Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

48Expressions littérales

Une lettre dans un calcul désigne un nombre que l’on ne connaît pas encore, ou tous les nombres à la fois : écrire $P = 4c$ donne le périmètre de tout carré en une seule formule. Ce chapitre enseigne les conventions d’écriture, comment substituer des valeurs, et comment simplifier des expressions simples — le début de l’algèbre, poursuivi au Chapitre 57.

48.1 Écrire avec des lettres

Définition 48.1 (Expression littérale)

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres, chacune désignant un nombre. Conventions d’écriture :

le signe $\times$ s’omet devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
mais il reste entre deux nombres : $3 \times 5$ ne peut pas s’écrire $35$ !
$a \times a$ s’écrit $a^2$ (« $a$ au carré »), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ s’écrit $a$ , et $0a$ vaut $0$ .

Exemple 48.2

Simplifier l’écriture :

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(nombre d'abord)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Exemple 48.3 (Les formules sont des expressions littérales)

Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $w$ : périmètre $P = 2(L + w)$ , aire $A = Lw$ . Une formule résume l’infinité des rectangles d’un coup — c’est tout l’intérêt des lettres.

Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de L et w pour obtenir des nombres. — Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de $L$ et $w$ pour obtenir des nombres.

48.2 Substituer

Méthode 48.4 (Évaluer une expression)

Pour évaluer une expression pour des valeurs données de ses lettres :

réécrire l’expression en remettant les signes $\times$ cachés : $3a + a^2$ devient $3 \times a + a \times a$ ;
remplacer chaque lettre par sa valeur, en gardant des parenthèses autour si besoin ;
calculer, en respectant les priorités du Chapitre 45.

Exemple 48.5

Évaluer $E = 3x + x^2$ pour $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Évaluer $F = 2(a + 3b)$ pour $a = 4$ et $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Réduire des expressions

Proposition 48.6 (Regrouper les termes semblables)

Les termes contenant la même partie littérale se regroupent en additionnant leurs parties numériques (c’est la distributivité, Théorème 45.6, lue à l’envers) :

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Les termes de parties littérales différentes (comme $3x$ et $5y$ , ou $x$ et $x^2$ ) ne se regroupent pas.

Exemple 48.7

Réduire $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , en triant les termes :

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Attention : $7x + 9$ n’est pas $16x$ ! Tester avec $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ et $7 \times 1 + 9 = 16$ coïncident, mais $16x$ vaudrait aussi $16$ — tester avec $x = 2$ : l’original donne $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , et $7 \times 2 + 9 = 23$ , tandis que $16 \times 2 = 32$ . La réduction $7x + 9$ est juste, $16x$ est fausse.

Méthode 48.8 (Tester une égalité)

Pour vérifier si deux expressions pourraient être égales pour toute valeur :

substituer la même valeur dans les deux, au moins deux fois (par ex. $x = 2$ et $x = 10$ ; éviter $0$ et $1$ , qui masquent trop de différences) ;
si les résultats diffèrent ne serait-ce qu’une fois, les expressions ne sont pas égales — un contre-exemple suffit à tuer une affirmation générale ;
si les résultats coïncident, l’égalité n’est que plausible : une preuve demande de l’algèbre (développer, réduire).

Exemple 48.9

$2(x + 3)$ est-elle égale à $2x + 6$ pour tout $x$ ? Développer le prouve : $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . $(x + 1)^2$ est-elle égale à $x^2 + 1$ ? Tester $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ mais $2^2 + 1 = 5$ . Non — et un seul contre-exemple est une preuve complète du « non ».

48.4 Produire des expressions

Exemple 48.10 (De la situation à l’expression)

Un taxi facture $4$ euros plus $2$ euros par kilomètre. Pour un trajet de $k$ kilomètres le prix est

p = 4 + 2k \quad\text{euros}.

Pour $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euros. L’expression est la réponse générale ; substituer produit chaque cas particulier.

Exemple 48.11 (Tours de magie numériques)

« Pense à un nombre, double-le, ajoute $10$ , divise par $2$ , soustrais ton nombre. » Appeler le nombre $n$ et suivre les étapes :

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Tout le monde obtient $5$ , quel que soit $n$ — les lettres expliquent la magie.

48.5 Exercices

Exercice 48.1 ★

Simplifier l’écriture :

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solution

Solution de Exercice 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Exercice 48.2 ★

Remettre les signes $\times$ :

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solution

Solution de Exercice 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Exercice 48.3 ★

Évaluer pour $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solution

Solution de Exercice 48.3.

Pour $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Exercice 48.4 ★

Évaluer $3a + 2b$ et $a b + 5$ pour $a = 4$ , $b = 1.5$ .

Solution

Solution de Exercice 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Exercice 48.5 ★

Réduire :

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solution

Solution de Exercice 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Exercice 48.6 ★

Donner une formule pour : le périmètre d’un carré de côté $c$ ; le périmètre d’un triangle isocèle de base $b$ et de côtés égaux $s$ ; le prix de $n$ pains à $1.20$ euro chacun.

Solution

Solution de Exercice 48.6.

Carré : $P = 4c$ . Triangle isocèle : $P = b + 2s$ . Pains : $p = 1.20\,n$ euros.

Exercice 48.7 ★

Associer chaque expression à une description : $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Descriptions : « la moitié de $n$ » ; « le double de $n$ » ; « le carré de $n$ » ; « deux de plus que $n$ ».

Solution

Solution de Exercice 48.7.

$2n$ : le double ; $n + 2$ : deux de plus que $n$ ; $n^2$ : le carré ; $\frac n2$ : la moitié.

Exercice 48.8 ★★

En utilisant Méthode 48.8, décider (avec preuve ou contre-exemple) si ces égalités valent pour tout $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solution

Solution de Exercice 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : vrai pour tout $x$ (distributivité — c’est une preuve, pas besoin de test).

$2x + 5 = 7x$ : tester $x = 2$ : gauche $9$ , droite $14$ — faux en général (cela ne vaut que pour $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : tester $x = 3$ : gauche $6$ , droite $9$ — faux en général ( $x + x = 2x$ ).

Exercice 48.9 ★★

Un rectangle a pour largeur $w$ et sa longueur dépasse de $3$ cm sa largeur.

Exprimer la longueur, puis le périmètre, en fonction de $w$ , et réduire.
Calculer le périmètre pour $w = 5$ cm, directement et avec la formule réduite. Même réponse ?

Solution

Solution de Exercice 48.9.

1. Longueur : $w + 3$ . Périmètre :

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Pour $w = 5$ : directement, les côtés mesurent $5$ et $8$ , donc $P = 2 \times 13 = 26$ cm ; avec la formule, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Elles coïncident.

Exercice 48.10 ★★

Suivre le tour de Exemple 48.11 avec des lettres : « pense à un nombre, ajoute $6$ , multiplie par $3$ , soustrais $18$ , divise par ton nombre de départ » (supposer qu’il n’est pas nul). Que obtient-on toujours ?

Solution

Solution de Exercice 48.10.

En suivant les étapes avec la lettre $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Tout le monde obtient $3$ .

Exercice 48.11 ★★★

La figure ci-dessous est un carré de côté $a$ dont on a enlevé un coin carré de côté $b$ ( $b$ plus petit que $a$ ). Écrire deux expressions différentes de son aire (l’une comme différence, l’autre en découpant le L en deux rectangles), et vérifier qu’elles coïncident pour $a = 5$ , $b = 2$ .

Solution

Solution de Exercice 48.11.

Comme différence : $A = a^2 - b^2$ . En découpant le L en deux rectangles : une bande de largeur $a$ et de hauteur $a - b$ , puis un rectangle plus étroit au-dessus :

A = a(a - b) + b(a - b)

(rectangle du bas large de $a$ et haut de $a - b$ , rectangle du haut large de $a - b$ et haut de $b$ donne la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — la même). Pour $a = 5$ , $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , et $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Les deux expressions coïncident — elles le font toujours : c’est l’identité $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ du Chapitre 66 en cachette.

48.6 Problème : l’oracle des allumettes

Problème 48.1

Devoir maison — les motifs qui grandissent et leur terme de rang $n$ : trois formules pour un même motif, et le motif célèbre qui trahit à la sixième étape

Aligner des allumettes en une rangée de carrés : un carré, puis deux, puis trois … Combien d’allumettes faudra-t-il à la centième figure ? Les compter une à une prendrait tout le week-end ; une formule en $n$ répond instantanément pour toutes les figures à la fois — c’est exactement à cela que servent les lettres (Exemple 48.3). Mais attention : ce problème se termine par un motif célèbre qui joue franc jeu pendant cinq étapes, puis trahit tous ceux qui lui avaient fait confiance.

Partie I — Une rangée de carrés. La figure $1$ est un carré d’allumettes ( $4$ allumettes) ; chaque figure suivante ajoute un carré de plus, partageant un côté avec le précédent.

Dessiner les figures $1$ à $4$ et compter leurs allumettes.
Expliquer pourquoi chaque nouveau carré coûte exactement $3$ allumettes supplémentaires, et s’en servir pour prévoir le compte de la figure $10$ sans aucune formule.
Justifier la formule : la figure $n$ demande $3n + 1$ allumettes. (D’où vient le « $+1$ » solitaire ?) La vérifier sur la question 1.
Amir raisonne autrement : « $4$ allumettes pour le premier carré, puis $3$ pour chacun des $n - 1$ autres », ce qui donne $4 + 3(n - 1)$ . Développer et réduire son expression (Proposition 48.6) : est-il d’accord avec la question 3 ?
Léna compte d’une troisième façon : « $2n$ allumettes horizontales, et $n + 1$ verticales ». Écrire sa formule, la réduire, et conclure. Répondre alors à la question du début : combien d’allumettes pour la figure $100$ ?

Partie II — Triangles, tables, et marche arrière.

Une rangée de triangles d’allumettes (chaque nouveau triangle s’appuie sur le précédent) : compter les allumettes pour $1$ , $2$ , $3$ triangles, puis justifier la formule $2n + 1$ pour $n$ triangles.
Marche arrière : avec exactement $49$ allumettes, combien de triangles la rangée peut-elle compter ? (Défaire la formule étape par étape.)
Des tables de banquet carrées accueillent un convive par côté libre. Lorsque $n$ tables sont accolées en une seule longue rangée, expliquer pourquoi la formule du nombre de places est $2n + 2$ , et la vérifier pour $1$ , $2$ , $3$ tables.
Une réception attend $30$ convives. Combien de tables faut-il pour une seule rangée ? Le traiteur répartit plutôt les mêmes tables en deux rangées de sept : combien de convives tiennent alors ? Expliquer le gain à l’aide de la formule.
Motif de points : la figure $n$ est un L de points, haut de $n$ points et large de $n$ points (le coin compté une seule fois). Compter les points des figures $1$ , $2$ , $3$ , trouver la formule, et nommer les nombres qu’elle produit. (Emboîtés les uns dans les autres, ces L pavent un carré — une histoire poursuivie dans Problème 57.1.)

Partie III — Croire, tester, démontrer.

Un camarade affirme que la figure $n$ de la partie I demande $3(n + 2) - 5$ allumettes. Trancher en développant et en réduisant — aucun test n’est nécessaire.
« Élever au carré rend les nombres plus grands, donc $n^2 \geq n$ pour tout nombre $n$ . » Tester l’affirmation pour $n = 2$ , $3$ , $10$ ; puis trouver un nombre pour lequel elle échoue. Qu’ont prouvé les trois tests réussis, et que prouve l’unique échec (Méthode 48.8) ?
Marquer des points sur un cercle et tracer tous les segments qui les joignent, puis compter les régions délimitées à l’intérieur du cercle. Le faire pour $2$ , $3$ , $4$ et $5$ points (placer les points irrégulièrement, pour que jamais trois segments ne se croisent en un même point intérieur). Noter les comptes. Quelle formule le motif souffle-t-il ?
Passer maintenant à $6$ points, en dessinant grand et irrégulièrement, et en comptant avec le plus grand soin (les petites régions sont nombreuses). Combien de régions trouve-t-on — et qu’est-il arrivé à la conjecture ?
La morale, en deux phrases : qu’aurait-il fallu pour démontrer la conjecture du doublement, et pourquoi les formules d’allumettes des parties I et II n’ont-elles jamais couru pareil danger ? Fêter cela par une prévision démontrée : combien d’allumettes pour la rangée de $2\,026$ carrés ?

Solution

Solution de Problème 48.1.

1. Les figures $1$ à $4$ demandent $4$ , $7$ , $10$ , $13$ allumettes.

2. Un nouveau carré partage un côté avec la figure précédente : seuls $3$ de ses $4$ côtés sont donc de nouvelles allumettes. À partir de la figure $4$ ( $13$ allumettes), six carrés de plus coûtent $6 \times 3 = 18$ : la figure $10$ demande $13 + 18 = 31$ allumettes.

3. En lisant la rangée depuis la gauche : elle commence par une allumette verticale, puis chacun des $n$ carrés apporte un haut, un bas et un côté droit — $3$ allumettes chacun. Total : $3n + 1$ ; le « $+1$ » est la toute première allumette verticale. Vérification : $n = 1, 2, 3, 4$ donnent $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : la formule d’Amir se développe en exactement la même expression réduite. Accord complet.

5. Léna : $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — la même encore. Trois façons de voir, une seule forme réduite. Figure $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ allumettes.

6. Comptes : $3$ , $5$ , $7$ allumettes. Chaque nouveau triangle s’appuie sur un côté existant et n’ajoute que $2$ allumettes, à partir de $3$ : la figure $n$ demande $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ allumettes.

7. Défaisons $2n + 1 = 49$ : en retirant la première allumette il en reste $48$ , et chaque triangle en consomme alors $2$ : $48 \div 2 = 24$ triangles.

8. Dans une rangée de $n$ tables, chaque table offre son côté haut et son côté bas ( $2n$ places), et les deux tables des extrémités offrent chacune un côté de plus ( $+2$ ) : $2n + 2$ places. Vérification : $4$ , $6$ , $8$ pour $n = 1, 2, 3$ .

9. Une seule rangée : $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$ , donc $14$ tables. En répartissant ces mêmes $14$ tables en deux rangées de $7$ : chaque rangée offre $2 \times 7 + 2 = 16$ places, soit $32$ ensemble — deux de plus que la rangée unique, parce que chaque nouvelle rangée apporte deux nouvelles extrémités. (Chaque séparation gagne $2$ places : les traiteurs le savent.)

10. Le L de taille $n$ a $n$ points en montant et $n$ en allant vers la droite, le point du coin étant commun : $n + n - 1 = 2n - 1$ points. Figures $1$ , $2$ , $3$ : $1$ , $3$ , $5$ points — les nombres impairs. Emboîtés l’un autour de l’autre, les L remplissent un carré de $n \times n$ points : c’est l’histoire du Problème 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : l’affirmation se réduit à la formule démontrée, elle est donc exacte pour tout $n$ — établie par l’algèbre, et non par des exemples.

12. Tests : $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : tous réussis. Mais $n = 0.5$ donne $n^2 = 0.25 < 0.5$ : l’affirmation échoue. Les trois tests n’ont rien prouvé sur tous les nombres (ils n’ont fait que ne pas trouver d’ennui) ; l’unique contre-exemple, lui, prouve que l’affirmation générale est fausse (Méthode 48.8). Une lettre désigne n’importe quel nombre — les décimaux compris.

13. Régions : $2$ points $\to 2$ ; $3$ points $\to 4$ ; $4$ points $\to 8$ ; $5$ points $\to 16$ . Le motif souffle « chaque point double le compte » : on attend donc $32$ régions pour $6$ points.

14. Un comptage soigneux donne $31$ régions — et non $32$ . La conjecture du doublement est morte : elle a survécu à quatre vérifications et succombé à la cinquième. (Ce contre-exemple est assez célèbre pour avoir un nom, le « piège des régions du cercle » ; pas de raccourci avec des points régulièrement répartis — trois cordes concourantes fusionneraient des régions et fausseraient le compte.)

15. Une démonstration aurait exigé une raison structurelle pour laquelle ajouter un point double les régions — et il n’y en a pas : le doublement n’était qu’une coïncidence des petits cas. Les formules d’allumettes, elles, étaient à l’abri parce que chacune se lisait sur la construction elle-même (chaque carré coûte visiblement $3$ allumettes, chaque table offre visiblement $2$ places) : de la structure, pas des tests. Prévision démontrée : $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ allumettes.

Termes définis dans ce chapitre

Expression littérale

Voir les 395 termes du glossaire