Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

32Division et multiples

La division posée apprise dans Chapitre 23 reçoit deux mises à niveau : des diviseurs à deux chiffres, et des quotients qui continuent après la virgule — $3 \div 4$ obtient enfin une réponse, $0.75$ . Le chapitre se termine par les multiples, les diviseurs et les premiers critères de divisibilité.

32.1 Diviser par un nombre à deux chiffres

Méthode 32.1 (Diviseurs à deux chiffres)

Même méthode qu’avant, avec une compétence en plus : deviner combien de fois le diviseur rentre. Écrire d’abord une petite table des multiples du diviseur. Pour $986 \div 23$ (multiples de 23 : 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207) :

$98$ dizaines : $23 \times 4 = 92$ rentre, $23 \times 5 = 115$ ne rentre pas : chiffre $4$ , reste $6$ ;
on abaisse le $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ rentre : chiffre $2$ , reste $20$ ;
quotient $42$ , reste $20$ . Vérification : $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Quotients décimaux

Exemple 32.2 (La division qui refuse de s’arrêter au reste)

Partager $3$ pizzas entre $4$ enfants : $3 \div 4$ a pour quotient $0$ et reste $3$ — inutile ! On continue la division après la virgule :

$3$ unités $= 30$ dixièmes ; $30 \div 4$ : $7$ dixièmes, reste $2$ dixièmes ;
$2$ dixièmes $= 20$ centièmes ; $20 \div 4 = 5$ centièmes, reste $0$ .

Donc $3 \div 4 = 0.75$ : chaque enfant obtient $0.75$ pizza — trois quarts, comme le langage des fractions le savait déjà (Proposition 31.3).

Méthode 32.3 (Continuer une division après la virgule)

Quand les unités sont épuisées et qu’il reste un reste :

écrire la virgule au quotient ;
ajouter un zéro au reste (les unités deviennent des dixièmes, les dixièmes des centièmes …) et continuer à diviser ;
s’arrêter quand le reste est $0$ — ou quand les chiffres recommencent à jamais, comme $1 \div 3 = 0.333\dots$ : alors donner une valeur arrondie.

Exemple 32.4

$27 \div 6$ : quotient $4$ , reste $3$ ; virgule ; $30$ dixièmes $\div\ 6 = 5$ : donc $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , reste $6$ ; puis $60 \div 8 = 7$ r $4$ ; puis $40 \div 8 = 5$ : donc $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Multiples et diviseurs

Définition 32.5 (Multiple, diviseur)

Les multiples de $6$ sont sa table prolongée à l’infini : $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Quand $24$ est un multiple de $6$ , on dit aussi que $6$ est un diviseur de $24$ , ou que $24$ est divisible par $6$ : la division $24 \div 6$ ne laisse pas de reste.

Proposition 32.6 (Critères de divisibilité)

Sans diviser, un nombre est divisible :

par $2$ quand son dernier chiffre est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (les nombres pairs) ;
par $5$ quand son dernier chiffre est $0$ ou $5$ ;
par $10$ quand son dernier chiffre est $0$ ;
par $3$ quand la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (ex. : $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisible — et en effet $741 = 3 \times 247$ ).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les nombres de 1 à 30 : les multiples de 2 et de 3 font des motifs — et les nombres portant les deux marques (6, 12, 18, 24, 30) sont exactement les multiples de 6. — Les nombres de $1$ à $30$ : les multiples de $2$ et de $3$ font des motifs — et les nombres portant les deux marques ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) sont exactement les multiples de $6$ .

Exemple 32.7

$534$ est-il divisible par $2$ ? Se termine par $4$ : oui. Par $5$ ? Non. Par $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : oui. Donc $534$ est aussi divisible par $6$ (par $2$ et par $3$ ) — vérif. : $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Exercices

Exercice 32.1 ★

Calculer les divisions posées (table des multiples d’abord) : $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Solution

Solution de Exercice 32.1.

$851 \div 23$ : multiples de $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Puis $85 \div 23$ : $3$ fois ( $69$ ), reste $16$ ; on abaisse le $1$ : $161 \div 23 = 7$ exactement. Quotient $37$ , reste $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ fois ( $64$ ), reste $6$ ; on abaisse le $4$ : $64 \div 32 = 2$ . Quotient $22$ , reste $0$ .

Exercice 32.2 ★

Calculer les quotients décimaux exacts : $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Solution

Solution de Exercice 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Exercice 32.3 ★

Quatre amis partagent équitablement une addition de restaurant de $54$ . Combien chacun paie-t-il ? (Continuer après la virgule.)

Solution

Solution de Exercice 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : chacun paie $13.50$ .

Exercice 32.4 ★

Calculer $10 \div 3$ , en continuant trois chiffres après la virgule. Que remarque-t-on ? Donner la valeur arrondie au centième.

Solution

Solution de Exercice 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : le chiffre $3$ se répète à jamais — la division ne s’arrête pas. Arrondi au centième : $3.33$ .

Exercice 32.5 ★

Lister : les multiples de $7$ jusqu’à $70$ ; les diviseurs de $18$ ; les diviseurs de $24$ .

Solution

Solution de Exercice 32.5.

Multiples de $7$ jusqu’à $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Diviseurs de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Diviseurs de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Exercice 32.6 ★

Divisible par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ? par $3$ ? Tester chaque critère sur : $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Solution

Solution de Exercice 32.6.

$470$ : par $2$ (se termine par $0$ ), par $5$ , par $10$ ; somme des chiffres $11$ : pas par $3$ .

$735$ : se termine par $5$ : par $5$ , pas par $2$ ni $10$ ; somme des chiffres $15$ : par $3$ .

$8\,001$ : impair ; somme des chiffres $9$ : par $3$ seulement.

$1\,314$ : pair ; somme des chiffres $9$ : par $2$ et par $3$ (donc par $6$ ), pas par $5$ .

Exercice 32.7 ★

Trouver tous les nombres entre $60$ et $80$ qui sont divisibles par $3$ et par $5$ . (Quelle seule divisibilité cela combine-t-il ?)

Solution

Solution de Exercice 32.7.

Divisible par $3$ et $5$ signifie divisible par $15$ : entre $60$ et $80$ , les nombres $60$ , $75$ .

Exercice 32.8 ★

Un ruban de $7.2$ m est découpé en $6$ morceaux égaux. Quelle longueur a chaque morceau ? (Diviser un décimal par un entier : partager les mètres, puis les dixièmes.)

Solution

Solution de Exercice 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : chaque morceau mesure $1.2$ m (vérif. : $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Exercice 32.9 ★

$1\,000$ billes sont emballées par sacs de $24$ . Combien de sacs pleins, et combien de billes restent ? (Diviseur à deux chiffres.)

Solution

Solution de Exercice 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : quarante et un sacs pleins, $16$ billes restantes.

Exercice 32.10 ★★

$5$ amis peuvent-ils se partager équitablement $7$ barres de chocolat, sans rien laisser ? Donner chaque part en décimal. Même question pour $7$ amis partageant $5$ barres — qu’est-ce qui change ?

Solution

Solution de Exercice 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : chacun des $5$ amis obtient $1.4$ barres — possible en découpant les barres en dixièmes. Pour $5 \div 7$ : la division donne $0.714285\dots$ , qui ne s’arrête jamais — aucune part décimale exacte n’existe ; seule la fraction $\frac57$ la nomme exactement.

Exercice 32.11 ★★

En utilisant le critère de la somme des chiffres, trouver le plus petit chiffre $d$ qui rend $52d$ (un nombre à trois chiffres se terminant par $d$ ) divisible par $3$ . Puis trouver tous ces chiffres $d$ .

Solution

Solution de Exercice 32.11.

Somme des chiffres : $5 + 2 + d = 7 + d$ . Divisible par $3$ quand $7 + d$ vaut $9$ , $12$ ou $15$ : $d = 2$ , $5$ ou $8$ . Le plus petit est $d = 2$ (donnant $522 = 3 \times 174$ ).

Termes définis dans ce chapitre

Multiple, diviseur

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