Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

69Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku, begitu kamu mengetahui satu sudut lancipnya, bentuk segitiganya sudah tertentu — hanya ukurannya yang dapat berubah. Karena itu perbandingan sisinya hanya bergantung pada sudutnya: perbandingan itulah kosinus, sinus dan tangen. Bersama teorema Pythagoras, ketiganya memungkinkanmu menghitung setiap sisi dan setiap sudut segitiga siku-siku dari keterangan yang sangat sedikit.

69.1 Teorema Pythagoras, sekali lagi

Teorema 69.1 (Pythagoras)

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $A$ , kuadrat sisi miringnya adalah jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Sebaliknya, kalau $BC^2 = AB^2 + AC^2$ pada sebuah segitiga, maka segitiganya siku-siku di $A$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 69.2

Sebuah segitiga siku-siku punya sisi siku-siku $AB = 5$ dan $AC = 12$ . Maka

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{jadi}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Untuk mencari sebuah sisi siku-siku: kalau $BC = 10$ dan $AB = 6$ , maka $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , jadi $AC = 8$ .

69.2 Kosinus, sinus, tangen

Pada segitiga siku-siku, terhadap sudut lancip $\theta$ , ketiga sisinya punya nama: sisi miring (yang di seberang sudut siku-sikunya, yaitu sisi terpanjang), sisi depan $\theta$ , dan sisi samping $\theta$ (yaitu sisi siku-siku yang menyentuh $\theta$ ).

Definisi 69.3 (Perbandingan trigonometri)

Untuk sudut lancip $\theta$ pada segitiga siku-siku:

\cos\theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} .

Perbandingan ini hanya bergantung pada $\theta$ , bukan pada besar segitiganya (semua segitiga siku-siku dengan sudut lancip yang sama adalah hasil penskalaan satu sama lain, menurut Thales).

Ketiga sisinya dilihat dari sudut = B: sisi miringnya [BC], sisi sampingnya [BA], sisi depannya [AC]. — Ketiga sisinya dilihat dari sudut $\theta = \widehat B$ : sisi miringnya $[BC]$ , sisi sampingnya $[BA]$ , sisi depannya $[AC]$ .

Proposisi 69.4 (Sifat pertamanya)

Untuk setiap sudut lancip $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ dan $0 < \sin\theta < 1$ (sisi siku-siku lebih pendek daripada sisi miringnya);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Bukti. Tulislah $a$ untuk sisi sampingnya, $o$ untuk sisi depannya, $h$ untuk sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$ .

1. Berlaku $0 < a < h$ dan $0 < o < h$ , jadi kedua perbandingannya benar-benar antara $0$ dan $1$ .

2. Menurut Pythagoras, $a^2 + o^2 = h^2$ . Bagilah semuanya dengan $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Metode 69.5 (Mencari sebuah sisi)

Untuk menghitung sisi yang belum diketahui ketika satu sisi dan satu sudut lancipnya diketahui:

tandai sudut yang diketahui lalu namai ketiga sisinya (miring, depan, samping) dari sudut itu;
pilihlah perbandingannya (cos, sin atau tan) yang memuat sisi yang diketahui dan sisi yang dicari;
tulislah persamaannya lalu selesaikan;
periksalah dengan akal sehat: sisi miringnya harus keluar sebagai yang terpanjang.

Contoh 69.6

Pada sebuah segitiga siku-siku, sisi miringnya berukuran $8$ dan satu sudutnya $35^\circ$ ; hitunglah sisi depannya. Perbandingan yang memuat sisi depan dan sisi miringnya adalah sinusnya:

\sin 35^\circ = \frac{\text{depan}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{depan} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Untuk sisi sampingnya, pakailah kosinusnya: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Periksalah dengan Pythagoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Metode 69.7 (Mencari sebuah sudut)

Ketika dua sisinya diketahui, hitunglah perbandingan yang dibentuk keduanya, kenalilah perbandingan itu sebagai kosinus, sinus atau tangen sudut yang belum diketahui, lalu terapkan fungsi kebalikan pada kalkulatornya ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ atau $\tan^{-1}$ ) terhadap perbandingan itu.

Contoh 69.8

Sebuah tangga sepanjang $5$ m bersandar pada tembok, kakinya $1.4$ m dari temboknya. Sudut $\theta$ antara tangganya dan tanah memenuhi

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{jadi}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

Soal tangganya: sisi sampingnya (1.4 m) dan sisi miringnya (5 m) diketahui, jadi kosinusnya memberi sudutnya. — Soal tangganya: sisi sampingnya ( $1.4$ m) dan sisi miringnya ( $5$ m) diketahui, jadi kosinusnya memberi sudutnya.

Contoh 69.9 (Sudut istimewa)

Dua segitiga memberi nilai yang persis. Setengah persegi bersisi 1 (yaitu segitiga sama kaki siku-siku) punya sisi miring $\sqrt2$ dan sudut $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

Setengah segitiga sama sisi bersisi 1 memberi sudut $30^\circ$ dan $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Latihan

Latihan 69.1 ★

Sebuah segitiga siku-siku punya sisi siku-siku $9$ dan $12$ . Hitunglah sisi miringnya. Segitiga lain punya sisi miring $17$ dan satu sisi siku-siku $8$ : hitunglah sisi siku-siku yang lain.

Solusi

Solusi Latihan 69.1.

Sisi miringnya: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Sisi siku-siku yang lain: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Latihan 69.2 ★

Sebuah segitiga punya sisi $7$ , $24$ dan $25$ . Apakah ia siku-siku? Pertanyaan yang sama untuk sisi $5$ , $6$ dan $8$ .

Solusi

Solusi Latihan 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : ya, siku-siku (menurut konvers Pythagoras), dengan sudut siku-sikunya di seberang sisi $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : bukan siku-siku.

Latihan 69.3 ★

Pada segitiga $DEF$ yang siku-siku di $D$ , dengan sudut di $E$ ditulis $\theta$ : sisi yang mana yang menjadi sisi miringnya? Sisi yang mana yang menjadi sisi depan $\theta$ ? Tulislah $\cos\theta$ , $\sin\theta$ dan $\tan\theta$ sebagai perbandingan sisi $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solusi

Solusi Latihan 69.3.

Sisi miringnya adalah $[EF]$ (yang di seberang sudut siku-siku di $D$ ). Sisi depan $\theta = \widehat E$ adalah $[DF]$ ; sisi sampingnya adalah $[DE]$ . Karena itu

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Latihan 69.4 ★

Pada sebuah segitiga siku-siku, sisi miringnya berukuran $10$ dan satu sudut lancipnya $28^\circ$ . Hitunglah kedua sisi siku-sikunya (bulatkan ke persepuluhan; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solusi

Solusi Latihan 69.4.

Sisi depannya: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Sisi sampingnya: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Periksa: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Latihan 69.5 ★

Pada sebuah segitiga siku-siku, sisi siku-siku samping sudut $\theta$ berukuran $6$ dan sisi depannya berukuran $4.5$ . Hitunglah $\tan\theta$ , lalu $\theta$ (bulatkan ke derajat; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solusi

Solusi Latihan 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , jadi $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Latihan 69.6 ★★

Sebuah drone terbang pada ketinggian $120$ m. Dari seorang pengamat di tanah, drone itu terlihat pada sudut elevasi $32^\circ$ . Pada jarak mendatar berapa dari pengamatnya drone itu berada ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Solusi

Solusi Latihan 69.6.

Pada segitiga siku-siku yang dibentuk pengamatnya, titik di tanah di bawah dronenya, dan dronenya: ketinggian $120$ m adalah sisi depan sudut elevasinya, dan jarak mendatar $d$ adalah sisi sampingnya. Jadi

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Latihan 69.7 ★★

Sebuah jalur landai harus naik $1.2$ m dengan sudut paling besar $5^\circ$ terhadap arah mendatar. Berapa panjang terkecil sepanjang kemiringannya yang harus dipunyai jalur itu ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Bulatkan ke atas sampai persepuluhan meter terdekat.

Solusi

Solusi Latihan 69.7.

Kenaikannya ( $1.2$ m) adalah sisi depan sudutnya; panjang jalur landainya $L$ adalah sisi miringnya:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

Jalur landainya harus sepanjang sedikitnya $13.8$ m.

Latihan 69.8 ★★

Dengan memakai Proposisi 69.4: sudut lancip $\theta$ memenuhi $\cos\theta = 0.6$ . Hitunglah $\sin\theta$ tanpa mencari $\theta$ , lalu $\tan\theta$ .

Solusi

Solusi Latihan 69.8.

Dari $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , dan $\sin\theta > 0$ untuk sudut lancip, jadi $\sin\theta = 0.8$ . Lalu $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Latihan 69.9 ★★★

Berilah alasan untuk nilai persis pada Contoh 69.9: pada segitiga sama kaki siku-siku dengan sisi siku-siku $1$ , hitunglah sisi miringnya; pada segitiga sama sisi bersisi $1$ , hitunglah tingginya, lalu simpulkan kosinus dan sinus $30^\circ$ dan $60^\circ$ .

Solusi

Solusi Latihan 69.9.

Segitiga sama kaki siku-siku dengan sisi siku-siku $1$ : sisi miringnya $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; tiap sudut lancipnya $45^\circ$ , dan

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Segitiga sama sisi bersisi $1$ : tingginya membelahnya menjadi dua segitiga siku-siku dengan sisi miring $1$ , alas $\frac12$ , dan tinggi $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (menurut Pythagoras). Sudutnya adalah $60^\circ$ (di alasnya) dan $30^\circ$ (di puncaknya). Dengan membaca perbandingannya:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Soal: Mengukur yang tidak dapat kamu jangkau

Soal 69.1

Soal akhir pekan — cara dua stasiun milik juru ukur untuk tinggi yang tidak terjangkau, kemiringan jalan, jarak ke kaki langit, dan perlombaan tangen menuju tak berhingga

Tidak ada meteran yang mencapai puncak gunung, puncak menara di seberang sungai, atau kaki langit di laut — tetapi alat ukur sudut dan ketiga perbandingan bab ini dapat. Pusat soal ini adalah cara dua stasiun yang klasik milik para juru ukur, yang menghitung sebuah tinggi tanpa pernah mendekati alasnya; di sekelilingnya: rambu jalan, tangga, anak tangga, kelengkungan Bumi, dan sekilas pertama sebuah fungsi yang meledak ke tak berhingga.

Bagian I — Satu stasiun. (Nilainya: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

Dari sebuah titik $60$ m dari kaki sebuah mercusuar, puncaknya terlihat pada elevasi $35^\circ$ (yang diukur dari arah mendatar, setinggi mata). Berapa tinggi puncaknya di atas ketinggian mata?
Sebuah rambu jalan mengumumkan kemiringan $12\,\%$ : jalannya naik $12$ m tiap $100$ m jarak mendatar. Sudut berapa yang dibentuk jalannya terhadap arah mendatar? Dan berapa persen kemiringan yang akan dipunyai jalan bersudut $45^\circ$ ?
Kedua sudut lancip segitiga siku-siku saling berpenyiku, dan sisi depan yang satu adalah sisi samping yang lain. Simpulkan kesamaan “ko”-nya:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
Tangga sepanjang $8$ m bersandar pada $60^\circ$ terhadap tanah. Dengan memakai nilai persis pada Contoh 69.9, sebutkan tinggi yang tercapai dan jarak kakinya dari temboknya — secara persis, lalu sampai sentimeter.
Periksalah $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ secara angka untuk $\theta = 35^\circ$ dan secara persis untuk $\theta = 60^\circ$ . Mengapa kesamaan ini (Proposisi 69.4) menjadi kebiasaan yang baik untuk memeriksa pekerjaan kalkulator?

Bagian II — Dua stasiun. Puncak sebuah gunung terlihat, tetapi kakinya tidak terjangkau. Dari sebuah titik $A$ , elevasi puncaknya $30^\circ$ ; sesudah berjalan $200$ m lurus menuju gunungnya, ke $B$ , elevasinya menjadi $40^\circ$ . Tulislah $h$ untuk tinggi puncaknya di atas ketinggian mata dan $x$ untuk jarak mendatar dari $B$ ke garis tegak lurus puncaknya. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

Nyatakan $\tan 40^\circ$ dan $\tan 30^\circ$ memakai $h$ , $x$ dan $x + 200$ : yaitu dua persamaan untuk dua yang belum diketahui.
Dari tiap persamaannya nyatakan jarak mendatarnya dalam $h$ , kurangkan, lalu turunkan rumus dua stasiunnya:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

Hitunglah $h$ sampai puluhan meter terdekat.
Hitunglah $x$ juga, lalu periksalah kedua jawabanmu dengan akal sehat terhadap pembidikan $30^\circ$ dari $A$ .
Dalam satu kalimat: mengapa cara dua stasiunnya sangat diperlukan — pengukuran tunggal apa, yang mustahil di sini, yang akan dituntut cara satu stasiun pada pertanyaan 1?
Sebuah menara dibidik pada $30^\circ$ , lalu pada $60^\circ$ sesudah berjalan $200$ m menujunya. Dengan memakai $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ dan $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , hitunglah tingginya secara persis — jawabannya kelipatan $\sqrt3$ — lalu sampai meter.

Bagian III — Ke kaki langit dan naik tembok.

Seberapa jauh kaki langit? Ketika berdiri dengan mata $h$ meter di atas Bumi yang berbentuk bola berjari-jari $R$ , garis pandangmu menyerempet bolanya: garis pandangnya, jari-jari ke titik serempetnya dan jari-jari ke kakimu membentuk segitiga siku-siku. Tunjukkan dengan Pythagoras (Teorema 69.1) bahwa jarak $d$ ke kaki langit memenuhi $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , lalu hitunglah $d$ untuk mata pada $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
Pertanyaan yang sama dari puncak menara $324$ m. (Patokan kasar para pelaut: kaki langit dalam kilometer kira-kira $3.6\sqrt{h}$ dengan $h$ dalam meter — periksalah kedua jawabanmu terhadapnya.)
Ibu jarimu, yang lebarnya kira-kira $2$ cm, ditahan sejauh lengan, kira-kira $60$ cm dari matamu: sudut berapa yang ditutupinya? Bulan purnama menutupi kira-kira $0.5^\circ$ : berapa bagian ibu jarimu yang menyembunyikan seluruh Bulan?
Tangga yang nyaman punya tinggi anak tangga $17$ cm dan lebar pijakan $29$ cm. Sudut berapa yang didakinya? Bandingkan dengan $30^\circ$ pada Contoh 69.9, dan dengan tangga loteng yang curam pada $60^\circ$ : tinggi anak tangga berapa yang diperlukannya pada pijakan $29$ cm?
Perlombaan tangennya: hitunglah (dengan kalkulator) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . Apa yang terjadi ketika sudutnya mendekati $90^\circ$ , dan mengapa (pikirkan sisi sampingnya)? Temboknya tegak, perbandingannya tidak punya nilai, dan grafiknya melesat ke tak berhingga — itulah asimtot pertamamu, makhluk yang dipelajari dengan saksama di buku Sekolah Menengah.

Solusi

Solusi Soal 69.1.

1. Tinggi di atas ketinggian mata adalah sisi depan $35^\circ$ , dengan sisi samping $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ memberi $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — curam untuk sebuah jalan, namun sudutnya sederhana. Jalan bersudut $45^\circ$ punya $\tan 45^\circ = 1$ : yaitu kemiringan $100\,\%$ . (“Seratus persen” jauh dari tegak — salah paham kegemaran di kereta gantung ski.)

3. Pada segitiga siku-siku dengan sudut lancip $\theta$ dan $90^\circ - \theta$ , sisi depan yang satu adalah sisi samping yang lain dan sisi miringnya dipakai bersama. Jadi $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{sisi depannya}}{h} = \frac{\text{sisi samping }\theta}{h} = \cos\theta$ , dan secara simetris $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : yaitu kosinus adalah sinus komplemennya.

4. Tingginya: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Kakinya: $8 \cos 60^\circ = 4$ m persis.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (sampai pembulatannya); dan $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Pasangan nilai mana pun yang gagal memenuhi kesamaannya mengkhianati bacaan yang salah atau kalkulator dalam mode yang salah — pendeteksi galat yang gratis.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ dan $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ dan $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; dengan mengurangkannya, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , sehingga muncul rumusnya. Angkanya: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , dengan selisih $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Periksa dari $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : jadi cocok.

9. Cara satu stasiun memerlukan jarak mendatar ke titik yang tepat di bawah puncaknya — yang tidak terukur di seberang jurang atau di dalam sebuah gunung. Cara dua stasiun menggantinya dengan jarak yang dapat kamu langkahi sendiri: yaitu $200$ m antara kedua titik pandangmu sendiri.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — yaitu lantai kedua Menara Eiffel, yang terukur dengan dua pembidikan dan sekali berjalan kaki.

11. Garis pandangnya $d$ , jari-jarinya $R$ (ke titik serempetnya, tegak lurus terhadap garis pandangnya) dan $R + h$ (ke matanya): Pythagoras memberi $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , jadi $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ sangat kecil terhadap $R$ ). Mata pada $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — jadi kaki langit di laut hanya lima kilometer jauhnya.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km. Patokan para pelaut: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km dan $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — keduanya cocok.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ memberi $\theta \approx 1.9^\circ$ . Bulan yang $0.5^\circ$ itu kira-kira seperempat ibu jari: Bulan tampak raksasa padahal disembunyikan sebuah kuku — mata adalah busur derajat yang buruk.

14. Tangganya: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — jadi tangga yang nyaman mendaki hampir persis pada $30^\circ$ milik nilai istimewanya. Pada $60^\circ$ dengan pijakan $29$ cm, tinggi anak tangganya akan $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm: itu tangga naik, bukan tangga rumah.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Ketika $\theta \to 90^\circ$ , sisi sampingnya mengerut menjadi tiada sedangkan sisi depannya tetap bertahan: jadi hasil baginya tumbuh melampaui setiap batas. Pada $90^\circ$ persis tidak ada segitiganya dan tidak ada nilainya — grafik tangennya mendaki asimtot tegak, yang pertama dari banyak asimtot di buku Sekolah Menengah.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Perbandingan trigonometri

Lihat semua 395 istilah di glosarium