Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

25Dixièmes et centièmes

Entre $3$ et $4$ , les nombres entiers se taisent — mais un coureur peut être à $3$ mètres et un peu devant. Découper l’unité en dix, puis en cent, donne les fractions décimales, et un merveilleux raccourci pour elles : la virgule. (Les nombres décimaux ont leur chapitre complet dans Chapitre 29.)

25.1 Fractions décimales

Définition 25.1 (Dixièmes et centièmes)

Découper une unité en $10$ parts égales donne des dixièmes, $\frac{1}{10}$ ; découper chaque dixième encore en $10$ donne des centièmes, $\frac{1}{100}$ . Ainsi

1 = \frac{10}{10} = \frac{100}{100}, \qquad \frac{1}{10} = \frac{10}{100}.

Le carré de cent : dix colonnes de dix cases. Une colonne est un dixième, une case un centième.

Exemple 25.2

Colorier $3$ colonnes et $7$ cases supplémentaires du carré de cent colore

\frac{3}{10} + \frac{7}{100} = \frac{30}{100} + \frac{7}{100} = \frac{37}{100}

du carré — trente-sept centièmes.

25.2 La virgule

Définition 25.3 (Écriture décimale)

Le nombre $2 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100}$ s’écrit

2.37

— la virgule sépare la partie entière ( $2$ ) de la partie décimale ; le premier chiffre après la virgule compte les dixièmes, le second les centièmes. Lecture : « deux virgule trois sept », ou « deux et trente-sept centièmes ».

Exemple 25.4

\frac{7}{10} = 0.7, \qquad \frac{43}{100} = 0.43, \qquad \frac{5}{100} = 0.05, \qquad 3 + \frac{4}{10} = 3.4 .

Attention avec $\frac{5}{100}$ : cinq centièmes demandent un $0$ à la place des dixièmes — $0.05$ , et non $0.5$ .

Zoom entre 2 et 2.8 : grandes marques tous les dixièmes, petites marques tous les centièmes. Le nombre 2.37 se situe entre 2.3 et 2.4, à la 7e petite marque. — Zoom entre $2$ et $2.8$ : grandes marques tous les dixièmes, petites marques tous les centièmes. Le nombre $2.37$ se situe entre $2.3$ et $2.4$ , à la $7$ ^e petite marque.

Exemple 25.5 (L’argent, ce sont des centièmes)

Un centime est un centième d’un euro (ou d’un dollar, d’une livre) : un prix de $4.85$ signifie $4$ pièces entières et $85$ centièmes. L’argent est la virgule qu’on utilise déjà tous les jours : $10$ centimes $= 0.10$ ; deux euros cinquante $= 2.50$ ; et $0.05$ est une pièce de cinq centimes, pas cinquante !

25.3 Comparer avec des dixièmes

Méthode 25.6 (Comparer des décimaux (premier contact))

Comparer d’abord les parties entières : $3.2 > 2.9$ .
Mêmes parties entières : comparer les dixièmes, puis les centièmes : $2.37 < 2.5$ car $3$ dixièmes $< 5$ dixièmes.
Écrire les deux avec deux décimales aide : $2.5 = 2.50$ , et $37 < 50$ centièmes.

Le piège : $2.37$ a plus de chiffres que $2.5$ , mais est plus petit — plus de chiffres ne veut pas dire plus grand !

Exemple 25.7

Ranger $0.4$ , $0.35$ et $0.09$ : avec des centièmes, $0.40$ , $0.35$ , $0.09$ ; donc

0.09 < 0.35 < 0.4 .

25.4 Exercices

Exercice 25.1 ★

Sur un carré de cent, quelle portion est coloriée si l’on colorie : $5$ colonnes ; $2$ colonnes et $3$ cases ; $45$ cases ? Répondre avec des fractions.

Solution

Solution de Exercice 25.1.

$5$ colonnes : $\frac{5}{10}$ (c’est-à-dire $\frac{50}{100}$ ). $2$ colonnes et $3$ cases : $\frac{23}{100}$ . $45$ cases : $\frac{45}{100}$ .

Exercice 25.2 ★

Écrire avec une virgule : $\frac{9}{10}$ ; $\frac{27}{100}$ ; $\frac{3}{100}$ ; $5 + \frac{6}{10}$ ; $\frac{60}{100}$ .

Solution

Solution de Exercice 25.2.

$0.9$ ; $0.27$ ; $0.03$ ; $5.6$ ; $0.60 = 0.6$ .

Exercice 25.3 ★

Écrire sous forme de fraction (dixièmes ou centièmes) : $0.3$ ; $0.51$ ; $0.07$ ; $1.9$ .

Solution

Solution de Exercice 25.3.

$0.3 = \frac{3}{10}$ ; $0.51 = \frac{51}{100}$ ; $0.07 = \frac{7}{100}$ ; $1.9 = 1 + \frac{9}{10} = \frac{19}{10}$ .

Exercice 25.4 ★

Dans $6.58$ : que compte le chiffre $5$ ? Le chiffre $8$ ? Décomposer le nombre comme dans Définition 25.3.

Solution

Solution de Exercice 25.4.

Le $5$ compte les dixièmes, le $8$ les centièmes :

6.58 = 6 + \frac{5}{10} + \frac{8}{100}.

Exercice 25.5 ★

Placer sur une droite graduée en dixièmes de $4$ à $5$ : $4.2$ ; $4.75$ (entre quelles deux marques ?) ; $4.9$ .

Solution

Solution de Exercice 25.5.

$4.2$ : sur la deuxième marque après $4$ . $4.75$ : entre les marques $4.7$ et $4.8$ , à mi-chemin. $4.9$ : une marque avant $5$ .

Exercice 25.6 ★

Recopier et compléter avec $<$ , $>$ ou $=$ :

0.6 \;?\; 0.60, \qquad 2.8 \;?\; 2.75, \qquad 0.09 \;?\; 0.1, \qquad 5.3 \;?\; 5.13 .

Solution

Solution de Exercice 25.6.

$0.6 = 0.60$ ; $2.8 > 2.75$ (comparer $2.80$ ) ; $0.09 < 0.1$ ( $9$ centièmes contre $10$ ) ; $5.3 > 5.13$ .

Exercice 25.7 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $1.05$ ; $1.5$ ; $0.95$ ; $1.45$ .

Solution

Solution de Exercice 25.7.

$0.95 < 1.05 < 1.45 < 1.5$ .

Exercice 25.8 ★

Écrire en écriture décimale : trois euros et cinq centimes ; douze euros et cinquante centimes ; quatre-vingt-dix-neuf centimes. Puis ranger les trois prix.

Solution

Solution de Exercice 25.8.

$3.05$ ; $12.50$ ; $0.99$ . Ordre : $0.99 < 3.05 < 12.50$ .

Exercice 25.9 ★

Quels nombres décimaux à un chiffre après la virgule se situent strictement entre $3$ et $4$ ? Les lister tous. Combien y en a-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 25.9.

$3.1$ , $3.2$ , $3.3$ , $3.4$ , $3.5$ , $3.6$ , $3.7$ , $3.8$ , $3.9$ — neuf nombres.

Exercice 25.10 ★★

Tom dit : « $0.25$ est plus grand que $0.5$ parce que $25$ est plus grand que $5$ ». Lui montrer son erreur avec le carré de cent (combien de cases chaque nombre colore-t-il ?).

Solution

Solution de Exercice 25.10.

Sur le carré de cent, $0.25$ colore $25$ cases mais $0.5 = 0.50$ colore $50$ cases : $0.5$ est le plus grand. Tom a comparé $25$ et $5$ comme des entiers ; il devait comparer $25$ et $50$ centièmes.

Exercice 25.11 ★★

Les trois sauts d’un athlète mesurent $3.6$ m, $3.58$ m et $3.65$ m. Ranger les sauts du plus court au plus long. Lesquels diffèrent d’exactement $\frac{5}{100}$ de mètre ?

Solution

Solution de Exercice 25.11.

Ordre : $3.58 < 3.6 < 3.65$ . Les sauts $3.6$ et $3.65$ diffèrent de $0.05 = \frac{5}{100}$ de mètre (cinq centimètres).