Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

34Keliling dan Luas

Kelas 4 membilang petak (Bab 28); bab ini memperoleh rumus luas yang pertama — panjang kali lebar untuk persegi panjang — dan mempelajari satuan cm $^2$ dan m $^2$ . Rumus untuk segitiga dan bangun lain matang pada Bab 43 dan Bab 53.

34.1 Dua ukuran yang berbeda

Contoh 34.1 (Tepi lawan permukaan)

Seorang tukang kebun memerlukan keliling untuk membeli pagar dan luas untuk membeli benih rumput. Keduanya tidak saling mengikuti: menarik persegi panjang menjadi lebih tipis dan lebih panjang dapat mempertahankan luasnya sementara kelilingnya bertambah — bandingkan persegi panjang $6 \times 2$ dan $4 \times 3$ (luasnya sama, $12$ , kelilingnya $16$ dan $14$ ).

34.2 Rumus persegi panjang

Proposisi 34.2 (Luas persegi panjang)

Persegi panjang dengan panjang $L$ dan lebar $w$ (dalam satuan yang sama) punya luas

A = L \times w ,

dalam satuan persegi: cm $^2$ (persegi dengan sisi $1$ cm), m $^2$ (persegi dengan sisi $1$ m), …

Mengapa, dengan membilang. Tutupilah persegi panjang itu dengan persegi satuan: $w$ baris berisi $L$ persegi, jadi seluruhnya $L \times w$ persegi — persis persegi panjang perkalian pada Bab 16. ∎

Tiga baris berisi enam persegi sentimeter: rumus L × w adalah hitungan itu, ditulis sekali untuk selamanya. — Tiga baris berisi enam persegi sentimeter: rumus $L \times w$ adalah hitungan itu, ditulis sekali untuk selamanya.

Contoh 34.3

Sebuah permadani berukuran $2.5$ m kali $2$ m: luasnya $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Sebuah perangko berukuran $3$ cm kali $2.4$ cm: luasnya $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . Rumusnya sama untuk satuan apa pun — asalkan kedua sisinya memakai satuan yang sama.

Contoh 34.4 (Satuan luas berubah dengan seratus)

$1$ m $= 100$ cm, tetapi $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : satu meter persegi adalah petak $100$ kali $100$ sentimeter persegi. Satuan luas melompat dengan ratusan, bukan dengan puluhan.

34.3 Bangun gabungan

Metode 34.5 (Potong, jumlahkan, kurangkan)

Untuk bangun yang tersusun dari persegi panjang (huruf L, huruf T, sebuah bingkai):

potonglah menjadi beberapa persegi panjang, atau lengkapi menjadi satu persegi panjang yang besar;
hitunglah luas tiap persegi panjang dengan rumusnya;
jumlahkan potongannya — atau kurangkan lubangnya dari persegi panjang yang besar tadi;
periksalah dengan membilang petaknya secara kasar.

Contoh 34.6

Sebuah ruangan berbentuk L: persegi panjang $6$ m $\times$ $4$ m dengan pojok $2$ m $\times$ $2$ m yang hilang.

\text{Luas} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

Atau potonglah huruf L itu menjadi jalur $6 \times 2$ dan jalur $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — dua jalan, satu jawaban.

Contoh 34.7 (Setengah persegi panjang)

Memotong sebuah persegi panjang sepanjang diagonalnya memberi dua segitiga yang sama luasnya: masing-masing adalah setengah persegi panjang itu. Segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $6$ cm dan $4$ cm karena itu berluas $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — gambar yang layak diingat untuk Bab 43, tempat ia menjadi sebuah rumus.

Diagonalnya memotong persegi panjang 6 × 4 menjadi dua segitiga yang sama besar, masing-masing 12 petak. — Diagonalnya memotong persegi panjang $6 \times 4$ menjadi dua segitiga yang sama besar, masing-masing $12$ petak.

34.4 Latihan

Latihan 34.1 ★

Hitunglah luas dan keliling persegi panjang $8$ cm $\times$ $5$ cm. Jawaban mana yang dalam cm, mana yang dalam cm $^2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 34.1.

Luas: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Keliling: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Latihan 34.2 ★

Hitunglah luasnya: persegi dengan sisi $9$ cm; persegi panjang $12$ m $\times$ $7$ m; persegi panjang $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Solusi

Solusi Latihan 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Latihan 34.3 ★

Sebuah persegi panjang berluas $63$ cm $^2$ dan panjangnya $9$ cm. Carilah lebarnya, lalu kelilingnya.

Solusi

Solusi Latihan 34.3.

Lebar: $63 \div 9 = 7$ cm. Keliling: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Latihan 34.4 ★

Gambarlah dua persegi panjang berbeda yang luasnya $24$ petak di kertas berpetak, lalu hitunglah kedua kelilingnya. Luasnya sama — kelilingnya sama juga?

Solusi

Solusi Latihan 34.4.

Misalnya $6 \times 4$ (kelilingnya $20$ ) dan $8 \times 3$ (kelilingnya $22$ ): luasnya sama, $24$ , kelilingnya berbeda.

Latihan 34.5 ★

Ubahlah: $3$ m $^2$ menjadi cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ menjadi m $^2$ . (Ingat Contoh 34.4: dengan ratusan!)

Solusi

Solusi Latihan 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Latihan 34.6 ★

Sebuah bangun berbentuk huruf T tersusun dari batang mendatar $8 \times 2$ di atas batang tegak $2 \times 5$ (dalam cm). Hitunglah luasnya dengan menjumlahkan dua persegi panjang.

Solusi

Solusi Latihan 34.6.

Batang mendatar: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; batang tegak: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; seluruhnya $26$ cm $^2$ .

Latihan 34.7 ★

Sebuah bingkai foto: persegi panjang $30$ cm $\times$ $20$ cm dengan jendela persegi panjang $24$ cm $\times$ $14$ cm yang dilubangi. Berapa luas kayu yang dipakai bingkai itu?

Solusi

Solusi Latihan 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ kayu.

Latihan 34.8 ★

Hitunglah luas segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $8$ cm dan $6$ cm (setengah persegi panjang, Contoh 34.7).

Solusi

Solusi Latihan 34.8.

Setengah dari persegi panjang $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Latihan 34.9 ★

Sebuah petak sayur berbentuk persegi panjang berukuran $7$ m kali $4$ m. Benihnya berharga $2$ per meter persegi, dan pagarnya $3$ per meter. Hitunglah biaya benihnya, lalu biaya pagarnya.

Solusi

Solusi Latihan 34.9.

Benih: luasnya $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , biayanya $28 \times 2 = 56$ . Pagar: kelilingnya $2 \times (7 + 4) = 22$ m, biayanya $22 \times 3 = 66$ .

Latihan 34.10 ★★

Lantai sebuah lorong panjangnya $12$ m dan lebarnya $2$ m, dan harus ditutup ubin persegi dengan sisi $50$ cm. Berapa ubin yang diperlukan? (Ubahlah satuannya dulu, atau bilanglah ubinnya ke tiap arah.)

Solusi

Solusi Latihan 34.10.

Dua ubin $50$ cm menjadi satu meter: sepanjang $12$ m ada $24$ ubin; sepanjang lebar $2$ m ada $4$ ubin. Seluruhnya: $24 \times 4 = 96$ ubin.

Latihan 34.11 ★★

Lipatduakan sisi persegi panjang $4$ cm $\times$ $3$ cm. Apa yang terjadi pada kelilingnya? Pada luasnya? (Hitunglah keduanya sebelum dan sesudah — kedua jawabannya berbeda!)

Solusi

Solusi Latihan 34.11.

Sebelumnya: kelilingnya $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, luasnya $12$ cm $^2$ . Sesudahnya (sisi $8$ dan $6$ ): kelilingnya $28$ cm, luasnya $48$ cm $^2$ . Kelilingnya berlipat dua; luasnya dikalikan empat ( $2 \times 2$ ): panjang dan luas tidak berskala dengan cara yang sama.