Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

56Pangkat

Lipatlah selembar kertas menjadi dua sebanyak $10$ kali (kalau kamu bisa!): tebalnya berlipat dua setiap kali, dan $10$ kali pelipatan mengalikannya dengan $2^{10} = 1024$ . Pangkat adalah singkatan perkalian berulang; bab ini menyiapkan notasinya dan aturannya, dengan peran khusus untuk pangkat $10$ .

56.1 Definisi

Definisi 56.1 (Pangkat)

Untuk sebuah bilangan $a$ dan bilangan bulat $n \geq 1$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ faktor}},

dibaca “ $a$ pangkat $n$ ”; $a$ adalah bilangan pokoknya, $n$ adalah eksponennya. Nama khusus: $a^2$ adalah “ $a$ kuadrat”, $a^3$ adalah “ $a$ pangkat tiga”. Menurut kesepakatan:

a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Contoh 56.2

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $10^3 = 1000$ ; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$ ; $(-2)^3 = -8$ dan $(-2)^4 = +16$ (Contoh 54.5). Hati-hati: $a^n$ bukan $a \times n$ : $2^5 = 32$ , bukan $10$ .

Pangkat 2: tiap batangnya dua kali batang sebelumnya. Pertumbuhan lewat perkalian berulang melesat jauh lebih cepat daripada pertumbuhan lewat penjumlahan berulang. — Pangkat $2$ : tiap batangnya dua kali batang sebelumnya. Pertumbuhan lewat perkalian berulang melesat jauh lebih cepat daripada pertumbuhan lewat penjumlahan berulang.

56.2 Aturan eksponen

Teorema 56.3 (Aturan eksponen)

Untuk bilangan pokok $a$ yang bukan nol dan eksponen bilangan bulat $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Bukti dengan membilang faktornya. $a^m \times a^n$ menjajarkan $m$ faktor $a$ yang disusul $n$ faktor lagi: seluruhnya $m + n$ . $\left(a^m\right)^n$ mengulang satu blok berisi $m$ faktor sebanyak $n$ kali: $mn$ faktor. $(ab)^n$ memuat $n$ huruf $a$ dan $n$ huruf $b$ , yang dapat dikelompokkan ulang. Aturan hasil baginya datang dari mencoret $n$ faktor dari $m$ faktornya; dengan kesepakatan $a^0 = 1$ dan $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , aturan itu tetap benar bahkan ketika $n \geq m$ . ∎

Contoh 56.4

2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 .

Sebuah jebakan: aturannya berlaku untuk bilangan pokok yang sama (atau eksponen yang sama, untuk yang terakhir). Tidak ada aturan yang menyederhanakan $2^3 \times 5^2$ — hitung saja: $8 \times 25 = 200$ .

56.3 Pangkat sepuluh

Proposisi 56.5 (Pangkat sepuluh)

Untuk $n \geq 1$ : $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ , dan $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$ . Aturan eksponennya berbunyi: mengalikan pangkat sepuluh berarti menjumlahkan eksponennya.

Contoh 56.6

$10^4 \times 10^3 = 10^7$ ; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$ . Besaran yang besar dan yang kecil menjadi terbaca:

\text{satu miliar} = 10^9, \qquad \text{satu per sejuta} = 10^{-6}.

Digabung dengan desimal: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ dan $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (geserlah titik desimalnya, Proposisi 38.7). Pemakaian penulisan ini secara sistematis — notasi ilmiah — dikembangkan pada Bab 63.

Contoh 56.7 (Orde besaran)

Cahaya menempuh kira-kira $3 \times 10^8$ m/s; satu tahun punya kira-kira $3.2 \times 10^7$ detik. Jadi satu tahun cahaya kira-kira

3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m}

— sepuluh juta miliar meter. Pangkat sepuluh membuat perhitungan astronomi muat dalam satu baris.

Metode 56.8 (Menyederhanakan bentuk berpangkat)

Kelompokkan faktornya menurut bilangan pokoknya;
terapkan aturan eksponennya di dalam tiap bilangan pokoknya;
hitunglah pangkat kecil yang tersisa, atau biarkan jawabannya berupa pangkat kalau nilainya besar.

Contoh 56.9

\frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 .

56.4 Latihan

Latihan 56.1 ★

Hitunglah:

2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 .

Solusi

Solusi Latihan 56.1.

$2^6 = 64$ ; $3^3 = 27$ ; $10^5 = 100\,000$ ; $1^{100} = 1$ ; $0.1^2 = 0.01$ ; $6^0 = 1$ .

Latihan 56.2 ★

Hitunglah:

(-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 .

Solusi

Solusi Latihan 56.2.

$(-3)^2 = 9$ ; $-3^2 = -9$ ; $(-1)^{15} = -1$ ; $(-5)^3 = -125$ ; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$ .

Latihan 56.3 ★

Tulislah sebagai satu pangkat:

7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 .

Solusi

Solusi Latihan 56.3.

$7^4 \times 7^5 = 7^9$ ; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$ ; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$ ; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$ ; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (eksponennya sama: kalikan bilangan pokoknya).

Latihan 56.4 ★

Tulislah sebagai bilangan desimal: $10^{-2}$ ; $4 \times 10^3$ ; $2.5 \times 10^{-4}$ ; $10^0$ .

Solusi

Solusi Latihan 56.4.

$10^{-2} = 0.01$ ; $4 \times 10^3 = 4000$ ; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$ ; $10^0 = 1$ .

Latihan 56.5 ★

Tulislah dengan pangkat sepuluh: seratus ribu; sepersepuluh; sepuluh miliar; $0.000\,001$ .

Solusi

Solusi Latihan 56.5.

$10^5$ ; $10^{-1}$ ; $10^{10}$ ; $10^{-6}$ .

Latihan 56.6 ★

Sederhanakan, lalu hitunglah:

\frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} .

Solusi

Solusi Latihan 56.6.

$\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$ .

$\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$ .

$\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$ .

Latihan 56.7 ★

Benar atau salah? Perbaikilah yang salah.

2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 .

Solusi

Solusi Latihan 56.7.

$2^3 \times 2^4 = 2^{12}$ : salah — eksponennya dijumlahkan: $2^7$ .

$5^2 + 5^3 = 5^5$ : salah — tidak ada aturan untuk jumlah: $25 + 125 = 150$ , sedangkan $5^5 = 3125$ .

$(3^2)^4 = 3^8$ : benar.

$10^3 \times 10^3 = 100^3$ : benar — keduanya sama dengan $10^6$ (kiri: $10^{3+3}$ ; kanan: $(10^2)^3$ ).

Latihan 56.8 ★★

Sebuah kabar burung menyebar: pada hari 1, tiga orang mengetahuinya; setiap hari, tiap orang yang mengetahuinya memberi tahu tiga orang baru. Tulislah dengan pangkat banyaknya orang baru yang diberi tahu pada hari $4$ , lalu hitunglah berapa orang yang mengetahui kabar itu pada akhir hari 4 (termasuk ketiga orang pertamanya).

Solusi

Solusi Latihan 56.8.

Orang baru pada hari $4$ : masing-masing dari $3^3 = 27$ orang yang diberi tahu pada hari 3 memberi tahu tiga orang lain: $3^4 = 81$ . Yang mengetahuinya pada akhir hari 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ orang.

Latihan 56.9 ★★

Selembar kertas tebalnya $0.1$ mm, yaitu $10^{-4}$ m. Melipatnya membuat tebalnya berlipat dua setiap kali.

Nyatakan tebalnya sesudah $10$ lipatan sebagai hasil kali, lalu hitunglah dalam sentimeter ( $2^{10} = 1024$ ).
Sesudah $42$ lipatan tebalnya akan menjadi $2^{42} \times 10^{-4}$ m, dengan $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Tunjukkan bahwa itu melampaui jarak Bumi–Bulan, yang kira-kira $3.8 \times 10^8$ m.

Solusi

Solusi Latihan 56.9.

1. Tebalnya: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm.

2. $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, lebih besar daripada $3.8 \times 10^8$ m: sesudah $42$ lipatan (secara teori!), gumpalan kertasnya akan melewati Bulan.

Latihan 56.10 ★★

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, tanpa kalkulator:

2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 .

(Hitunglah masing-masing; $2^{10}$ dan $10^3$ adalah tetangga yang terkenal.)

Solusi

Solusi Latihan 56.10.

$2^{10} = 1024$ ; $10^3 = 1000$ ; $3^6 = 729$ ; $5^4 = 625$ . Urutannya:

5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} .

Latihan 56.11 ★★★

Mana yang lebih besar, $2^{100}$ atau $10^{30}$ ? Pakailah $2^{10} = 1024 > 10^3$ untuk membandingkan $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ dengan $\left(10^3\right)^{10}$ .

Solusi

Solusi Latihan 56.11.

$2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ dan $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$ . Karena $1024 > 1000$ , mengalikan sepuluh salinan masing-masing menjaga ketaksamaannya: $2^{100} > 10^{30}$ .

56.5 Soal: Papan catur dan pangkat dua

Soal 56.1

Soal akhir pekan — jumlah geometri $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ , dari legenda yang terkenal sampai bilangan biner

Legendanya: sebagai hadiah karena menciptakan catur, si bijak Sissa meminta kepada rajanya satu butir gandum pada petak pertama papannya, dua pada petak kedua, empat pada petak ketiga — berlipat dua dari petak ke petak, sampai petak keenam puluh empat. Rajanya menertawakan kesederhanaan itu. Soal ini menghitung apa yang dijanjikan rajanya, dengan aturan eksponen Teorema 56.3, lalu berakhir di tempat yang diam-diam dituju kisahnya: bilangan biner di dalam setiap komputer.

Bagian I — Trik pelipatduaan. Untuk $n \geq 1$ , misalkan $S_n$ banyaknya seluruh butir gandum pada $n$ petak pertamanya.

Nyatakan banyaknya butir pada petak $k$ sebagai pangkat $2$ . Pangkat yang mana yang duduk pada petak $64$ ?
Hitunglah $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ dan $S_5$ , lalu bandingkan masing-masing dengan pangkat $2$ yang terdekat. Dugalah rumus untuk $S_n$ .
Trik pelipatduaan: tulislah jumlah $S_n$ dan $2 \times S_n$ yang satu di bawah yang lain, kurangkan, lalu buktikan dugaanmu:

$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$
Berapa butir gandum yang dijanjikan rajanya seluruhnya? Nyatakan jawabannya dengan pangkat $2$ , lalu lengkapi catatan klasiknya: “seluruh papannya memuat satu butir lebih sedikit daripada yang akan dimuat satu petak keenam puluh lima saja.”
Tunjukkan bahwa separuh kedua papannya (petak $33$ sampai $64$ ) memuat tepat $2^{32}$ kali sebanyak butir separuh pertamanya.

Bagian II — Seberapa besarkah $2^{64}$ ? Perbandingan $2^{10} = 1024 > 10^3$ pada Latihan 56.11 adalah kunci semua taksiran di bawah ini.

Tunjukkan bahwa $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ .
Satu butir gandum beratnya kira-kira $0.05$ g, yaitu $5 \times 10^{-2}$ g. Tunjukkan bahwa gandum yang dijanjikan itu beratnya lebih dari $8 \times 10^{17}$ g, lalu ubahlah menjadi ton ( $1$ ton $= 10^6$ g).
Seluruh dunia saat ini memanen kira-kira $8 \times 10^8$ ton gandum tiap tahunnya. Sedikitnya berapa tahun panen dunia yang dijanjikan rajanya?
Carilah bilangan bulat terkecil $n$ sehingga $2^n > 10^6$ — yaitu berapa kali pelipatduaan yang diperlukan untuk melampaui satu juta. (Hitunglah $2^{19}$ dan $2^{20}$ dengan persis, memakai $2^{10} = 1024$ .)
Seorang penipu menawarimu gaji sebulan: $1$ sen pada hari $1$ , lalu dua kali bayaran hari sebelumnya pada tiap harinya. Pada hari yang mana bayaran hariannya saja pertama kali melampaui satu juta euro ( $10^8$ sen)? (Hitunglah $2^{26}$ dan $2^{27}$ dengan persis.)

Bagian III — Timbangan biner. Seorang pedagang punya lima anak timbangan: $1$ , $2$ , $4$ , $8$ dan $16$ gram, masing-masing satu. Ia menaruh beberapa di antaranya pada satu piring neraca untuk menimbang barang di piring yang lain.

Anak timbangan mana yang ditaruhnya untuk menimbang $21$ g? Untuk menimbang $27$ g?
Jelaskan mengapa sasaran $16$ g atau lebih harus memakai anak timbangan $16$ g, dan mengapa sasaran $15$ g atau kurang tidak boleh memakainya. (Pertanyaan 3 memberi tahu berapa paling banyak yang dapat dicapai anak timbangan $1, 2, 4, 8$ .) Jelaskan mengapa penalaran yang sama berulang dengan anak timbangan terbesar berikutnya, pada setiap tahapnya.
Simpulkan bahwa setiap sasaran bulat dari $1$ sampai $31$ g dapat ditimbang, dan dengan tepat satu cara: setiap bilangan antara $1$ dan $31$ adalah jumlah pangkat $2$ yang berbeda-beda dengan cara yang tunggal.
Pedagangnya membeli anak timbangan keenam, seberat $32$ g. Sampai sasaran berapa ia kini dapat menimbang? Tulislah $45$ g sebagai jumlah pangkat $2$ yang berbeda-beda.
Di dalam komputer, bilangan “64-bit” disimpan pada $64$ petak, masing-masing memuat $0$ atau $1$ — petak $k$ menyumbang $2^{k-1}$ ketika ia memuat $1$ , seperti butir gandum pada legendanya. Dengan memakai Bagian I, jelaskan mengapa bilangan bulat yang dapat disimpan mesin seperti itu berjalan tepat dari $0$ sampai $2^{64} - 1$ .

Solusi

Solusi Soal 56.1.

1. Butirnya berlipat dua dari petak ke petak bermula dari $1 = 2^0$ : petak $k$ memuat $2^{k-1}$ butir (Definisi 56.1). Petak $64$ memuat $2^{63}$ .

2. $S_1 = 1$ , $S_2 = 1 + 2 = 3$ , $S_3 = 3 + 4 = 7$ , $S_4 = 7 + 8 = 15$ , $S_5 = 15 + 16 = 31$ : selalu satu kurang daripada pangkat $2$ berikutnya ( $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ ). Dugaan: $S_n = 2^n - 1$ .

3. Melipatduakan tiap suku $S_n$ menggeser tiap pangkatnya naik satu ( $2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$ ):

\begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*}

Dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua, setiap suku dari $2$ sampai $2^{n-1}$ muncul pada keduanya lalu saling meniadakan:

2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{yaitu}\qquad S_n = 2^n - 1 .

4. Seluruhnya $S_{64} = 2^{64} - 1$ butir. Petak keenam puluh lima akan memuat $2^{64}$ butir: seluruh papannya membawa tepat satu butir lebih sedikit daripada yang akan dimuat satu petak itu.

5. Separuh pertamanya memuat $S_{32} = 2^{32} - 1$ butir. Seluruh papannya memuat $2^{64} - 1$ , jadi separuh keduanya memuat

\left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right)

(faktorkan $2^{32}$ , memakai $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$ , Teorema 56.3): tepat $2^{32}$ kali separuh pertamanya.

6. Menurut aturan eksponennya, $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$ . Karena $2^{10} = 1024 > 10^3$ ,

2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} .

7. Lebih dari $1.6 \times 10^{19}$ butir yang masing-masing $5 \times 10^{-2}$ g:

1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} .

Dengan membaginya dengan $10^6$ g tiap ton: lebih dari $8 \times 10^{11}$ ton — delapan ratus miliar ton.

8. $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$ : rajanya menjanjikan sedikitnya seribu tahun panen seluruh dunia pada masa kini. (Legendanya bercerita bahwa para penasihatnya memberi tahu dia demikian.)

9. $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$ , sedangkan $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$ . Jadi eksponen terkecilnya adalah $n = 20$ : dua puluh kali pelipatduaan melampaui satu juta.

10. Bayaran pada hari $n$ adalah $2^{n-1}$ sen (hari 1: $2^0 = 1$ ). Sekarang

2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8,

2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 .

Jadi bayaran hariannya pertama kali melampaui $10^8$ sen ketika $n - 1 = 27$ : yaitu pada hari $28$ .

11. $21 = 16 + 4 + 1$ : anak timbangan $16$ , $4$ dan $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$ : anak timbangan $16$ , $8$ , $2$ dan $1$ g.

12. Menurut pertanyaan 3, anak timbangan $1, 2, 4, 8$ bersama-sama beratnya $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Jadi tanpa anak timbangan $16$ g pedagangnya tidak dapat melampaui $15$ g: sasaran $16$ g atau lebih harus memakainya. Dan sasaran $15$ g atau kurang tidak boleh memakainya, karena anak timbangan $16$ g sendirian sudah melampaui sasarannya. Karena itu pemilihan anak timbangan yang terbesar bersifat terpaksa. Yang tersisa adalah sasaran paling banyak $15$ g yang harus disusun dengan $1, 2, 4, 8$ — dan penalaran yang sama berulang: $8$ terpaksa (dipakai kalau sasaran sisanya $\geq 8$ , tidak dipakai kalau bukan, karena $1 + 2 + 4 = 7$ ), lalu $4$ (karena $1 + 2 = 3$ ), lalu $2$ , lalu $1$ .

13. Dengan mengikuti pilihan yang terpaksa itu, sasaran yang tersisa sesudah tiap tahapnya paling banyak sama dengan jumlah anak timbangan yang tersisa, jadi prosesnya berakhir dengan sisa $0$ : setiap sasaran dari $1$ sampai $31$ tercapai. Dan karena setiap pilihan sepanjang jalannya terpaksa, tidak ada pilihan anak timbangan lain yang mencapai sasaran yang sama: penulisan setiap bilangan dari $1$ sampai $31$ sebagai jumlah pangkat $2$ yang berbeda-beda ada dan tunggal.

14. Keenam anak timbangannya berjumlah $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, dan penalaran pilihan terpaksa yang sama mencakup setiap sasaran dari $1$ sampai $63$ g. Untuk $45$ : sasarannya $\geq 32$ , jadi pakailah $32$ ; tersisa $13 < 16$ , jadi lewati $16$ ; pakailah $8$ (tersisa $5$ ), pakailah $4$ (tersisa $1$ ), lewati $2$ , pakailah $1$ :

45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 .

15. Memilih $0$ atau $1$ pada masing-masing dari $64$ petaknya berarti memilih pangkat $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ yang mana yang dimasukkan ke dalam sebuah jumlah — persis penimbangan pedagangnya dengan $64$ anak timbangan. Bilangan terkecil yang dapat disimpan adalah $0$ (semua petaknya bernilai $0$ ); yang terbesar adalah jumlah semua pangkatnya, yaitu total milik rajanya: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (Bagian I). Menurut penalaran pilihan yang terpaksa, setiap bilangan bulat di antaranya tercapai tepat sekali: mesin $64$ -bit menyimpan persis bilangan bulat dari $0$ sampai $2^{64} - 1$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Pangkat

Lihat semua 395 istilah di glosarium