Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

71Statistiques et probabilités

Données et hasard sont partout : résultats sportifs, prévisions météo, jeux. Ce chapitre enseigne à résumer une série de nombres par sa moyenne, sa médiane et son étendue, et à calculer la probabilité d’expériences aléatoires simples — y compris des expériences à deux étapes, traitées avec des arbres. Les deux sujets sont développés bien plus loin dans le volume de lycée de cette série.

71.1 Résumer des données

Définition 71.1 (Moyenne, médiane, étendue)

Pour une série de $N$ nombres :

la moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par $N$ ;
la médiane est une valeur partageant la série triée en deux moitiés de même taille : pour $N$ impair, la valeur du milieu ; pour $N$ pair, le milieu des deux valeurs centrales ;
l’étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.

Exemple 71.2

Notes d’un élève : $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$ .

Moyenne : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
Médiane : trier la série : $8, 9, 11, 12, 15$ ; la valeur du milieu (3^e) est $11$ .
Étendue : $15 - 8 = 7$ .

Avec une sixième note de $17$ : triée $8, 9, 11, 12, 15, 17$ , la médiane devient le milieu de $11$ et $12$ , c’est-à-dire $11.5$ , et la moyenne devient $\frac{72}{6} = 12$ .

Exemple 71.3 (Moyenne pondérée)

Les pointures vendues en une journée :

pointure	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$
effectif	$3$	$7$	$6$	$3$	$1$

La pointure moyenne est

\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 .

Remarque 71.4

La moyenne et la médiane peuvent différer beaucoup. Dans la série $10, 10, 10, 10, 60$ la moyenne est $20$ (tirée vers le haut par la valeur $60$ ) tandis que la médiane est $10$ . Toujours se demander quel indicateur représente mieux la situation.

71.2 Probabilité

Définition 71.5 (Probabilité)

Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; un événement est un ensemble d’issues. Chaque issue reçoit une probabilité : un nombre entre $0$ et $1$ , avec toutes les probabilités des issues sommant à $1$ ; la probabilité $\P(A)$ d’un événement $A$ est la somme des probabilités de ses issues. Lorsque les $n$ issues sont équiprobables,

\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{n}.

Exemple 71.6

Une roue est partagée en $8$ secteurs égaux : $3$ rouges, $3$ bleus, $2$ verts. Chaque secteur a pour probabilité $\frac18$ , donc

\P(\text{rouge}) = \frac38, \qquad \P(\text{vert}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{pas vert}) = 1 - \frac14 = \frac34 .

Proposition 71.7 (Complément)

Pour tout événement $A$ , l’événement contraire $\bar A$ (« $A$ ne se produit pas ») satisfait

\P(\bar A) = 1 - \P(A).

Démonstration. Toute issue est dans exactement l’un de $A$ et $\bar A$ , donc $\P(A) + \P(\bar A)$ somme les probabilités de toutes les issues, qui valent $1$ . ∎

71.3 Expériences à deux étapes

Méthode 71.8 (Arbres de probabilités)

Pour une expérience en deux étapes :

tracer une branche par issue de la première étape, puis continuer chaque branche avec les issues de la seconde étape, en écrivant chaque probabilité sur sa branche ;
multiplier les probabilités le long d’un chemin pour obtenir la probabilité de ce chemin ;
additionner les probabilités de tous les chemins formant un événement.

Exemple 71.9

Un sac contient $2$ jetons rouges et $3$ noirs. Tirer un jeton, noter sa couleur, le remettre, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge avec probabilité $\frac25$ , noir avec probabilité $\frac35$ .

L’arbre des deux tirages avec remise : multiplier le long des branches, et vérifier que les quatre chemins somment à 1. — L’arbre des deux tirages avec remise : multiplier le long des branches, et vérifier que les quatre chemins somment à $1$ .

Probabilité de deux jetons de la même couleur : $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$ . Probabilité d’au moins un rouge : $1 - \P(\text{BB}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Remarque 71.10 (Les fréquences approchent les probabilités)

Lancer un dé équilibré $6000$ fois donne environ $1000$ six — pas exactement. Lorsque le nombre de répétitions croît, les fréquences observées se rapprochent de plus en plus des probabilités : c’est ce qui fait de la probabilité l’outil juste pour modéliser des expériences répétées (une histoire développée dans le volume de lycée de cette série).

71.4 Exercices

Exercice 71.1 ★

Calculer la moyenne, la médiane et l’étendue de la série $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ .

Solution

Solution de Exercice 71.1.

Moyenne : $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$ .

Médiane : triée, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; la valeur du milieu ( $4$ ^e) est $12$ .

Étendue : $17 - 9 = 8$ .

Exercice 71.2 ★

Les températures à midi sur une semaine étaient $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (degrés). Calculer la moyenne (au dixième) et la médiane.

Solution

Solution de Exercice 71.2.

Moyenne : $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ degrés.

Médiane : triée, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; la $4$ ^e valeur est $21$ degrés.

Exercice 71.3 ★

Le nombre de buts marqués par une équipe en $10$ matchs :

buts	$0$	$1$	$2$	$3$
matchs	$2$	$4$	$3$	$1$

Calculer le nombre moyen de buts par match, et la médiane.

Solution

Solution de Exercice 71.3.

Moyenne :

\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ buts par match.}

Médiane : la série triée est $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; les $5$ ^e et $6$ ^e valeurs sont toutes deux $1$ : médiane $1$ .

Exercice 71.4 ★

On lance une fois un dé équilibré. Calculer la probabilité de : « obtenir un $3$ » ; « obtenir un nombre pair » ; « obtenir au moins un $3$ » ; « ne pas obtenir un $6$ ».

Solution

Solution de Exercice 71.4.

$\P(3) = \frac16$ . $\P(\text{pair}) = \frac36 = \frac12$ . $\P(\text{au moins } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$ . $\P(\text{pas } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$ .

Exercice 71.5 ★

Une boîte contient $12$ boules : $5$ blanches, $4$ rouges et $3$ vertes ; on tire une boule au hasard. Calculer $\P(\text{blanche})$ , $\P(\text{rouge ou verte})$ , et $\P(\text{pas blanche})$ . Que remarque-t-on sur les deux dernières ?

Solution

Solution de Exercice 71.5.

$\P(\text{blanche}) = \frac{5}{12}$ .

$\P(\text{rouge ou verte}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ .

$\P(\text{pas blanche}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ .

Les deux dernières sont égales : « pas blanche » est l’événement « rouge ou verte ».

Exercice 71.6 ★★

On lance une pièce, puis un dé équilibré. Dessiner l’arbre (ou compter les issues) et calculer la probabilité d’obtenir pile et un $6$ ; puis d’obtenir pile ou un $6$ (ou les deux).

Solution

Solution de Exercice 71.6.

Les $12$ issues (face de la pièce, valeur du dé) sont équiprobables.

Pile et un $6$ : une issue sur $12$ : $\frac{1}{12}$ .

Pile ou un $6$ : les issues avec pile ( $6$ d’entre elles) plus l’issue (face, $6$ ) : $7$ issues, donc $\frac{7}{12}$ . Compter chaque événement et soustraire le chevauchement donne la même chose : $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ .

Exercice 71.7 ★★

Dans le sac de Exemple 71.9 ( $2$ rouges, $3$ noirs), les deux tirages se font maintenant sans remise. Dessiner le nouvel arbre (attention : les probabilités du second niveau changent) et calculer la probabilité de tirer deux jetons noirs, puis deux jetons de couleurs différentes.

Solution

Solution de Exercice 71.7.

Premier tirage : rouge $\frac25$ , noir $\frac35$ . Second tirage sans remise : après un rouge, $1$ rouge et $3$ noirs restent parmi $4$ ; après un noir, $2$ rouges et $2$ noirs parmi $4$ .

Deux noirs : $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Couleurs différentes (RN ou NR) : $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$ .

Exercice 71.8 ★★

Après $9$ matchs, une basketteuse moyenne $14$ points par match.

Combien de points a-t-elle marqués au total ?
Combien de points doit-elle marquer au $10$ ^e match pour moyenne $15$ ?

Solution

Solution de Exercice 71.8.

1. $9 \times 14 = 126$ points.

2. Une moyenne de $15$ sur $10$ matchs signifie $150$ points au total : elle doit marquer $150 - 126 = 24$ points.

Exercice 71.9 ★★★

Un jeu : lancer deux dés équilibrés ; on gagne si les deux résultats sont égaux (« un double »).

Calculer la probabilité de gagner.
On joue deux fois (parties indépendantes). À l’aide d’un arbre, calculer la probabilité de gagner au moins une fois.

Solution

Solution de Exercice 71.9.

1. Parmi les $36$ paires équiprobables, les doubles sont $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : six d’entre eux, donc $\P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

2. Deux parties indépendantes : arbre avec gain ( $\frac16$ ) / perte ( $\frac56$ ) à chaque niveau. Probabilité de ne jamais gagner : $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$ . Donc

\P(\text{au moins un gain}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 .