Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

44Proportionnalité et données

Si trois cahiers coûtent $6$ euros, six cahiers coûtent $12$ : le double de cahiers, le double du prix. Les quantités qui se comportent ainsi sont proportionnelles — l’une des idées les plus utiles de toutes les mathématiques, développée plus loin dans Chapitre 49. Le chapitre se termine par la lecture et le tracé de graphiques simples.

44.1 Quantités proportionnelles

Définition 44.1 (Proportionnalité)

Deux quantités sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent à partir des valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple 44.2

Cahiers à $2$ euros chacun :

cahiers	$3$	$5$	$8$	$12$
prix (euros)	$6$	$10$	$16$	$24$

Chaque prix est le nombre de cahiers $\times 2$ : le coefficient est $2$ (le prix unitaire). Un contrôle rapide qu’un tableau est proportionnel : tous les « quotients de colonnes » $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ doivent être égaux — ici ils valent tous $2$ .

Exemple 44.3 (Un contre-exemple)

L’âge et la taille ne sont pas proportionnels : un enfant de $12$ ans n’est pas deux fois plus grand qu’un enfant de $6$ ans. Contrôle numérique : $1.50$ m à $12$ ans et $1.15$ m à $6$ ans donnent des quotients $\frac{1.50}{12} = 0.125$ et $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — pas égaux.

Méthode 44.4 (Compléter un tableau de proportionnalité)

Trois façons, à choisir librement :

coefficient : trouver le multiplicateur à partir d’une colonne complète, l’appliquer aux autres ;
colonnes : une colonne peut être multipliée par un nombre, ou deux colonnes additionnées, pour produire une nouvelle colonne ;
retour à l’unité : trouver d’abord la valeur pour un article, puis multiplier.

Exemple 44.5

Cinq mugs identiques coûtent $15$ euros ; que coûtent huit mugs ?

Retour à l’unité : un mug coûte $15 \div 5 = 3$ euros, donc huit mugs coûtent $8 \times 3 = 24$ euros.

Colonnes : $8 = 5 + 3$ ; trois mugs coûtent $\frac{3}{5}$ de $15$ , c’est-à-dire $9$ ; donc huit mugs coûtent $15 + 9 = 24$ euros. Même réponse, comme il se doit.

44.2 Pourcentages

Définition 44.6 (Pourcentage)

« $t\,\%$ d’une quantité » signifie la fraction $\frac{t}{100}$ de celle-ci : $25\,\%$ de $60$ est $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Un pourcentage est une proportionnalité de coefficient $\frac{t}{100}$ .

Exemple 44.7

Une classe de $30$ élèves contient $40\,\%$ de filles. Nombre de filles, étape par étape : $40\,\%$ signifie $\frac{40}{100} = 0.4$ , et $0.4 \times 30 = 12$ filles. Repères utiles : $50\,\%$ est une moitié, $25\,\%$ un quart, $10\,\%$ un dixième — donc $10\,\%$ de $30$ est $3$ , et $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ est $4 \times 3 = 12$ : même réponse, calculée mentalement.

44.3 Lire et tracer des graphiques

Méthode 44.8 (Lire un tableau ou un graphique)

Quelle que soit l’image — tableau, diagramme en barres, graphique en lignes :

lire d’abord le titre et les unités sur les deux axes ;
pour répondre à une question, localiser la bonne barre/colonne, puis lire la valeur soigneusement contre la graduation ;
pour comparer, comparer les barres par la hauteur — mais vérifier que l’axe commence à $0$ , sinon l’image peut tromper.

Exemple 44.9

Le diagramme en barres ci-dessous montre le nombre de livres empruntés à la bibliothèque de l’école pendant une semaine.

Un diagramme en barres : une barre par jour, hauteur égale au compte.

Lectures : le jour le plus chargé est mercredi ( $17$ livres). Mardi et jeudi ensemble comptent pour $8 + 6 = 14$ livres — moins que vendredi seul ( $15$ ). Total de la semaine : $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ livres.

Les quantités proportionnelles ont un graphique très reconnaissable : les points s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici des cahiers à 3 euros chacun ; les pointillés lisent le prix de 6 cahiers : 18 euros). — Les quantités proportionnelles ont un graphique très reconnaissable : les points s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici des cahiers à $3$ euros chacun ; les pointillés lisent le prix de $6$ cahiers : $18$ euros).

44.4 Exercices

Exercice 44.1 ★

Le tableau est-il proportionnel ? Justifier en calculant les quotients.

kg de pommes	$2$	$3$	$5$
prix (euros)	$5$	$7.5$	$12.5$

âge (ans)	$2$	$4$	$8$
taille (cm)	$85$	$103$	$130$

Solution

Solution de Exercice 44.1.

Pommes : quotients $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — tous égaux : proportionnel (prix $2.50$ par kg).

Âge/taille : $\frac{85}{2} = 42.5$ mais $\frac{103}{4} = 25.75$ — pas égaux : non proportionnel.

Exercice 44.2 ★

Quatre croissants coûtent $4.80$ euros. Trouver le prix d’un croissant, puis de sept croissants.

Solution

Solution de Exercice 44.2.

Un croissant : $4.80 \div 4 = 1.20$ euros. Sept : $7 \times 1.20 = 8.40$ euros.

Exercice 44.3 ★

Compléter le tableau de proportionnalité (coefficient d’abord !) :

litres de carburant	$10$	$25$	$?$	$60$
prix (euros)	$18$	$?$	$72$	$?$

Solution

Solution de Exercice 44.3.

Coefficient : $18 \div 10 = 1.8$ euros par litre. Puis $25$ L coûtent $25 \times 1.8 = 45$ euros ; $72$ euros achètent $72 \div 1.8 = 40$ L ; $60$ L coûtent $60 \times 1.8 = 108$ euros.

Exercice 44.4 ★

Une voiture consomme $6$ L de carburant pour $100$ km. Combien de carburant pour $250$ km ? Pour $350$ km ? Quelle distance peut-elle parcourir avec $27$ L ?

Solution

Solution de Exercice 44.4.

Pour $250$ km : $2.5$ fois le carburant de $100$ km, donc $2.5 \times 6 = 15$ L. Pour $350$ km : $3.5 \times 6 = 21$ L. Avec $27$ L : $27 \div 6 = 4.5$ centaines de km, c’est-à-dire $450$ km.

Exercice 44.5 ★

Calculer mentalement, en utilisant les repères de Exemple 44.7 : $50\,\%$ de $84$ ; $25\,\%$ de $200$ ; $10\,\%$ de $63$ ; $30\,\%$ de $70$ .

Solution

Solution de Exercice 44.5.

$50\,\%$ de $84$ : moitié, $42$ . $25\,\%$ de $200$ : un quart, $50$ . $10\,\%$ de $63$ : un dixième, $6.3$ . $30\,\%$ de $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Exercice 44.6 ★

Dans une école de $450$ élèves, $60\,\%$ mangent à la cantine. Combien d’élèves est-ce ? Combien n’y mangent pas ?

Solution

Solution de Exercice 44.6.

$60\,\%$ de $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ élèves mangent à la cantine ; $450 - 270 = 180$ n’y mangent pas.

Exercice 44.7 ★

Avec le diagramme en barres de Exemple 44.9 : quels jours a-t-on emprunté moins de $10$ livres ? Combien de livres de plus a-t-on empruntés mercredi que jeudi ?

Solution

Solution de Exercice 44.7.

Moins de $10$ livres : mardi ( $8$ ) et jeudi ( $6$ ). Mercredi moins jeudi : $17 - 6 = 11$ livres de plus.

Exercice 44.8 ★

Les températures à midi de lundi à vendredi étaient $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ degrés. Dessiner un diagramme en barres de ces données (choisir une graduation sensée), et lire le jour le plus chaud.

Solution

Solution de Exercice 44.8.

Diagramme en barres avec cinq barres de hauteurs $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ (graduation tous les $2$ ou $5$ degrés convient). Jour le plus chaud : vendredi ( $20$ degrés).

Exercice 44.9 ★★

Une recette pour $6$ personnes demande $450$ g de farine et $3$ œufs. L’adapter pour $10$ personnes. (Pour les œufs, réfléchir avant d’écrire un nombre décimal d’œufs !)

Solution

Solution de Exercice 44.9.

Pour $10$ personnes, multiplier par $\frac{10}{6} = \frac53$ : farine $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Œufs : $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — heureusement un entier. (Si ce n’était pas le cas, on arrondirait vers le haut pour en avoir assez.)

Exercice 44.10 ★★

À vitesse constante, une cycliste parcourt $24$ km en $1$ heure.

Quelle distance parcourt-elle en $2$ h ? En une demi-heure ? En $1$ h $30$ min ?
Combien de temps lui faut-il pour $60$ km ?

Solution

Solution de Exercice 44.10.

1. En $2$ h : $48$ km. En une demi-heure : $12$ km. En $1$ h $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ heures, c’est-à-dire $2$ h $30$ min.

Exercice 44.11 ★★

Un magasin offre « $20\,\%$ de réduction sur tout ». Calculer la réduction et le nouveau prix pour : un ballon à $15$ euros ; une raquette à $40$ euros. Le nouveau prix est-il proportionnel à l’ancien ? Quel est le coefficient ?

Solution

Solution de Exercice 44.11.

Ballon : réduction $20\,\%$ de $15 = 3$ euros, nouveau prix $12$ euros. Raquette : réduction $8$ euros, nouveau prix $32$ euros. Le nouveau prix est $80\,\%$ de l’ancien dans tous les cas : proportionnel, coefficient $0.8$ .

Exercice 44.12 ★★★

Deux bougies de même hauteur sont allumées en même temps. La grosse se consume entièrement en $6$ heures, la fine en $4$ heures, chacune à son rythme constant. Au bout de combien de temps la bougie fine est-elle exactement deux fois moins haute que la grosse ? (Exprimer les hauteurs restantes après $t$ heures comme fractions de la hauteur initiale.)

Solution

Solution de Exercice 44.12.

Après $t$ heures, la grosse bougie a brûlé $\frac t6$ de sa hauteur : elle se dresse à $1 - \frac t6$ de la hauteur initiale ; la fine à $1 - \frac t4$ . On veut

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{c'est-à-dire}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Alors $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , donc $t = 3$ heures. Vérif. : après $3$ h la grosse bougie se dresse à $1 - \frac36 = \frac12$ et la fine à $1 - \frac34 = \frac14$ — bien la moitié.

44.5 Problème : cartes, plans, et l’art de mentir avec un diagramme

Problème 44.1

Devoir maison — l’échelle d’une carte est une proportionnalité : les longueurs suivent le coefficient, les aires suivent son carré, et les diagrammes mal tracés trompent l’œil

Toute carte, tout plan, toute maquette obéit à une seule règle : les longueurs réelles et les longueurs dessinées sont proportionnelles (Définition 44.1). Le coefficient porte un nom célèbre — l’échelle — et il cache deux pièges que ce problème déclenche exprès : les aires ne suivent pas l’échelle, et les pourcentages, comme les diagrammes, dépendent entièrement de ce à quoi on les rapporte.

Partie I — Lire une carte. Une carte de randonnée est à l’échelle $1:100\,000$ : chaque centimètre sur la carte représente $100\,000$ centimètres sur le terrain.

Convertir $100\,000$ cm en kilomètres. Que représente $1$ cm de cette carte, en km ?
Deux villages sont distants de $7.5$ cm sur la carte ; la rive d’un lac y forme une courbe de $12$ cm. Donner les distances réelles.
Une voie romaine parfaitement rectiligne mesure $20$ km. Quelle est sa longueur sur la carte ?
Une seconde carte annonce « $1$ cm pour $5$ km ». Écrire son échelle sous la forme $1: \,?$ . Laquelle des deux cartes montre le plus de détails pour une même région ?
Dresser un petit tableau (distance sur la carte $1$ , $2$ , $7.5$ cm en regard de la distance réelle) pour la carte de randonnée, et expliquer pourquoi une échelle est exactement une proportionnalité au sens de la Définition 44.1. Quel est le coefficient qui transforme les centimètres sur la carte en kilomètres ?

Partie II — Le plan de la chambre de Zoé. Zoé dessine le plan de sa chambre — un rectangle de $4$ m sur $3$ m — à l’échelle $1:50$ .

Quelles sont les dimensions de la pièce sur le plan ?
Son lit mesure $2$ m sur $0.9$ m, et l’ouverture de la porte fait $80$ cm de large. Donner les trois mesures sur le plan.
Voici le piège. Calculer l’aire réelle de la pièce en m $^2$ , puis l’aire de son plan en cm $^2$ . Convertir l’aire réelle en cm $^2$ (Définition 43.5) et la diviser par l’aire du plan : le quotient vaut-il $50$ ?
Expliquer le nombre trouvé : sur un plan au $1:50$ , chaque centimètre carré de papier représente un carré réel de $50$ cm sur $50$ cm. Combien cela fait-il de cm $^2$ réels ? Énoncer la règle : quand les longueurs sont divisées par $50$ , les aires sont divisées par …
Un tapis rond couvre $6$ cm $^2$ sur le plan. Quelle aire réelle couvre-t-il, en cm $^2$ puis en m $^2$ ?

Partie III — Comment mentir avec un diagramme (et avec un pourcentage).

Un magasin a vendu pour $105$ euros le samedi et pour $110$ le dimanche. Le gérant trace un diagramme en barres dont l’axe vertical commence à $100$ : la barre du samedi monte de $5$ petites unités, celle du dimanche de $10$ . Que suggère l’image au sujet du dimanche, et quelle est la vérité ? (Calculer la hausse du dimanche en pourcentage du samedi, au pour cent près.) Quelle mise en garde de la Méthode 44.8 le gérant a-t-il ignorée ?
Retracer (ou décrire) le diagramme honnête, avec un axe partant de $0$ : comment les deux barres se comparent-elles alors ?
Une collection passe de $40$ à $60$ timbres : calculer la hausse en pourcentage de la valeur de départ. Elle redescend ensuite de $60$ à $40$ : calculer la baisse en pourcentage de sa valeur de départ. Pourquoi les deux réponses diffèrent-elles, pour les mêmes $20$ timbres ?
Période de soldes : un manteau à $100$ euros est affiché à « $-20\,\%$ », et à la caisse on annonce « $10\,\%$ de plus sur le prix soldé ». Calculer le prix final étape par étape. La remise totale est-elle de $30\,\%$ ? Expliquer au client ce qu’elle vaut réellement.
Bouquet final, retour à la carte de la question 4 ( $1$ cm pour $5$ km) : une forêt occupe $3$ cm $^2$ de cette carte. Quelle est son aire réelle, en km $^2$ ? Conclure par la règle de tout ce problème : les longueurs suivent l’échelle, les aires suivent son …

Solution

Solution de Problème 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km : un centimètre sur la carte, c’est un kilomètre sur le terrain.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre les villages ; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de rive.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm sur la carte.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, donc l’échelle est $1:500\,000$ . La carte de randonnée ( $1:100\,000$ ) est la plus détaillée : elle emploie $5$ cm de papier là où l’autre n’en dépense qu’ $1$ .

carte (cm)	$1$	$2$	$7.5$
réel (km)	$1$	$2$	$7.5$

Distance réelle $=$ distance sur la carte $\times 1$ (dans ces unités) : toujours le même multiplicateur, ce qui est exactement la définition de la proportionnalité (Définition 44.1). Le coefficient vaut ici $1$ kilomètre par centimètre.

6. $4$ m $= 400$ cm et $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm et $300 \div 50 = 6$ : le plan montre un rectangle de $8$ cm $\times$ $6$ cm.

7. Lit : $200 \div 50 = 4$ cm sur $90 \div 50 = 1.8$ cm. Ouverture de la porte : $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Aire réelle : $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Aire du plan : $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . En convertissant : $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , et

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

Le quotient ne vaut pas $50$ mais $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Un cm $^2$ de papier représente un carré réel de $50$ cm sur $50$ cm, qui contient $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Ainsi, quand les longueurs sont divisées par $50$ , les aires sont divisées par $50 \times 50 = 2\,500$ : les aires suivent le carré de l’échelle.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , et $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. L’image suggère que le dimanche a vendu deux fois plus (une barre deux fois plus haute). La vérité : la hausse est de $5$ euros sur $105$ , et $5 \div 105 \approx 0.048$ : environ $5\,\%$ de plus, et non $100\,\%$ de plus. Le gérant a ignoré la mise en garde qui demande de vérifier que l’axe part de $0$ (Méthode 44.8).

12. Avec un axe partant de $0$ , les barres montent à $105$ et $110$ petites unités : deux barres de hauteurs presque égales, l’image honnête d’un écart de $5\,\%$ .

13. À la hausse : l’augmentation est de $20$ timbres à partir de $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . À la baisse : la diminution est de $20$ timbres à partir de $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Les mêmes $20$ timbres, mais des valeurs de départ différentes — un pourcentage est toujours une fraction de quelque chose, et ce « quelque chose » a changé.

14. Après la remise de $20\,\%$ : $100 - 20 = 80$ euros. Les $10\,\%$ supplémentaires s’appliquent à $80$ : remise de $8$ euros, prix final $72$ euros. Remise totale : $28$ euros sur $100$ , soit $28\,\%$ — et non $30\,\%$ . La seconde remise a agi sur le prix déjà soldé, donc ses euros sont plus petits : des pourcentages de quantités différentes ne s’additionnent pas.

15. Sur cette carte, $1$ cm représente $5$ km, donc $1$ cm $^2$ représente $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (règle de la question 9). La forêt : $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Les longueurs suivent l’échelle ; les aires suivent son carré.

Termes définis dans ce chapitre

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