Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

50Organiser des données

Avant de calculer quoi que ce soit, les données doivent être recueillies, comptées et présentées. Ce chapitre concerne la transformation d’une liste désordonnée d’observations en un tableau ou une image claire : effectifs, fréquences, données regroupées, diagrammes en barres et diagrammes circulaires. Résumer des données par un seul nombre (moyenne, médiane) est le sujet du Chapitre 71.

50.1 Effectifs et fréquences

Définition 50.1 (Effectif et fréquence)

Pour chaque valeur possible d’une enquête, son effectif est le nombre de fois où elle apparaît ; sa fréquence est l’effectif divisé par le nombre total d’observations :

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{total}} .

Les fréquences peuvent s’écrire en fractions, en décimaux ou en pourcentages, et elles s’additionnent toujours à $1$ (c’est-à-dire $100\,\%$ ).

Exemple 50.2

Sport préféré des $25$ élèves d’une classe, de la liste brute au tableau :

sport	football	natation	tennis	judo	total
effectif	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
fréquence	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Pour le football : $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . La ligne des fréquences doit sommer à $1$ — un contrôle permanent et gratuit.

Remarque 50.3 (Pourquoi des fréquences ?)

Les effectifs ne se comparent pas d’un groupe à l’autre lorsque les tailles diffèrent : $10$ amateurs de football dans une classe de $25$ (soit $40\,\%$ ) montrent plus d’enthousiasme que $12$ dans une année scolaire de $120$ ( $10\,\%$ ). Les fréquences mettent tout à la même échelle.

50.2 Regrouper des données en classes

Exemple 50.4 (Classes)

Les tailles (en cm) de $20$ élèves s’étendent de $148$ à $172$ . Lister chaque taille séparément donnerait un tableau avec presque autant de colonnes que d’élèves ; à la place, regrouper en classes :

taille (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	total
effectif	$5$	$9$	$6$	$20$
fréquence	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Chaque taille est comptée dans exactement une classe ( $155$ va dans $\intco{155}{165}$ , pas dans les deux — c’est pourquoi les intervalles sont semi-ouverts). Le regroupement perd du détail mais gagne en lisibilité.

50.3 Diagrammes

Méthode 50.5 (Choisir et tracer un diagramme)

Diagramme en barres : une barre par valeur ou classe, hauteur proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). Bon pour comparer des valeurs.
Diagramme circulaire : un secteur par valeur, angle proportionnel à la fréquence — le cercle entier ( $360^\circ$ ) représente le total, donc

$\text{angle} = \text{fréquence} \times 360^\circ .$

Bon pour montrer les parts d’un tout.
Dans les deux cas : titre, légendes, et une graduation ou les pourcentages écrits sur le diagramme.

Exemple 50.6

Angles pour les sports de Exemple 50.2 : football $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; natation $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tennis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Vérification : $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Les mêmes données en diagramme en barres (comparer les hauteurs) et en diagramme circulaire (comparer les parts de la classe). Le football occupe 144, soit 40\,\% du cercle. — Les mêmes données en diagramme en barres (comparer les hauteurs) et en diagramme circulaire (comparer les parts de la classe). Le football occupe $144^\circ$ , soit $40\,\%$ du cercle.

Exemple 50.7 (Lire avec un œil critique)

Un diagramme dont l’axe vertical commence à $9$ au lieu de $0$ fait paraître une barre de $10$ dix fois plus haute qu’une barre de $9.1$ — trompeur visuellement, même si les nombres sont honnêtes. Premier réflexe face à tout diagramme : vérifier où l’axe commence et ce que vaut une graduation (Méthode 44.8).

50.4 Exercices

Exercice 50.1 ★

Voici les notes de $20$ élèves : $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Construire le tableau des effectifs (une colonne par note).

Solution

Solution de Exercice 50.1.

En comptant chaque note :

note	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	total
effectif	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Exercice 50.2 ★

Compléter le tableau de Exercice 50.1 d’une ligne de fréquences (en fractions de $20$ , puis en pourcentages). Vérifier la somme.

Solution

Solution de Exercice 50.2.

Fréquences : $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Somme : $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Exercice 50.3 ★

Dans une enquête auprès de $50$ familles, $30$ ont une voiture. Quelle est la fréquence de « une voiture », en décimal et en pourcentage ? Dans une autre enquête, $45$ familles sur $90$ ont une voiture : laquelle montre la proportion la plus élevée ?

Solution

Solution de Exercice 50.3.

Première enquête : $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Seconde : $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . La première enquête montre la proportion la plus élevée, bien qu’elle ait moins de familles avec une voiture en effectif absolu.

Exercice 50.4 ★

Les masses (kg) de $15$ chiens : $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Les regrouper dans les classes $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ et donner les effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — effectif $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — effectif $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — effectif $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — effectif $1$ . Total $15$ . ✓

Exercice 50.5 ★

Tracer le diagramme en barres du tableau :

animaux	$0$	$1$	$2$	$3$
familles	$8$	$12$	$6$	$4$

Solution

Solution de Exercice 50.5.

Quatre barres de hauteurs $8$ , $12$ , $6$ , $4$ au-dessus des valeurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (graduation de $2$ en $2$ convient bien).

Exercice 50.6 ★

Pour le tableau de Exercice 50.5, calculer les fréquences et les angles du diagramme circulaire de chaque valeur (vérification : total $360^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 50.6.

Total $30$ familles. Fréquences : $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Angles ( $\times 360^\circ$ ) : $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; somme $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Exercice 50.7 ★

Un diagramme circulaire sur les saisons préférées montre : été $162^\circ$ , printemps $90^\circ$ , automne $54^\circ$ , hiver $54^\circ$ . Quel pourcentage a choisi chaque saison ? Si $60$ personnes ont répondu, combien ont choisi l’été ?

Solution

Solution de Exercice 50.7.

Pourcentages : été $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; printemps $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; automne et hiver $\frac{54}{360} = 15\,\%$ chacun. Sur $60$ personnes, l’été a été choisi par $0.45 \times 60 = 27$ d’entre elles.

Exercice 50.8 ★★

Dans la classe A, $12$ élèves sur $30$ viennent à pied ; dans la classe B, $14$ sur $40$ . Quelle classe a la proportion de piétons la plus élevée ? Justifier avec des fréquences, pas des effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.8.

Classe A : $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Classe B : $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . La classe A a la proportion de piétons la plus élevée, même si la classe B a plus de piétons en effectif.

Exercice 50.9 ★★

Un magazine imprime un diagramme en barres des ventes mensuelles : $9\,800$ , puis $10\,000$ , puis $10\,100$ , avec l’axe vertical commençant à $9\,700$ . Décrire ce que le lecteur voit, et ce qu’un axe honnête partant de $0$ montrerait à la place.

Solution

Solution de Exercice 50.9.

Avec l’axe commençant à $9\,700$ , les trois barres ont des hauteurs visibles de $100$ , $300$ et $400$ unités : la dernière paraît quatre fois la première, suggérant que les ventes ont quadruplé. Avec un axe partant de $0$ , les barres sont presque égales ( $9\,800$ à $10\,100$ est une hausse d’environ $3\,\%$ ) : l’image honnête montre des ventes presque plates.

Exercice 50.10 ★★

Un tableau de fréquences a trois valeurs de fréquences $0.35$ , $0.4$ et $f$ . Trouver $f$ . Si l’effectif total est $80$ , donner les trois effectifs.

Solution

Solution de Exercice 50.10.

Les fréquences somment à $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Effectifs (total $80$ ) : $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Vérification : $28 + 32 + 20 = 80$ .

Exercice 50.11 ★★★

Dans un établissement, $55\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $40\,\%$ mangent à la cantine ; parmi les garçons, $60\,\%$ le font. Sur $400$ élèves, combien mangent à la cantine ? (Calculer les quatre tailles de groupes étape par étape.) Quel pourcentage global cela représente-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 50.11.

Filles : $55\,\%$ de $400 = 220$ ; garçons : $180$ . Filles à la cantine : $0.4 \times 220 = 88$ ; garçons : $0.6 \times 180 = 108$ . Total : $88 + 108 = 196$ élèves, soit $\frac{196}{400} = 49\,\%$ de l’établissement — entre $40\,\%$ et $60\,\%$ , plus proche du taux des filles car elles sont plus nombreuses.