Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

28Mesures et périmètre

L’année 3 mesurait avec règles, balances et horloges (Chapitre 19) ; ce chapitre ajoute le tableau des unités — la machine qui convertit tout — et deux façons de mesurer une figure plane : la longueur de son bord (périmètre) et l’espace à l’intérieur (aire, comptée en carreaux pour l’instant).

28.1 Le tableau des unités

Méthode 28.1 (Convertir avec le tableau)

Pour les longueurs, chaque colonne vaut dix de la suivante :

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

Écrire le nombre avec un chiffre par colonne, le chiffre des unités de la mesure dans la colonne de son unité (ici $3.4$ m : le $3$ sous m) ;
lire le nombre dans la nouvelle unité : $3.4$ m $= 340$ cm (remplir les colonnes vides avec des zéros) ;
les masses (kg … g) et les capacités (L … cL) fonctionnent de la même façon.

Exemple 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m ; $270$ cm $= 2.7$ m (le $2$ se place sous m) ; $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g ; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 Périmètre

Définition 28.3 (Périmètre)

Le périmètre d’un polygone est la longueur totale de son bord : on additionne les longueurs de tous ses côtés (dans la même unité !). Raccourcis pour les classiques :

\text{rectangle~: } P = 2 \times (L + \ell), \qquad \text{carré~: } P = 4 \times c .

Exemple 28.4

Un jardin rectangulaire de $12$ m sur $7$ m :

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

de clôture. Un cadre photo carré de côté $18$ cm : $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 Aire : compter les carreaux

Définition 28.5 (Aire par comptage)

L’aire d’une figure dessinée sur un quadrillage est le nombre de carreaux qu’elle couvre. Deux demi-carreaux comptent pour un. L’aire répond à « combien de surface », le périmètre à « quelle longueur a le bord » — deux questions différentes !

Deux figures sur le quadrillage : aires 8 et 6 carreaux. Maintenant parcourir les bords et compter les unités : 12 pour les deux ! Même périmètre, aires différentes. — Deux figures sur le quadrillage : aires $8$ et $6$ carreaux. Maintenant parcourir les bords et compter les unités : $12$ pour les deux ! Même périmètre, aires différentes.

Exemple 28.6 (Demi-carreaux)

Un triangle rectangle dessiné sur le quadrillage avec des côtés de l’angle droit $4$ et $2$ couvre $3$ carreaux pleins et $2$ demi-carreaux … compter soigneusement : son aire est la moitié du rectangle $4 \times 2$ , c’est-à-dire $4$ carreaux. Couper un rectangle le long de sa diagonale donne toujours deux triangles de même aire.

Exemple 28.7 (Même aire, périmètres différents)

Un carré $4 \times 4$ et un rectangle $8 \times 2$ couvrent tous deux $16$ carreaux — même aire. Bords : $16$ unités pour le carré, $20$ pour le rectangle. Ni l’une ni l’autre mesure ne détermine l’autre : une forme longue et fine a beaucoup de bord pour peu de surface.

28.4 Durées

Méthode 28.8 (Additionner des temps en passant l’heure)

Pour additionner ou soustraire des durées, on travaille par sauts à travers les heures pleines (rappel $1$ h $= 60$ min) :

9\text{ h }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ h }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ h }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ h }15 .

Ne jamais additionner les minutes au-delà de $60$ sans convertir : $40 + 35 = 75$ min $= 1$ h $15$ min.

Exemple 28.9

Le train part à $8{:}47$ et arrive à $11{:}05$ . Durée : $8{:}47 \to 9{:}00$ fait $13$ min ; $9{:}00 \to 11{:}00$ fait $2$ h ; $11{:}00 \to 11{:}05$ fait $5$ min. Total : $2$ h $18$ min.

28.5 Exercices

Exercice 28.1 ★

Convertir avec le tableau des unités : $7$ m en cm ; $3.2$ km en m ; $85$ mm en cm ; $4\,500$ m en km.

Solution

Solution de Exercice 28.1.

$7$ m $= 700$ cm ; $3.2$ km $= 3\,200$ m ; $85$ mm $= 8.5$ cm ; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Exercice 28.2 ★

Convertir : $2$ kg en g ; $1\,800$ g en kg et g ; $3.5$ L en cL ; $25$ cL en L.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g ; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g ; $3.5$ L $= 350$ cL ; $25$ cL $= 0.25$ L.

Exercice 28.3 ★

Calculer le périmètre : un rectangle $9$ cm $\times$ $5$ cm ; un carré de côté $7.5$ cm ; un triangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm.

Solution

Solution de Exercice 28.3.

Rectangle : $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Carré : $4 \times 7.5 = 30$ cm. Triangle : $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Exercice 28.4 ★

Un rectangle a un périmètre de $26$ cm et une longueur de $8$ cm. Trouver sa largeur (trouver d’abord longueur $+$ largeur).

Solution

Solution de Exercice 28.4.

Longueur $+$ largeur $= 26 \div 2 = 13$ cm, donc la largeur est $13 - 8 = 5$ cm.

Exercice 28.5 ★

Sur papier quadrillé, dessiner une figure en L couvrant exactement $10$ carreaux, et compter les unités de son périmètre.

Solution

Solution de Exercice 28.5.

De nombreuses formes en L conviennent ; pour un L de $10$ carreaux fait d’un rectangle $4 \times 2$ plus un pied $2 \times 1$ , parcourir le bord donne $16$ unités. (Toute figure correcte et un comptage soigneux sont justes ; le périmètre dépend du L choisi.)

Exercice 28.6 ★

Dessiner deux rectangles différents d’aire $12$ carreaux. Calculer le périmètre de chacun. Lequel est « plus carré », lequel est « plus allongé » ?

Solution

Solution de Exercice 28.6.

$3 \times 4$ : périmètre $14$ . $2 \times 6$ : périmètre $16$ . ( $1 \times 12$ : périmètre $26$ .) Plus on se rapproche d’un carré, plus le périmètre est petit pour une même aire.

Exercice 28.7 ★

Un triangle rectangle est dessiné sur le quadrillage avec des côtés de l’angle droit $6$ et $3$ . Quelle est son aire en carreaux ? (Utiliser Exemple 28.6.)

Solution

Solution de Exercice 28.7.

Moitié du rectangle $6 \times 3$ : $18 \div 2 = 9$ carreaux.

Exercice 28.8 ★

Calculer les durées : de $10{:}20$ à $12{:}45$ ; de $7{:}35$ à $9{:}10$ . Un film dure $1$ h $50$ et commence à $20{:}30$ : à quelle heure se termine-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ h $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ h $35$ min. Film : $20{:}30 + 1$ h $50 = 22{:}20$ .

Exercice 28.9 ★

Kim court $3$ tours d’un terrain rectangulaire de $60$ m sur $45$ m. Combien de mètres court-elle ?

Solution

Solution de Exercice 28.9.

Un tour : $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Trois tours : $3 \times 210 = 630$ m.

Exercice 28.10 ★★

Un fermier veut clôturer un champ carré de côté $85$ m, en laissant un portail de $4$ m sans clôture. Combien de mètres de clôture doit-il acheter ?

Solution

Solution de Exercice 28.10.

Périmètre : $4 \times 85 = 340$ m ; moins le portail : $340 - 4 = 336$ m de clôture.

Exercice 28.11 ★★

Vrai ou faux, avec des exemples sur le quadrillage : « si deux figures ont le même périmètre, elles ont la même aire » ; « si deux figures ont la même aire, elles ont le même périmètre ». (Exemple 28.7 et la figure du chapitre aideront.)

Solution

Solution de Exercice 28.11.

Les deux affirmations sont fausses. Même périmètre, aires différentes : le rectangle $4 \times 2$ et la forme en L de la figure du chapitre (tous deux périmètre $12$ ; aires $8$ et $6$ ). Même aire, périmètres différents : le carré $4 \times 4$ et le rectangle $8 \times 2$ (tous deux aire $16$ ; périmètres $16$ et $20$ ).