Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

36Problèmes et graphiques

Le dernier chapitre de l’année met tout au travail : des problèmes à plusieurs étapes avec de l’argent, des quantités et des durées, et les graphiques qui présentent l’information d’un coup d’œil. L’idée phare est le « par un » — trouver le prix d’un seul article — qui grandira en proportionnalité dans Chapitre 44.

36.1 Problèmes à plusieurs étapes

Méthode 36.1 (Apprivoiser un long problème)

Lire jusqu’au bout ; dire quelle est la question finale ;
planifier à rebours : pour y répondre, de quoi ai-je besoin d’abord ?
résoudre les étapes dans l’ordre, en écrivant une opération et une phrase courte par étape ;
vérifier la réponse finale par le bon sens et par une estimation.

Exemple 36.2

« Une école commande $4$ cartons de $25$ livres à $6$ chacun, et paie $180$ de livraison en plus. Quel est le coût total ? »

Livres : $4 \times 25 = 100$ livres.
Coût des livres : $100 \times 6 = 600$ .
Total : $600 + 180 = 780$ .

Vérification par estimation : environ cent livres à $6$ , c’est environ $600$ , plus environ $200$ : environ $800$ — la réponse $780$ est plausible.

Exemple 36.3 (Par un)

« $5$ mugs identiques coûtent $12.50$ ; que coûtent $8$ mugs ? » Trouver d’abord le prix d’un mug :

12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{puis}\qquad 8 \times 2.50 = 20 .

Par le un, tout devient accessible — ce schéma en deux étapes résout toute une famille de problèmes (recettes, vitesses, prix), et c’est la graine de Chapitre 44.

Exemple 36.4 (Monnaie et budget)

Zoé a $30$ . Elle achète un livre à $12.40$ et deux stylos à $2.30$ chacun. Peut-elle aussi s’offrir un jeu de société à $13$ ?

Stylos : $2 \times 2.30 = 4.60$ .
Dépensé jusqu’ici : $12.40 + 4.60 = 17$ .
Reste : $30 - 17 = 13$ — exactement assez pour le jeu, sans rien laisser.

36.2 Lire des graphiques

Méthode 36.5 (Lire n’importe quel graphique)

Lire le titre : que compte-t-on ?
Lire les axes ou la légende : que représente une graduation, une barre, un symbole ?
Seulement ensuite répondre aux questions — pointer le graphique avec une règle aide à lire les hauteurs exactement.

Exemple 36.6

Précipitations dans une ville, mois par mois :

Un diagramme en barres des précipitations. Une graduation = 20 mm. — Un diagramme en barres des précipitations. Une graduation $= 20$ mm.

Lectures : le mois le plus humide est mai ( $80$ mm) ; juin a reçu la moitié de la pluie d’avril ( $30$ contre $70$ ? non — la moitié de $70$ est $35$ , donc pas tout à fait la moitié : lire précisément compte !) ; total pour les six mois : $60 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340$ mm.

Exemple 36.7 (Une quantité qui change)

La hauteur d’une plante, mesurée chaque semaine :

Joindre les points de mesure montre la croissance : plus le segment est raide, plus la plante a grandi cette semaine-là. — Joindre les points de mesure montre la *croissance* : plus le segment est raide, plus la plante a grandi cette semaine-là.

La plante a grandi le plus vite entre les semaines $3$ et $4$ ( $+5$ cm) et a ralenti à la fin ( $+2$ cm en semaine $6$ ).

36.3 Exercices

Exercice 36.1 ★

Résoudre par étapes : « Un club loue un bus pour $240$ et achète $32$ billets de musée à $7$ chacun. Quel est le coût total de la sortie ? »

Solution

Solution de Exercice 36.1.

Billets : $32 \times 7 = 224$ . Total : $240 + 224 = 464$ .

Exercice 36.2 ★

Résoudre avec le « par un » : « $3$ kg de pommes coûtent $7.50$ . Que coûtent $5$ kg ? »

Solution

Solution de Exercice 36.2.

Par kg : $7.50 \div 3 = 2.50$ . Cinq kg : $5 \times 2.50 = 12.50$ .

Exercice 36.3 ★

Résoudre : « Six amis partagent équitablement le coût de $87$ d’un pique-nique. Combien chacun paie-t-il ? »

Solution

Solution de Exercice 36.3.

$87 \div 6 = 14.5$ : chacun paie $14.50$ .

Exercice 36.4 ★

Sam a $25$ . Il achète un T-shirt à $13.90$ et une casquette à $8.50$ . Combien d’argent lui reste-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 36.4.

Dépensé : $13.90 + 8.50 = 22.40$ . Reste : $25 - 22.40 = 2.60$ .

Exercice 36.5 ★

Avec le graphique des précipitations de Exemple 36.6 : quels mois ont reçu plus de $50$ mm ? Combien de pluie en plus est tombée en mai qu’en juin ?

Solution

Solution de Exercice 36.5.

Plus de $50$ mm : janvier ( $60$ ), mars ( $55$ ), avril ( $70$ ), mai ( $80$ ). Mai moins juin : $80 - 30 = 50$ mm.

Exercice 36.6 ★

Avec le graphique de la plante de Exemple 36.7 : quelle hauteur avait la plante en semaine $2$ ? Entre quelles semaines a-t-elle grandi d’exactement $4$ cm ?

Solution

Solution de Exercice 36.6.

Semaine $2$ : $6$ cm. Croissance de $4$ cm : entre les semaines $2$ et $3$ ( $6 \to 10$ ), et entre les semaines $4$ et $5$ ( $15 \to 19$ ).

Exercice 36.7 ★

Dessiner un diagramme en barres pour le nombre de buts marqués par une équipe : septembre $4$ , octobre $7$ , novembre $3$ , décembre $6$ . Choisir la graduation, et donner le total.

Solution

Solution de Exercice 36.7.

Quatre barres de hauteurs $4$ , $7$ , $3$ , $6$ (graduation tous les $1$ ou $2$ buts). Total : $4 + 7 + 3 + 6 = 20$ buts.

Exercice 36.8 ★

Un pack de $8$ yaourts coûte $3.20$ ; vendu seul, un yaourt coûte $0.50$ . Calculer le prix « par un » dans le pack, et combien on économise par yaourt en achetant le pack.

Solution

Solution de Exercice 36.8.

Pack par un : $3.20 \div 8 = 0.40$ . Économie par yaourt : $0.50 - 0.40 = 0.10$ (dix centimes).

Exercice 36.9 ★★

« Un cinéma a vendu $148$ billets à $9.50$ le samedi et $95$ billets au même prix le dimanche. Combien d’argent le samedi a-t-il rapporté de plus que le dimanche ? » Résoudre de deux façons : en calculant les recettes des deux jours, ou en calculant avec la différence de billets — et vérifier que les réponses coïncident.

Solution

Solution de Exercice 36.9.

Façon 1 : samedi $148 \times 9.50 = 1\,406$ ; dimanche $95 \times 9.50 = 902.50$ ; différence $503.50$ .

Façon 2 : $148 - 95 = 53$ billets de plus, chacun valant $9.50$ : $53 \times 9.50 = 503.50$ . Même réponse — la différence des recettes est la recette de la différence.

Exercice 36.10 ★★

Une recette pour $4$ personnes demande $300$ g de riz. Aline cuisine pour $10$ personnes. Combien de riz lui faut-il ? (Par une personne d’abord — décimaux autorisés.)

Solution

Solution de Exercice 36.10.

Par personne : $300 \div 4 = 75$ g. Pour dix : $10 \times 75 = 750$ g de riz.

Exercice 36.11 ★★

Inventer un problème en trois étapes utilisant de l’argent dont la réponse finale est $5.50$ , écrire sa solution complète dans le style de Méthode 36.1, et le tester sur un camarade.

Solution

Solution de Exercice 36.11.

Beaucoup de problèmes corrects — par exemple : « Milo achète $3$ jus à $1.20$ chacun et un sandwich à $3.40$ . Il paie avec un bon de $12.50$ . Combien reste-t-il du bon ? » Solution : jus $3 \times 1.20 = 3.60$ ; total dépensé $3.60 + 3.40 = 7$ ; reste $12.50 - 7 = 5.50$ .