Solution

Solution de Problème 59.1.

1. Quel que soit le triangle tracé, les trois médianes semblent passer par un même point, situé à l’intérieur du triangle, visiblement plus proche du milieu de chaque côté que du sommet opposé. La suite du problème le démontre.

2. Prenons la médiane $[AK]$ du triangle $ABC$ : les triangles $ABK$ et $AKC$ ont des bases $BK$ et $KC$ de même longueur ( $K$ est le milieu de $[BC]$ ) portées par la même droite $(BC)$ , et la même hauteur : la distance de $A$ à $(BC)$ . Par la formule de l’aire, chacun a pour aire base $\times$ hauteur $\div\ 2$ , avec des bases égales et des hauteurs égales : les aires sont donc égales. Pour un triangle d’aire $36$ cm $^2$ : deux morceaux de $18$ cm $^2$ chacun.

3. $I$ et $J$ sont les milieux des côtés $[AB]$ et $[AC]$ du triangle $ABC$ , donc d’après Théorème 59.1 : $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac{BC}{2}$ .

4. $M$ et $N$ sont les milieux des côtés $[GB]$ et $[GC]$ du triangle $GBC$ , donc par le même théorème : $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \frac{BC}{2}$ .

5. $(IJ)$ et $(MN)$ sont toutes deux parallèles à $(BC)$ , donc parallèles entre elles ; et $IJ = \frac{BC}{2} = MN$ . Le quadrilatère $IJNM$ a ainsi deux côtés opposés, $[IJ]$ et $[NM]$ , parallèles et de même longueur : d’après le critère 3 du Théorème 52.9, $IJNM$ est un parallélogramme.

6. $G$ est sur la médiane $[CI]$ , et $N$ est le milieu de $[GC]$ , segment porté par cette même droite médiane : donc $I$ , $N$ (ainsi que $G$ et $C$ ) sont tous sur $(CI)$ . De même, $J$ , $M$ et $G$ sont sur la droite médiane $(BJ)$ . Dans le parallélogramme $IJNM$ , les diagonales sont $[IN]$ et $[JM]$ ; elles sont portées par les deux droites médianes, qui se coupent en $G$ — les diagonales se coupent donc en $G$ . D’après la définition d’un parallélogramme (critère 1 du Théorème 52.9 : les diagonales ont le même milieu), $G$ est le milieu de $[IN]$ et de $[JM]$ : $GI = GN$ et $GJ = GM$ .

7. $M$ est le milieu de $[GB]$ , donc $BM = MG$ ; et $MG = GJ$ par la question 6. D’où $BM = MG = GJ$ : la médiane $[BJ]$ est découpée en trois parts égales, dont $BG$ prend deux :

BG = 2 \times GJ .

Symétriquement, $N$ est le milieu de $[GC]$ et $GN = GI$ , donc $CN = NG = GI$ et $CG = 2 \times GI$ : sur la médiane $[CI]$ aussi, le point d’intersection se trouve aux deux tiers depuis le sommet.

8. Le raisonnement n’a rien utilisé de particulier au couple $[BJ]$ , $[CI]$ : mené sur le couple $[BJ]$ , $[AK]$ , il montre que leur point d’intersection est lui aussi sur $[BJ]$ aux deux tiers depuis $B$ . Or il n’y a qu’un seul point du segment $[BJ]$ situé à la distance $\frac23 BJ$ de $B$ — le point d’intersection de $[BJ]$ et $[AK]$ est donc ce même $G$ . Les trois médianes passent ainsi par $G$ : elles sont concourantes.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm et $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

10. D’après la question 8, le même calcul des deux tiers vaut sur la médiane $[AK]$ (reprendre le raisonnement des questions 4 à 7 avec le couple $[AK]$ , $[BJ]$ ) : $AG = 2 \times GK$ .

11. Dans le triangle $GBC$ , le point $K$ est le milieu du côté $[BC]$ , donc $[GK]$ est une médiane de $GBC$ ; d’après la question 2, les triangles $GBK$ et $GKC$ ont la même aire.

12. La médiane $[AK]$ découpe $ABC$ en $ABK$ et $AKC$ de même aire (question 2). En retranchant de chacun son petit triangle de la question 11 :

\text{aire}(ABG) = \text{aire}(ABK) - \text{aire}(GBK), \qquad \text{aire}(ACG) = \text{aire}(AKC) - \text{aire}(GKC),

et les aires retranchées sont égales, donc $\text{aire}(ABG) = \text{aire}(ACG)$ . Le même calcul le long de la médiane $[BJ]$ — qui partage $ABC$ en $ABJ$ et $CBJ$ de même aire, tandis que $[GJ]$ , médiane du triangle $GAC$ , le partage en $GAJ$ et $GCJ$ — donne $\text{aire}(ABG) = \text{aire}(CBG)$ . Les trois triangles $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ ont donc la même aire, et comme ils pavent ensemble $ABC$ , chacun a pour aire le tiers du tout.

13. Dans le triangle $ABG$ , le point $I$ est le milieu du côté $[AB]$ , donc $[GI]$ est une médiane de $ABG$ issue du sommet $G$ : elle découpe $ABG$ en deux triangles de même aire (question 2), à savoir $AIG$ et $IBG$ . Il en va de même dans $BCG$ (médiane $[GK]$ ) et dans $CAG$ (médiane $[GJ]$ ). Chaque tiers de $ABC$ est coupé en deux : les six parts autour de $G$ ont donc chacune pour aire $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ du triangle.

14. Sur la médiane $[AK]$ , de $A(0,0)$ à $K(3,3)$ : $G$ se trouve aux deux tiers, ses coordonnées valent donc $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$ . Sur la médiane $[BJ]$ , de $B(6, 0)$ à $J(0, 3)$ : être aux deux tiers revient à ajouter les deux tiers du déplacement ( $-6$ horizontalement, $+3$ verticalement) :

\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right) = (2, 2) .

Le même point — comme la question 8 le promettait. Et $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ , $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$ : les coordonnées du centre de gravité sont les moyennes des coordonnées des trois sommets.

15. D’après la question 2, un tranchant de couteau posé le long d’une médiane laisse la même quantité de carton de chaque côté (aires égales) : le triangle tient donc en équilibre le long de chacune des trois droites médianes. Un point d’équilibre doit se trouver simultanément sur les trois droites d’équilibre, et d’après la question 8 les trois médianes n’ont qu’un point commun : $G$ . C’est là qu’il faut poser la pointe du crayon. (L’égalité des aires de part et d’autre est la version crédible de l’argument ; la version honnête, qui pèse où se trouve le carton et pas seulement combien il y en a, réclame le calcul intégral des volumes universitaires — lequel confirme $G$ .)