Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

29Les nombres décimaux

Les dixièmes et les centièmes sont apparus dans Chapitre 25 ; un niveau de plus, les millièmes, complète le système décimal. Ce chapitre consolide la lecture, la décomposition et — surtout — la comparaison des nombres décimaux sans tomber dans leurs pièges célèbres.

29.1 Jusqu’aux millièmes

Définition 29.1 (Positions décimales)

Après la virgule viennent les dixièmes, les centièmes, les millièmes — chacun valant dix fois moins que le précédent :

4.362 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{6}{100} + \frac{2}{1000} = \frac{4\,362}{1000}.

Le tableau de numération de 4.362 : partie entière en bleu, partie décimale en rouge, la virgule entre unités et dixièmes. — Le tableau de numération de $4.362$ : partie entière en bleu, partie décimale en rouge, la virgule entre unités et dixièmes.

Exemple 29.2 (Plusieurs lectures, un seul nombre)

$4.362$ peut se lire « quatre virgule trois six deux », ou « quatre et $362$ millièmes », ou se décomposer en $4 + 0.3 + 0.06 + 0.002$ . Et ajouter des zéros finaux ne change rien : $4.362 = 4.3620$ . Mais $4.362 \neq 4.0362$ : un zéro à l’intérieur pousse chaque chiffre vers une place plus petite.

Exemple 29.3 (Où est-il sur la droite ?)

Pour placer $4.362$ : entre $4$ et $5$ ; en zoomant, entre $4.3$ et $4.4$ ; en zoomant encore, entre $4.36$ et $4.37$ , plus près de $4.36$ . Chaque chiffre décimal est un niveau de zoom de plus.

Zoom sur la droite graduée : le segment de 4.3 à 4.4, agrandi, est lui-même découpé en dix centièmes — et 4.362 se situe juste après 4.36. — Zoom sur la droite graduée : le segment de $4.3$ à $4.4$ , agrandi, est lui-même découpé en dix centièmes — et $4.362$ se situe juste après $4.36$ .

29.2 Comparer des décimaux

Méthode 29.4 (Comparer deux décimaux)

Comparer les parties entières : $6.1 > 5.987$ .
Parties entières égales : comparer les parties décimales chiffre par chiffre depuis la virgule — dixièmes, puis centièmes, puis millièmes ;
compléter avec des zéros finaux rend la comparaison équitable : $2.5$ contre $2.48$ devient $2.50$ contre $2.48$ , et $50 > 48$ centièmes.

Le piège, une dernière fois : une partie décimale plus longue ne signifie pas un nombre plus grand — $2.48$ a plus de chiffres que $2.5$ et est plus petit.

Exemple 29.5

Ranger $7.3$ ; $7.09$ ; $7.31$ ; $7.299$ . Compléter à trois décimales : $7.300$ ; $7.090$ ; $7.310$ ; $7.299$ . Alors

7.09 < 7.299 < 7.3 < 7.31 .

Remarquer $7.299 < 7.3$ même si $299$ semble grand : $299$ millièmes contre $300$ millièmes.

Exemple 29.6 (Se glisser entre deux décimaux)

Y a-t-il un nombre entre $5.7$ et $5.8$ ? Oui, plein : $5.75$ , $5.71$ , $5.799$ … Entre $5.79$ et $5.8$ ? Encore plein : $5.795$ , par exemple. Entre deux décimaux différents, on peut toujours en glisser un autre — il n’y a pas de décimal « suivant ».

29.3 Arrondir des décimaux

Définition 29.7 (Arrondi)

Pour arrondir à l’unité (ou au dixième, ou au centième), on regarde le chiffre suivant : $5$ ou plus arrondit vers le haut, sinon vers le bas. Ainsi $4.362$ s’arrondit à $4$ (unité), à $4.4$ (dixième), à $4.36$ (centième).

Exemple 29.8 (L’argent s’arrondit aux centimes)

Un prix calculé à $7.4983$ s’affiche $7.50$ : les montants de la vie réelle s’arrondissent au centième. Noter la cascade : $7.4983 \to 7.50$ , où le $49$ est devenu $50$ — l’arrondi peut se propager sur plusieurs chiffres.

29.4 Exercices

Exercice 29.1 ★

Écrire comme un nombre décimal : $5 + \frac{2}{10} + \frac{7}{1000}$ ; $\frac{85}{100}$ ; $\frac{4\,507}{1000}$ ; « douze et neuf millièmes ».

Solution

Solution de Exercice 29.1.

$5.207$ ; $0.85$ ; $4.507$ ; $12.009$ .

Exercice 29.2 ★

Dans $27.418$ : que compte le $4$ ? Le $8$ ? Décomposer le nombre comme dans Définition 29.1.

Solution

Solution de Exercice 29.2.

Le $4$ compte les dixièmes, le $8$ les millièmes :

27.418 = 27 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} + \frac{8}{1000}.

Exercice 29.3 ★

Vrai ou faux ? Expliquer avec les positions. $3.60 = 3.6$ ; $0.5 = 0.05$ ; $2.070 = 2.07$ ; $1.3 = 1.03$ .

Solution

Solution de Exercice 29.3.

$3.60 = 3.6$ : vrai (un zéro final n’ajoute rien).

$0.5 = 0.05$ : faux — $5$ dixièmes contre $5$ centièmes.

$2.070 = 2.07$ : vrai.

$1.3 = 1.03$ : faux — $3$ dixièmes contre $3$ centièmes.

Exercice 29.4 ★

Recopier et compléter avec $<$ , $>$ ou $=$ :

4.8 \;?\; 4.79, \qquad 0.302 \;?\; 0.32, \qquad 6.5 \;?\; 6.500, \qquad 9.09 \;?\; 9.1 .

Solution

Solution de Exercice 29.4.

$4.8 > 4.79$ ; $0.302 < 0.32$ (dixièmes égaux, centièmes $0 < 2$ ) ; $6.5 = 6.500$ ; $9.09 < 9.1$ .

Exercice 29.5 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $3.14$ ; $3.4$ ; $3.041$ ; $3.104$ ; $3.41$ .

Solution

Solution de Exercice 29.5.

$3.041 < 3.104 < 3.14 < 3.4 < 3.41$ .

Exercice 29.6 ★

Entre quels deux entiers se situe chaque nombre ? Entre quels deux nombres à une décimale ? $6.83$ ; $0.492$ ; $12.06$ .

Solution

Solution de Exercice 29.6.

$6.83$ : entre $6$ et $7$ ; entre $6.8$ et $6.9$ .

$0.492$ : entre $0$ et $1$ ; entre $0.4$ et $0.5$ .

$12.06$ : entre $12$ et $13$ ; entre $12.0$ et $12.1$ .

Exercice 29.7 ★

Arrondir $8.276$ : à l’unité ; au dixième ; au centième. Arrondir $3.95$ au dixième.

Solution

Solution de Exercice 29.7.

$8.276$ : à l’unité $8$ ; au dixième $8.3$ ; au centième $8.28$ . Et $3.95$ au dixième : le chiffre des centièmes est $5$ , on arrondit vers le haut : $4.0$ .

Exercice 29.8 ★

Donner un nombre strictement entre : $2.6$ et $2.7$ ; $0.41$ et $0.42$ ; $5.99$ et $6$ .

Solution

Solution de Exercice 29.8.

Par exemple $2.65$ ; $0.415$ ; $5.995$ . (Infiniment de réponses à chaque fois.)

Exercice 29.9 ★

Les hauteurs de quatre plantes sont $0.85$ m, $1.2$ m, $0.9$ m et $1.02$ m. Les ranger de la plus courte à la plus haute.

Solution

Solution de Exercice 29.9.

$0.85 < 0.9 < 1.02 < 1.2$ (en mètres).

Exercice 29.10 ★★

Lucie dit : « $7.12 > 7.9$ parce que $12 > 9$ ». Corriger son erreur, en comparant d’abord les dixièmes.

Solution

Solution de Exercice 29.10.

Comparer d’abord les dixièmes : $7.12$ a $1$ dixième, $7.9$ a $9$ dixièmes, donc $7.12 < 7.9$ . Lucie a comparé les parties décimales comme des entiers ( $12$ contre $9$ ), oubliant que $12$ centièmes est bien moins que $90$ centièmes.

Exercice 29.11 ★★

Trouver tous les nombres à exactement deux chiffres après la virgule qui s’arrondissent à $6.4$ lorsqu’on arrondit au dixième. Quels sont le plus petit et le plus grand ?

Solution

Solution de Exercice 29.11.

L’arrondi au dixième donne $6.4$ pour les nombres à deux décimales de $6.35$ (mi-chemin arrondi vers le haut) à $6.44$ : les nombres $6.35$ , $6.36$ , …, $6.44$ . Le plus petit : $6.35$ ; le plus grand : $6.44$ .