Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

48Expressions littérales

Une lettre dans un calcul désigne un nombre que l’on ne connaît pas encore, ou tous les nombres à la fois : écrire $P = 4c$ donne le périmètre de tout carré en une seule formule. Ce chapitre enseigne les conventions d’écriture, comment substituer des valeurs, et comment simplifier des expressions simples — le début de l’algèbre, poursuivi au Chapitre 57.

48.1 Écrire avec des lettres

Définition 48.1 (Expression littérale)

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres, chacune désignant un nombre. Conventions d’écriture :

le signe $\times$ s’omet devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
mais il reste entre deux nombres : $3 \times 5$ ne peut pas s’écrire $35$ !
$a \times a$ s’écrit $a^2$ (« $a$ au carré »), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ s’écrit $a$ , et $0a$ vaut $0$ .

Exemple 48.2

Simplifier l’écriture :

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(nombre d'abord)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Exemple 48.3 (Les formules sont des expressions littérales)

Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $w$ : périmètre $P = 2(L + w)$ , aire $A = Lw$ . Une formule résume l’infinité des rectangles d’un coup — c’est tout l’intérêt des lettres.

Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de L et w pour obtenir des nombres. — Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de $L$ et $w$ pour obtenir des nombres.

48.2 Substituer

Méthode 48.4 (Évaluer une expression)

Pour évaluer une expression pour des valeurs données de ses lettres :

réécrire l’expression en remettant les signes $\times$ cachés : $3a + a^2$ devient $3 \times a + a \times a$ ;
remplacer chaque lettre par sa valeur, en gardant des parenthèses autour si besoin ;
calculer, en respectant les priorités du Chapitre 45.

Exemple 48.5

Évaluer $E = 3x + x^2$ pour $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Évaluer $F = 2(a + 3b)$ pour $a = 4$ et $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Réduire des expressions

Proposition 48.6 (Regrouper les termes semblables)

Les termes contenant la même partie littérale se regroupent en additionnant leurs parties numériques (c’est la distributivité, Théorème 45.6, lue à l’envers) :

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Les termes de parties littérales différentes (comme $3x$ et $5y$ , ou $x$ et $x^2$ ) ne se regroupent pas.

Exemple 48.7

Réduire $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , en triant les termes :

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Attention : $7x + 9$ n’est pas $16x$ ! Tester avec $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ et $7 \times 1 + 9 = 16$ coïncident, mais $16x$ vaudrait aussi $16$ — tester avec $x = 2$ : l’original donne $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , et $7 \times 2 + 9 = 23$ , tandis que $16 \times 2 = 32$ . La réduction $7x + 9$ est juste, $16x$ est fausse.

Méthode 48.8 (Tester une égalité)

Pour vérifier si deux expressions pourraient être égales pour toute valeur :

substituer la même valeur dans les deux, au moins deux fois (par ex. $x = 2$ et $x = 10$ ; éviter $0$ et $1$ , qui masquent trop de différences) ;
si les résultats diffèrent ne serait-ce qu’une fois, les expressions ne sont pas égales — un contre-exemple suffit à tuer une affirmation générale ;
si les résultats coïncident, l’égalité n’est que plausible : une preuve demande de l’algèbre (développer, réduire).

Exemple 48.9

$2(x + 3)$ est-elle égale à $2x + 6$ pour tout $x$ ? Développer le prouve : $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . $(x + 1)^2$ est-elle égale à $x^2 + 1$ ? Tester $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ mais $2^2 + 1 = 5$ . Non — et un seul contre-exemple est une preuve complète du « non ».

48.4 Produire des expressions

Exemple 48.10 (De la situation à l’expression)

Un taxi facture $4$ euros plus $2$ euros par kilomètre. Pour un trajet de $k$ kilomètres le prix est

p = 4 + 2k \quad\text{euros}.

Pour $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euros. L’expression est la réponse générale ; substituer produit chaque cas particulier.

Exemple 48.11 (Tours de magie numériques)

« Pense à un nombre, double-le, ajoute $10$ , divise par $2$ , soustrais ton nombre. » Appeler le nombre $n$ et suivre les étapes :

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Tout le monde obtient $5$ , quel que soit $n$ — les lettres expliquent la magie.

48.5 Exercices

Exercice 48.1 ★

Simplifier l’écriture :

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solution

Solution de Exercice 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Exercice 48.2 ★

Remettre les signes $\times$ :

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solution

Solution de Exercice 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Exercice 48.3 ★

Évaluer pour $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solution

Solution de Exercice 48.3.

Pour $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Exercice 48.4 ★

Évaluer $3a + 2b$ et $a b + 5$ pour $a = 4$ , $b = 1.5$ .

Solution

Solution de Exercice 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Exercice 48.5 ★

Réduire :

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solution

Solution de Exercice 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Exercice 48.6 ★

Donner une formule pour : le périmètre d’un carré de côté $c$ ; le périmètre d’un triangle isocèle de base $b$ et de côtés égaux $s$ ; le prix de $n$ pains à $1.20$ euro chacun.

Solution

Solution de Exercice 48.6.

Carré : $P = 4c$ . Triangle isocèle : $P = b + 2s$ . Pains : $p = 1.20\,n$ euros.

Exercice 48.7 ★

Associer chaque expression à une description : $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Descriptions : « la moitié de $n$ » ; « le double de $n$ » ; « le carré de $n$ » ; « deux de plus que $n$ ».

Solution

Solution de Exercice 48.7.

$2n$ : le double ; $n + 2$ : deux de plus que $n$ ; $n^2$ : le carré ; $\frac n2$ : la moitié.

Exercice 48.8 ★★

En utilisant Méthode 48.8, décider (avec preuve ou contre-exemple) si ces égalités valent pour tout $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solution

Solution de Exercice 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : vrai pour tout $x$ (distributivité — c’est une preuve, pas besoin de test).

$2x + 5 = 7x$ : tester $x = 2$ : gauche $9$ , droite $14$ — faux en général (cela ne vaut que pour $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : tester $x = 3$ : gauche $6$ , droite $9$ — faux en général ( $x + x = 2x$ ).

Exercice 48.9 ★★

Un rectangle a pour largeur $w$ et sa longueur dépasse de $3$ cm sa largeur.

Exprimer la longueur, puis le périmètre, en fonction de $w$ , et réduire.
Calculer le périmètre pour $w = 5$ cm, directement et avec la formule réduite. Même réponse ?

Solution

Solution de Exercice 48.9.

1. Longueur : $w + 3$ . Périmètre :

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Pour $w = 5$ : directement, les côtés mesurent $5$ et $8$ , donc $P = 2 \times 13 = 26$ cm ; avec la formule, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Elles coïncident.

Exercice 48.10 ★★

Suivre le tour de Exemple 48.11 avec des lettres : « pense à un nombre, ajoute $6$ , multiplie par $3$ , soustrais $18$ , divise par ton nombre de départ » (supposer qu’il n’est pas nul). Que obtient-on toujours ?

Solution

Solution de Exercice 48.10.

En suivant les étapes avec la lettre $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Tout le monde obtient $3$ .

Exercice 48.11 ★★★

La figure ci-dessous est un carré de côté $a$ dont on a enlevé un coin carré de côté $b$ ( $b$ plus petit que $a$ ). Écrire deux expressions différentes de son aire (l’une comme différence, l’autre en découpant le L en deux rectangles), et vérifier qu’elles coïncident pour $a = 5$ , $b = 2$ .

Solution

Solution de Exercice 48.11.

Comme différence : $A = a^2 - b^2$ . En découpant le L en deux rectangles : une bande de largeur $a$ et de hauteur $a - b$ , puis un rectangle plus étroit au-dessus :

A = a(a - b) + b(a - b)

(rectangle du bas large de $a$ et haut de $a - b$ , rectangle du haut large de $a - b$ et haut de $b$ donne la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — la même). Pour $a = 5$ , $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , et $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Les deux expressions coïncident — elles le font toujours : c’est l’identité $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ du Chapitre 66 en cachette.