Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

37Les nombres entiers

Tout en mathématiques commence par le comptage. Ce chapitre revoit comment les nombres entiers s’écrivent, se comparent et se combinent — et regarde de près la division, l’opération qui donne à la fois un quotient et un reste.

37.1 Écrire et comparer des entiers

Définition 37.1 (Valeur de position)

Notre façon d’écrire les nombres utilise dix chiffres ( $0$ à $9$ ), et la valeur d’un chiffre dépend de sa place : dans $5\,208$ , le chiffre $5$ compte les milliers, le $2$ les centaines, le $0$ les dizaines (il n’y en a pas) et le $8$ les unités :

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

Le tableau de numération de 5\,208. Le 0 compte : sans lui, le 5 et le 2 glisseraient dans les mauvaises colonnes et le nombre se lirait 528. — Le tableau de numération de $5\,208$ . Le $0$ compte : sans lui, le $5$ et le $2$ glisseraient dans les mauvaises colonnes et le nombre se lirait $528$ .

Méthode 37.2 (Comparer deux entiers)

Le nombre avec le plus de chiffres est le plus grand ( $1\,203 > 989$ ).
S’ils ont le même nombre de chiffres, on compare chiffre par chiffre depuis la gauche ; la première différence décide : $6\,742 > 6\,715$ car à la place des dizaines, $4 > 1$ .

Les symboles sont $<$ (« plus petit que ») et $>$ (« plus grand que ») ; le petit côté du symbole pointe vers le petit nombre.

Exemple 37.3

Ranger du plus petit au plus grand : $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . D’abord par le nombre de chiffres : $89$ (deux chiffres) vient en premier, $1\,001$ (quatre chiffres) en dernier. Entre $908$ et $980$ : même chiffre des centaines $9$ , puis dizaines $0 < 8$ , donc $908 < 980$ . Réponse finale :

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Les nombres vivent sur une droite : plus petit signifie plus à gauche. Chaque graduation ici vaut 100. — Les nombres vivent sur une droite : plus petit signifie plus à gauche. Chaque graduation ici vaut $100$ .

37.2 Addition, soustraction, multiplication

Exemple 37.4 (Calculs en colonnes)

Pour additionner ou soustraire, on aligne les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, et on travaille de droite à gauche, en retenant au besoin :

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Dans l’addition : $7 + 6 = 13$ , on écrit $3$ , on retient $1$ ; puis $5 + 8 + 1 = 14$ , on écrit $4$ , on retient $1$ ; puis $4 + 2 + 1 = 7$ . Vérifier la soustraction en additionnant : $456 + 147 = 603$ .

Remarque 37.5 (Vocabulaire)

Le résultat d’une addition est une somme ; d’une soustraction, une différence ; d’une multiplication, un produit ; d’une division, un quotient. Les nombres combinés sont les termes (pour $+$ , $-$ ) ou facteurs (pour $\times$ ).

Exemple 37.6 (Calcul malin)

Réordonner les termes ou facteurs économise souvent du travail :

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Division

Théorème 37.7 (Division euclidienne)

Étant donnés deux entiers $a$ (le dividende) et $b \neq 0$ (le diviseur), il y a exactement une façon d’écrire

a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leq r < b .

Le nombre $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division de $a$ par $b$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 37.8

Diviser $137$ par $4$ , étape par étape.

Combien de fois $4$ rentre-t-il dans $13$ ? Trois fois ( $4 \times 3 = 12$ ), reste $13 - 12 = 1$ .
On abaisse le $7$ : combien de fois $4$ rentre-t-il dans $17$ ? Quatre fois ( $4 \times 4 = 16$ ), reste $1$ .

Donc $q = 34$ et $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{et bien } 0 \leq 1 < 4 .

Vérification : $4 \times 34 = 136$ , et $136 + 1 = 137$ .

Diviser 137 par 4 : on peut former 34 groupes complets de 4 (atteignant 136), et il reste 1 — le reste est toujours plus petit que le diviseur. — Diviser $137$ par $4$ : on peut former $34$ groupes complets de $4$ (atteignant $136$ ), et il reste $1$ — le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Définition 37.9 (Divisible)

Quand le reste est $0$ , on dit que $a$ est divisible par $b$ : par exemple $135$ est divisible par $5$ car $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Méthode 37.10 (Problèmes de division en mots)

Après avoir calculé $a = bq + r$ , toujours revenir à la question :

« Combien de boîtes/équipes/pages complètes ? » — la réponse est le quotient $q$ ;
« Combien reste-t-il ? » — la réponse est le reste $r$ ;
« Combien de boîtes faut-il pour tout le monde ? » — si $r > 0$ , une de plus que le quotient : $q + 1$ .

Exemple 37.11

$137$ élèves partent en voyage en bus de $40$ places. Division : $137 = 40 \times 3 + 17$ . Trois bus transportent $120$ élèves, et $17$ élèves restent — il leur faut un bus aussi ! Donc $4$ bus sont nécessaires, même si le quotient est $3$ .

37.4 Exercices

Exercice 37.1 ★

Écrire en chiffres : « trois mille quarante-sept » ; « vingt mille cinq cents » ; « cent quatre ». Puis écrire $60\,013$ en lettres.

Solution

Solution de Exercice 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : « soixante mille treize ».

Exercice 37.2 ★

Dans le nombre $47\,209$ : quel est le chiffre des centaines ? Celui des unités ? Que compte le chiffre $4$ ? Écrire le nombre comme une somme de multiples de $1$ , $10$ , $100$ , … comme dans Définition 37.1.

Solution

Solution de Exercice 37.2.

Chiffre des centaines : $2$ ; chiffre des unités : $9$ ; le $4$ compte les dizaines de milliers. Décomposition :

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Exercice 37.3 ★

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Solution

Solution de Exercice 37.3.

$507 < 570$ (dizaines : $0 < 7$ ) ; $1\,099 > 989$ (quatre chiffres battent trois) ; $23\,456 < 23\,465$ (dizaines : $5 < 6$ ) ; $9\,999 < 10\,000$ (quatre chiffres contre cinq).

Exercice 37.4 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Solution

Solution de Exercice 37.4.

Par le nombre de chiffres, $978$ et $1\,001$ viennent avant les trois nombres à quatre chiffres commençant par $2$ ; parmi ceux-ci, comparer les dizaines et unités : $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . Ordre final :

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Exercice 37.5 ★

Calculer en colonnes : $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Vérifier la soustraction avec une addition.

Solution

Solution de Exercice 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (vérif. : $537 + 268 = 805$ ) ; $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Exercice 37.6 ★

Calculer malinement, en regroupant termes ou facteurs :

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Solution

Solution de Exercice 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Exercice 37.7 ★

Pour chaque division, donner le quotient et le reste, et écrire l’égalité $a = b \times q + r$ :

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Solution

Solution de Exercice 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (quotient $13$ , reste $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (quotient $38$ , reste $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (quotient $63$ , reste $0$ : $504$ est divisible par $8$ ).

Exercice 37.8 ★

Sans diviser, expliquer pourquoi l’égalité $173 = 8 \times 20 + 13$ n’est pas la division euclidienne de $173$ par $8$ , et trouver le quotient et le reste corrects.

Solution

Solution de Exercice 37.8.

L’égalité est vraie, mais le reste $13$ n’est pas plus petit que le diviseur $8$ , donc ce n’est pas la division euclidienne. On retire encore un $8$ du reste : $173 = 8 \times 21 + 5$ , avec $0 \leq 5 < 8$ : quotient $21$ , reste $5$ .

Exercice 37.9 ★★

Les œufs sont emballés par boîtes de $12$ .

Une ferme a $2\,000$ œufs. Combien de boîtes pleines peut-elle remplir, et combien d’œufs restent ?
Une boulangerie a besoin de $150$ œufs. Combien de boîtes doit-elle acheter ?

Solution

Solution de Exercice 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : la ferme remplit $166$ boîtes pleines et il reste $8$ œufs.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : douze boîtes ne contiennent que $144$ œufs, pas assez. La boulangerie doit acheter $13$ boîtes.

Exercice 37.10 ★★

Aujourd’hui, c’est mardi. Quel jour de la semaine sera-t-ce dans $100$ jours ? (Les semaines ont $7$ jours : diviser et penser au reste.)

Solution

Solution de Exercice 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : cent jours font $14$ semaines complètes et $2$ jours de plus. Quatorze semaines plus tard, c’est encore un mardi ; deux jours après un mardi, c’est un jeudi.

Exercice 37.11 ★★

Dans une division par $9$ , le quotient est $56$ et le reste est le plus grand possible. Quel est le dividende ?

Solution

Solution de Exercice 37.11.

Le plus grand reste possible dans une division par $9$ est $8$ (le reste doit être plus petit que le diviseur). Donc le dividende est

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Exercice 37.12 ★★★

Je suis un nombre à trois chiffres. Mon chiffre des centaines est le double de mon chiffre des unités, mon chiffre des dizaines est $0$ , et la somme de mes chiffres est $9$ . Qui suis-je ? (Raisonner étape par étape, puis vérifier.)

Solution

Solution de Exercice 37.12.

Soient les chiffres $c$ (centaines), $0$ (dizaines), $u$ (unités). On sait $c = 2 \times u$ et $c + 0 + u = 9$ , donc $2u + u = 9$ , d’où $3u = 9$ , $u = 3$ , et $c = 6$ . Le nombre est $603$ . Vérif. : $6$ est le double de $3$ , le chiffre des dizaines est $0$ , et $6 + 0 + 3 = 9$ .

37.5 Problème : le petit Gauss et la somme des cent premiers nombres

Problème 37.1

Devoir maison — additionner $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ en dix secondes, et les nombres triangulaires

Une histoire célèbre : pour occuper sa classe, un maître d’école demanda à ses élèves d’additionner tous les nombres de $1$ à $100$ . Un garçon écrivit $5\,050$ sur son ardoise presque aussitôt — Carl Friedrich Gauss, neuf ans, qui allait devenir l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Son secret n’était rien d’autre qu’un calcul malin (Exemple 37.6) : regrouper les termes pour que chaque groupe soit facile. Ce problème redécouvre son astuce, la rend valable dans tous les cas, et montre à quel point ces sommes sont fréquentes dans la vie courante.

Partie I — Les paires de Gauss.

Calculer $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ en regroupant habilement les termes.
Pour $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : associer le premier terme au dernier ( $1 + 10$ ), le deuxième à l’avant-dernier ( $2 + 9$ ), et ainsi de suite. Combien vaut chaque paire ? Combien y a-t-il de paires ? Terminer le calcul.
Même méthode pour $1 + 2 + \dots + 20$ : combien vaut chaque paire, combien y a-t-il de paires, quel est le total ?
Passer maintenant à la somme du maître d’école, $1 + 2 + \dots + 100$ : expliquer pourquoi les paires $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ valent toutes la même chose, et pourquoi il y en a exactement $50$ , la dernière étant $50 + 51$ .
Écrire la réponse de Gauss sous la forme d’une seule multiplication, et la calculer.

Partie II — Une astuce qui ne rate jamais.

Essayer l’appariement sur $1 + 2 + \dots + 9$ : cette fois, un nombre reste sans partenaire. Lequel ? Former les paires autour de lui et calculer la somme.
Voici une version de l’astuce qui marche que le nombre de termes soit pair ou impair : écrire la somme deux fois, une fois à l’endroit et une fois à l’envers, l’une sous l’autre,

$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$

puis additionner colonne par colonne. Combien vaut chaque colonne ? Combien y a-t-il de colonnes ? Expliquer pourquoi la somme des deux lignes vaut $9 \times 10 = 90$ , et en déduire que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — la même réponse qu’à la question 6.
Utiliser l’astuce des deux lignes pour calculer $1 + 2 + \dots + 50$ , puis $1 + 2 + \dots + 200$ .
Calculer la somme des cent premiers nombres pairs, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Comparer chaque terme à un terme de la somme de Gauss : aucun nouvel appariement n’est nécessaire.)
Calculer $101 + 102 + \dots + 200$ , à l’aide de deux sommes déjà connues et d’une soustraction.

Partie III — Les nombres triangulaires partout. Les totaux $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15, \dots$ des sommes $1 + 2 + \dots + n$ s’appellent les nombres triangulaires, parce qu’ils comptent des objets empilés en triangle.

Huit amis se retrouvent, et chacun serre la main de chacun des autres exactement une fois. Expliquer pourquoi le nombre de poignées de main est $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ , et le calculer.
Une épicière construit une pyramide triangulaire de boîtes : $12$ boîtes sur la rangée du bas, $11$ sur la suivante, et ainsi de suite jusqu’à une seule boîte au sommet. Combien lui faut-il de boîtes ? (Utiliser l’astuce de la question 7.)
Dessiner la somme $1 + 2 + 3 + 4$ comme un escalier de carreaux : un carreau dans la première colonne, deux dans la deuxième, trois dans la troisième, quatre dans la quatrième. Montrer sur le dessin que deux escaliers de ce type, dont l’un est retourné, s’emboîtent exactement dans un rectangle de $4$ rangées de $5$ carreaux — et expliquer pourquoi c’est l’astuce des deux lignes de la question 7, dessinée au lieu d’être écrite.
Une horloge sonne $1$ coup à une heure, $2$ coups à deux heures, …, $12$ coups à midi. Combien cela fait-il de coups sur les douze heures ? Et sur une journée entière ?
Une dernière pour Gauss : $5\,050$ secondes, est-ce plus ou moins qu’une heure et demie ? Convertir cette durée en heures, minutes et secondes, en utilisant deux fois la division euclidienne (Théorème 37.7).

Solution

Solution de Problème 37.1.

1. Par exemple $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15$ .

2. Chaque paire vaut $11$ : $1 + 10$ , $2 + 9$ , $3 + 8$ , $4 + 7$ , $5 + 6$ . Cela fait $5$ paires (dix nombres, deux par paire), donc la somme vaut $5 \times 11 = 55$ .

3. Des paires valant $21$ ( $1 + 20$ , $2 + 19, \dots$ ), et il y en a $10$ : $10 \times 21 = 210$ .

4. Dans chaque paire, quand le premier nombre augmente de $1$ , le second diminue de $1$ : le total ne change donc jamais, $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$ . Les cent nombres forment $50$ paires (deux nombres chacune), la plus intérieure étant $50 + 51 = 101$ .

5. $50$ paires valant $101$ :

1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .

6. Avec neuf nombres, celui du milieu, $5$ , n’a pas de partenaire. Autour de lui : $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$ , soit quatre paires. Total : $4 \times 10 + 5 = 45$ .

7. Chaque colonne vaut $1 + 9 = 2 + 8 = \dots = 9 + 1 = 10$ , et il y a $9$ colonnes : les deux lignes réunies valent $9 \times 10 = 90$ . Mais les deux lignes sont la même somme écrite deux fois, donc un exemplaire vaut la moitié : $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$ . Aucun nombre n’est jamais laissé sans partenaire — son partenaire est simplement juste en dessous de lui.

8. De $1$ à $50$ : $50$ colonnes valant $51$ , somme double $50 \times 51 = 2\,550$ , donc la somme vaut $2\,550 \div 2 = 1\,275$ . De $1$ à $200$ : $200$ colonnes valant $201$ , somme double $40\,200$ , somme $20\,100$ .

9. Tout nombre pair est le double d’un nombre de la somme de Gauss : $2 = 2 \times 1$ , $4 = 2 \times 2$ , …, $200 = 2 \times 100$ . La somme entière est donc le double de celle de Gauss :

2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .

10. Les nombres de $101$ à $200$ sont les nombres de $1$ à $200$ privés des nombres de $1$ à $100$ :

101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .

11. Aligner les amis. Le premier serre $7$ mains (une avec chacun des autres). Le deuxième a déjà salué le premier : il serre donc $6$ nouvelles mains ; le troisième, $5$ ; et ainsi de suite, le septième en serrant $1$ et le huitième aucune qui soit nouvelle. Chaque poignée de main est comptée exactement une fois :

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ poignées de main}

(en appariant autour du milieu : $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 = 8 + 8 + 8 + 4 = 28$ ).

12. $1 + 2 + \dots + 12$ : douze colonnes valant $13$ , somme double $12 \times 13 = 156$ , donc $156 \div 2 = 78$ boîtes.

13. L’escalier de $1 + 2 + 3 + 4$ carreaux, augmenté du même escalier retourné, remplit exactement un rectangle de $4$ rangées et $5$ colonnes : chaque rangée du rectangle est une colonne de l’astuce des deux lignes (une marche de l’escalier montant complétée par une marche de l’escalier descendant, $1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ , $4 + 1$ — toujours $5$ ). Le double de la somme vaut donc $4 \times 5 = 20$ carreaux, et $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ : le dessin est la question 7.

14. $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ coups en douze heures (question 12), donc $78 \times 2 = 156$ coups sur une journée entière.

15. Diviser par $60$ : $5\,050 = 60 \times 84 + 10$ , donc $5\,050$ secondes font $84$ minutes et $10$ secondes. Diviser les minutes par $60$ : $84 = 60 \times 1 + 24$ , donc $84$ minutes font $1$ heure $24$ minutes. En tout : $1$ h $24$ min $10$ s — un peu moins qu’une heure et demie ( $1$ h $30$ min).

Termes définis dans ce chapitre

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