Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

60Le triangle rectangle et le cosinus

Deux beaux faits lient le triangle rectangle au cercle : un triangle rectangle s’inscrit exactement dans un demi-cercle, son hypoténuse étant un diamètre. Et un nombre, le cosinus d’un angle, code la forme de tout triangle rectangle ayant cet angle — le premier rapport trigonométrique, avant ses frères sinus et tangente (Chapitre 69).

60.1 Le triangle rectangle et son cercle

Théorème 60.1 (Théorème du cercle)

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $A$ se trouve sur le cercle de diamètre l’hypoténuse $[BC]$ .
Réciproquement, si $A$ se trouve sur un cercle de diamètre $[BC]$ (avec $A \neq B, C$ ), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

De façon équivalente : dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois sommets — la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.

Preuve du 1. Soit $O$ le milieu de $[BC]$ et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$ . Les diagonales de $ABDC$ se coupent en leur milieu commun $O$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme (Définition 52.7) — avec un angle droit en $A$ : c’est un rectangle. Les diagonales d’un rectangle sont égales, donc $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : le point $A$ est à distance $\frac{BC}{2}$ de $O$ , c’est-à-dire sur le cercle de diamètre $[BC]$ . (Le point 2 se prouve en parcourant l’argument à l’envers.) ∎

Où que se trouve A sur le cercle, l’angle BAC est droit — la conjecture de , devenue un théorème. La médiane rouge [OA] est un rayon : la moitié de l’hypoténuse. — Où que se trouve $A$ sur le cercle, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit — la conjecture de Exercice 41.10, devenue un théorème. La médiane rouge $[OA]$ est un rayon : la moitié de l’hypoténuse.

Exemple 60.2

Un triangle a une hypoténuse de $10$ cm. Sans rien savoir d’autre, la médiane issue de l’angle droit mesure $5$ cm, et le cercle circonscrit au triangle a pour rayon $5$ cm, centré au milieu de l’hypoténuse.

60.2 Le cosinus d’un angle aigu

Définition 60.3 (Cosinus)

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{côté adjacent à } \theta}{\text{hypoténuse}}

— le côté de l’angle droit touchant $\theta$ , divisé par l’hypoténuse. Ce rapport ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle : tous les triangles rectangles de même angle aigu sont des agrandissements les uns des autres, et les agrandissements conservent les rapports de longueurs (Chapitre 59 a commencé cette histoire ; Chapitre 68 l’achève).

Deux triangles rectangles partageant l’angle : le petit est une réduction du grand, donc adjacent hypoténuse est le même pour les deux — cette valeur commune est . — Deux triangles rectangles partageant l’angle $\theta$ : le petit est une réduction du grand, donc $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ est le même pour les deux — cette valeur commune est $\cos\theta$ .

Proposition 60.4 (Premières valeurs et bornes)

Pour tout angle aigu $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , et le cosinus diminue lorsque l’angle s’ouvre : un angle plus large a un cosinus plus petit. Repères : $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (les valeurs extrêmes correspondant aux triangles aplatis).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 60.5 (Utiliser le cosinus)

Dans un triangle rectangle, lorsque les quantités connues et cherchées sont un angle aigu, son côté adjacent et l’hypoténuse :

écrire la définition : $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ avec les valeurs connues à leur place ;
résoudre la petite équation pour l’inconnue (multiplier ou diviser) ;
pour un angle inconnu, appliquer le $\cos^{-1}$ de la calculatrice au rapport calculé ;
contrôles de bon sens : une longueur doit sortir plus courte que l’hypoténuse ; un angle strictement entre $0^\circ$ et $90^\circ$ .

Exemple 60.6 (Trouver un côté)

Une rampe de $6$ m fait un angle de $20^\circ$ avec le sol horizontal. Distance horizontale parcourue (adjacente à $20^\circ$ , hypoténuse $6$ m) :

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Exemple 60.7 (Trouver un angle)

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle $\theta$ mesure $3.5$ et l’hypoténuse $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Exercices

Exercice 60.1 ★

Un triangle rectangle a une hypoténuse de $13$ cm. Quelle est la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit ? Quel est le rayon du cercle passant par les trois sommets ?

Solution

Solution de Exercice 60.1.

Médiane issue de l’angle droit : la moitié de l’hypoténuse, $6.5$ cm (Théorème 60.1). Le cercle circonscrit est centré au milieu de l’hypoténuse avec un rayon de $6.5$ cm.

Exercice 60.2 ★

Tracer un cercle de diamètre $8$ cm avec un diamètre $[BC]$ , choisir un point $A$ quelconque sur le cercle et tracer $ABC$ . Quel angle est droit ? Citer le théorème. Mesurer $AB$ et $AC$ et vérifier Pythagore.

Solution

Solution de Exercice 60.2.

L’angle en $A$ est droit ( $[BC]$ est un diamètre : point 2 de Théorème 60.1). Les mesures satisfont $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , à la précision de mesure près.

Exercice 60.3 ★

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$ , nommer le côté adjacent à l’angle $\widehat E$ , le côté opposé, et l’hypoténuse. Écrire $\cos \widehat E$ comme un rapport.

Solution

Solution de Exercice 60.3.

Hypoténuse : $[EF]$ (opposée à l’angle droit $D$ ). Adjacent à $\widehat E$ : $[ED]$ . Opposé : $[DF]$ . Donc $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Exercice 60.4 ★

Calculer la quantité manquante ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ) :

hypoténuse $10$ , angle $35^\circ$ : côté adjacent ?
côté adjacent $6$ , angle $50^\circ$ : hypoténuse ?

Solution

Solution de Exercice 60.4.

1. adjacent $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. hypoténuse $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Exercice 60.5 ★

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à $\theta$ mesure $8$ et l’hypoténuse $10$ . Calculer $\cos\theta$ , puis $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , donc $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Exercice 60.6 ★

Expliquer pourquoi $\cos\theta$ ne peut jamais valoir $1.2$ pour un angle aigu d’un triangle rectangle.

Solution

Solution de Exercice 60.6.

$\cos\theta$ est un côté de l’angle droit divisé par l’hypoténuse, et l’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle : le quotient est toujours plus petit que $1$ . Une valeur de $1.2$ signifierait un côté plus long que l’hypoténuse — impossible.

Exercice 60.7 ★★

Une tyrolienne de $25$ m descend d’une plateforme jusqu’au sol, faisant un angle de $12^\circ$ avec l’horizontale ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). Quelle distance horizontale couvre-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 60.7.

Portée horizontale $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Exercice 60.8 ★★

Ranger sans calculatrice : $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (utiliser Proposition 60.4). Puis vérifier à la calculatrice.

Solution

Solution de Exercice 60.8.

Le cosinus diminue lorsque l’angle croît (Proposition 60.4) :

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Calculatrice : $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Exercice 60.9 ★★

Une échelle de longueur $L$ s’appuie contre un mur avec un angle $\theta$ entre l’échelle et le sol. Son pied est à $1.2$ m du mur et $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Calculer $L$ , puis la hauteur atteinte (Pythagore).

Solution

Solution de Exercice 60.9.

La distance au sol est adjacente à $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , donc $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hauteur (Pythagore) : $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Exercice 60.10 ★★

$[BC]$ est un diamètre d’un cercle de centre $O$ et de rayon $4.5$ cm, et $A$ est un point du cercle avec $AB = 5.4$ cm.

Pourquoi $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Calculer $AC$ , puis $\cos \widehat B$ .

Solution

Solution de Exercice 60.10.

1. $A$ est sur un cercle de diamètre $[BC]$ : angle droit en $A$ (Théorème 60.1).

2. $BC = 9$ cm (deux fois le rayon). Pythagore : $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Et $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Exercice 60.11 ★★★

En utilisant la moitié d’un triangle équilatéral de côté $1$ (coupé le long d’une hauteur), justifier le repère $\cos 60^\circ = \frac12$ de Proposition 60.4. (Où tombe le pied de la hauteur sur la base ? La version trigonométrique complète est Exemple 69.9.)

Solution

Solution de Exercice 60.11.

Dans le triangle équilatéral de côté $1$ , la hauteur issue d’un sommet tombe au milieu du côté opposé (axe de symétrie). La moitié du triangle est rectangle avec hypoténuse $1$ (un côté entier), un angle de $60^\circ$ au sommet de la base, et côté adjacent $\frac12$ (la moitié de la base). D’où

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 Problème : les relations d’Euclide, et Pythagore une fois de plus

Problème 60.1

Devoir maison — la hauteur d’un triangle rectangle : $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , une seconde démonstration de Pythagore, et une machine à construire des racines carrées

Abaisser, depuis l’angle droit d’un triangle rectangle, la perpendiculaire à l’hypoténuse : ce court segment — la hauteur — vérifie des relations si utiles qu’Euclide les a placées au cœur de ses Éléments. Dans ce problème, la propriété qui définit le cosinus, « le rapport ne dépend que de l’angle » (Définition 60.3), les démontre toutes ; en chemin, on redémontrera le théorème de Pythagore par une voie entièrement différente, et l’on terminera par une machine à la règle et au compas qui construit $\sqrt2$ , $\sqrt5$ , $\sqrt{n}$ pour tout entier $n$ .

Partout, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , et $H$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur l’hypoténuse $[BC]$ , de sorte que $H$ se trouve entre $B$ et $C$ et que $AH \perp BC$ .

Partie I — Un angle, deux triangles.

À l’aide de la somme des angles d’un triangle (Théorème 51.3) dans $ABH$ puis dans $ABC$ , montrer que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : la hauteur découpe le triangle rectangle en deux triangles plus petits portant les mêmes angles que celui de départ.
Les triangles $ABC$ (rectangle en $A$ ) et $ABH$ (rectangle en $H$ ) ont l’angle $\widehat B$ en commun. Écrire $\cos\widehat B$ dans chacun d’eux, et déduire de la Définition 60.3 que

$AB^2 = BH \times BC .$

(Pour passer de rapports égaux à des produits égaux, multiplier les deux membres par les deux dénominateurs, Théorème 57.5.)
Énoncer et démontrer la relation jumelle au sommet $C$ :

$AC^2 = CH \times CB .$
Prendre le triangle $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calculer $BH$ et $CH$ à partir des questions 2 et 3, et vérifier que $BH + HC = BC$ .
En général, exprimer $BH$ et $CH$ par des fractions ne faisant intervenir que les trois côtés. En quel sens le pied $H$ partage-t-il l’hypoténuse « proportionnellement aux carrés des côtés de l’angle droit » ?

Partie II — Pythagore à nouveau, et la hauteur.

Additionner les relations des questions 2 et 3 et utiliser $BH + HC = BC$ pour obtenir

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

le théorème de Pythagore (Théorème 58.1), redémontré — sans le moindre puzzle d’aires (comparer avec Exercice 58.11).
Appliquer Pythagore dans le petit triangle $ABH$ pour écrire $AH^2 = AB^2 - BH^2$ , remplacer $AB^2$ par $BH \times BC$ , et factoriser par $BH$ pour démontrer la relation d’Euclide sur la hauteur :

$AH^2 = BH \times HC .$
Calculer l’aire de $ABC$ de deux façons — les côtés de l’angle droit comme base et hauteur, puis l’hypoténuse comme base (Théorème 53.3) — et en déduire la troisième relation :

$AB \times AC = BC \times AH .$
Retour au triangle $3$ – $4$ – $5$ : calculer $AH$ par la question 8, puis vérifier numériquement la relation sur la hauteur de la question 7, à l’aide des valeurs de $BH$ et $CH$ trouvées à la question 4.
Le pied de la hauteur partage l’hypoténuse d’un certain triangle rectangle en deux segments $BH = 2$ cm et $HC = 8$ cm. Calculer la hauteur $AH$ .

Partie III — Une machine à racines carrées. Tracer un segment $[BC]$ formé de deux morceaux bout à bout : $BH = p$ et $HC = q$ . Tracer le demi-cercle de diamètre $[BC]$ , et appeler $A$ le point où la perpendiculaire à $(BC)$ en $H$ le rencontre.

À l’aide du Théorème 60.1, expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ — la question 7 s’applique donc, et

$AH^2 = p \times q .$

(La longueur $AH$ s’appelle la moyenne géométrique de $p$ et $q$ .)
Prendre $p = 1$ et $q = 2$ . Que vaut $AH^2$ ? Quelle longueur célèbre de l’Exemple 58.9 la figure à la règle et au compas vient-elle de construire ?
Décrire la recette qui construit un segment de longueur $\sqrt n$ pour tout entier $n \geq 1$ , et dire quel choix de $p$ et $q$ construit $\sqrt 5$ .
Soit $O$ le centre du demi-cercle. Expliquer pourquoi $AH$ ne peut jamais dépasser le rayon $\frac{p + q}{2}$ , et pour quelle position de $H$ les deux sont égaux.
En déduire l’inégalité : pour tous nombres positifs $p$ et $q$ ,

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

avec égalité exactement lorsque $p = q$ . La redémontrer ensuite sans aucune géométrie : développer $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ et reconnaître une identité remarquable (Problème 57.1).

Solution

Solution de Problème 60.1.

1. Dans le triangle $ABH$ , rectangle en $H$ , la somme des angles (Théorème 51.3) donne $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , donc $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , donc $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . D’où $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : les deux petits triangles répètent bien les angles $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ du triangle de départ.

2. Dans $ABC$ (rectangle en $A$ ), le côté adjacent à $\widehat B$ est $AB$ et l’hypoténuse est $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . Dans $ABH$ (rectangle en $H$ ), le côté adjacent à $\widehat B$ est $BH$ et l’hypoténuse est $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . Le rapport ne dépend que de l’angle (Définition 60.3), donc

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

en multipliant les deux membres par $BC \times AB$ (Théorème 57.5) : $AB^2 = BH \times BC$ .

3. Les triangles $ABC$ (rectangle en $A$ ) et $ACH$ (rectangle en $H$ ) ont l’angle $\widehat C$ en commun. Côté adjacent sur hypoténuse dans chacun :

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ s’écrit $9 = BH \times 5$ , donc $BH = 1.8$ ; et $16 = CH \times 5$ donne $CH = 3.2$ . Vérification : $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — comme il se doit, puisque $H$ est sur l’hypoténuse entre $B$ et $C$ .

5. En divisant chaque relation par $BC$ :

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

Ainsi $BH$ et $CH$ sont proportionnels à $AB^2$ et $AC^2$ : le pied de la hauteur partage l’hypoténuse dans le rapport des carrés des côtés de l’angle droit ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ à la question 4).

6. En additionnant les deux relations et en factorisant par $BC$ (distributivité) :

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

C’est Théorème 58.1, obtenu à partir du seul cosinus — une démonstration véritablement différente du puzzle d’aires à quatre triangles de l’Exercice 58.11.

7. Pythagore dans $ABH$ (rectangle en $H$ , d’hypoténuse $[AB]$ ) : $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . En remplaçant $AB^2$ par $BH \times BC$ (question 2) et en factorisant par $BH$ :

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. Avec les côtés de l’angle droit comme base et hauteur, l’aire de $ABC$ vaut $\frac{AB \times AC}{2}$ ; avec l’hypoténuse $[BC]$ pour base, la hauteur est précisément $AH$ , et l’aire vaut aussi $\frac{BC \times AH}{2}$ (Théorème 53.3). En égalant et en doublant : $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . Vérification de la question 7 : $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ et $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . Égalité.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , donc $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

11. Le point $A$ est sur le cercle de diamètre $[BC]$ (et diffère de $B$ et de $C$ ), donc d’après le point 2 du Théorème 60.1 le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Par construction, $(AH) \perp (BC)$ avec $H$ entre $B$ et $C$ : le segment $[AH]$ est précisément la hauteur de la question 7, et $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : la figure construit, à la règle et au compas seuls, un segment dont le carré vaut $2$ — la diagonale du carré unité, $\sqrt2 \approx 1.414$ , de l’Exemple 58.9.

13. Recette : mettre bout à bout deux segments de longueurs $p = 1$ et $q = n$ ; tracer le demi-cercle dont le diamètre est le segment entier (de longueur $n + 1$ ) ; élever la perpendiculaire au point de jonction ; elle rencontre le demi-cercle en un point dont la distance à la jonction vaut $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ . Pour $\sqrt5$ : prendre $p = 1$ et $q = 5$ (un demi-cercle de diamètre $6$ ).

14. $A$ est sur le cercle de centre $O$ , donc $OA = \frac{p+q}{2}$ , le rayon. Si $H \neq O$ , le triangle $AHO$ est rectangle en $H$ d’hypoténuse $[OA]$ , et un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse : $AH < OA$ . Si $H = O$ , alors $AH = OA$ exactement. Dans tous les cas $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , avec égalité précisément lorsque $H$ est le centre — c’est-à-dire lorsque $p = q$ .

15. En élevant au carré $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (les deux membres sont positifs) et en utilisant $AH^2 = pq$ :

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

avec égalité exactement pour $p = q$ . Redémonstration algébrique, avec les identités remarquables (Problème 57.1) :

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

un carré, donc jamais négatif — et nul exactement lorsque $p = q$ . La moyenne géométrique de deux nombres ne dépasse jamais leur demi-somme.

Termes définis dans ce chapitre

Cosinus

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