Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

37Les nombres entiers

Tout en mathématiques commence par le comptage. Ce chapitre revoit comment les nombres entiers s’écrivent, se comparent et se combinent — et regarde de près la division, l’opération qui donne à la fois un quotient et un reste.

37.1 Écrire et comparer des entiers

Définition 37.1 (Valeur de position)

Notre façon d’écrire les nombres utilise dix chiffres ( $0$ à $9$ ), et la valeur d’un chiffre dépend de sa place : dans $5\,208$ , le chiffre $5$ compte les milliers, le $2$ les centaines, le $0$ les dizaines (il n’y en a pas) et le $8$ les unités :

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

Le tableau de numération de 5\,208. Le 0 compte : sans lui, le 5 et le 2 glisseraient dans les mauvaises colonnes et le nombre se lirait 528. — Le tableau de numération de $5\,208$ . Le $0$ compte : sans lui, le $5$ et le $2$ glisseraient dans les mauvaises colonnes et le nombre se lirait $528$ .

Méthode 37.2 (Comparer deux entiers)

Le nombre avec le plus de chiffres est le plus grand ( $1\,203 > 989$ ).
S’ils ont le même nombre de chiffres, on compare chiffre par chiffre depuis la gauche ; la première différence décide : $6\,742 > 6\,715$ car à la place des dizaines, $4 > 1$ .

Les symboles sont $<$ (« plus petit que ») et $>$ (« plus grand que ») ; le petit côté du symbole pointe vers le petit nombre.

Exemple 37.3

Ranger du plus petit au plus grand : $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . D’abord par le nombre de chiffres : $89$ (deux chiffres) vient en premier, $1\,001$ (quatre chiffres) en dernier. Entre $908$ et $980$ : même chiffre des centaines $9$ , puis dizaines $0 < 8$ , donc $908 < 980$ . Réponse finale :

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Les nombres vivent sur une droite : plus petit signifie plus à gauche. Chaque graduation ici vaut 100. — Les nombres vivent sur une droite : plus petit signifie plus à gauche. Chaque graduation ici vaut $100$ .

37.2 Addition, soustraction, multiplication

Exemple 37.4 (Calculs en colonnes)

Pour additionner ou soustraire, on aligne les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, et on travaille de droite à gauche, en retenant au besoin :

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Dans l’addition : $7 + 6 = 13$ , on écrit $3$ , on retient $1$ ; puis $5 + 8 + 1 = 14$ , on écrit $4$ , on retient $1$ ; puis $4 + 2 + 1 = 7$ . Vérifier la soustraction en additionnant : $456 + 147 = 603$ .

Remarque 37.5 (Vocabulaire)

Le résultat d’une addition est une somme ; d’une soustraction, une différence ; d’une multiplication, un produit ; d’une division, un quotient. Les nombres combinés sont les termes (pour $+$ , $-$ ) ou facteurs (pour $\times$ ).

Exemple 37.6 (Calcul malin)

Réordonner les termes ou facteurs économise souvent du travail :

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Division

Théorème 37.7 (Division euclidienne)

Étant donnés deux entiers $a$ (le dividende) et $b \neq 0$ (le diviseur), il y a exactement une façon d’écrire

a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leq r < b .

Le nombre $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division de $a$ par $b$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 37.8

Diviser $137$ par $4$ , étape par étape.

Combien de fois $4$ rentre-t-il dans $13$ ? Trois fois ( $4 \times 3 = 12$ ), reste $13 - 12 = 1$ .
On abaisse le $7$ : combien de fois $4$ rentre-t-il dans $17$ ? Quatre fois ( $4 \times 4 = 16$ ), reste $1$ .

Donc $q = 34$ et $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{et bien } 0 \leq 1 < 4 .

Vérification : $4 \times 34 = 136$ , et $136 + 1 = 137$ .

Diviser 137 par 4 : on peut former 34 groupes complets de 4 (atteignant 136), et il reste 1 — le reste est toujours plus petit que le diviseur. — Diviser $137$ par $4$ : on peut former $34$ groupes complets de $4$ (atteignant $136$ ), et il reste $1$ — le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Définition 37.9 (Divisible)

Quand le reste est $0$ , on dit que $a$ est divisible par $b$ : par exemple $135$ est divisible par $5$ car $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Méthode 37.10 (Problèmes de division en mots)

Après avoir calculé $a = bq + r$ , toujours revenir à la question :

« Combien de boîtes/équipes/pages complètes ? » — la réponse est le quotient $q$ ;
« Combien reste-t-il ? » — la réponse est le reste $r$ ;
« Combien de boîtes faut-il pour tout le monde ? » — si $r > 0$ , une de plus que le quotient : $q + 1$ .

Exemple 37.11

$137$ élèves partent en voyage en bus de $40$ places. Division : $137 = 40 \times 3 + 17$ . Trois bus transportent $120$ élèves, et $17$ élèves restent — il leur faut un bus aussi ! Donc $4$ bus sont nécessaires, même si le quotient est $3$ .

37.4 Exercices

Exercice 37.1 ★

Écrire en chiffres : « trois mille quarante-sept » ; « vingt mille cinq cents » ; « cent quatre ». Puis écrire $60\,013$ en lettres.

Solution

Solution de Exercice 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : « soixante mille treize ».

Exercice 37.2 ★

Dans le nombre $47\,209$ : quel est le chiffre des centaines ? Celui des unités ? Que compte le chiffre $4$ ? Écrire le nombre comme une somme de multiples de $1$ , $10$ , $100$ , … comme dans Définition 37.1.

Solution

Solution de Exercice 37.2.

Chiffre des centaines : $2$ ; chiffre des unités : $9$ ; le $4$ compte les dizaines de milliers. Décomposition :

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Exercice 37.3 ★

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Solution

Solution de Exercice 37.3.

$507 < 570$ (dizaines : $0 < 7$ ) ; $1\,099 > 989$ (quatre chiffres battent trois) ; $23\,456 < 23\,465$ (dizaines : $5 < 6$ ) ; $9\,999 < 10\,000$ (quatre chiffres contre cinq).

Exercice 37.4 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Solution

Solution de Exercice 37.4.

Par le nombre de chiffres, $978$ et $1\,001$ viennent avant les trois nombres à quatre chiffres commençant par $2$ ; parmi ceux-ci, comparer les dizaines et unités : $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . Ordre final :

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Exercice 37.5 ★

Calculer en colonnes : $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Vérifier la soustraction avec une addition.

Solution

Solution de Exercice 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (vérif. : $537 + 268 = 805$ ) ; $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Exercice 37.6 ★

Calculer malinement, en regroupant termes ou facteurs :

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Solution

Solution de Exercice 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Exercice 37.7 ★

Pour chaque division, donner le quotient et le reste, et écrire l’égalité $a = b \times q + r$ :

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Solution

Solution de Exercice 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (quotient $13$ , reste $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (quotient $38$ , reste $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (quotient $63$ , reste $0$ : $504$ est divisible par $8$ ).

Exercice 37.8 ★

Sans diviser, expliquer pourquoi l’égalité $173 = 8 \times 20 + 13$ n’est pas la division euclidienne de $173$ par $8$ , et trouver le quotient et le reste corrects.

Solution

Solution de Exercice 37.8.

L’égalité est vraie, mais le reste $13$ n’est pas plus petit que le diviseur $8$ , donc ce n’est pas la division euclidienne. On retire encore un $8$ du reste : $173 = 8 \times 21 + 5$ , avec $0 \leq 5 < 8$ : quotient $21$ , reste $5$ .

Exercice 37.9 ★★

Les œufs sont emballés par boîtes de $12$ .

Une ferme a $2\,000$ œufs. Combien de boîtes pleines peut-elle remplir, et combien d’œufs restent ?
Une boulangerie a besoin de $150$ œufs. Combien de boîtes doit-elle acheter ?

Solution

Solution de Exercice 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : la ferme remplit $166$ boîtes pleines et il reste $8$ œufs.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : douze boîtes ne contiennent que $144$ œufs, pas assez. La boulangerie doit acheter $13$ boîtes.

Exercice 37.10 ★★

Aujourd’hui, c’est mardi. Quel jour de la semaine sera-t-ce dans $100$ jours ? (Les semaines ont $7$ jours : diviser et penser au reste.)

Solution

Solution de Exercice 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : cent jours font $14$ semaines complètes et $2$ jours de plus. Quatorze semaines plus tard, c’est encore un mardi ; deux jours après un mardi, c’est un jeudi.

Exercice 37.11 ★★

Dans une division par $9$ , le quotient est $56$ et le reste est le plus grand possible. Quel est le dividende ?

Solution

Solution de Exercice 37.11.

Le plus grand reste possible dans une division par $9$ est $8$ (le reste doit être plus petit que le diviseur). Donc le dividende est

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Exercice 37.12 ★★★

Je suis un nombre à trois chiffres. Mon chiffre des centaines est le double de mon chiffre des unités, mon chiffre des dizaines est $0$ , et la somme de mes chiffres est $9$ . Qui suis-je ? (Raisonner étape par étape, puis vérifier.)

Solution

Solution de Exercice 37.12.

Soient les chiffres $c$ (centaines), $0$ (dizaines), $u$ (unités). On sait $c = 2 \times u$ et $c + 0 + u = 9$ , donc $2u + u = 9$ , d’où $3u = 9$ , $u = 3$ , et $c = 6$ . Le nombre est $603$ . Vérif. : $6$ est le double de $3$ , le chiffre des dizaines est $0$ , et $6 + 0 + 3 = 9$ .