Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

51Triangles et angles

Peut-on tracer un triangle de côtés $10$ , $3$ et $2$ ? D’angles $80^\circ$ , $70^\circ$ et $50^\circ$ ? Ce chapitre répond aux deux questions avec deux des faits les plus utiles de la géométrie plane : l’inégalité triangulaire et la somme des angles $180^\circ$ — plus le vocabulaire des angles qui accompagne les droites sécantes et parallèles.

51.1 Angles autour de droites sécantes

Définition 51.1 (Paires d’angles)

Deux angles sont complémentaires lorsque leurs mesures s’additionnent à $90^\circ$ , supplémentaires lorsqu’elles s’additionnent à $180^\circ$ .
Lorsque deux droites se croisent, les angles se faisant face de part et d’autre du point d’intersection sont opposés par le sommet.
Lorsqu’une droite coupe deux autres droites, les angles situés dans la même position à chaque intersection sont des angles correspondants ; les angles situés entre les deux droites de part et d’autre de la sécante sont des angles alternes-internes.

Théorème 51.2 (Égalités d’angles)

Les angles opposés par le sommet sont égaux.
Si deux droites sont parallèles, les angles correspondants sont égaux, et les angles alternes-internes sont égaux. Réciproquement, des angles correspondants (ou alternes-internes) égaux forcent les droites à être parallèles.

Preuve du 1. Les deux angles $\widehat{1}$ et $\widehat{2}$ d’un même côté d’une droite forment un angle plat : $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . L’angle $\widehat 3$ opposé par le sommet à $\widehat 1$ satisfait aussi $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (même raison). Donc $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . Le point 2 est admis à ce niveau. ∎

Gauche : angles opposés par le sommet 1 = 3 (chacun est supplémentaire de 2). Droite : droites parallèles coupées par une troisième — les angles correspondants a et b sont égaux. — Gauche : angles opposés par le sommet $\widehat 1 = \widehat 3$ (chacun est supplémentaire de $\widehat 2$ ). Droite : droites parallèles coupées par une troisième — les angles correspondants $\widehat a$ et $\widehat b$ sont égaux.

51.2 La somme des angles d’un triangle

Théorème 51.3 (Somme des angles)

Dans tout triangle, les trois angles s’additionnent à $180^\circ$ .

Démonstration. Soit $ABC$ un triangle. Tracer la droite passant par $A$ parallèle à $(BC)$ . Au sommet $A$ , trois angles s’alignent le long de cette parallèle et forment un angle plat, $180^\circ$ : celui du milieu est $\widehat{A}$ , et les deux extérieurs sont des angles alternes-internes avec $\widehat B$ et $\widehat C$ (droites parallèles !), donc ils égalent $\widehat B$ et $\widehat C$ . D’où $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

La preuve en une figure : le long de la parallèle à (BC) par A, les angles B, A, C (angles alternes-internes en couleurs assorties) remplissent un angle plat. — La preuve en une figure : le long de la parallèle à $(BC)$ par $A$ , les angles $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (angles alternes-internes en couleurs assorties) remplissent un angle plat.

Exemple 51.4

Deux angles d’un triangle mesurent $67^\circ$ et $58^\circ$ . Le troisième mesure

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Cas particuliers à mémoriser : chaque angle d’un triangle équilatéral vaut $180 \div 3 = 60^\circ$ ; dans un triangle rectangle les deux angles aigus sont complémentaires (ils s’additionnent à $180 - 90 = 90^\circ$ ) ; les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, donc chacun vaut $\frac{180 - \text{angle au sommet}}{2}$ .

Exemple 51.5 (Pas de triangle à deux angles droits)

Un triangle avec deux angles de $90^\circ$ utiliserait déjà $180^\circ$ , ne laissant $0^\circ$ pour le troisième — impossible. La somme des angles interdit d’un coup bien des triangles.

51.3 L’inégalité triangulaire

Théorème 51.6 (Inégalité triangulaire)

Dans tout triangle, chaque côté est plus court que la somme des deux autres : pour un triangle de côtés $a$ , $b$ , $c$ ,

a < b + c .

Réciproquement, trois longueurs dont la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres peuvent toujours former un triangle. Si la plus grande égale la somme des autres, le « triangle » est plat : les trois sommets sont alignés.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 51.7

Des côtés $10$ , $3$ et $2$ sont-ils possibles ? Tester le plus grand : a-t-on $10 < 3 + 2 = 5$ ? Non — aucun tel triangle n’existe. Le compas montre pourquoi : les arcs de rayons $3$ et $2$ tracés des deux extrémités d’un segment de longueur $10$ ne se rencontrent jamais.

Côtés $7$ , $5$ et $4$ ? Plus grand : $7 < 5 + 4 = 9$ : oui, le triangle existe (vérifier le plus grand côté suffit).

Tentative de construire un triangle de côtés 10, 3, 2 : les deux arcs de compas restent désespérément éloignés, car 3 + 2 < 10. — Tentative de construire un triangle de côtés $10$ , $3$ , $2$ : les deux arcs de compas restent désespérément éloignés, car $3 + 2 < 10$ .

Méthode 51.8 (Existence et construction d’un triangle)

Étant donné trois longueurs :

comparer la plus grande à la somme des deux autres ; si elle n’est pas strictement plus petite, s’arrêter : pas de triangle ;
sinon construire comme en Méthode 41.2 (segment de base, deux arcs de compas) ;
après toute construction à partir d’angles, vérifier mentalement que les angles donnés somment à moins de $180^\circ$ — le troisième angle complétant exactement $180^\circ$ .

51.4 Exercices

Exercice 51.1 ★

Donner le complément (à $90^\circ$ ) et le supplément (à $180^\circ$ ) de : $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 51.1.

Compléments : $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Suppléments : $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Exercice 51.2 ★

Deux droites se croisent ; l’un des quatre angles mesure $35^\circ$ . Donner les mesures des trois autres, avec une raison pour chacune.

Solution

Solution de Exercice 51.2.

L’angle opposé par le sommet mesure aussi $35^\circ$ (Théorème 51.2) ; les deux angles restants lui sont supplémentaires : $180 - 35 = 145^\circ$ chacun.

Exercice 51.3 ★

Calculer le troisième angle d’un triangle dont les deux premiers mesurent : (a) $40^\circ$ et $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ et $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ et $75^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Exercice 51.4 ★

Un triangle isocèle a son angle au sommet égal à $40^\circ$ . Calculer ses deux angles à la base. Un autre triangle isocèle a un angle à la base de $70^\circ$ : calculer son angle au sommet.

Solution

Solution de Exercice 51.4.

Angle au sommet $40^\circ$ : les angles à la base se partagent $180 - 40 = 140^\circ$ également : $70^\circ$ chacun.

Angle à la base $70^\circ$ : les deux angles à la base sont égaux, donc l’angle au sommet vaut $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Exercice 51.5 ★

Lesquels de ces triplets peuvent être les côtés d’un triangle ? Justifier par l’inégalité triangulaire (le plus grand côté !) :

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Solution

Solution de Exercice 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : le triangle existe.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : impossible.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : « triangle » plat — les points sont alignés, pas de vrai triangle.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : triangle équilatéral.

Exercice 51.6 ★

Un triangle a pour angles $x$ , $2x$ et $3x$ . Trouver $x$ et les trois angles. De quel type de triangle s’agit-il ?

Solution

Solution de Exercice 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , donc $x = 30^\circ$ : les angles sont $30^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$ — un triangle rectangle.

Exercice 51.7 ★

Construire un triangle $ABC$ avec $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ et $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (rapporteur en $B$ et en $C$ ). Avant de construire, prédire la mesure de $\widehat{BAC}$ , puis vérifier sur la figure.

Solution

Solution de Exercice 51.7.

Prédiction : $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; le rapporteur sur la figure terminée le confirme.

Exercice 51.8 ★★

Deux droites parallèles sont coupées par une troisième, formant un angle de $54^\circ$ à la première intersection (entre la sécante et une parallèle). Dessiner la situation et donner les mesures des huit angles formés.

Solution

Solution de Exercice 51.8.

À la première intersection, les quatre angles sont $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ (paires d’opposés par le sommet et suppléments). La parallèle reproduit les mêmes quatre mesures à la seconde intersection (angles correspondants) : huit angles au total, quatre de $54^\circ$ et quatre de $126^\circ$ .

Exercice 51.9 ★★

Deux côtés d’un triangle mesurent $8$ cm et $3$ cm. Entre quelles deux valeurs le troisième côté doit-il se situer ? Donner une longueur entière qui convient et une qui ne convient pas.

Solution

Solution de Exercice 51.9.

Soit $c$ le troisième côté. L’inégalité triangulaire exige $c < 8 + 3 = 11$ et aussi $8 < c + 3$ , c’est-à-dire $c > 5$ . Donc $5 < c < 11$ : la longueur $7$ cm convient ; la longueur $12$ cm (ou $4$ cm) ne convient pas.

Exercice 51.10 ★★

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat A = 2\widehat B$ et $\widehat C = 90^\circ$ . Calculer $\widehat A$ et $\widehat B$ .

Solution

Solution de Exercice 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , et $\widehat A = 2\widehat B$ , donc $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ et $\widehat A = 60^\circ$ .

Exercice 51.11 ★★★

Les trois angles de tout quadrilatère $ABCD$ peuvent s’étudier en le découpant le long d’une diagonale en deux triangles. Utiliser cela pour prouver que les quatre angles de tout quadrilatère s’additionnent à $360^\circ$ , et en déduire la somme des angles d’un pentagone (cinq côtés).

Solution

Solution de Exercice 51.11.

La diagonale $[AC]$ découpe $ABCD$ en triangles $ABC$ et $ACD$ . Les quatre angles du quadrilatère sont exactement les six angles des deux triangles, regroupés (les angles en $A$ et en $C$ sont chacun partagés en deux). Total : $180 + 180 = 360^\circ$ . Un pentagone se découpe depuis un sommet en trois triangles : $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Problème : le tour du pâté de maisons

Problème 51.1

Devoir maison — les angles d’un polygone quelconque : $(n-2) \times 180^\circ$ à l’intérieur, toujours $360^\circ$ de virages à l’extérieur, et pourquoi trois figures régulières seulement pavent un sol

Exercice 51.11 a découpé un quadrilatère en deux triangles et trouvé $360^\circ$ . Ce problème pousse l’idée jusqu’aux polygones ayant un nombre quelconque de côtés, découvre ensuite une seconde démonstration, complètement différente — en marchant autour de la figure et en additionnant les virages — et s’achève sur le sol de la salle de bains : parmi tous les polygones réguliers, trois exactement peuvent paver le plan sans trou ni chevauchement, et les abeilles ont choisi le leur.

Partie I — Les angles de l’intérieur.

Depuis un sommet d’un hexagone (six côtés), tracer toutes les diagonales issues de ce sommet. En combien de triangles l’hexagone est-il découpé, et que vaut la somme de tous ses angles intérieurs (Théorème 51.3) ?
Généraliser : depuis un sommet d’un polygone à $n$ côtés, combien de triangles l’éventail de diagonales produit-il ? En déduire la formule de la somme des angles intérieurs, et la vérifier pour $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
Calculer la somme des angles intérieurs d’un décagone ( $10$ côtés) et d’un dodécagone ( $12$ côtés).
Dans un polygone régulier, tous les angles intérieurs sont égaux. Calculer l’angle intérieur du triangle équilatéral, du carré, du pentagone, de l’hexagone et de l’octogone réguliers.
Expliquer, sans aucune formule, pourquoi la somme des angles augmente exactement de $180^\circ$ chaque fois que le polygone gagne un sommet.

Partie II — Le tour du pâté de maisons. Marcher le long du bord d’un pâté de maisons polygonal, toujours vers l’avant. À chaque coin on tourne d’un certain angle — l’angle extérieur de ce coin ; les virages se poursuivent jusqu’au retour au point de départ, face à la direction de départ.

À un coin dont l’angle intérieur vaut $\widehat A$ , de combien tourne-t-on ? (Angle intérieur et angle extérieur sont supplémentaires.) Calculer les trois virages d’un triangle d’angles $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
Additionner les trois virages de la question 6. Quel fait remarquable observe-t-on ?
Expliquer pourquoi les virages d’un tour complet autour de n’importe quel polygone — trois côtés ou trente — totalisent toujours exactement $360^\circ$ . (Qu’a fait notre nez, tous virages confondus, une fois de retour ?)
En déduire une seconde fois la formule des angles intérieurs : à chacun des $n$ coins, intérieur $+$ virage $= 180^\circ$ ; sommer sur tous les coins et utiliser la question 8.
Dans un polygone régulier, tous les virages sont égaux, donc chaque angle extérieur vaut $\frac{360^\circ}{n}$ . S’en servir pour répondre instantanément : quel polygone régulier a des angles intérieurs de $150^\circ$ ? Et pourquoi aucun polygone régulier n’a-t-il des angles intérieurs de $155^\circ$ ?

Partie III — Paver le sol. Autour de chaque point d’un sol pavé, les coins des carreaux qui s’y rejoignent doivent totaliser exactement $360^\circ$ — ni trou, ni chevauchement (Problème 40.1).

Pour le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier : combien d’exemplaires se rejoignent en un coin du pavage ? Vérifier les $360^\circ$ à chaque fois.
Montrer que les pentagones réguliers ne peuvent pas paver le sol : que totalisent trois coins, et que totaliseraient quatre coins ?
Montrer qu’aucun polygone régulier à plus de six côtés ne peut paver : au moins trois carreaux doivent se rejoindre en chaque coin (chaque angle est inférieur à $180^\circ$ ), et qu’arrive-t-il à trois coins de $135^\circ$ ou plus ? Conclure par la liste complète des paveurs réguliers.
Les sols de salle de bains mêlent souvent des octogones réguliers et de petits carrés. Vérifier que ce coin fonctionne : $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Un autre motif classique réunit à chaque coin un carré, un hexagone régulier et un dodécagone régulier : le vérifier aussi (l’angle intérieur du dodécagone s’obtient par la méthode de la question 10).
Le choix des abeilles : les alvéoles d’un rayon de miel sont des hexagones réguliers. Vérifier leurs coins ( $3$ angles), et expliquer en une phrase — à l’aide de la découverte de Didon (Problème 43.1) — pourquoi, des trois carreaux réguliers possibles, l’hexagone est le moins coûteux en cire pour le miel qu’il contient.

Solution

Solution de Problème 51.1.

1. Les diagonales issues d’un sommet d’un hexagone le découpent en $4$ triangles : les angles intérieurs totalisent donc $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. Depuis un sommet, les diagonales vont vers tous les sommets sauf lui-même et ses deux voisins : $n - 3$ diagonales, qui découpent le polygone en $n - 2$ triangles. Chaque angle intérieur du polygone se répartit entre les triangles : la somme vaut donc

(n - 2) \times 180^\circ .

Vérification : $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Exercice 51.11) ; $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Décagone : $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Dodécagone : $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. En divisant par $n$ : triangle $60^\circ$ ; carré $90^\circ$ ; pentagone $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; hexagone $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; octogone $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Ajouter un sommet ajoute un triangle de plus à l’éventail : le nouveau polygone demande $n - 1$ triangles là où l’ancien en demandait $n - 2$ . Un triangle de plus, un $180^\circ$ de plus.

6. Le marcheur tourne du supplémentaire : $180^\circ - \widehat A$ . Pour le triangle $40$ – $60$ – $80$ , les virages valent $140^\circ$ , $120^\circ$ et $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : un tour complet.

8. Sur l’ensemble du parcours, notre nez part et revient dans la même direction, après avoir balayé exactement un tour : tous les virages pris aux coins totalisent une révolution complète, $360^\circ$ — quels que soient le nombre de coins et la forme du pâté de maisons. (Le fait est magnifiquement indépendant de $n$ .)

9. À chaque coin, intérieur $+$ virage $= 180^\circ$ . En sommant sur les $n$ coins :

\text{(somme des intérieurs)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{donc}\qquad \text{somme des intérieurs} = (n - 2) \times 180^\circ

— la formule de la question 2, redémontrée en marchant.

10. Un angle intérieur de $150^\circ$ signifie un virage de $30^\circ$ , et $n = \frac{360}{30} = 12$ : le dodécagone régulier. Un angle intérieur de $155^\circ$ signifierait des virages de $25^\circ$ , et $\frac{360}{25} = 14.4$ n’est pas un nombre entier de coins : un tel polygone régulier n’existe pas.

11. Triangle ( $60^\circ$ ) : $6$ se rejoignent, $6 \times 60 = 360$ . Carré ( $90^\circ$ ) : $4$ se rejoignent. Hexagone ( $120^\circ$ ) : $3$ se rejoignent, $3 \times 120 = 360$ . Les trois se referment parfaitement.

12. Trois coins de pentagone : $3 \times 108 = 324^\circ$ — il reste un trou de $36^\circ$ . Quatre coins : $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — chevauchement. Ni l’un ni l’autre ne convient : les pentagones réguliers ne peuvent pas paver le plan.

13. À un coin de pavage, au moins $3$ carreaux se rejoignent. Un polygone régulier à plus de six côtés a des angles intérieurs supérieurs à $120^\circ$ (question 4 et croissance de l’angle avec $n$ ) : trois coins dépassent donc $3 \times 120 = 360^\circ$ : chevauchement, impossible. Avec six côtés exactement, $3 \times 120 = 360$ convient ; en dessous de six, les questions 11 et 12 règlent les cas. Liste complète des paveurs réguliers : triangle, carré, hexagone.

14. Octogones et carrés : $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : le coin se referme — le motif classique des trottoirs. Carré, hexagone, dodécagone : le virage du dodécagone vaut $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , son angle intérieur vaut donc $150^\circ$ , et $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : cela fonctionne aussi.

15. Coins du rayon de miel : $3 \times 120 = 360^\circ$ , parfait. Parmi les carreaux triangulaires, carrés et hexagonaux de même aire, l’hexagone a le bord le plus court — c’est celui des trois qui se rapproche le plus du cercle de Didon (Problème 43.1) — donc des alvéoles hexagonales enferment le même miel avec le moins de cire : les abeilles pavent en géomètres.

Termes définis dans ce chapitre

Paires d’angles

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