Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

22Multiplier de plus grands nombres

L’année 3 multipliait par un chiffre (Chapitre 16) ; ce chapitre multiplie par des nombres à deux chiffres — et explique la mystérieuse « ligne décalée » de la multiplication posée, qui n’est rien d’autre qu’un découpage en dizaines et unités.

22.1 Multiplier par des dizaines

Proposition 22.1 (Fois 10, 20, 300 …)

Multiplier par $10$ ajoute un zéro, par $100$ deux zéros. Pour multiplier par $20$ , on multiplie par $2$ , puis par $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

De même $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

22.2 La multiplication posée à deux chiffres

Exemple 22.2 (Pourquoi la ligne décalée ?)

Pour calculer $23 \times 12$ , on découpe $12$ en $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

La multiplication posée écrit exactement ces deux produits, l’un sous l’autre — le second décalé à gauche parce que c’est un nombre de dizaines :

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(le point marque la place des unités de la ligne décalée, souvent laissée vide).

L’image du rectangle pour 23 × 12 : quatre produits faciles, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. La multiplication posée les regroupe en deux lignes : 46 (la ligne « × 2 ») et 230 (la ligne « × 10 »). — L’image du rectangle pour $23 \times 12$ : quatre produits faciles, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . La multiplication posée les regroupe en deux lignes : $46$ (la ligne « $\times 2$ ») et $230$ (la ligne « $\times 10$ »).

Méthode 22.3 (Multiplication posée par un nombre à deux chiffres)

Pour calculer $457 \times 36$ :

première ligne : $457 \times 6 = 2\,742$ ;
deuxième ligne : $457 \times 3$ dizaines $= 1\,371$ dizaines — on écrit $1\,371$ décalé d’une place à gauche ;
on additionne les deux lignes : $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
on estime pour vérifier : $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Mieux : $450 \times 36$ fait environ $16\,000$ — plausible.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Exemple 22.4 (Astuces de calcul mental)

Découper le plus simple : $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Utiliser une centaine proche : $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Doubler et diviser par deux : $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (diviser un facteur par deux et doubler l’autre conserve le produit).

22.3 La multiplication dans les problèmes

Exemple 22.5

Une école commande $28$ boîtes de $145$ feuilles de papier.

Opération : $145 \times 28$ .
Estimation : $150 \times 30 = 4\,500$ , un peu trop des deux côtés.
Posée : $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ dizaines $= 2\,900$ ; total $4\,060$ .
Phrase : l’école reçoit $4\,060$ feuilles.

22.4 Exercices

Exercice 22.1 ★

Calculer mentalement : $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Exercice 22.2 ★

Calculer $34 \times 21$ en découpant comme dans Exemple 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ), puis vérifier en posant.

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; la posée donne les mêmes lignes : $34$ et $680$ .

Exercice 22.3 ★

Calculer en posant : $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Solution

Solution de Exercice 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Exercice 22.4 ★

Calculer en posant, avec une estimation d’abord : $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Solution

Solution de Exercice 22.4.

$208 \times 34$ : estimation $200 \times 34 = 6\,800$ ; exact $7\,072$ .

$517 \times 62$ : estimation $500 \times 60 = 30\,000$ ; exact $32\,054$ .

Exercice 22.5 ★

Calculer avec une astuce de Exemple 22.4 : $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (doubler et diviser par deux — deux fois si on veut).

Solution

Solution de Exercice 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (ou encore une fois : $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Exercice 22.6 ★

Un cinéma a $26$ rangées de $18$ sièges. Combien de sièges en tout ?

Solution

Solution de Exercice 22.6.

$26 \times 18 = 468$ sièges.

Exercice 22.7 ★

Un camion transporte $32$ palettes de $48$ caisses. Combien de caisses ? Donner d’abord une estimation, puis la réponse exacte.

Solution

Solution de Exercice 22.7.

Estimation : $30 \times 50 = 1\,500$ . Exact : $32 \times 48 = 1\,536$ caisses.

Exercice 22.8 ★

Trouver l’erreur : Ana calcule $57 \times 23$ comme $57 \times 3 = 171$ et $57 \times 2 = 114$ , puis additionne $171 + 114 = 285$ . La bonne réponse est $1\,311$ . Qu’a-t-elle oublié ?

Solution

Solution de Exercice 22.8.

Elle a oublié que le $2$ de $23$ compte des dizaines : la deuxième ligne doit être $57 \times 20 = 1\,140$ , et non $114$ . Total correct : $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Exercice 22.9 ★★

Un jardinier plante $14$ rangées de $35$ tulipes et $12$ rangées de $28$ jonquilles. Combien de fleurs en tout ? (Deux produits, puis une somme.)

Solution

Solution de Exercice 22.9.

Tulipes : $14 \times 35 = 490$ . Jonquilles : $12 \times 28 = 336$ . Total : $490 + 336 = 826$ fleurs.

Exercice 22.10 ★★

Chaque jour, une boulangerie utilise $67$ kg de farine. Environ combien de farine pour un mois de $30$ jours — estimer avec des nombres arrondis, puis calculer exactement.

Solution

Solution de Exercice 22.10.

Estimation : $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exact : $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Exercice 22.11 ★★

Expliquer, avec un dessin de rectangle comme celui de ce chapitre, pourquoi $15 \times 12$ peut se calculer comme $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Puis inventer un autre découpage de $15 \times 12$ qui fonctionne aussi.

Solution

Solution de Exercice 22.11.

Un rectangle $15 \times 12$ de carreaux unitaires peut être coupé par une ligne verticale en une partie $15 \times 10$ et une partie $15 \times 2$ : compter chaque partie donne $150 + 30 = 180$ . Une autre découpe fonctionne aussi bien, par exemple $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Toute façon de découper le rectangle laisse le nombre total de carreaux inchangé.