Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

42La symétrie axiale

Plier une feuille le long d’une droite : chaque point se pose sur un autre point, son image miroir. Ce pliage est la symétrie axiale (ou réflexion), la première transformation géométrique du livre — la seconde, la symétrie centrale, arrive dans Chapitre 52.

42.1 Réflexions

Définition 42.1 (Point symétrique)

Soit $d$ une droite. Le symétrique d’un point $M$ par rapport à $d$ est le point $M'$ tel que $d$ est la médiatrice de $[MM']$ : le segment $[MM']$ est perpendiculaire à $d$ , et $d$ le coupe en son milieu. Un point sur $d$ est son propre symétrique.

Réfléchir par rapport à la droite d : l’axe est perpendiculaire à [MM'] et passe par son milieu (marques égales). Un point P sur l’axe ne bouge pas. — Réfléchir par rapport à la droite $d$ : l’axe est perpendiculaire à $[MM']$ et passe par son milieu (marques égales). Un point $P$ sur l’axe ne bouge pas.

Méthode 42.2 (Construire un point symétrique)

Pour construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à la droite $d$ :

tracer la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ (équerre) ; appeler $H$ le point où elle croise $d$ ;
mesurer $MH$ au compas ou à la règle ;
placer $M'$ sur la même perpendiculaire, de l’autre côté de $d$ , avec $HM' = MH$ .

Sur papier quadrillé, c’est plus rapide : compter les carreaux de $M$ à l’axe, et compter le même nombre de l’autre côté.

Exemple 42.3 (Sur un quadrillage)

Si l’axe est une ligne verticale du quadrillage et $M$ est à $3$ carreaux à sa gauche, alors $M'$ est à $3$ carreaux à sa droite, sur la même ligne. Pour un axe diagonal, le comptage se fait le long des diagonales — toujours perpendiculairement à l’axe.

Une figure et sa réflexion par rapport à l’axe vertical : chaque sommet est réfléchi carreau par carreau, et gauche et droite sont échangées.

Proposition 42.4 (Ce qu’une réflexion conserve)

Le symétrique d’une figure par rapport à une droite est une figure de la même forme et de la même taille : longueurs, angles, périmètres et aires sont tous conservés. Le symétrique d’un segment est un segment, d’un cercle un cercle de même rayon, d’une droite une droite.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 42.5

Une chose n’est pas conservée : l’orientation. Un « b » réfléchi devient un « d » — l’écriture en miroir. Si calquer sa figure et retourner le calque reproduit l’image, la réflexion est correcte.

42.2 Axes de symétrie d’une figure

Définition 42.6 (Axe de symétrie)

Une droite $d$ est un axe de symétrie d’une figure lorsque la réflexion par rapport à $d$ envoie la figure exactement sur elle-même — plier le long de $d$ fait coïncider les deux moitiés.

Axes de symétrie de formes familières. Attention au rectangle : ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie (plier le long d’une diagonale — les moitiés ne coïncident pas, sauf si c’est un carré). — Axes de symétrie de formes familières. Attention au rectangle : ses diagonales ne sont *pas* des axes de symétrie (plier le long d’une diagonale — les moitiés ne coïncident pas, sauf si c’est un carré).

Exemple 42.7

Compter les axes de symétrie :

triangle isocèle : $1$ (par le sommet et le milieu de la base) ; triangle équilatéral : $3$ ;
rectangle : $2$ (les deux « médianes », pas les diagonales) ; losange : $2$ (ses diagonales !) ; carré : $4$ ;
cercle : toute droite passant par le centre — une infinité.

Exemple 42.8 (La symétrie prouve des égalités)

Pourquoi les deux angles à la base d’un triangle isocèle sont-ils égaux ? Plier le triangle le long de son axe de symétrie : la moitié gauche se pose exactement sur la moitié droite, donc l’angle de gauche se pose sur l’angle de droite — ils doivent avoir la même mesure (Proposition 42.4 : les réflexions conservent les angles).

42.3 Médiatrice

Définition 42.9 (Médiatrice)

La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu — c’est l’axe de symétrie qui échange $A$ et $B$ .

Proposition 42.10 (Équidistance)

Un point $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ exactement quand il est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MA = MB$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 42.11 (Construction au compas)

Pour tracer la médiatrice de $[AB]$ sans mesurer :

ouvrir le compas à plus de la moitié de $AB$ ;
tracer deux arcs centrés en $A$ , au-dessus et en dessous du segment ;
avec la même ouverture, tracer deux arcs centrés en $B$ ;
joindre les deux points de croisement : cette droite est la médiatrice (chaque point de croisement est équidistant de $A$ et de $B$ ).

42.4 Exercices

Exercice 42.1 ★

Recopier sur papier quadrillé : un axe vertical $d$ , un point $A$ à deux carreaux à sa gauche, un point $B$ à cinq carreaux à sa gauche et un carreau plus haut. Construire leurs points symétriques $A'$ et $B'$ par rapport à $d$ .

Solution

Solution de Exercice 42.1.

$A'$ est à deux carreaux à droite de $d$ , sur la même ligne que $A$ ; $B'$ est à cinq carreaux à droite, un carreau plus haut — positions miroir.

Exercice 42.2 ★

Tracer une droite $d$ et un point $M$ à $3$ cm de $d$ (pas sur papier quadrillé). Construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $d$ avec équerre et règle, en suivant Méthode 42.2. Quelle distance sépare $M$ et $M'$ ?

Solution

Solution de Exercice 42.2.

Perpendiculaire à $d$ par $M$ , pied $H$ ; puis $M'$ de l’autre côté avec $HM' = MH = 3$ cm. La distance $MM'$ est $3 + 3 = 6$ cm.

Exercice 42.3 ★

Quelles lettres capitales de l’alphabet, écrites sous leur forme la plus simple, ont un axe de symétrie vertical (comme A) ? Un horizontal (comme B) ? Les deux ?

Solution

Solution de Exercice 42.3.

Axe vertical (comme A) : A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Axe horizontal (comme B) : B, C, D, E, H, I, K, O, X. Les deux : H, I, O, X. (Les réponses exactes dépendent un peu de la façon dont les lettres sont dessinées.)

Exercice 42.4 ★

Combien d’axes de symétrie a : un triangle équilatéral ? un rectangle (qui n’est pas un carré) ? un losange (pas un carré) ? un carré ? un cercle ? Dessiner chaque figure avec ses axes.

Solution

Solution de Exercice 42.4.

Triangle équilatéral : $3$ axes. Rectangle : $2$ (les médiatrices de ses côtés). Losange : $2$ (ses diagonales). Carré : $4$ . Cercle : une infinité (toute droite passant par le centre).

Exercice 42.5 ★

Vrai ou faux ? « Les diagonales d’un rectangle sont des axes de symétrie du rectangle. » Expliquer avec un argument de pliage ou un dessin.

Solution

Solution de Exercice 42.5.

Faux. Plier un rectangle (non carré) le long d’une diagonale ne fait pas coïncider les deux moitiés : les deux triangles ont la même forme mais se placent différemment — essayer avec une feuille de papier. Seul pour un carré les diagonales fonctionnent comme axes.

Exercice 42.6 ★

Un triangle $ABC$ est réfléchi par rapport à une droite $d$ en $A'B'C'$ . Sachant $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ et le périmètre de $ABC$ est $12$ cm : donner, sans aucune construction, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ et le périmètre de $A'B'C'$ .

Solution

Solution de Exercice 42.6.

Les réflexions conservent les longueurs, les angles et les périmètres (Proposition 42.4) : $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , périmètre de $A'B'C' = 12$ cm.

Exercice 42.7 ★

Tracer un segment $[AB]$ de $7$ cm et construire sa médiatrice au compas (Méthode 42.11). Choisir un point $M$ quelconque dessus et vérifier à la règle que $MA = MB$ .

Solution

Solution de Exercice 42.7.

Construction au compas comme dans Méthode 42.11. Pour tout $M$ sur la droite, la règle confirme $MA = MB$ (Proposition 42.10).

Exercice 42.8 ★★

Deux arbres se dressent aux points $A$ et $B$ d’un jardin (plat). Où peut-on planter une fontaine pour qu’elle soit à la même distance des deux arbres ? Décrire tous les emplacements possibles.

Solution

Solution de Exercice 42.8.

Tous les points à égale distance de $A$ et de $B$ forment la médiatrice de $[AB]$ (Proposition 42.10). La fontaine peut se placer n’importe où sur cette droite (dans le jardin).

Exercice 42.9 ★★

Sur papier quadrillé, tracer l’axe $d$ (une diagonale du quadrillage à $45^\circ$ ) et une petite figure en L d’un côté. Construire sa figure symétrique par rapport à $d$ . (Réfléchir chaque sommet : pour un axe à $45^\circ$ , un point à $2$ carreaux à droite de l’axe se pose à $2$ carreaux au-dessus.)

Solution

Solution de Exercice 42.9.

Chaque sommet est réfléchi perpendiculairement à l’axe : pour l’axe à $45^\circ$ , un point à $k$ carreaux à droite de l’axe se pose à $k$ carreaux au-dessus (et inversement) — les déplacements horizontaux et verticaux sont échangés. Réfléchir les sommets un par un, puis les joindre dans l’ordre.

Exercice 42.10 ★★

Tracer un cercle de centre $O$ , une droite $d$ passant par $O$ , et un point $M$ sur le cercle. Où se trouve le symétrique de $M$ par rapport à $d$ ? Expliquer pourquoi la réflexion envoie le cercle sur lui-même.

Solution

Solution de Exercice 42.10.

Le symétrique de $M$ est la seconde intersection du cercle avec la perpendiculaire à $d$ par $M$ — il est sur le cercle. Raison : la réflexion conserve les distances et fixe $O$ (qui est sur $d$ ), donc l’image de tout point à distance $r$ de $O$ est encore à distance $r$ de $O$ : le cercle se transforme en lui-même.

Exercice 42.11 ★★

En utilisant la propriété d’équidistance (Proposition 42.10), expliquer pourquoi les deux points de croisement des arcs dans Méthode 42.11 se trouvent bien sur la médiatrice de $[AB]$ .

Solution

Solution de Exercice 42.11.

Chaque point de croisement $P$ a été tracé avec la même ouverture de compas $\rho$ depuis $A$ et depuis $B$ : donc $PA = \rho = PB$ . Par Proposition 42.10, un point équidistant de $A$ et de $B$ se trouve sur la médiatrice de $[AB]$ ; deux tels points déterminent la droite.

Exercice 42.12 ★★★

Une bille de billard au point $A$ doit rebondir sur un mur droit $d$ et atteindre le point $B$ (tous deux du même côté du mur). Réfléchir $B$ par rapport à $d$ en $B'$ , et tracer le segment $[AB']$ . Expliquer pourquoi le meilleur point de rebond est où $[AB']$ croise le mur. (Idée : le chemin $A \to P \to B$ a la même longueur que $A \to P \to B'$ .)

Solution

Solution de Exercice 42.12.

Pour tout point de rebond $P$ sur le mur, $PB = PB'$ (la réflexion par rapport à $d$ conserve les distances), donc la longueur du chemin $AP + PB = AP + PB'$ . La ligne brisée $A \to P \to B'$ est la plus courte quand elle est droite, c’est-à-dire quand $P$ est sur le segment $[AB']$ . Donc le meilleur point de rebond est l’intersection de $[AB']$ avec le mur.

42.5 Problème : la fontaine, l’assiette brisée et le miroir qui marche

Problème 42.1

Devoir maison — les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point : le cercle passant par trois points, et ce que font deux miroirs ensemble

Dans Exercice 42.8, une fontaine devait se trouver à égale distance de deux arbres, et la réponse était toute une ligne d’emplacements. Ce problème plante un troisième arbre — et toute la ligne se réduit à un point unique, parfaitement déterminé. Ce point cache un trésor de géométrie : il permet de tracer l’unique cercle passant par trois points donnés, de reconstituer une assiette entière à partir d’un tesson, et il appartient à tout triangle. La dernière partie mène une expérience à deux miroirs dont le résultat annonce la géométrie de l’an prochain.

Partie I — Deux arbres, puis une carte de territoires.

Placer deux points $A$ et $B$ avec $AB = 6$ cm et construire la médiatrice de $[AB]$ au compas (Méthode 42.11). Choisir un point $M$ dessus et vérifier à la règle que $MA = MB$ .
Proposition 42.10 dit deux choses à la fois : tout point situé sur la médiatrice est à égale distance de $A$ et de $B$ , et tout point équidistant est sur la médiatrice. Laquelle des deux répond à la question de la fontaine de l’Exercice 42.8 ? Que dit la proposition d’un point qui n’est pas sur la médiatrice ?
Prendre un point $M$ du même côté de la médiatrice que $A$ . Le segment $[MB]$ coupe la médiatrice en un point $P$ . Comparer le trajet $M \to P \to B$ au trajet $M \to P \to A$ , et expliquer pourquoi $M$ est plus proche de $A$ que de $B$ : la médiatrice partage la feuille en un « côté $A$ » et un « côté $B$ ».
Deux écoles $A$ et $B$ desservent une ville. Chaque enfant va à pied à l’école la plus proche. Dessiner un petit plan avec $A$ et $B$ , et colorier la région exacte de la ville desservie par l’école $A$ . Quelle ligne forme la frontière ?
Une troisième école $C$ ouvre (la placer de sorte que les trois écoles forment un triangle). Construire la médiatrice de $[AB]$ et la médiatrice de $[BC]$ , et appeler $O$ leur point d’intersection. Quelles deux égalités de distances $O$ vérifie-t-il, et pourquoi ?

Partie II — Trois arbres, un point, un cercle.

Déduire de la question 5 que $OA = OC$ — et donc que $O$ est aussi sur la médiatrice de $[AC]$ , qui n’a jamais été tracée. Conclure : les trois médiatrices des côtés d’un triangle passent toutes par un même point.
Expliquer pourquoi le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe aussi par $B$ et par $C$ : c’est le cercle passant par les trois points — le cercle circonscrit du triangle $ABC$ .
Construire un triangle de côtés $6$ cm, $5$ cm et $4$ cm (Méthode 41.2), puis son cercle circonscrit. Pourquoi suffit-il de tracer deux médiatrices pour en trouver le centre ?
L’assiette brisée : un archéologue exhume un tesson dont la seule partie intacte est un morceau du bord circulaire de l’assiette. Décrire une recette qui retrouve le centre et le rayon de l’assiette d’origine — puis la tester : tracer un arc de cercle au compas, « oublier » le centre, marquer trois points sur l’arc, et le reconstituer.
Trois points pourraient-ils n’avoir aucun cercle qui passe par eux ? Supposer $A$ , $B$ , $C$ alignés. Que dire des médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ (Proposition 40.3) ? Conclure.

Partie III — Des axes partout, et le miroir qui marche.

Exemple 42.7 a compté $3$ axes pour le triangle équilatéral et $4$ pour le carré. Conjecturer le compte pour un pentagone régulier et un hexagone régulier, et décrire où passent les axes dans chaque cas (nombre impair de côtés contre nombre pair : les deux situations diffèrent).
Plier une feuille de papier une fois et découper une forme à travers les deux épaisseurs ; déplier. Pourquoi le trou a-t-il toujours un axe de symétrie, quelle que soit la découpe, et quelle droite est cet axe ?
Plier la feuille deux fois — le second pli perpendiculaire au premier — découper, et déplier. Combien le trou a-t-il d’axes de symétrie au moins, et combien de copies de la découpe voit-on ? (Les flocons en papier sont cette idée pliée davantage.)
Le miroir qui marche : sur du papier quadrillé, tracer un axe vertical $d_1$ , un petit drapeau $F$ à sa gauche, et un second axe vertical $d_2$ , $4$ carreaux à droite de $d_1$ . Construire le symétrique de $F$ par rapport à $d_1$ (image $F'$ ), puis le symétrique de $F'$ par rapport à $d_2$ (image $F''$ ). Comparer $F$ et $F''$ : même orientation ou image renversée ? De combien de carreaux la figure s’est-elle déplacée ? Comparer avec la distance entre les axes.
Même expérience avec $d_2$ perpendiculaire à $d_1$ : construire le symétrique du drapeau par rapport à l’axe vertical, puis celui de l’image par rapport à l’axe horizontal. Décrire la position de $F''$ par rapport à $F$ et au point d’intersection des deux axes. (On vient de découvrir la transformation de l’an prochain : Chapitre 52.)

Solution

Solution de Problème 42.1.

1. Construction comme dans Méthode 42.11 ; pour tout $M$ de la droite, la règle confirme $MA = MB$ (Proposition 42.10).

2. La question de la fontaine a besoin du second sens : tous les points équidistants sont sur la médiatrice, donc les emplacements possibles sont exactement cette droite et rien d’autre. Et un point qui n’est pas sur la médiatrice n’est donc pas équidistant : il est strictement plus proche de l’un des deux arbres.

3. Les deux trajets ont en commun le segment $[MP]$ , et $PB = PA$ puisque $P$ est sur la médiatrice. Le trajet $M \to P \to B$ a donc la même longueur que le trajet $M \to P \to A$ , à savoir $MP + PA$ . Or $MB$ est le chemin droit vers $B$ — ici c’est justement le trajet par $P$ , donc $MB = MP + PA$ ; et le chemin droit vers $A$ est plus court que le détour par $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Tout point du côté de $A$ est plus proche de $A$ .

4. La frontière est la médiatrice de $[AB]$ : l’école $A$ dessert exactement la moitié de la ville située de son côté de cette droite (question 3), l’école $B$ l’autre moitié, et les enfants habitant sur la droite elle-même peuvent choisir.

5. $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$ , donc $OA = OB$ ; et sur la médiatrice de $[BC]$ , donc $OB = OC$ (Proposition 42.10).

6. De $OA = OB$ et $OB = OC$ on tire $OA = OC$ . D’après le second sens de la Proposition 42.10, un point équidistant de $A$ et de $C$ est sur la médiatrice de $[AC]$ : la troisième médiatrice passe par $O$ sans qu’on le lui ait demandé. Les trois médiatrices d’un triangle quelconque sont concourantes.

7. Le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ est formé de tous les points situés à la distance $OA$ de $O$ (Définition 40.5) ; comme $OB = OA$ et $OC = OA$ , les points $B$ et $C$ sont dessus. Un centre, un rayon, trois points desservis : c’est le cercle passant par $A$ , $B$ et $C$ .

8. Deux médiatrices suffisent parce que la troisième est automatique (question 6) : leur point d’intersection vérifie déjà les trois égalités de distances. Le cercle se trace de centre $O$ , le compas ouvert de $O$ à l’un quelconque des trois sommets.

9. Recette : marquer trois points $A$ , $B$ , $C$ sur l’arc subsistant ; tracer les médiatrices des cordes $[AB]$ et $[BC]$ ; leur point d’intersection est le centre de l’assiette, et sa distance à $A$ en est le rayon. Cela marche parce que le bord de l’assiette est un cercle passant par les trois points marqués — et la question 8 trouve le cercle qui passe par eux. L’arc d’essai se reconstitue exactement.

10. Si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, la médiatrice de $[AB]$ et celle de $[BC]$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(AB) = (BC)$ — elles sont donc parallèles entre elles (Proposition 40.3) et, étant distinctes, ne se coupent jamais. Aucun point n’est équidistant des trois, et aucun cercle ne passe par trois points alignés.

11. Pentagone régulier : $5$ axes, chacun passant par un sommet et le milieu du côté opposé (nombre impair : tous les axes sont de cette seule espèce). Hexagone régulier : $6$ axes — trois par des sommets opposés et trois par les milieux de côtés opposés (nombre pair : deux espèces, moitié-moitié). La régularité : un polygone régulier à $n$ côtés a $n$ axes.

12. La découpe traverse les deux épaisseurs à la fois : les deux épaisseurs perdent donc des morceaux exactement identiques ; et déplier, c’est effectuer la symétrie par rapport au pli, qui envoie le bord de chaque épaisseur sur celui de l’autre. Le trou est son propre symétrique : le pli en est un axe de symétrie — quelle que soit la découpe.

13. Le trou déplié a au moins $2$ axes de symétrie, les deux plis, et la découpe apparaît en $4$ exemplaires (chaque dépliage double l’image : $1 \to 2 \to 4$ ). Plier davantage, à la manière des flocons, multiplie encore les copies et les axes.

14. $F''$ a la même orientation que $F$ (les deux retournements se compensent), la même taille et la même hauteur — c’est simplement $F$ glissé vers la droite. Le glissement mesure $8$ carreaux : exactement le double de la distance entre les deux axes. Deux miroirs parallèles ne renversent pas du tout : ils translatent.

15. $F''$ a de nouveau la même taille, mais il apparaît maintenant à l’envers, tourné d’un demi-tour autour du point d’intersection des deux axes : chaque point de $F''$ est diamétralement opposé au point correspondant de $F$ par rapport à ce centre. Deux miroirs perpendiculaires se composent en un demi-tour — la symétrie centrale du Chapitre 52.

Termes définis dans ce chapitre

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