Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

46Nombres relatifs

Températures sous zéro, étages sous le sol, dettes : bien des grandeurs passent sous $0$ . Les nombres négatifs prolongent la droite numérique à gauche de zéro. Ce chapitre enseigne à les comparer et à les additionner et soustraire — leur multiplication attend le Chapitre 54.

46.1 Nombres relatifs

Définition 46.1 (Nombres relatifs)

Un nombre relatif est formé d’un signe ( $+$ ou $-$ ) et d’une distance à zéro : $+3$ et $-3$ sont tous deux à distance $3$ de $0$ , de part et d’autre. Les nombres positifs s’écrivent d’ordinaire sans leur signe : $+3 = 3$ . Les nombres $+3$ et $-3$ sont opposés l’un de l’autre.

La droite numérique prolongée à gauche : -3 et +3 sont des nombres opposés, à la même distance de 0. — La droite numérique prolongée à gauche : $-3$ et $+3$ sont des nombres opposés, à la même distance de $0$ .

Méthode 46.2 (Comparer des nombres relatifs)

Sur la droite numérique, plus petit signifie plus à gauche. En pratique :

un nombre négatif est toujours plus petit qu’un positif : $-7 < 2$ ;
entre deux positifs, l’ordre habituel ;
entre deux négatifs, celui de plus grande distance à zéro est le plus petit : $-7 < -2$ .

Exemple 46.3

Ranger du plus petit au plus grand : $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Les négatifs d’abord, le plus négatif en tête :

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Additionner des nombres relatifs

Penser un nombre relatif comme un déplacement sur la droite : $+5$ signifie « avancer de $5$ pas à droite », $-3$ signifie « avancer de $3$ pas à gauche ». Additionner des nombres, c’est enchaîner les déplacements.

Méthode 46.4 (Additionner deux nombres relatifs)

Même signe : ajouter les distances, garder le signe commun : $(-3) + (-4) = -7$ .
Signes contraires : soustraire la plus petite distance de la plus grande, prendre le signe de la plus grande : $(-7) + (+2) = -5$ et $(+7) + (-2) = +5$ .
Les opposés s’annulent : $(+4) + (-4) = 0$ .

Additionner comme se déplacer : partant de 0, le déplacement -3.5 puis le déplacement +2 aboutit à (-3.5) + 2 = -1.5. — Additionner comme se déplacer : partant de $0$ , le déplacement $-3.5$ puis le déplacement $+2$ aboutit à $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Exemple 46.5

Étape par étape, en regroupant à convenance :

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(signes contraires~: } 8 - 3 = 5, \text{ signe de } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(même signe~: ajouter les distances)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Soustraire des nombres relatifs

Théorème 46.6 (Règle de soustraction)

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé :

a - b = a + (-b) .

Pourquoi cela fonctionne. $a - b$ est le nombre qui, ajouté à $b$ , donne $a$ . Vérifier que $a + (-b)$ fait le travail : $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Exemple 46.7

Toute soustraction devient une addition, puis Méthode 46.4 s’applique :

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

La dernière ligne est la célèbre : soustraire un négatif, c’est ajouter. Supprimer une dette vous enrichit !

Exemple 46.8 (Écarts de température)

En une journée, la température est passée de $-6$ degrés à $+9$ degrés. La hausse est la différence

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ degrés}.

Sur la droite numérique : de $-6$ jusqu’à $0$ c’est $6$ degrés, de $0$ à $9$ c’est $9$ de plus.

46.4 Coordonnées dans tout le plan

Définition 46.9 (Coordonnées avec signes)

Avec deux axes gradués perpendiculaires se croisant à l’origine $O$ , tout point du plan reçoit deux coordonnées relatives $(x, y)$ : un $x$ négatif signifie à gauche de l’axe vertical, un $y$ négatif signifie au-dessous de l’axe horizontal.

Un point dans chaque quart du plan. Toujours lire d’abord la coordonnée horizontale.

46.5 Exercices

Exercice 46.1 ★

Donner l’opposé de : $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Puis compléter : « deux nombres sont opposés lorsque leur somme vaut ? ».

Solution

Solution de Exercice 46.1.

Opposés : $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (son propre opposé) ; $-12$ . Deux nombres sont opposés lorsque leur somme vaut $0$ .

Exercice 46.2 ★

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Solution

Solution de Exercice 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Exercice 46.3 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Solution

Solution de Exercice 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Exercice 46.4 ★

Calculer :

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Solution

Solution de Exercice 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Exercice 46.5 ★

Transformer en additions, puis calculer :

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Solution

Solution de Exercice 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Exercice 46.6 ★

Calculer en regroupant astucieusement (les opposés d’abord) :

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Solution

Solution de Exercice 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (positifs ensemble, négatifs ensemble).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Exercice 46.7 ★

La température était de $-3$ degrés ce matin ; elle a monté de $8$ degrés dans la journée, puis baissé de $12$ degrés la nuit. Écrire un seul calcul donnant la température finale, et le mener.

Solution

Solution de Exercice 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : il fait $-7$ degrés la nuit.

Exercice 46.8 ★

Placer dans un repère : $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . Quel point est sur un axe ?

Solution

Solution de Exercice 46.8.

Tracé libre ; $E(0, -3)$ est sur l’axe vertical (sa première coordonnée est $0$ ).

Exercice 46.9 ★★

Calculer l’écart entre la température la plus haute et la plus basse : Moscou en janvier, max $-4$ degrés, min $-13$ degrés ; Helsinki, max $2$ , min $-9$ .

Solution

Solution de Exercice 46.9.

Moscou : $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ degrés d’écart. Helsinki : $2 - (-9) = 11$ degrés.

Exercice 46.10 ★★

Une plongeuse est à l’altitude $-12$ m (douze mètres sous la surface). Elle remonte de $7$ m, puis descend de $4$ m. À quelle altitude est-elle ? De combien doit-elle encore remonter pour atteindre la surface ?

Solution

Solution de Exercice 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : elle est à $-9$ m. Pour atteindre la surface (altitude $0$ ) elle doit remonter $0 - (-9) = 9$ m.

Exercice 46.11 ★★

Placer $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ , $C(2, -2)$ . Trouver les coordonnées du point $D$ pour que $ABCD$ soit un rectangle, et calculer son périmètre (compter les carreaux pour les longueurs des côtés).

Solution

Solution de Exercice 46.11.

$D(-2, -2)$ : même première coordonnée que $A$ , même seconde coordonnée que $C$ . Côtés : $AB = 4$ (de $-2$ à $2$ ) et $BC = 3$ (de $1$ jusqu’à $-2$ ), donc le périmètre est $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Exercice 46.12 ★★★

Dans le carré magique ci-dessous, chaque ligne, colonne et diagonale doit avoir la même somme. Recopier et le compléter :

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Commencer par trouver la somme magique à l’aide de la diagonale presque complète.)

Solution

Solution de Exercice 46.12.

La diagonale complète $0$ , $-2$ , $-4$ donne la somme magique $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Puis, case par case : en haut à gauche $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; au milieu à droite $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; en bas à droite $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; en bas au milieu $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Chaque ligne, colonne et diagonale a pour somme $-6$ .

46.6 Problème : l’an zéro qui n’a jamais existé

Problème 46.1

Devoir maison — les nombres relatifs sur la frise de l’histoire : des durées à cheval sur le changement d’ère, l’astuce des astronomes, et le principe de la variation totale

La droite graduée de ce chapitre a un célèbre jumeau dans le monde réel : la frise de l’histoire, avec les années av. J.-C. qui s’étirent vers la gauche et les années apr. J.-C. vers la droite. Mais la frise des historiens cache un piège qui a gâché bien des calculs : il n’y a pas d’an zéro — l’an $1$ av. J.-C. est immédiatement suivi de l’an $1$ apr. J.-C. Ce problème calcule d’abord sur des températures, des ascenseurs et des comptes en banque, puis répare le zéro cassé de l’histoire comme le font les astronomes : avec des nombres relatifs.

Partie I — Échauffements, et un premier piège.

Le sommet du mont Blanc est à l’altitude $+4\,808$ m ; la rive de la mer Morte à $-430$ m. Calculer leur différence d’altitude.
Un compte en banque affiche $-45$ euros (un découvert). Son titulaire dépose $120$ euros, règle une facture de $60$ euros, puis dépose $15$ euros. Écrire le solde comme une seule chaîne d’additions et le calculer. Quel dépôt unique aurait ramené le $-45$ initial exactement à $0$ ?
Jules César est né en $100$ av. J.-C. et mort en $44$ av. J.-C. En comptant les années av. J.-C. comme des nombres négatifs ( $100$ av. J.-C. pour $-100$ , $44$ av. J.-C. pour $-44$ ), calculer $(-44) - (-100)$ : combien d’années César a-t-il vécu ?
L’empereur Auguste est né en $63$ av. J.-C. et mort en $14$ apr. J.-C. La même recette donne $14 - (-63) = 77$ ans — mais les historiens affirment qu’il est mort à $76$ ans. Leur objection : le compte $77$ traverse une année qui n’a jamais existé. Laquelle ?
Les astronomes réparent la frise en renumérotant : les années apr. J.-C. gardent leur numéro ( $+14$ reste $+14$ ), mais l’an $1$ av. J.-C. devient $0$ , l’an $2$ av. J.-C. devient $-1$ , et plus généralement l’an $n$ av. J.-C. devient $-(n - 1)$ . Convertir $63$ av. J.-C., et refaire le calcul de la question 4 avec les nombres des astronomes. La réponse satisfait-elle désormais les historiens ?

Partie II — Calculer d’une ère à l’autre. Dans toute la suite, utiliser la renumérotation des astronomes pour chaque calcul, et reconvertir en av./apr. J.-C. à la fin (une année numérotée $0$ ou négative $-m$ est l’an $m + 1$ av. J.-C. des historiens).

Convertir en nombres d’astronomes : $1$ av. J.-C. ; $10$ av. J.-C. ; $476$ apr. J.-C. ; et $753$ av. J.-C., la fondation légendaire de Rome.
Combien d’années se sont écoulées de la fondation de Rome ( $753$ av. J.-C.) à la chute de l’Empire romain d’Occident ( $476$ apr. J.-C.) ?
Une comète revient tous les $76$ ans et est apparue en $12$ av. J.-C. Donner, dans le comput des historiens, les années de ses trois apparitions suivantes, et celle de l’apparition juste avant $12$ av. J.-C.
Combien d’années se sont écoulées de $5$ av. J.-C. à $5$ apr. J.-C. ? (La réponse tentante est $10$ ; la frise dit autre chose.)
Un enfant né en $3$ av. J.-C. a eu dix ans en quelle année (av. ou apr. J.-C.) ?

Partie III — Le principe de la variation totale.

La distance entre deux nombres de la droite est le plus grand moins le plus petit — toujours positive. Calculer la distance entre $-7$ et $-2$ , puis entre $-3.5$ et $4.5$ .
Un ascenseur part de l’étage $0$ et effectue les déplacements $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calculer l’étage d’arrivée en regroupant habilement (Méthode 46.4, les opposés d’abord quand c’est possible). Effectuer les déplacements dans un autre ordre changerait-il la destination ? Pourquoi ?
Jour après jour, la température varie de $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ degrés au cours d’une semaine. Calculer la variation totale. Si la semaine a commencé à $-2$ degrés, à quelle température s’est-elle terminée ? Énoncer le principe : valeur finale $=$ valeur initiale $+$ (somme de toutes les variations).
La marche d’une randonneuse la ramène exactement à son altitude de départ. Que doit valoir la somme de toutes ses variations d’altitude, et pourquoi ? De ses six variations relevées, cinq valent $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (en centaines de mètres) : trouver la sixième.
Bouquet final, retour à Rome. Un historien calcule : « la République a duré de $509$ av. J.-C. à $27$ av. J.-C., puis l’Empire jusqu’en $476$ apr. J.-C. ; en tout, de $509$ av. J.-C. à $476$ apr. J.-C., cela fait $509 + 476 = 985$ années d’État romain. » Refaire le calcul avec les nombres des astronomes. Quel est le total correct — et quelle année, une fois de plus, a causé l’erreur ?

Solution

Solution de Problème 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Théorème 46.6 : soustraire un négatif, c’est ajouter).

2. Solde :

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euros}.

Pour ramener le $-45$ initial à $0$ , il fallait déposer son opposé : $45$ euros.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : César a vécu $56$ ans. (Aucun piège ici : les deux années sont du même côté du changement d’ère.)

4. L’an $0$ : compter de $-63$ jusqu’à $+14$ passe par $0$ , alors que le calendrier des historiens saute directement de l’an $1$ av. J.-C. à l’an $1$ apr. J.-C. — l’an $0$ n’a jamais existé, donc le compte naïf est trop long d’une année.

5. $63$ av. J.-C. devient $-(63 - 1) = -62$ . Alors $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ ans : exactement le chiffre des historiens. Sur la droite renumérotée des astronomes, il n’y a plus de trou : la soustraction ordinaire donne donc les durées exactes.

6. $1$ av. J.-C. $\to 0$ ; $10$ av. J.-C. $\to -9$ ; $476$ apr. J.-C. $\to +476$ ; $753$ av. J.-C. $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ ans.

8. $12$ av. J.-C., c’est $-11$ . Apparitions suivantes : $-11 + 76 = 65$ , puis $141$ , puis $217$ : les années $65$ , $141$ et $217$ apr. J.-C. Avant : $-11 - 76 = -87$ , soit l’an $87 + 1 = 88$ av. J.-C. des historiens.

9. $5$ av. J.-C., c’est $-4$ , donc $5 - (-4) = 9$ ans — et non $10$ . L’an zéro manquant frappe chaque fois qu’une durée franchit le changement d’ère.

10. $3$ av. J.-C., c’est $-2$ ; dix ans plus tard, $-2 + 10 = +8$ : l’enfant a eu dix ans en l’an $8$ apr. J.-C.

11. Entre $-7$ et $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . Entre $-3.5$ et $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. En regroupant les opposés et les nombres amis :

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

l’ascenseur s’arrête à l’étage $3$ . L’ordre n’a pas d’importance : une somme de nombres relatifs se réorganise librement (chaque déplacement se parcourt sur la même droite, et le trajet total est le même).

13. Variation totale : $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ degré. En partant de $-2$ : température finale $-2 + (-1) = -3$ degrés. En général, la valeur finale est la valeur initiale augmentée de la somme de toutes les variations — inutile de suivre les hausses et les baisses une à une.

14. Revenir au point de départ signifie une variation totale nulle : les hausses et les baisses doivent se compenser exactement. Les cinq variations connues totalisent $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , donc la sixième est l’opposée : $+3$ (trois cents mètres de montée).

15. Chez les astronomes : $509$ av. J.-C. $\to -508$ , et $476 - (-508) = 984$ ans. Le $509 + 476 = 985$ de l’historien compte une année de trop — une fois encore l’an zéro fantôme, silencieusement inclus dans l’addition mais absent de l’histoire. (Vérification par les deux périodes : République de $-508$ à $-26$ , soit $482$ ans ; Empire de $-26$ à $+476$ , soit $502$ ans ; $482 + 502 = 984$ .)

Termes définis dans ce chapitre

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