Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

22Mengalikan Bilangan yang Lebih Besar

Kelas 3 mengalikan dengan satu angka (Bab 16); bab ini mengalikan dengan bilangan dua angka — dan menjelaskan “baris yang bergeser” pada cara bersusun yang misterius itu, yang sebenarnya hanyalah pemecahan menjadi puluhan dan satuan.

22.1 Mengalikan dengan puluhan

Proposisi 22.1 (Kali 10, 20, 300 …)

Mengalikan dengan $10$ menambahkan satu nol, dengan $100$ dua nol. Untuk mengalikan dengan $20$ , kalikan dengan $2$ , lalu dengan $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Begitu pula $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

22.2 Cara bersusun dengan dua angka

Contoh 22.2 (Mengapa barisnya bergeser?)

Untuk menghitung $23 \times 12$ , pecahlah $12$ menjadi $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

Cara bersusun menuliskan tepat kedua hasil kali itu, satu di bawah yang lain — yang kedua bergeser ke kiri karena ia adalah banyaknya puluhan:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(titik itu menandai tempat satuan pada baris yang bergeser, yang sering dibiarkan kosong).

Gambar persegi panjang untuk 23 × 12: empat hasil kali yang mudah, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. Cara bersusun mengelompokkannya menjadi dua baris: 46 (baris “× 2”) dan 230 (baris “× 10”). — Gambar persegi panjang untuk $23 \times 12$ : empat hasil kali yang mudah, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . Cara bersusun mengelompokkannya menjadi dua baris: $46$ (baris “ $\times 2$ ”) dan $230$ (baris “ $\times 10$ ”).

Metode 22.3 (Perkalian bersusun dengan bilangan dua angka)

Untuk menghitung $457 \times 36$ :

baris pertama: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
baris kedua: $457 \times 3$ puluhan $= 1\,371$ puluhan — tulislah $1\,371$ bergeser satu tempat ke kiri;
jumlahkan kedua barisnya: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
taksirlah untuk memeriksa: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Lebih baik: $450 \times 36$ kira-kira $16\,000$ — masuk akal.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Contoh 22.4 (Trik menghitung di kepala)

Pecahlah dengan cara yang ramah: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Pakailah bilangan yang hampir seratus: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Lipatduakan lalu bagi dua: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (membagi dua satu faktor dan melipatduakan faktor yang lain tidak mengubah hasil kalinya).

22.3 Perkalian dalam soal cerita

Contoh 22.5

Sebuah sekolah memesan $28$ kotak berisi $145$ lembar kertas.

Operasinya: $145 \times 28$ .
Taksiran: $150 \times 30 = 4\,500$ , sedikit terlalu besar pada kedua bilangannya.
Bersusun: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ puluhan $= 2\,900$ ; seluruhnya $4\,060$ .
Kalimat: sekolah itu menerima $4\,060$ lembar kertas.

22.4 Latihan

Latihan 22.1 ★

Hitunglah di kepala: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Latihan 22.2 ★

Hitunglah $34 \times 21$ dengan memecahnya seperti pada Contoh 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ), lalu periksa secara bersusun.

Solusi

Solusi Latihan 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; cara bersusun memberi baris yang sama: $34$ dan $680$ .

Latihan 22.3 ★

Hitunglah secara bersusun: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Latihan 22.4 ★

Hitunglah secara bersusun, dengan taksiran lebih dulu: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.4.

$208 \times 34$ : taksiran $200 \times 34 = 6\,800$ ; tepatnya $7\,072$ .

$517 \times 62$ : taksiran $500 \times 60 = 30\,000$ ; tepatnya $32\,054$ .

Latihan 22.5 ★

Hitunglah dengan trik dari Contoh 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (lipatduakan lalu bagi dua — dua kali kalau kamu mau).

Solusi

Solusi Latihan 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (atau sekali lagi: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Latihan 22.6 ★

Sebuah bioskop punya $26$ baris berisi $18$ kursi. Berapa kursi seluruhnya?

Solusi

Solusi Latihan 22.6.

$26 \times 18 = 468$ kursi.

Latihan 22.7 ★

Sebuah truk mengangkut $32$ palet berisi $48$ peti. Berapa peti seluruhnya? Berikan taksirannya dulu, lalu jawaban yang tepat.

Solusi

Solusi Latihan 22.7.

Taksiran: $30 \times 50 = 1\,500$ . Tepatnya: $32 \times 48 = 1\,536$ peti.

Latihan 22.8 ★

Carilah kesalahannya: Ani menghitung $57 \times 23$ sebagai $57 \times 3 = 171$ dan $57 \times 2 = 114$ , lalu menjumlahkannya $171 + 114 = 285$ . Jawaban yang benar adalah $1\,311$ . Apa yang ia lupakan?

Solusi

Solusi Latihan 22.8.

Ia lupa bahwa angka $2$ pada $23$ menghitung puluhan: baris kedua seharusnya $57 \times 20 = 1\,140$ , bukan $114$ . Jumlah yang benar: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Latihan 22.9 ★★

Seorang tukang kebun menanam $14$ baris berisi $35$ bunga tulip dan $12$ baris berisi $28$ bunga bakung. Berapa bunga seluruhnya? (Dua hasil kali, lalu satu jumlah.)

Solusi

Solusi Latihan 22.9.

Bunga tulip: $14 \times 35 = 490$ . Bunga bakung: $12 \times 28 = 336$ . Seluruhnya: $490 + 336 = 826$ bunga.

Latihan 22.10 ★★

Setiap hari, sebuah toko roti memakai $67$ kg tepung. Kira-kira berapa tepung dalam satu bulan yang $30$ hari — taksirlah dengan bilangan yang dibulatkan, lalu hitunglah dengan tepat.

Solusi

Solusi Latihan 22.10.

Taksiran: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Tepatnya: $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Latihan 22.11 ★★

Jelaskan, dengan gambar persegi panjang seperti pada bab ini, mengapa $15 \times 12$ dapat dihitung sebagai $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Lalu ciptakan pemecahan lain dari $15 \times 12$ yang juga berhasil.

Solusi

Solusi Latihan 22.11.

Persegi panjang $15 \times 12$ yang tersusun dari persegi satuan dapat dipotong oleh sebuah garis tegak menjadi bagian $15 \times 10$ dan bagian $15 \times 2$ : membilang tiap bagian memberi $150 + 30 = 180$ . Potongan yang lain berhasil sama baiknya, misalnya $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Cara memotong mana pun tidak mengubah banyaknya persegi seluruhnya.