Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

17Partage et division

Vingt billes partagées équitablement entre quatre enfants : combien chacun ? La division répond à toutes les questions de partage — et aux questions de groupement aussi — et c’est la jumelle de la multiplication : l’une défait l’autre.

17.1 Deux visages de la division

Définition 17.1 (Division)

La division $20 \div 4$ répond à deux sortes de questions :

partage : $20$ billes partagées entre $4$ enfants — combien de billes chacun ? ( $5$ chacun) ;
groupement : $20$ billes mises en sacs de $4$ — combien de sacs ? ( $5$ sacs).

Les deux questions ont la même réponse, car toutes deux défont la même multiplication : $4 \times 5 = 20$ .

Partager 20 en 4 groupes égaux. Grouper par 4 à la place donnerait 5 groupes — la même division. — Partager $20$ en $4$ groupes égaux. Grouper par $4$ à la place donnerait $5$ groupes — la même division.

Méthode 17.2 (Diviser avec les tables)

Pour calculer $42 \div 6$ , se demander : « $6$ fois quoi fait $42$ ? » La table de $6$ répond : $6 \times 7 = 42$ , donc $42 \div 6 = 7$ . Chaque question de division est une question de multiplication lue à l’envers.

17.2 Quand ça ne tombe pas juste

Définition 17.3 (Reste)

Partager $23$ billes entre $4$ enfants donne $5$ billes chacun — et $3$ billes en trop, pas assez pour un autre tour. On écrit

23 = 4 \times 5 + 3 ,

et on dit : le quotient est $5$ , le reste est $3$ . Le reste est toujours plus petit que le nombre d’enfants — sinon un autre tour de partage serait possible.

Partager 23 entre 4 : après 5 tours, 3 billes restent — trop peu pour un 6e tour. — Partager $23$ entre $4$ : après $5$ tours, $3$ billes restent — trop peu pour un $6$ ^e tour.

Exemple 17.4

Diviser $58$ par $7$ . Parcourir la table de $7$ : $7 \times 8 = 56$ est le plus grand produit qui tient sous $58$ ( $7 \times 9 = 63$ est trop grand). Donc

58 = 7 \times 8 + 2 :

quotient $8$ , reste $2$ . Vérification : $56 + 2 = 58$ , et $2 < 7$ .

Méthode 17.5 (Interpréter le reste)

Après la division, revenir à l’histoire :

« combien chacun / combien de groupes complets ? » — le quotient ;
« combien en trop ? » — le reste ;
« combien de boîtes pour tout contenir ? » — le quotient plus un si le reste n’est pas zéro.

Exemple 17.6

$58$ élèves vont en canoë, $7$ par canoë. $58 = 7 \times 8 + 2$ : huit canoës sont pleins, et $2$ élèves restent — ils ont besoin d’un canoë aussi. Donc $9$ canoës doivent être réservés.

17.3 Moitiés, tiers, quarts

Définition 17.7 (Moitié, tiers, quart)

La moitié d’un nombre est le résultat de sa division par $2$ ; le tiers, par $3$ ; le quart, par $4$ . Par exemple la moitié de $18$ est $9$ , le tiers de $18$ est $6$ , le quart de $36$ est $9$ .

Exemple 17.8 (Doubles et moitiés vont ensemble)

La moitié de $46$ : comme $46 = 40 + 6$ , la moitié de chaque partie donne $20 + 3 = 23$ . Vérifier avec le double : $23 + 23 = 46$ . Connaître les doubles par cœur ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) rend les moitiés instantanées.

17.4 Exercices

Exercice 17.1 ★

Calcule en utilisant les tables à l’envers : $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ .

Solution

Solution de Exercice 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (car $4 \times 9 = 36$ ) ; $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ .

Exercice 17.2 ★

Pour chaque division, écris l’égalité $a = b \times q + r$ et donne le quotient et le reste : $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ .

Solution

Solution de Exercice 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : quotient $3$ , reste $2$ .

$30 = 4 \times 7 + 2$ : quotient $7$ , reste $2$ .

$50 = 6 \times 8 + 2$ : quotient $8$ , reste $2$ .

Exercice 17.3 ★

$28$ billes sont partagées entre $6$ enfants. Combien de billes chacun, et combien en trop ? Dessine le partage si cela aide.

Solution

Solution de Exercice 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : chaque enfant reçoit $4$ billes, et $4$ billes restent en trop.

Exercice 17.4 ★

Calcule : la moitié de $68$ ; le tiers de $27$ ; le quart de $48$ ; la moitié de $150$ .

Solution

Solution de Exercice 17.4.

Moitié de $68$ : $34$ . Tiers de $27$ : $9$ . Quart de $48$ : $12$ . Moitié de $150$ : $75$ .

Exercice 17.5 ★

Vrai ou faux ? Vérifie avec une multiplication. « $45 \div 5 = 9$ » ; « $52 \div 6 = 8$ reste $4$ » ; « $70 \div 8 = 9$ reste $2$ ».

Solution

Solution de Exercice 17.5.

« $45 \div 5 = 9$ » : vrai, $5 \times 9 = 45$ .

« $52 \div 6 = 8$ reste $4$ » : vrai, $6 \times 8 + 4 = 52$ et $4 < 6$ .

« $70 \div 8 = 9$ reste $2$ » : faux — $8 \times 9 + 2 = 74$ , pas $70$ . Correct : $70 = 8 \times 8 + 6$ .

Exercice 17.6 ★

$32$ photos sont collées dans un album, $4$ par page. Combien de pages sont utilisées ? Quel visage de la division est-ce (partage ou groupement) ?

Solution

Solution de Exercice 17.6.

$32 \div 4 = 8$ pages. C’est un groupement : les photos sont mises en groupes de $4$ , et on compte les groupes.

Exercice 17.7 ★

Une corde de $75$ cm est coupée en morceaux de $9$ cm. Combien de morceaux complets, et quelle longueur reste-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : huit morceaux complets, et un reste de $3$ cm.

Exercice 17.8 ★

$50$ enfants partent en voyage dans des voitures de $4$ places. Combien de voitures faut-il ? (Attention : tout le monde doit monter !)

Solution

Solution de Exercice 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : douze voitures transportent $48$ enfants, et $2$ enfants ont encore besoin d’une place. Il faut $13$ voitures.

Exercice 17.9 ★

Trouve les nombres manquants : $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; la moitié de $?$ est $35$ .

Solution

Solution de Exercice 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ . $54 \div 9 = 6$ , donc le diviseur manquant est $9$ . Le nombre dont la moitié est $35$ est $70$ .

Exercice 17.10 ★★

Amina partage ses $47$ autocollants entre ses $5$ amis, le plus équitablement possible, et garde le reste pour elle. Combien d’autocollants chaque ami reçoit-il, et combien Amina en garde-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : chaque ami reçoit $9$ autocollants, et Amina garde le reste, $2$ autocollants.

Exercice 17.11 ★★

Quand on divise un nombre par $6$ , quels sont tous les restes possibles ? Quel est le plus grand nombre dont la division par $6$ a pour quotient $7$ ?

Solution

Solution de Exercice 17.11.

En divisant par $6$ , le reste est toujours plus petit que $6$ : il peut être $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ . Le plus grand nombre de quotient $7$ utilise le plus grand reste : $6 \times 7 + 5 = 47$ .