Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

63Pecahan dan Pangkat

Pecahan dan pangkat adalah alat perhitungan sehari-hari: membagi besaran, membandingkan proporsi, menulis bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bab ini memantapkan aturan berhitung dengannya — dengan setiap langkah perantaranya ditulis lengkap — lalu memperkenalkan notasi ilmiah.

63.1 Berhitung dengan pecahan

Definisi 63.1 (Pecahan)

Pecahan $\dfrac ab$ (dengan $b \neq 0$ ) adalah hasil bagi $a$ oleh $b$ . Dua pecahan sama ketika yang satu diperoleh dari yang lain dengan mengalikan (atau membagi) pembilang dan penyebutnya dengan bilangan bukan nol yang sama:

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Contoh 63.2

Sederhanakan $\dfrac{42}{56}$ selangkah demi selangkah:

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(Pada Bab 64 faktor persekutuan terbesar akan mengerjakannya dalam satu langkah.)

Metode 63.3 (Menjumlahkan dan mengurangkan pecahan)

Taruhlah kedua pecahannya pada penyebut yang sama (yaitu kelipatan bersama kedua penyebutnya);
jumlahkan atau kurangkan pembilangnya, dengan menahan penyebutnya;
sederhanakan hasilnya kalau mungkin.

Contoh 63.4

Hitunglah $\dfrac56 + \dfrac34$ . Penyebut bersama dari $6$ dan $4$ adalah $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Hitunglah $2 - \dfrac37$ . Tulislah $2$ sebagai pecahan berpenyebut $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

Mengapa perlu penyebut yang sama: memotong kedua keseluruhannya menjadi 12 kotak yang sama membuat pecahannya dapat dibandingkan dan dijumlahkan — bersama-sama, 10 + 9 = 19 perdua belas. — Mengapa perlu penyebut yang sama: memotong kedua keseluruhannya menjadi $12$ kotak yang sama membuat pecahannya dapat dibandingkan dan dijumlahkan — bersama-sama, $10 + 9 = 19$ perdua belas.

Metode 63.5 (Mengalikan dan membagi pecahan)

Untuk mengalikan, kalikan pembilangnya bersama dan penyebutnya bersama: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (sederhanakan sebelum mengalikan bilamana mungkin);
untuk membagi, kalikan dengan kebalikan pembaginya: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

Contoh 63.6

\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

yang kita sederhanakan dengan faktor bersamanya $7$ , lalu dengan $5$ . Dan sebuah pembagian:

\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Pangkat

Definisi 63.7 (Pangkat)

Untuk bilangan real $a$ dan bilangan bulat positif $n$ , pangkat $a^n$ adalah hasil kali $n$ faktor yang masing-masing sama dengan $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ faktor}} .

Menurut kesepakatan $a^0 = 1$ (untuk $a \neq 0$ ), dan eksponen negatif menyatakan kebalikannya: inverses:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Contoh 63.8

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ tetapi $-3^2 = -(3^2) = -9$ (eksponennya mengikat lebih dahulu daripada tanda minusnya); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ dan $5^0 = 1$ .

Teorema 63.9 (Aturan eksponen)

Untuk semua $a$ , $b$ yang bukan nol dan semua bilangan bulat $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Bukti. Untuk eksponen positif, bilanglah faktornya. Untuk aturan pertama: $a^m \times a^n$ adalah $m$ faktor $a$ yang disusul $n$ faktor $a$ , seluruhnya $m + n$ faktor. Untuk yang ketiga: $\left(a^m\right)^n$ mengulang $n$ kali satu blok berisi $m$ faktor, sehingga memberi $mn$ faktor. Kedua aturan lainnya serupa; perluasan ke eksponen nol dan negatif diperiksa dari $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (dan itu membuat kesepakatan $a^0 = 1$ menjadi satu-satunya pilihan yang taat asas, karena $a^n \times a^0$ harus sama dengan $a^{n+0} = a^n$ ). ∎

Contoh 63.10

Sederhanakan selangkah demi selangkah:

\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

Dan dengan dua huruf: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$ .

63.3 Pangkat sepuluh dan notasi ilmiah

Proposisi 63.11 (Pangkat sepuluh)

Untuk bilangan bulat positif $n$ : $10^n$ ditulis “ $1$ yang disusul $n$ nol”, dan $10^{-n} = 0.0\dots01$ dengan $1$ -nya pada tempat desimal yang ke- $n$ . Mengalikan bilangan desimal dengan $10^n$ (berturut-turut $10^{-n}$ ) menggeser titik desimalnya $n$ tempat ke kanan (berturut-turut ke kiri).

Definisi 63.12 (Notasi ilmiah)

Notasi ilmiah sebuah bilangan desimal yang positif adalah satu-satunya cara menuliskannya sebagai

a \times 10^n, \qquad\text{dengan } 1 \leq a < 10 \text{ dan } n \text{ bilangan bulat.}

Contoh 63.13

Jarak Bumi–Matahari kira-kira $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. Ukuran sebuah molekul air kira-kira $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Untuk berhitung dengan bilangan seperti itu, kelompokkan bagian desimalnya dan pangkat sepuluhnya:

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Metode 63.14 (Menaruh bilangan dalam notasi ilmiah)

Geserlah titik desimalnya sampai tepat sesudah angka pertama yang bukan nol; ini memberi faktor $a$ dengan $1 \leq a < 10$ ;
bilanglah berapa tempat titiknya bergeser: bilangan itulah $n$ , positif kalau bilangan semulanya $\geq 10$ , negatif kalau bilangan semulanya $< 1$ ;
periksa: $a \times 10^n$ harus menghasilkan bilangan semulanya.

63.4 Latihan

Latihan 63.1 ★

Hitunglah lalu berikan hasilnya sebagai pecahan yang paling sederhana:

\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .

Solusi

Solusi Latihan 63.1.

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$ .

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$ .

Latihan 63.2 ★

Hitunglah lalu sederhanakan:

\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .

Solusi

Solusi Latihan 63.2.

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (sederhanakan dengan $9$ dan dengan $5$ ).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$ .

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (angka $3$ dan $4$ saling meniadakan).

Latihan 63.3 ★

Hitunglah:

2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .

Solusi

Solusi Latihan 63.3.

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$ .

Latihan 63.4 ★

Tulislah sebagai satu pangkat:

5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .

Solusi

Solusi Latihan 63.4.

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$ .

Latihan 63.5 ★

Tulislah dalam notasi ilmiah: $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; dua belas juta.

Solusi

Solusi Latihan 63.5.

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; dua belas juta $= 1.2 \times 10^7$ .

Latihan 63.6 ★★

Hitunglah, dengan memberikan hasilnya dalam notasi ilmiah:

(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .

Solusi

Solusi Latihan 63.6.

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$ .

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$ .

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$ .

Latihan 63.7 ★★

Sebuah tangki terisi $\frac35$ . Sesudah ditambah $30$ liter tangkinya terisi $\frac34$ . Berapa daya tampung tangkinya? (Nyatakan lebih dahulu bagian tangki yang ditambahkan.)

Solusi

Solusi Latihan 63.7.

Air yang ditambahkan mewakili $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ bagian tangkinya. Jadi $\frac{3}{20}$ daya tampungnya adalah $30$ liter: $\frac{1}{20}$ -nya adalah $10$ liter, dan daya tampungnya $200$ liter.

Latihan 63.8 ★★

Alia memakan $\frac14$ sebuah kue, lalu Beni memakan $\frac13$ sisanya, lalu Cinta memakan $\frac12$ dari yang masih tersisa. Berapa bagian kuenya yang tertinggal pada akhirnya? (Hitunglah sisanya sesudah tiap langkahnya.)

Solusi

Solusi Latihan 63.8.

Sesudah Alia: $1 - \frac14 = \frac34$ bagian kuenya tersisa. Beni memakan $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ , sehingga tertinggal $\frac34 - \frac14 = \frac12$ . Cinta memakan setengahnya, yaitu $\frac14$ , sehingga tertinggal $\frac14$ bagian kuenya.

Latihan 63.9 ★★

Cahaya menempuh $3 \times 10^8$ meter tiap detik. Matahari berjarak kira-kira $1.5 \times 10^{11}$ m. Berapa lama sinar matahari sampai kepada kita? Berikan jawabannya dalam detik (tanpa perlu notasi ilmiah), lalu dalam menit dan detik.

Solusi

Solusi Latihan 63.9.

Waktunya $= \dfrac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ detik, yaitu $8$ menit dan $20$ detik.

Latihan 63.10 ★★★

Mana yang lebih besar, $2^{30}$ atau $3^{20}$ ? (Petunjuk: tulislah keduanya sebagai pangkat dengan eksponen $10$ memakai $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ , lalu bandingkan $2^3$ dengan $3^2$ .)

Solusi

Solusi Latihan 63.10.

Tulislah kedua bilangannya sebagai pangkat dengan eksponen $10$ :

2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Karena $8 < 9$ , dengan mengalikan sepuluh salinan masing-masingnya: $8^{10} < 9^{10}$ , jadi $2^{30} < 3^{20}$ .

63.5 Soal: Sandi rahasia desimal berulang

Soal 63.1

Soal akhir pekan — setiap pecahan punya penulisan desimal yang berhenti atau berulang, setiap desimal berulang adalah pecahan, dan $0.999\ldots$ sama persis dengan $1$

Bagilah $3$ dengan $11$ dan angkanya jatuh menjadi nyanyian: $0.272727\ldots$ selamanya. Bagilah $1$ dengan $4$ dan angkanya berhenti mati: $0.25$ . Soal ini membuktikan bahwa hanya kedua perilaku itulah yang mungkin bagi sebuah pecahan — lalu membalikkan mesinnya: diberikan desimal berulang mana pun, mesinnya membangun kembali pecahan yang bersembunyi di baliknya. Di sepanjang jalannya soal ini menyelesaikan, sekali untuk selamanya, kesamaan yang paling diperdebatkan dalam matematika sekolah.

Bagian I — Dari pecahan ke desimal.

Hitunglah dengan pembagian bersusun penulisan desimal $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ dan $\frac{3}{11}$ . Mana yang berhenti, mana yang berulang, dan dengan blok berulang yang mana?
Jelaskan mengapa penulisan desimal pecahan apa pun $\frac ab$ pasti berhenti atau akhirnya berulang. (Pada pembagian bersusun dengan $b$ , nilai apa saja yang dapat diambil sisa yang berturut-turut? Apa yang terjadi begitu sebuah sisa muncul untuk kedua kalinya?)
Doronglah pembagian $1$ oleh $7$ cukup jauh untuk menemukan blok berulangnya. Berapa panjangnya, dan bagaimana perbandingan panjang itu dengan batas yang dijanjikan pertanyaan 2?
Beberapa pecahan berhenti karena penyebutnya dapat digelembungkan menjadi pangkat sepuluh: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Jelaskan kriterianya, dan mengapa tidak ada pengali bilangan bulat yang dapat mengubah $3$ , $6$ atau $11$ menjadi $10$ , $100$ , $1000, \dots$ (angka apa yang akan mengakhiri hasil kalinya?).
Tanpa membagi, pilahlah $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ dan $\frac{33}{50}$ menjadi “berhenti” dan “berulang”, lalu berikan penulisan desimal kedua pecahan yang berhenti.

Bagian II — Dari desimal berulang kembali ke pecahannya.

Trik penggeseran. Misalkan $x = 0.7777\ldots$ Hitunglah $10x$ , lalu $10x - x$ , lalu simpulkan $x$ sebagai pecahan. Periksalah dengan membagi.
Misalkan $x = 0.727272\ldots$ Pangkat sepuluh yang mana yang menggeser $x$ tepat satu blok berulang? Pakailah itu untuk menulis $x$ sebagai pecahan yang paling sederhana.
Sebuah keadaan campuran: $x = 0.58333\ldots$ (yang berulang hanya $3$ -nya). Hitunglah $1000x - 100x$ lalu simpulkan $x$ sebagai pecahan yang paling sederhana.
Yang terkenal: terapkan trik penggeserannya pada $x = 0.9999\ldots$ Pecahan apa — bilangan apa — yang kamu temukan? Rukunkan hasilnya dengan gerak hatimu, sambil mengingat tetangga hantu pada Soal 38.1 dan sisa yang mengerut pada Soal 39.1: apakah $0.999\ldots$ “tepat di bawah” $1$ , atau nama lain untuk $1$ ?
Ubahlah $2.454545\ldots$ dan $0.123123123\ldots$ menjadi pecahan yang paling sederhana.

Bagian III — Kamus yang dilengkapi.

Pertanyaan 6–10 menyarankan sebuah kamus: blok berisi $k$ angka yang berulang sejak titik desimalnya sama dengan blok itu dibagi $k$ buah sembilan ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Pakailah kamusnya untuk meramalkan $0.037037\ldots$ sebagai pecahan, sederhanakan — lalu takjublah: pecahan yang sederhananya mengejutkan mana yang menyanyikan “ $037$ ”? Periksalah dengan pembagian.
Gabungkan kamusnya dengan sebuah penggeseran: tulislah $0.0272727\ldots$ sebagai pecahan yang paling sederhana.
Bilangan $0.101001000100001\ldots$ (satu $1$ , lalu satu $0$ , lalu satu $1$ , lalu dua $0$ , lalu satu $1$ , lalu tiga $0$ , dan seterusnya) tidak pernah berhenti. Apakah ia desimal yang berulang? Lalu apa kata Bagian I tentangnya — dapatkah ia menjadi pecahan? (Kamu baru saja bertemu bilangan irasional pertamamu yang terbukti; yang paling terkenal ditangkap pada Bab 65.)
Kira-kira berapa angka yang dipunyai $2^{30}$ ? Pakailah $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ dan aturan eksponennya (Teorema 63.9) untuk menulis $2^{30}$ dalam notasi ilmiah (secara hampiran), lalu simpulkan. (Bandingkan Latihan 63.10.)
Penutupnya: tulislah $0.20262026\ldots$ sebagai pecahan, lalu nyatakan pesan moral dua arah seluruh soalnya: penulisan desimal yang mana yang berupa pecahan, dan pecahan yang mana yang punya penulisan desimal yang mana?

Solusi

Solusi Soal 63.1.

1. $\frac14 = 0.25$ (berhenti); $\frac13 = 0.333\ldots$ (bloknya $3$ ); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (bloknya $3$ sesudah $8$ -nya); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (bloknya $27$ ).

2. Pada tiap langkah pembagiannya dengan $b$ , sisanya adalah salah satu dari $b$ nilai $0, 1, \dots, b - 1$ (Teorema 37.7). Kalau sisa $0$ muncul, maka pembagiannya berhenti. Kalau tidak, sesudah paling banyak $b$ langkah suatu sisa pasti muncul untuk kedua kalinya — karena langkahnya lebih banyak daripada sisa yang mungkin — dan sejak saat itu pembagiannya mengulang persis barisan angka yang dihasilkannya sesudah kemunculan pertamanya: penulisan desimalnya berdaur selamanya. Berhenti atau berulang: perilaku yang ketiga tidak ada.

3. $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$ : bloknya $142857$ punya panjang $6$ . Pertanyaan 2 menjanjikan pengulangan dalam paling banyak $7$ langkah — di sini sisanya $1, 3, 2, 6, 4, 5$ semuanya muncul sebelum $1$ -nya kembali: yaitu nyanyian terpanjang yang mungkin untuk pembagian dengan $7$ .

4. $\frac ab$ berhenti persis ketika suatu $\frac{a \times k}{b \times k}$ punya penyebut $10$ , $100$ , $1000, \dots$ — yaitu ketika penyebutnya dapat dikalikan sampai menjadi pangkat sepuluh, seperti $4 \times 25 = 100$ atau $8 \times 125 = 1\,000$ . Untuk $3$ dan $6$ hal itu sia-sia: pangkat sepuluh punya jumlah angka $1$ , dan setiap kelipatan $3$ punya jumlah angka yang merupakan kelipatan $3$ — jadi tidak ada kelipatan $3$ (karena itu tidak ada pula kelipatan $6$ ) yang pernah menjadi $10$ , $100$ , $1\,000, \dots$ Untuk $11$ : membagi $10$ , $100$ , $1\,000$ , $10\,000$ dengan $11$ selalu meninggalkan sisa ( $10$ , $1$ , $10$ , $1, \dots$ ), tidak pernah $0$ . Penyebut yang mencapai pangkat sepuluh berhenti; semua yang lain berulang.

5. $\frac{9}{40}$ : $40 \times 25 = 1\,000$ , jadi berhenti: $\frac{225}{1000} = 0.225$ . $\frac{33}{50}$ : $50 \times 2 = 100$ , jadi berhenti: $\frac{66}{100} = 0.66$ . $\frac{5}{12}$ : $12$ adalah kelipatan $3$ , jadi berulang ( $0.41666\ldots$ ).

6. $10x = 7.777\ldots$ , jadi $10x - x = 7$ (ekornya saling meniadakan dengan sempurna), $9x = 7$ dan $x = \frac79$ . Pemeriksaan dengan pembagian: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

7. Bloknya punya dua angka, jadi geserlah dengan $100$ : $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$ , karena itu $99x = 72$ dan $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ .

8. $1000x = 583.333\ldots$ dan $100x = 58.333\ldots$ ; dengan mengurangkannya, $900x = 525$ , jadi $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (bagilah dengan $75$ ). Memang $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

9. $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$ , jadi $9x = 9$ dan $x = 1$ . Bukan “tepat di bawah” $1$ : $0.999\ldots$ adalah bilangan $1$ , yang ditulis dengan kostum kedua. Bilangan mana pun yang benar-benar di bawah $1$ meninggalkan celah, dan Soal 38.1 menunjukkan bahwa celah selalu memuat bilangan lain — sedangkan tidak ada yang muat di antara $0.999\ldots$ dan $1$ . Sembilan yang tanpa ujung itu adalah sisa cokelat pada Soal 39.1 yang mengerut di bawah setiap jumlah yang positif: tidak ada yang tertinggal.

10. $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$ . Dan $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (bagilah dengan $3$ ).

11. Menurut kamusnya: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$ . Karena $999 = 27 \times 37$ , pecahan itu menyederhana menjadi $\frac{1}{27}$ : jadi pecahan $\frac{1}{27}$ yang menyanyikan “ $037$ ”. Pemeriksaan dengan pembagian: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

12. $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (bagilah dengan $9$ ).

13. Blok nolnya tumbuh tanpa akhir, jadi tidak ada blok tetap yang dapat berulang selamanya: jadi ia bukan desimal berulang (dan tidak pernah berhenti pula). Menurut Bagian I, setiap pecahan berhenti atau berulang — jadi bilangan ini sama sekali bukan pecahan: ia irasional, yang dibuat sesuai pesanan. Bintang utama keirasionalan, yaitu $\sqrt2$ , disingkap pada Bab 65.

14. $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$ : yaitu bilangan yang sedikit di atas $10^9$ , jadi punya $10$ angka. (Persisnya: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$ .)

15. $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$ , yang sudah paling sederhana ( $9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ tidak berbagi faktor dengan $2026 = 2 \times 1013$ ). Kamus yang lengkap: pecahan persis adalah desimal yang berhenti atau berulang — penyebut yang bersahabat dengan sepuluh berhenti, semua yang lain menyanyikan sebuah blok; dan sebaliknya setiap nyanyian, bahkan tahun kelulusanmu, adalah pecahan dalam samaran.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium