Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

16Perkalian

Tiga kantong berisi tujuh kelereng: kamu bisa menjumlahkan $7 + 7 + 7$ , tetapi ada cara yang lebih cepat — perkalian, operasi untuk penjumlahan berulang. Bab ini menyusun tabel perkalian dari gambar, lalu mengajarkan cara bersusun.

16.1 Apa arti mengalikan

Definisi 16.1 (Perkalian)

Hasil kali $3 \times 7$ berarti “tiga kali tujuh”:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

Dalam gambar, $3 \times 7$ adalah persegi panjang berisi titik: $3$ baris berisi $7$ titik.

21 titik yang sama, dibilang per baris atau per kolom: urutan sebuah hasil kali tidak berpengaruh. Mengetahui 3 × 7 memberikan 7 × 3 cuma-cuma — tabelnya tinggal separuh! — $21$ titik yang sama, dibilang per baris atau per kolom: urutan sebuah hasil kali tidak berpengaruh. Mengetahui $3 \times 7$ memberikan $7 \times 3$ cuma-cuma — tabelnya tinggal separuh!

Proposisi 16.2 (Aturan yang membantu)

Urutannya tidak berpengaruh: $a \times b = b \times a$ .
Mengalikan dengan $1$ tidak mengubah apa pun; mengalikan dengan $0$ memberi $0$ .
Mengalikan dengan $10$ menambahkan sebuah nol: $34 \times 10 = 340$ ; dengan $100$ , dua nol.
Sebuah tabel dapat disusun ulang dari tetangganya: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 16.3 (Persegi tabel perkalian)

Semua tabel muat dalam satu persegi. Untuk membaca $6 \times 7$ : baris $6$ , kolom $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Persegi itu simetris terhadap diagonalnya — itulah aturan 1 yang terlihat oleh mata.

16.2 Perkalian bersusun

Metode 16.4 (Mengalikan dengan bilangan satu angka)

Untuk menghitung $234 \times 6$ :

kalikan satuannya: $4 \times 6 = 24$ : tulis $4$ , simpan $2$ ;
kalikan puluhannya lalu tambahkan simpanan: $3 \times 6 + 2 = 20$ : tulis $0$ , simpan $2$ ;
kalikan ratusannya lalu tambahkan simpanan: $2 \times 6 + 2 = 14$ : tulis $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Taksirlah untuk memeriksa: $234$ dekat dengan $200$ , dan $200 \times 6 = 1\,200$ : jawaban $1\,404$ masuk akal.

Contoh 16.5 (Memecah untuk mengalikan di kepala)

Cara bersusun diam-diam memecah bilangan menurut tempatnya. Di kepala, lakukanlah hal yang sama:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

Dan dengan tetangga yang ramah: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Mengapa memecah itu berhasil: persegi panjang 23 × 4 yang tersusun dari persegi satuan adalah bagian 20 × 4 ditambah bagian 3 × 4 — 80 + 12 = 92 persegi. — Mengapa memecah itu berhasil: persegi panjang $23 \times 4$ yang tersusun dari persegi satuan adalah bagian $20 \times 4$ ditambah bagian $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ persegi.

16.3 Perkalian dalam soal cerita

Contoh 16.6

Sebuah minibus mengangkut $9$ penumpang. Berapa penumpang yang dapat diangkut oleh $27$ minibus?

Ini perkalian: $27$ kelompok berisi $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (secara bersusun, atau $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Kalimatnya: minibus itu dapat mengangkut $243$ penumpang.

16.4 Latihan

Latihan 16.1 ★

Tulislah sebagai perkalian, lalu hitunglah: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Latihan 16.2 ★

Sebutkan lalu lengkapi: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Latihan 16.3 ★

Gambarlah persegi panjang titik untuk $4 \times 6$ , lalu untuk $6 \times 4$ . Apa yang kamu perhatikan pada kedua hitungan itu?

Solusi

Solusi Latihan 16.3.

Kedua persegi panjang memuat $24$ titik yang sama — yang satu adalah yang lain yang dimiringkan: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Latihan 16.4 ★

Hitunglah dengan aturan pada Proposisi 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Latihan 16.5 ★

Hitunglah secara bersusun: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Latihan 16.6 ★

Hitunglah di kepala dengan memecah (seperti pada Contoh 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Latihan 16.7 ★

Hitunglah dengan tetangga yang ramah: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Latihan 16.8 ★

Taksirlah dulu, lalu hitunglah: $389 \times 5$ (taksir dengan $400$ ); $612 \times 8$ (taksir dengan $600$ ).

Solusi

Solusi Latihan 16.8.

$389 \times 5$ : taksiran $400 \times 5 = 2\,000$ ; tepatnya $1\,945$ .

$612 \times 8$ : taksiran $600 \times 8 = 4\,800$ ; tepatnya $4\,896$ .

Latihan 16.9 ★

Satu kotak telur berisi $6$ telur. Berapa telur di dalam $38$ kotak? Tulislah operasinya, hitunglah, lalu jawablah dengan satu kalimat.

Solusi

Solusi Latihan 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Ada $228$ telur di dalam kotak itu.

Latihan 16.10 ★★

Sebuah ruang kelas punya $8$ baris berisi $4$ meja; setiap meja ditempati $2$ murid. Berapa murid yang dapat ditampung ruangan itu? (Dua perkalian.)

Solusi

Solusi Latihan 16.10.

Meja: $8 \times 4 = 32$ . Murid: $32 \times 2 = 64$ . Ruangan itu dapat menampung $64$ murid.

Latihan 16.11 ★★

Carilah semua cara menyusun $24$ kursi menjadi baris yang sama banyak (baris berisi $1$ , berisi $2$ , …). Susunan mana saja yang mungkin? (Pakailah persegi tabel: carilah $24$ di dalamnya.)

Solusi

Solusi Latihan 16.11.

$24$ muncul dalam persegi tabel sebagai $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — dan pasangan yang sama dibalik. Susunan yang mungkin: $1$ baris berisi $24$ , $2$ baris berisi $12$ , $3$ baris berisi $8$ , $4$ baris berisi $6$ , $6$ baris berisi $4$ , $8$ baris berisi $3$ , $12$ baris berisi $2$ , $24$ baris berisi $1$ .

Latihan 16.12 ★★

Zahra menghitung $47 \times 6$ begini: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , lalu $240 + 42 = 282$ . Lia menghitung $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Jelaskan kedua cara itu. Mana yang kamu sukai untuk $38 \times 4$ ? Hitunglah dengan kedua cara.

Solusi

Solusi Latihan 16.12.

Zahra memecah $47$ menjadi $40 + 7$ (cara bersusun di dalam kepalanya); Lia mengganti $47$ dengan $50$ yang ramah lalu membetulkannya dengan mengambil $3 \times 6$ yang terhitung berlebih. Untuk $38 \times 4$ : dengan cara Zahra, $120 + 32 = 152$ ; dengan cara Lia, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Keduanya berhasil — cara Lia lebih cepat di sini karena $38$ dekat dengan $40$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Perkalian

Lihat semua 395 istilah di glosarium

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81