Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

60Le triangle rectangle et le cosinus

Deux beaux faits lient le triangle rectangle au cercle : un triangle rectangle s’inscrit exactement dans un demi-cercle, son hypoténuse étant un diamètre. Et un nombre, le cosinus d’un angle, code la forme de tout triangle rectangle ayant cet angle — le premier rapport trigonométrique, avant ses frères sinus et tangente (Chapitre 69).

60.1 Le triangle rectangle et son cercle

Théorème 60.1 (Théorème du cercle)

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $A$ se trouve sur le cercle de diamètre l’hypoténuse $[BC]$ .
Réciproquement, si $A$ se trouve sur un cercle de diamètre $[BC]$ (avec $A \neq B, C$ ), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

De façon équivalente : dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois sommets — la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.

Preuve du 1. Soit $O$ le milieu de $[BC]$ et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$ . Les diagonales de $ABDC$ se coupent en leur milieu commun $O$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme (Définition 52.7) — avec un angle droit en $A$ : c’est un rectangle. Les diagonales d’un rectangle sont égales, donc $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : le point $A$ est à distance $\frac{BC}{2}$ de $O$ , c’est-à-dire sur le cercle de diamètre $[BC]$ . (Le point 2 se prouve en parcourant l’argument à l’envers.) ∎

Où que se trouve A sur le cercle, l’angle BAC est droit — la conjecture de , devenue un théorème. La médiane rouge [OA] est un rayon : la moitié de l’hypoténuse. — Où que se trouve $A$ sur le cercle, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit — la conjecture de Exercice 41.10, devenue un théorème. La médiane rouge $[OA]$ est un rayon : la moitié de l’hypoténuse.

Exemple 60.2

Un triangle a une hypoténuse de $10$ cm. Sans rien savoir d’autre, la médiane issue de l’angle droit mesure $5$ cm, et le cercle circonscrit au triangle a pour rayon $5$ cm, centré au milieu de l’hypoténuse.

60.2 Le cosinus d’un angle aigu

Définition 60.3 (Cosinus)

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{côté adjacent à } \theta}{\text{hypoténuse}}

— le côté de l’angle droit touchant $\theta$ , divisé par l’hypoténuse. Ce rapport ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle : tous les triangles rectangles de même angle aigu sont des agrandissements les uns des autres, et les agrandissements conservent les rapports de longueurs (Chapitre 59 a commencé cette histoire ; Chapitre 68 l’achève).

Deux triangles rectangles partageant l’angle : le petit est une réduction du grand, donc adjacent hypoténuse est le même pour les deux — cette valeur commune est . — Deux triangles rectangles partageant l’angle $\theta$ : le petit est une réduction du grand, donc $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ est le même pour les deux — cette valeur commune est $\cos\theta$ .

Proposition 60.4 (Premières valeurs et bornes)

Pour tout angle aigu $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , et le cosinus diminue lorsque l’angle s’ouvre : un angle plus large a un cosinus plus petit. Repères : $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (les valeurs extrêmes correspondant aux triangles aplatis).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 60.5 (Utiliser le cosinus)

Dans un triangle rectangle, lorsque les quantités connues et cherchées sont un angle aigu, son côté adjacent et l’hypoténuse :

écrire la définition : $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ avec les valeurs connues à leur place ;
résoudre la petite équation pour l’inconnue (multiplier ou diviser) ;
pour un angle inconnu, appliquer le $\cos^{-1}$ de la calculatrice au rapport calculé ;
contrôles de bon sens : une longueur doit sortir plus courte que l’hypoténuse ; un angle strictement entre $0^\circ$ et $90^\circ$ .

Exemple 60.6 (Trouver un côté)

Une rampe de $6$ m fait un angle de $20^\circ$ avec le sol horizontal. Distance horizontale parcourue (adjacente à $20^\circ$ , hypoténuse $6$ m) :

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Exemple 60.7 (Trouver un angle)

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle $\theta$ mesure $3.5$ et l’hypoténuse $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Exercices

Exercice 60.1 ★

Un triangle rectangle a une hypoténuse de $13$ cm. Quelle est la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit ? Quel est le rayon du cercle passant par les trois sommets ?

Solution

Solution de Exercice 60.1.

Médiane issue de l’angle droit : la moitié de l’hypoténuse, $6.5$ cm (Théorème 60.1). Le cercle circonscrit est centré au milieu de l’hypoténuse avec un rayon de $6.5$ cm.

Exercice 60.2 ★

Tracer un cercle de diamètre $8$ cm avec un diamètre $[BC]$ , choisir un point $A$ quelconque sur le cercle et tracer $ABC$ . Quel angle est droit ? Citer le théorème. Mesurer $AB$ et $AC$ et vérifier Pythagore.

Solution

Solution de Exercice 60.2.

L’angle en $A$ est droit ( $[BC]$ est un diamètre : point 2 de Théorème 60.1). Les mesures satisfont $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , à la précision de mesure près.

Exercice 60.3 ★

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$ , nommer le côté adjacent à l’angle $\widehat E$ , le côté opposé, et l’hypoténuse. Écrire $\cos \widehat E$ comme un rapport.

Solution

Solution de Exercice 60.3.

Hypoténuse : $[EF]$ (opposée à l’angle droit $D$ ). Adjacent à $\widehat E$ : $[ED]$ . Opposé : $[DF]$ . Donc $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Exercice 60.4 ★

Calculer la quantité manquante ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ) :

hypoténuse $10$ , angle $35^\circ$ : côté adjacent ?
côté adjacent $6$ , angle $50^\circ$ : hypoténuse ?

Solution

Solution de Exercice 60.4.

1. adjacent $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. hypoténuse $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Exercice 60.5 ★

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à $\theta$ mesure $8$ et l’hypoténuse $10$ . Calculer $\cos\theta$ , puis $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , donc $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Exercice 60.6 ★

Expliquer pourquoi $\cos\theta$ ne peut jamais valoir $1.2$ pour un angle aigu d’un triangle rectangle.

Solution

Solution de Exercice 60.6.

$\cos\theta$ est un côté de l’angle droit divisé par l’hypoténuse, et l’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle : le quotient est toujours plus petit que $1$ . Une valeur de $1.2$ signifierait un côté plus long que l’hypoténuse — impossible.

Exercice 60.7 ★★

Une tyrolienne de $25$ m descend d’une plateforme jusqu’au sol, faisant un angle de $12^\circ$ avec l’horizontale ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). Quelle distance horizontale couvre-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 60.7.

Portée horizontale $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Exercice 60.8 ★★

Ranger sans calculatrice : $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (utiliser Proposition 60.4). Puis vérifier à la calculatrice.

Solution

Solution de Exercice 60.8.

Le cosinus diminue lorsque l’angle croît (Proposition 60.4) :

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Calculatrice : $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Exercice 60.9 ★★

Une échelle de longueur $L$ s’appuie contre un mur avec un angle $\theta$ entre l’échelle et le sol. Son pied est à $1.2$ m du mur et $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Calculer $L$ , puis la hauteur atteinte (Pythagore).

Solution

Solution de Exercice 60.9.

La distance au sol est adjacente à $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , donc $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hauteur (Pythagore) : $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Exercice 60.10 ★★

$[BC]$ est un diamètre d’un cercle de centre $O$ et de rayon $4.5$ cm, et $A$ est un point du cercle avec $AB = 5.4$ cm.

Pourquoi $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Calculer $AC$ , puis $\cos \widehat B$ .

Solution

Solution de Exercice 60.10.

1. $A$ est sur un cercle de diamètre $[BC]$ : angle droit en $A$ (Théorème 60.1).

2. $BC = 9$ cm (deux fois le rayon). Pythagore : $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Et $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Exercice 60.11 ★★★

En utilisant la moitié d’un triangle équilatéral de côté $1$ (coupé le long d’une hauteur), justifier le repère $\cos 60^\circ = \frac12$ de Proposition 60.4. (Où tombe le pied de la hauteur sur la base ? La version trigonométrique complète est Exemple 69.9.)

Solution

Solution de Exercice 60.11.

Dans le triangle équilatéral de côté $1$ , la hauteur issue d’un sommet tombe au milieu du côté opposé (axe de symétrie). La moitié du triangle est rectangle avec hypoténuse $1$ (un côté entier), un angle de $60^\circ$ au sommet de la base, et côté adjacent $\frac12$ (la moitié de la base). D’où

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .