Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

50Organiser des données

Avant de calculer quoi que ce soit, les données doivent être recueillies, comptées et présentées. Ce chapitre concerne la transformation d’une liste désordonnée d’observations en un tableau ou une image claire : effectifs, fréquences, données regroupées, diagrammes en barres et diagrammes circulaires. Résumer des données par un seul nombre (moyenne, médiane) est le sujet du Chapitre 71.

50.1 Effectifs et fréquences

Définition 50.1 (Effectif et fréquence)

Pour chaque valeur possible d’une enquête, son effectif est le nombre de fois où elle apparaît ; sa fréquence est l’effectif divisé par le nombre total d’observations :

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{total}} .

Les fréquences peuvent s’écrire en fractions, en décimaux ou en pourcentages, et elles s’additionnent toujours à $1$ (c’est-à-dire $100\,\%$ ).

Exemple 50.2

Sport préféré des $25$ élèves d’une classe, de la liste brute au tableau :

sport	football	natation	tennis	judo	total
effectif	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
fréquence	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Pour le football : $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . La ligne des fréquences doit sommer à $1$ — un contrôle permanent et gratuit.

Remarque 50.3 (Pourquoi des fréquences ?)

Les effectifs ne se comparent pas d’un groupe à l’autre lorsque les tailles diffèrent : $10$ amateurs de football dans une classe de $25$ (soit $40\,\%$ ) montrent plus d’enthousiasme que $12$ dans une année scolaire de $120$ ( $10\,\%$ ). Les fréquences mettent tout à la même échelle.

50.2 Regrouper des données en classes

Exemple 50.4 (Classes)

Les tailles (en cm) de $20$ élèves s’étendent de $148$ à $172$ . Lister chaque taille séparément donnerait un tableau avec presque autant de colonnes que d’élèves ; à la place, regrouper en classes :

taille (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	total
effectif	$5$	$9$	$6$	$20$
fréquence	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Chaque taille est comptée dans exactement une classe ( $155$ va dans $\intco{155}{165}$ , pas dans les deux — c’est pourquoi les intervalles sont semi-ouverts). Le regroupement perd du détail mais gagne en lisibilité.

50.3 Diagrammes

Méthode 50.5 (Choisir et tracer un diagramme)

Diagramme en barres : une barre par valeur ou classe, hauteur proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). Bon pour comparer des valeurs.
Diagramme circulaire : un secteur par valeur, angle proportionnel à la fréquence — le cercle entier ( $360^\circ$ ) représente le total, donc

$\text{angle} = \text{fréquence} \times 360^\circ .$

Bon pour montrer les parts d’un tout.
Dans les deux cas : titre, légendes, et une graduation ou les pourcentages écrits sur le diagramme.

Exemple 50.6

Angles pour les sports de Exemple 50.2 : football $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; natation $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tennis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Vérification : $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Les mêmes données en diagramme en barres (comparer les hauteurs) et en diagramme circulaire (comparer les parts de la classe). Le football occupe 144, soit 40\,\% du cercle. — Les mêmes données en diagramme en barres (comparer les hauteurs) et en diagramme circulaire (comparer les parts de la classe). Le football occupe $144^\circ$ , soit $40\,\%$ du cercle.

Exemple 50.7 (Lire avec un œil critique)

Un diagramme dont l’axe vertical commence à $9$ au lieu de $0$ fait paraître une barre de $10$ dix fois plus haute qu’une barre de $9.1$ — trompeur visuellement, même si les nombres sont honnêtes. Premier réflexe face à tout diagramme : vérifier où l’axe commence et ce que vaut une graduation (Méthode 44.8).

50.4 Exercices

Exercice 50.1 ★

Voici les notes de $20$ élèves : $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Construire le tableau des effectifs (une colonne par note).

Solution

Solution de Exercice 50.1.

En comptant chaque note :

note	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	total
effectif	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Exercice 50.2 ★

Compléter le tableau de Exercice 50.1 d’une ligne de fréquences (en fractions de $20$ , puis en pourcentages). Vérifier la somme.

Solution

Solution de Exercice 50.2.

Fréquences : $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Somme : $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Exercice 50.3 ★

Dans une enquête auprès de $50$ familles, $30$ ont une voiture. Quelle est la fréquence de « une voiture », en décimal et en pourcentage ? Dans une autre enquête, $45$ familles sur $90$ ont une voiture : laquelle montre la proportion la plus élevée ?

Solution

Solution de Exercice 50.3.

Première enquête : $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Seconde : $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . La première enquête montre la proportion la plus élevée, bien qu’elle ait moins de familles avec une voiture en effectif absolu.

Exercice 50.4 ★

Les masses (kg) de $15$ chiens : $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Les regrouper dans les classes $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ et donner les effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — effectif $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — effectif $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — effectif $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — effectif $1$ . Total $15$ . ✓

Exercice 50.5 ★

Tracer le diagramme en barres du tableau :

animaux	$0$	$1$	$2$	$3$
familles	$8$	$12$	$6$	$4$

Solution

Solution de Exercice 50.5.

Quatre barres de hauteurs $8$ , $12$ , $6$ , $4$ au-dessus des valeurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (graduation de $2$ en $2$ convient bien).

Exercice 50.6 ★

Pour le tableau de Exercice 50.5, calculer les fréquences et les angles du diagramme circulaire de chaque valeur (vérification : total $360^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 50.6.

Total $30$ familles. Fréquences : $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Angles ( $\times 360^\circ$ ) : $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; somme $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Exercice 50.7 ★

Un diagramme circulaire sur les saisons préférées montre : été $162^\circ$ , printemps $90^\circ$ , automne $54^\circ$ , hiver $54^\circ$ . Quel pourcentage a choisi chaque saison ? Si $60$ personnes ont répondu, combien ont choisi l’été ?

Solution

Solution de Exercice 50.7.

Pourcentages : été $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; printemps $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; automne et hiver $\frac{54}{360} = 15\,\%$ chacun. Sur $60$ personnes, l’été a été choisi par $0.45 \times 60 = 27$ d’entre elles.

Exercice 50.8 ★★

Dans la classe A, $12$ élèves sur $30$ viennent à pied ; dans la classe B, $14$ sur $40$ . Quelle classe a la proportion de piétons la plus élevée ? Justifier avec des fréquences, pas des effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.8.

Classe A : $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Classe B : $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . La classe A a la proportion de piétons la plus élevée, même si la classe B a plus de piétons en effectif.

Exercice 50.9 ★★

Un magazine imprime un diagramme en barres des ventes mensuelles : $9\,800$ , puis $10\,000$ , puis $10\,100$ , avec l’axe vertical commençant à $9\,700$ . Décrire ce que le lecteur voit, et ce qu’un axe honnête partant de $0$ montrerait à la place.

Solution

Solution de Exercice 50.9.

Avec l’axe commençant à $9\,700$ , les trois barres ont des hauteurs visibles de $100$ , $300$ et $400$ unités : la dernière paraît quatre fois la première, suggérant que les ventes ont quadruplé. Avec un axe partant de $0$ , les barres sont presque égales ( $9\,800$ à $10\,100$ est une hausse d’environ $3\,\%$ ) : l’image honnête montre des ventes presque plates.

Exercice 50.10 ★★

Un tableau de fréquences a trois valeurs de fréquences $0.35$ , $0.4$ et $f$ . Trouver $f$ . Si l’effectif total est $80$ , donner les trois effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.10.

Les fréquences somment à $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Effectifs (total $80$ ) : $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Vérification : $28 + 32 + 20 = 80$ .

Exercice 50.11 ★★★

Dans un établissement, $55\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $40\,\%$ mangent à la cantine ; parmi les garçons, $60\,\%$ le font. Sur $400$ élèves, combien mangent à la cantine ? (Calculer les quatre tailles de groupes étape par étape.) Quel pourcentage global cela représente-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 50.11.

Filles : $55\,\%$ de $400 = 220$ ; garçons : $180$ . Filles à la cantine : $0.4 \times 220 = 88$ ; garçons : $0.6 \times 180 = 108$ . Total : $88 + 108 = 196$ élèves, soit $\frac{196}{400} = 49\,\%$ de l’établissement — entre $40\,\%$ et $60\,\%$ , plus proche du taux des filles car elles sont plus nombreuses.

50.5 Problème : comment les données mentent — et comment les prendre en flagrant délit

Problème 50.1

Devoir maison — effectifs contre fréquences, le sondage qui a trompé tout un pays, et le paradoxe des deux hôpitaux

Les nombres ne mentent pas, mais on peut s’en servir pour induire en erreur : un effectif énorme peut cacher une petite fréquence, une enquête gigantesque peut ne rien valoir, et — le plus étrange — un hôpital peut battre son rival sur toutes les catégories de patients tout en perdant sur les chiffres d’ensemble. Ce problème déclenche les trois pièges, armé des seuls effectifs et fréquences de ce chapitre (Définition 50.1).

Partie I — Les effectifs ne sont pas des fréquences.

L’école A recycle $120$ de ses $400$ briques de jus de fruits ; l’école B, $90$ sur $250$ . Quelle école a le plus grand effectif de briques recyclées ? La plus grande fréquence ? Quelle école mérite le prix du recyclage ?
Un nouvel emploi du temps fait l’objet d’une enquête : $18$ des $30$ professeurs l’apprécient, et $210$ des $600$ élèves aussi. Calculer les deux fréquences, puis la fréquence sur l’ensemble des $630$ personnes. Pourquoi le chiffre global est-il si proche de celui des élèves ?
Un diagramme circulaire publié montre des secteurs étiquetés $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ et $10\,\%$ . Sans aucune autre information, comment sait-on qu’une erreur a été commise ?
Un tableau de fréquences portant sur $40$ observations est à moitié effacé : effectifs $14$ , $10$ , $?$ , $?$ et fréquences $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Reconstituer les cases manquantes.
Une enquête aboutit aux fréquences $0.40$ , $0.35$ et $0.25$ . Calculer les trois angles du diagramme circulaire (Méthode 50.5) et vérifier qu’ils referment le cercle.

Partie II — Le sondage qui a trompé tout un pays. En 1936, un magazine américain envoya dix millions de bulletins à des adresses tirées des annuaires téléphoniques et des listes d’immatriculation d’automobiles, reçut $2.4$ millions de réponses, et prédit une victoire écrasante du candidat Landon. Un jeune statisticien, George Gallup, n’interrogea qu’une cinquantaine de milliers de personnes — choisies pour ressembler à la population entière — et prédit l’inverse. Roosevelt l’emporta très largement.

Quelle fréquence des bulletins envoyés est revenue ?
En 1936, le téléphone et l’automobile étaient des produits de luxe. Expliquer en une ou deux phrases pourquoi l’échantillon du magazine, pourtant énorme, était condamné — et quelle leçon de la question 1 il répète à l’échelle d’un pays.
Un modèle réduit. Une ville compte $1\,000$ électeurs aisés, dont $70\,\%$ soutiennent L, et $9\,000$ électeurs modestes, dont $30\,\%$ soutiennent L. Calculer le soutien réel de L dans la ville. Un « sondage par annuaire » touche $500$ électeurs aisés et $500$ modestes : quel soutien prédit-il ?
Le piège silencieux : une entreprise a $200$ clients mécontents et $800$ clients satisfaits. Elle les interroge tous ; $40\,\%$ des mécontents répondent, mais seulement $10\,\%$ des satisfaits. Calculer le nombre de réponses de chaque sorte, et la fréquence du mécontentement parmi les réponses. Comparer avec la fréquence réelle.
Réparer le sondage de la question 8 : garder $1\,000$ entretiens, mais les répartir dans les proportions réelles de la ville. Que prédit le sondage réparé ?

Partie III — Le paradoxe des deux hôpitaux. Deux hôpitaux publient leurs effectifs de guérisons, répartis par gravité :

	cas bénins	cas graves
hôpital A	$90$ guéris sur $100$	$280$ guéris sur $400$
hôpital B	$340$ guéris sur $400$	$65$ guéris sur $100$

Calculer la fréquence de guérison de l’hôpital A pour les cas bénins, pour les cas graves, et globalement (sur les $500$ patients).
Faire les trois mêmes calculs pour l’hôpital B. Quel hôpital l’emporte sur les cas bénins ? Sur les cas graves ?
Comparer les deux fréquences globales. Énoncer clairement la chose étrange qui vient de se produire.
Expliquer le tour de passe-passe : comparer les compositions de patientèle des deux hôpitaux, et dire pourquoi la fréquence globale peut trahir les deux fréquences par catégorie. Avec un cas grave, quel hôpital faudrait-il choisir ?
Un titre de journal annonce : « L’hôpital B a le meilleur taux de guérison : $81\,\%$ contre $74\,\%$ . » Rédiger la lettre de deux phrases au rédacteur en chef que tout ce problème a appris à écrire — une phrase sur ce que le titre ignore, une phrase sur la morale générale (comparer ce qui est comparable, et se méfier des poids).

Solution

Solution de Problème 50.1.

1. Effectifs : $120 > 90$ , l’école A l’emporte. Fréquences : $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ contre $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : l’école B l’emporte. Le prix doit suivre la fréquence — l’école B recycle une plus grande part de ce qu’elle consomme ; l’école A boit simplement plus de jus de fruits.

2. Professeurs : $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Élèves : $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Ensemble : $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . Les élèves sont vingt fois plus nombreux : la fréquence globale est donc tirée presque entièrement de leur côté — le grand groupe pèse lourd.

3. Les fréquences doivent totaliser $100\,\%$ (Définition 50.1), or $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : au moins un secteur est faux.

4. Effectif de la fréquence $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . Effectifs cumulés jusque-là : $14 + 10 + 6 = 30$ , donc le dernier effectif vaut $40 - 30 = 10$ , de fréquence $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Vérification : $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Angles : $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; et $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : le disque se referme.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ des bulletins sont revenus.

7. Les annuaires téléphoniques et les registres d’automobiles recensaient surtout des foyers aisés, dont le vote différait de celui du pays ; les $2.4$ millions de réponses formaient un effectif géant tiré de la mauvaise population. Comme à la question 1 : ce qui compte n’est pas combien on compte, mais qui — une fréquence calculée sur un échantillon déformé décrit l’échantillon, pas le pays.

8. Soutien réel : $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ partisans sur $10\,000$ , soit $34\,\%$ . Le sondage : $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ sur $1\,000$ , soit $50\,\%$ — seize points de trop, parce que les électeurs aisés font la moitié de l’échantillon mais un dixième de la ville.

9. Réponses : $0.4 \times 200 = 80$ mécontents et $0.1 \times 800 = 80$ satisfaits, soit $160$ réponses dont $80$ mécontentes : mécontentement mesuré $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . Mécontentement réel : $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Personne n’a menti — les mécontents répondent simplement davantage, et l’enquête les entend plus fort.

10. Proportions réelles : un dixième d’électeurs aisés, soit $100$ entretiens auprès des aisés et $900$ auprès des modestes : $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ sur $1\,000$ : le sondage réparé prédit $34\,\%$ — la vérité de la question 8. Cinquante mille entretiens bien choisis battent deux millions d’entretiens mal choisis.

11. Hôpital A : bénins $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; graves $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; global $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Hôpital B : bénins $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; graves $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; global $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . L’hôpital A l’emporte sur les cas bénins ( $90 > 85$ ) et sur les cas graves ( $70 > 65$ ).

13. Globalement, B affiche $81\,\%$ contre $74\,\%$ pour A : l’hôpital qui perd dans toutes les catégories gagne au total. (Ce renversement porte un nom : le paradoxe de Simpson.)

14. Les compositions sont opposées : les patients de A sont surtout des cas graves ( $400$ sur $500$ ), ceux de B surtout des cas bénins ( $400$ sur $500$ ). Les cas graves guérissent moins souvent où qu’ils soient soignés : le chiffre global de A est donc tiré vers le bas par les cas difficiles qu’il accepte — le global est un mélange pondéré, et les poids diffèrent d’un hôpital à l’autre. Avec un cas grave, il faut choisir l’hôpital A : $70\,\%$ bat $65\,\%$ dans la seule ligne qui nous concerne.

15. Par exemple : « Votre comparaison mélange les cas bénins et les cas graves, or les deux hôpitaux accueillent des patientèles opposées — à gravité égale, l’hôpital A guérit une plus grande part des deux sortes de cas. Des chiffres globaux ne se comparent que si les groupes qui les portent se ressemblent ; sinon, ce sont les poids, et non la qualité, qui désignent le vainqueur. »

Termes définis dans ce chapitre

Effectif et fréquence

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