Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

42Simetri Sumbu

Lipatlah selembar kertas sepanjang sebuah garis: setiap titik mendarat di titik yang lain, yaitu bayangan cerminnya. Lipatan ini adalah simetri sumbu (atau pencerminan), transformasi geometri yang pertama dalam buku ini — yang kedua, simetri pusat, menyusul pada Bab 52.

42.1 Pencerminan

Definisi 42.1 (Titik bayangan)

Misalkan $d$ sebuah garis. Bayangan titik $M$ terhadap $d$ adalah titik $M'$ sedemikian sehingga $d$ menjadi garis sumbu $[MM']$ : ruas garis $[MM']$ tegak lurus terhadap $d$ , dan $d$ memotongnya di titik tengahnya. Titik yang terletak pada $d$ adalah bayangannya sendiri.

Pencerminan terhadap garis d: sumbunya tegak lurus terhadap [MM'] dan melalui titik tengahnya (tanda garis yang sama). Titik P pada sumbunya tidak berpindah. — Pencerminan terhadap garis $d$ : sumbunya tegak lurus terhadap $[MM']$ dan melalui titik tengahnya (tanda garis yang sama). Titik $P$ pada sumbunya tidak berpindah.

Metode 42.2 (Melukis titik bayangan)

Untuk melukis bayangan $M'$ dari titik $M$ terhadap garis $d$ :

gambarlah garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $M$ (dengan penggaris siku); sebutlah $H$ titik potongnya dengan $d$ ;
ukurlah $MH$ dengan jangka atau penggaris;
letakkan $M'$ pada garis tegak lurus yang sama, di sisi lain $d$ , dengan $HM' = MH$ .

Di kertas berpetak caranya lebih cepat: bilanglah petak dari $M$ ke sumbunya, lalu bilanglah sebanyak itu juga di sisi yang lain.

Contoh 42.3 (Di kertas berpetak)

Kalau sumbunya garis petak yang tegak dan $M$ berada $3$ petak di sebelah kirinya, maka $M'$ berada $3$ petak di sebelah kanannya, pada baris yang sama. Untuk sumbu yang miring, pembilangannya berjalan sepanjang diagonal — selalu tegak lurus terhadap sumbunya.

Sebuah gambar dan pencerminannya terhadap sumbu tegak: setiap titik sudut dicerminkan petak demi petak, dan kiri serta kanannya bertukar.

Proposisi 42.4 (Apa yang dipertahankan pencerminan)

Bayangan sebuah gambar terhadap sebuah garis adalah gambar dengan bentuk dan ukuran yang sama: panjang, sudut, keliling dan luas semuanya dipertahankan. Bayangan ruas garis adalah ruas garis, bayangan lingkaran adalah lingkaran dengan jari-jari yang sama, dan bayangan garis adalah garis.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 42.5

Satu hal tidak dipertahankan: arah hadapnya. Huruf “b” yang dicerminkan menjadi “d” — tulisan cermin. Kalau menjiplak gambarmu lalu membalik kertas kalkirnya menghasilkan bayangan itu, pencerminanmu benar.

42.2 Sumbu simetri sebuah gambar

Definisi 42.6 (Sumbu simetri)

Sebuah garis $d$ disebut sumbu simetri sebuah gambar jika pencerminan terhadap $d$ mengirim gambar itu tepat ke dirinya sendiri — melipat sepanjang $d$ membuat kedua paruhnya berimpit.

Sumbu simetri bangun yang biasa dikenal. Hati-hati dengan persegi panjang: diagonalnya bukan sumbu simetri (lipatlah sepanjang diagonalnya — kedua paruhnya tidak berimpit kecuali kalau ia persegi). — Sumbu simetri bangun yang biasa dikenal. Hati-hati dengan persegi panjang: diagonalnya *bukan* sumbu simetri (lipatlah sepanjang diagonalnya — kedua paruhnya tidak berimpit kecuali kalau ia persegi).

Contoh 42.7

Membilang sumbu simetri:

segitiga sama kaki: $1$ (melalui titik sudut puncak dan tengah alasnya); segitiga sama sisi: $3$ ;
persegi panjang: $2$ (kedua “garis tengahnya”, bukan diagonalnya); belah ketupat: $2$ (yaitu diagonalnya!); persegi: $4$ ;
lingkaran: setiap garis yang melalui pusatnya — tak hingga banyaknya.

Contoh 42.8 (Simetri membuktikan kesamaan)

Mengapa kedua sudut alas segitiga sama kaki sama besar? Lipatlah segitiga itu sepanjang sumbu simetrinya: paruh kirinya mendarat tepat pada paruh kanannya, jadi sudut alas kiri mendarat pada sudut alas kanan — keduanya pasti berukuran sama (Proposisi 42.4: pencerminan mempertahankan sudut).

42.3 Garis sumbu

Definisi 42.9 (Garis sumbu)

Garis sumbu sebuah ruas garis $[AB]$ adalah garis yang tegak lurus terhadap $[AB]$ dan melalui titik tengahnya — ia adalah sumbu simetri yang mempertukarkan $A$ dan $B$ .

Proposisi 42.10 (Berjarak sama)

Sebuah titik $M$ terletak pada garis sumbu $[AB]$ tepat ketika ia berjarak sama dari $A$ dan dari $B$ : $MA = MB$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 42.11 (Lukisan dengan jangka)

Untuk menggambar garis sumbu $[AB]$ tanpa mengukur:

bukalah jangka lebih dari setengah $AB$ ;
gambarlah dua busur berpusat di $A$ , di atas dan di bawah ruas garisnya;
dengan bukaan yang sama, gambarlah dua busur berpusat di $B$ ;
hubungkan kedua titik potongnya: garis inilah garis sumbunya (setiap titik potong berjarak sama dari $A$ dan $B$ ).

42.4 Latihan

Latihan 42.1 ★

Salinlah di kertas berpetak: sumbu tegak $d$ , titik $A$ dua petak di sebelah kirinya, titik $B$ lima petak di sebelah kirinya dan satu petak lebih tinggi. Lukislah titik bayangan $A'$ dan $B'$ terhadap $d$ .

Solusi

Solusi Latihan 42.1.

$A'$ berada dua petak di sebelah kanan $d$ , pada baris yang sama dengan $A$ ; $B'$ berada lima petak di sebelah kanan, satu petak lebih tinggi — letak yang tercermin.

Latihan 42.2 ★

Gambarlah sebuah garis $d$ dan titik $M$ berjarak $3$ cm dari $d$ (bukan di kertas berpetak). Lukislah bayangan $M'$ dari $M$ terhadap $d$ dengan penggaris siku dan penggaris, mengikuti Metode 42.2. Berapa jarak antara $M$ dan $M'$ ?

Solusi

Solusi Latihan 42.2.

Garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $M$ , dengan kaki $H$ ; lalu $M'$ di sisi yang lain dengan $HM' = MH = 3$ cm. Jarak $MM'$ adalah $3 + 3 = 6$ cm.

Latihan 42.3 ★

Huruf kapital mana dalam abjad, yang ditulis dalam bentuknya yang paling sederhana, yang punya sumbu simetri tegak (seperti A)? Yang mendatar (seperti B)? Keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 42.3.

Sumbu tegak (seperti A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Sumbu mendatar (seperti B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Keduanya: H, I, O, X. (Jawaban persisnya sedikit bergantung pada cara hurufnya digambar.)

Latihan 42.4 ★

Berapa sumbu simetri yang dipunyai: segitiga sama sisi? persegi panjang (yang bukan persegi)? belah ketupat (yang bukan persegi)? persegi? lingkaran? Gambarlah setiap bangun beserta sumbunya.

Solusi

Solusi Latihan 42.4.

Segitiga sama sisi: $3$ sumbu. Persegi panjang: $2$ (garis sumbu sisi-sisinya). Belah ketupat: $2$ (yaitu diagonalnya). Persegi: $4$ . Lingkaran: tak hingga banyaknya (setiap garis yang melalui pusatnya).

Latihan 42.5 ★

Benar atau salah? “Diagonal sebuah persegi panjang adalah sumbu simetri persegi panjang itu.” Jelaskan dengan alasan lipatan atau dengan gambar.

Solusi

Solusi Latihan 42.5.

Salah. Melipat persegi panjang (yang bukan persegi) sepanjang diagonalnya tidak membuat kedua paruhnya berimpit: kedua segitiganya punya bentuk yang sama tetapi duduk berbeda — cobalah dengan selembar kertas. Hanya pada persegi diagonalnya berlaku sebagai sumbu.

Latihan 42.6 ★

Segitiga $ABC$ dicerminkan terhadap garis $d$ menjadi $A'B'C'$ . Diketahui $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ dan keliling $ABC$ adalah $12$ cm: sebutkan, tanpa melukis apa pun, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ dan keliling $A'B'C'$ .

Solusi

Solusi Latihan 42.6.

Pencerminan mempertahankan panjang, sudut dan keliling (Proposisi 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , keliling $A'B'C' = 12$ cm.

Latihan 42.7 ★

Gambarlah ruas garis $[AB]$ sepanjang $7$ cm lalu lukislah garis sumbunya dengan jangka (Metode 42.11). Pilihlah sembarang titik $M$ padanya lalu periksalah dengan penggaris bahwa $MA = MB$ .

Solusi

Solusi Latihan 42.7.

Lukisan dengan jangka seperti pada Metode 42.11. Untuk sembarang $M$ pada garis itu, penggaris membenarkan $MA = MB$ (Proposisi 42.10).

Latihan 42.8 ★★

Dua pohon berdiri di titik $A$ dan $B$ sebuah kebun yang datar. Di mana air mancur dapat ditanam agar berjarak sama dari kedua pohon itu? Jelaskan semua tempat yang mungkin.

Solusi

Solusi Latihan 42.8.

Semua titik yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ membentuk garis sumbu $[AB]$ (Proposisi 42.10). Air mancurnya dapat diletakkan di mana pun pada garis itu (selama masih di dalam kebun).

Latihan 42.9 ★★

Di kertas berpetak, gambarlah sumbu $d$ (diagonal petak pada $45^\circ$ ) dan sebuah gambar kecil berbentuk L di salah satu sisinya. Lukislah gambar bayangannya terhadap $d$ . (Cerminkan setiap titik sudut: untuk sumbu $45^\circ$ , titik yang berjarak $2$ petak di kanan sumbu mendarat $2$ petak di atasnya.)

Solusi

Solusi Latihan 42.9.

Setiap titik sudut dicerminkan tegak lurus terhadap sumbunya: untuk sumbu $45^\circ$ , titik yang berjarak $k$ petak di kanan sumbu mendarat $k$ petak di atasnya (dan sebaliknya) — pergeseran mendatar dan tegaknya bertukar. Cerminkan titik sudutnya satu per satu, lalu hubungkan berurutan.

Latihan 42.10 ★★

Gambarlah lingkaran berpusat $O$ , garis $d$ yang melalui $O$ , dan titik $M$ pada lingkaran. Di mana bayangan $M$ terhadap $d$ ? Jelaskan mengapa pencerminan itu mengirim lingkarannya ke dirinya sendiri.

Solusi

Solusi Latihan 42.10.

Bayangan $M$ adalah titik potong kedua lingkaran itu dengan garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $M$ — ia terletak pada lingkaran. Alasannya: pencerminan mempertahankan jarak dan membiarkan $O$ (yang terletak pada $d$ ) tetap di tempatnya, jadi bayangan setiap titik yang berjarak $r$ dari $O$ tetap berjarak $r$ dari $O$ : lingkarannya terpetakan ke dirinya sendiri.

Latihan 42.11 ★★

Dengan memakai sifat berjarak sama (Proposisi 42.10), jelaskan mengapa kedua titik potong busur pada Metode 42.11 benar-benar terletak pada garis sumbu $[AB]$ .

Solusi

Solusi Latihan 42.11.

Setiap titik potong $P$ digambar dengan bukaan jangka yang sama $\rho$ dari $A$ dan dari $B$ : jadi $PA = \rho = PB$ . Menurut Proposisi 42.10, titik yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ terletak pada garis sumbu $[AB]$ ; dua titik semacam itu menentukan garisnya.

Latihan 42.12 ★★★

Sebuah bola bilyar di titik $A$ harus memantul pada dinding lurus $d$ lalu mencapai titik $B$ (keduanya di sisi dinding yang sama). Cerminkan $B$ terhadap $d$ menjadi $B'$ , lalu gambarlah ruas garis $[AB']$ . Jelaskan mengapa titik pantul yang terbaik adalah tempat $[AB']$ memotong dindingnya. (Gagasannya: jalur $A \to P \to B$ sama panjang dengan $A \to P \to B'$ .)

Solusi

Solusi Latihan 42.12.

Untuk sembarang titik pantul $P$ pada dinding, $PB = PB'$ (pencerminan terhadap $d$ mempertahankan jarak), jadi panjang jalurnya $AP + PB = AP + PB'$ . Garis patah $A \to P \to B'$ paling pendek ketika ia lurus, yaitu ketika $P$ terletak pada ruas garis $[AB']$ . Jadi titik pantul terbaik adalah perpotongan $[AB']$ dengan dindingnya.

42.5 Soal: Air mancur, piring yang pecah, dan cermin yang berjalan

Soal 42.1

Soal akhir pekan — ketiga garis sumbu sebuah segitiga bertemu di satu titik: lingkaran melalui tiga titik, dan apa yang dikerjakan dua cermin bersama-sama

Pada Latihan 42.8 sebuah air mancur harus berdiri berjarak sama dari dua pohon, dan jawabannya adalah satu garis penuh berisi tempat. Soal ini menanam pohon yang ketiga — dan seluruh garis itu mengerut menjadi satu titik yang tertentu sempurna. Titik itu menyembunyikan harta karun geometri: ia memungkinkanmu menggambar satu-satunya lingkaran yang melalui tiga titik yang diberikan, membangun kembali seluruh piring dari sekeping pecahan, dan ia dimiliki setiap segitiga. Bagian terakhirnya melakukan percobaan dengan dua cermin yang hasilnya mengumumkan geometri tahun depan.

Bagian I — Dua pohon, lalu peta wilayah.

Gambarlah dua titik $A$ dan $B$ dengan $AB = 6$ cm lalu lukislah garis sumbu $[AB]$ dengan jangka (Metode 42.11). Pilihlah sebuah titik $M$ padanya lalu periksalah dengan penggaris bahwa $MA = MB$ .
Proposisi 42.10 mengatakan dua hal sekaligus: setiap titik pada garis sumbunya berjarak sama dari $A$ dan $B$ , dan setiap titik yang berjarak sama terletak pada garis sumbu itu. Yang mana di antara keduanya yang menjawab pertanyaan air mancur pada Latihan 42.8? Apa yang dikatakan proposisi itu tentang titik yang tidak pada garis sumbunya?
Ambillah titik $M$ di sisi garis sumbu yang sama dengan $A$ . Ruas garis $[MB]$ memotong garis sumbu itu di titik $P$ . Bandingkan jalur $M \to P \to B$ dengan jalur $M \to P \to A$ , lalu jelaskan mengapa $M$ lebih dekat ke $A$ daripada ke $B$ : garis sumbunya membelah kertas menjadi “sisi $A$ ” dan “sisi $B$ ”.
Dua sekolah $A$ dan $B$ melayani sebuah kota. Setiap anak berjalan ke sekolah yang lebih dekat. Gambarlah peta kecil dengan $A$ dan $B$ , lalu warnailah daerah kota yang tepat dilayani sekolah $A$ . Garis apa yang menjadi batasnya?
Sekolah ketiga $C$ dibuka (letakkan agar ketiga sekolahnya membentuk segitiga). Lukislah garis sumbu $[AB]$ dan garis sumbu $[BC]$ , lalu sebutlah $O$ titik potongnya. Dua kesamaan jarak apa yang dipenuhi $O$ , dan mengapa?

Bagian II — Tiga pohon, satu titik, satu lingkaran.

Simpulkan dari pertanyaan 5 bahwa $OA = OC$ — dan karena itu $O$ juga terletak pada garis sumbu $[AC]$ , yang tidak pernah kamu gambar. Simpulkan: ketiga garis sumbu sisi sebuah segitiga semuanya melalui satu titik.
Jelaskan mengapa lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $OA$ juga melalui $B$ dan melalui $C$ : itulah satu-satunya lingkaran yang melalui ketiga titik itu — lingkaran luar segitiga $ABC$ .
Lukislah segitiga dengan sisi $6$ cm, $5$ cm dan $4$ cm (Metode 41.2), lalu lingkaran luarnya. Mengapa cukup menggambar dua garis sumbu saja untuk menemukan pusatnya?
Piring yang pecah: seorang arkeolog menggali sekeping pecahan yang bagian utuhnya hanya sepotong tepi lingkaran piring itu. Jelaskan resep yang memulihkan pusat dan jari-jari piring aslinya — lalu ujilah: gambarlah busur lingkaran dengan jangkamu, “lupakan” pusatnya, tandailah tiga titik pada busurnya, lalu bangunlah kembali.
Mungkinkah tiga titik sama sekali tidak punya lingkaran yang melaluinya? Andaikan $A$ , $B$ , $C$ segaris. Apa yang dapat dikatakan tentang garis sumbu $[AB]$ dan garis sumbu $[BC]$ (Proposisi 40.3)? Simpulkan.

Bagian III — Sumbu di mana-mana, dan cermin yang berjalan.

Contoh 42.7 membilang $3$ sumbu untuk segitiga sama sisi dan $4$ untuk persegi. Terkalah hitungannya untuk segi lima beraturan dan segi enam beraturan, lalu jelaskan di mana sumbunya lewat pada tiap keadaan (banyak sisi yang ganjil melawan yang genap: kedua keadaannya berbeda).
Lipatlah selembar kertas sekali lalu guntinglah sebuah bentuk menembus kedua lapisannya; bukalah lipatannya. Mengapa lubangnya selalu punya sumbu simetri, apa pun yang kamu gunting, dan garis mana yang menjadi sumbunya?
Lipatlah kertasnya dua kali — lipatan kedua tegak lurus terhadap yang pertama — guntinglah, lalu bukalah. Berapa sumbu simetri yang paling sedikit dipunyai lubangnya, dan berapa salinan guntinganmu yang kamu lihat? (Kepingan salju kertas adalah gagasan ini yang dilipat lebih jauh.)
Cermin yang berjalan: di kertas berpetak, gambarlah sumbu tegak $d_1$ , sebuah bendera kecil $F$ di sebelah kirinya, dan sumbu tegak kedua $d_2$ , $4$ petak di sebelah kanan $d_1$ . Cerminkan $F$ terhadap $d_1$ (bayangannya $F'$ ), lalu cerminkan $F'$ terhadap $d_2$ (bayangannya $F''$ ). Bandingkan $F$ dan $F''$ : arah hadapnya sama atau tercermin? Berapa petak gambarnya berpindah? Bandingkan dengan jarak antara kedua sumbunya.
Percobaan yang sama dengan $d_2$ tegak lurus terhadap $d_1$ : cerminkan benderanya terhadap sumbu tegak, lalu bayangannya terhadap sumbu mendatar. Jelaskan letak $F''$ terhadap $F$ dan terhadap titik potong kedua sumbunya. (Kamu baru saja menemukan transformasi tahun depan: Bab 52.)

Solusi

Solusi Soal 42.1.

1. Lukisannya seperti pada Metode 42.11; untuk sembarang $M$ pada garis itu, penggaris membenarkan $MA = MB$ (Proposisi 42.10).

2. Pertanyaan air mancurnya memerlukan arah yang kedua: semua titik yang berjarak sama terletak pada garis sumbunya, jadi tempat yang mungkin tepatnya garis itu dan tidak ada yang lain. Dan titik yang tidak pada garis sumbunya karena itu tidak berjarak sama: ia jelas lebih dekat ke salah satu pohonnya.

3. Kedua jalurnya berbagi ruas $[MP]$ , dan $PB = PA$ karena $P$ terletak pada garis sumbunya. Jadi jalur $M \to P \to B$ sama panjang dengan jalur $M \to P \to A$ , yaitu $MP + PA$ . Sekarang $MB$ adalah rute lurus ke $B$ — di sini ia memang jalur lewat $P$ , jadi $MB = MP + PA$ ; dan rute lurus ke $A$ lebih pendek daripada memutar lewat $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Setiap titik di sisi $A$ dari garis sumbunya lebih dekat ke $A$ .

4. Batasnya adalah garis sumbu $[AB]$ : sekolah $A$ tepat melayani paruh kota di sisinya sendiri terhadap garis itu (pertanyaan 3), sekolah $B$ paruh yang lain, dan anak yang tinggal tepat pada garisnya boleh memilih salah satu.

5. $O$ terletak pada garis sumbu $[AB]$ , jadi $OA = OB$ ; dan pada garis sumbu $[BC]$ , jadi $OB = OC$ (Proposisi 42.10).

6. Dari $OA = OB$ dan $OB = OC$ : $OA = OC$ . Menurut arah kedua Proposisi 42.10, titik yang berjarak sama dari $A$ dan $C$ terletak pada garis sumbu $[AC]$ : garis sumbu ketiga melalui $O$ tanpa diminta. Ketiga garis sumbu sisi segitiga mana pun berpotongan di satu titik.

7. Lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $OA$ terdiri atas semua titik yang berjarak $OA$ dari $O$ (Definisi 40.5); karena $OB = OA$ dan $OC = OA$ , titik $B$ dan $C$ terletak padanya. Satu pusat, satu jari-jari, tiga titik terlayani: itulah lingkaran yang melalui $A$ , $B$ dan $C$ .

8. Dua garis sumbu sudah cukup karena yang ketiga otomatis (pertanyaan 6): titik potong keduanya sudah memenuhi ketiga kesamaan jarak itu. Lingkarannya digambar dengan pusat $O$ dan jangka yang dibuka dari $O$ ke salah satu titik sudutnya.

9. Resepnya: tandailah tiga titik $A$ , $B$ , $C$ pada busur yang selamat; gambarlah garis sumbu tali busur $[AB]$ dan $[BC]$ ; titik potongnya adalah pusat piring itu, dan jaraknya ke $A$ adalah jari-jarinya. Cara ini berhasil karena tepi piringnya adalah lingkaran yang melalui ketiga titik yang ditandai — dan pertanyaan 8 mencari satu-satunya lingkaran yang melalui ketiganya. Busur ujinya terbangun kembali dengan tepat.

10. Kalau $A$ , $B$ , $C$ segaris, garis sumbu $[AB]$ dan garis sumbu $[BC]$ sama-sama tegak lurus terhadap garis yang sama $(AB) = (BC)$ — jadi keduanya sejajar satu sama lain (Proposisi 40.3) dan, karena berbeda, tidak pernah berpotongan. Tidak ada titik yang berjarak sama dari ketiganya, dan tidak ada lingkaran yang melalui tiga titik yang segaris.

11. Segi lima beraturan: $5$ sumbu, masing-masing melalui satu titik sudut dan titik tengah sisi di hadapannya (banyaknya ganjil: setiap sumbunya sejenis). Segi enam beraturan: $6$ sumbu — tiga melalui titik sudut yang berhadapan dan tiga melalui titik tengah sisi yang berhadapan (banyaknya genap: dua jenis, separuh-separuh). Polanya: segi banyak beraturan dengan $n$ sisi punya $n$ sumbu.

12. Guntingannya menembus kedua lapisan sekaligus, jadi kedua lapisannya kehilangan potongan yang persis sepadan; membuka lipatannya adalah pencerminan terhadap garis lipatnya, yang mengirim tepi tiap lapisan ke tepi lapisan yang lain. Lubangnya adalah bayangan cerminnya sendiri: garis lipatnya adalah sumbu simetrinya — apa pun yang digunting.

13. Lubang yang sudah dibuka punya sedikitnya $2$ sumbu simetri, yaitu kedua garis lipatnya, dan guntingannya muncul dalam $4$ salinan (setiap kali dibuka gambarnya berlipat dua: $1 \to 2 \to 4$ ). Melipat lebih banyak kali dengan gaya kepingan salju melipatgandakan salinan dan sumbunya lebih jauh lagi.

14. $F''$ punya arah hadap yang sama dengan $F$ (dua pembalikan cermin saling meniadakan), ukuran yang sama dan ketinggian yang sama — ia sekadar $F$ yang digeser ke kanan. Pergeserannya berukuran $8$ petak: tepat dua kali jarak antara kedua sumbunya. Dua cermin yang sejajar bersama-sama sama sekali tidak mencerminkan: keduanya menggeser.

15. $F''$ lagi-lagi berukuran sama, tetapi kini ia tampak terbalik, karena terputar setengah putaran terhadap titik potong kedua sumbunya: setiap titik $F''$ berseberangan diametral dengan titik $F$ yang bersesuaian melalui pusat itu. Dua cermin yang tegak lurus menyusun setengah putaran — yaitu simetri pusat pada Bab 52.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium