Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

41Segitiga dan Segi Empat

Segitiga dan segi empat adalah bangun dasar dalam geometri. Tujuan bab ini adalah mengenal keluarga istimewanya — segitiga sama kaki, sama sisi, siku-siku; persegi panjang, belah ketupat, persegi — lewat sifat yang mendefinisikannya, lalu melukisnya dengan tepat memakai penggaris dan jangka.

41.1 Segitiga

Definisi 41.1 (Segitiga istimewa)

Segitiga $ABC$ punya tiga titik sudut dan tiga sisi. Ia disebut:

sama kaki di $A$ jika $AB = AC$ (dua sisi sama panjang);
sama sisi jika $AB = BC = CA$ (tiga sisi sama panjang);
siku-siku di $A$ jika sudut $\widehat{BAC}$ adalah sudut siku-siku. Sisi $[BC]$ yang berhadapan dengan sudut siku-siku itu disebut sisi miring.

Tiga segitiga istimewa. Garis kecil menandai sisi yang sama panjang; persegi kecil menandai sudut siku-siku.

Metode 41.2 (Melukis segitiga dari ketiga sisinya)

Untuk melukis $ABC$ dengan $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

gambarlah ruas garis $[AB]$ sepanjang $5$ cm dengan penggaris;
gambarlah busur lingkaran berpusat $A$ dengan jari-jari $4$ cm (semua titik yang berjarak $4$ cm dari $A$ );
gambarlah busur lingkaran berpusat $B$ dengan jari-jari $3$ cm;
titik $C$ adalah tempat kedua busur itu berpotongan; hubungkan ia ke $A$ dan $B$ .

Melukis segitiga dengan jangka: titik sudut C adalah titik potong dua busur. (Pada kamu akan melihat kapan lukisan semacam itu mungkin dilakukan.) — Melukis segitiga dengan jangka: titik sudut $C$ adalah titik potong dua busur. (Pada Bab 51 kamu akan melihat kapan lukisan semacam itu mungkin dilakukan.)

41.2 Segi empat

Definisi 41.3 (Segi empat istimewa)

Segi empat punya empat titik sudut dan empat sisi. Ia disebut:

persegi panjang jika keempat sudutnya siku-siku;
belah ketupat jika keempat sisinya sama panjang;
persegi jika ia keduanya sekaligus: empat sudut siku-siku dan empat sisi sama panjang.

Proposisi 41.4 (Sifat diagonalnya)

Pada segi empat ini, kedua diagonalnya saling memotong di titik tengah bersamanya, dan lebih dari itu:

pada persegi panjang, diagonalnya sama panjang;
pada belah ketupat, diagonalnya saling tegak lurus;
pada persegi, keduanya sekaligus.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Tiga segi empat istimewa dengan diagonalnya (warna merah). Persegi mewarisi sifat persegi panjang sekaligus sifat belah ketupat.

Catatan 41.5

Persegi itu otomatis merupakan persegi panjang (ia punya empat sudut siku-siku) dan otomatis merupakan belah ketupat (empat sisi sama panjang). Jadi “persegi panjang” tidak berarti “bukan persegi”! Dalam matematika, bangun yang lebih istimewa termasuk ke dalam keluarga yang lebih umum.

Contoh 41.6 (Mengenali bangun dari sifatnya)

Sebuah segi empat punya empat sisi sepanjang $4$ cm dan satu sudut siku-siku. Bangun apa itu? Empat sisi sama panjang membuatnya belah ketupat. Pada belah ketupat, sudut yang berhadapan sama besar dan keempat sudutnya berjumlah $360^\circ$ ; satu sudut siku-siku lalu memaksa keempatnya menjadi siku-siku (hal ini akan dibuktikan bersama jajargenjang pada Bab 52). Jadi bangunnya persegi.

Metode 41.7 (Program melukis)

Program melukis adalah daftar langkah yang dapat diikuti siapa pun untuk menggambar ulang sebuah gambar dengan tepat. Tulislah satu langkah per baris, namailah setiap titik ketika ia dibuat, dan pakailah hanya: “gambarlah ruas garis / garis / lingkaran…”, “letakkan titiknya di tempat … berpotongan”. Ujilah programmu dengan mengikutinya secara harfiah, kata demi kata.

Contoh 41.8

Program untuk persegi $ABCD$ dengan sisi $4$ cm:

Gambarlah ruas garis $[AB]$ dengan $AB = 4$ cm.
Gambarlah garis tegak lurus terhadap $(AB)$ di $A$ ; padanya, letakkan $D$ pada jarak $4$ cm dari $A$ (pilihlah satu sisi garis lalu tetaplah di sana).
Gambarlah garis tegak lurus terhadap $(AB)$ di $B$ ; padanya, letakkan $C$ pada jarak $4$ cm dari $B$ , di sisi yang sama dengan $D$ .
Hubungkan $C$ dan $D$ .

Periksalah dengan penggaris: $DC$ semestinya juga berukuran $4$ cm.

41.3 Latihan

Latihan 41.1 ★

Lukislah segitiga $ABC$ dengan $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm dan $BC = 4$ cm, mengikuti Metode 41.2.

Solusi

Solusi Latihan 41.1.

Ikutilah caranya: ruas garis $[AB]$ sepanjang $6$ cm, busur berjari-jari $5$ cm berpusat di $A$ , busur berjari-jari $4$ cm berpusat di $B$ ; titik potongnya adalah $C$ .

Latihan 41.2 ★

Lukislah segitiga sama kaki $DEF$ dengan $DE = DF = 5$ cm dan $EF = 3$ cm. Dua sudut mana pada segitiga ini yang tampak sama besar? Ukurlah untuk memeriksanya.

Solusi

Solusi Latihan 41.2.

Alas $[EF]$ sepanjang $3$ cm, lalu dua busur berjari-jari $5$ cm berpusat di $E$ dan $F$ ; perpotongannya adalah $D$ . Kedua sudut alasnya $\widehat{DEF}$ dan $\widehat{DFE}$ sama besar (kira-kira $72.5^\circ$ masing-masing) — akibat simetri segitiga sama kaki (Contoh 42.8).

Latihan 41.3 ★

Lukislah segitiga sama sisi dengan sisi $4$ cm hanya memakai penggaris dan jangka. Ukurlah salah satu sudutnya.

Solusi

Solusi Latihan 41.3.

Ruas garis sepanjang $4$ cm, lalu dua busur berjari-jari $4$ cm berpusat di kedua ujungnya. Setiap sudutnya berukuran $60^\circ$ .

Latihan 41.4 ★

Golongkan setiap segitiga dari datanya (sama kaki, sama sisi, siku-siku — beberapa jawaban dapat berlaku sekaligus): (a) sisi $7$ , $7$ , $7$ ; (b) sisi $5$ , $5$ , $8$ ; (c) sudut $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) sudut $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solusi

Solusi Latihan 41.4.

(a) sama sisi (karena itu juga sama kaki). (b) sama kaki ( $5 = 5$ ). (c) siku-siku dan sama kaki (dua sudut sama besar $45^\circ$ menghadap dua sisi yang sama panjang). (d) sama sisi (tiga sudut sama besar).

Latihan 41.5 ★

Pada segitiga siku-siku, sisi mana yang menjadi sisi miring? Gambarlah segitiga $MNP$ yang siku-siku di $N$ , lalu sebutkan sisi miringnya. Titik sudut mana yang tidak pernah disentuh sisi miring itu?

Solusi

Solusi Latihan 41.5.

Sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, dan selalu sisi yang terpanjang. Pada $MNP$ yang siku-siku di $N$ , sisi miringnya $[MP]$ : ia tidak pernah menyentuh titik sudut siku-sikunya, $N$ .

Latihan 41.6 ★

Benar atau salah? Berilah alasan untuk tiap jawaban dalam satu kalimat.

Setiap persegi adalah persegi panjang.
Setiap persegi panjang adalah persegi.
Setiap persegi adalah belah ketupat.
Belah ketupat yang punya satu sudut siku-siku adalah persegi.

Solusi

Solusi Latihan 41.6.

1. Benar: persegi punya empat sudut siku-siku, dan itulah definisi persegi panjang.

2. Salah: persegi panjang $5 \times 3$ punya sisi yang tidak sama panjang.

3. Benar: persegi punya empat sisi sama panjang, dan itulah definisi belah ketupat.

4. Benar: lihat Contoh 41.6.

Latihan 41.7 ★

Lukislah persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 5$ cm dan $BC = 3$ cm. Ukurlah kedua diagonalnya: apa yang kamu amati?

Solusi

Solusi Latihan 41.7.

Lukisannya memakai garis tegak lurus, seperti pada Contoh 41.8. Kedua diagonalnya berukuran kira-kira $5.8$ cm: diagonal persegi panjang sama panjang (Proposisi 41.4).

Latihan 41.8 ★

Lukislah belah ketupat yang diagonalnya $6$ cm dan $4$ cm. (Pakailah Proposisi 41.4: gambarlah kedua diagonalnya dulu — saling tegak lurus, berpotongan di titik tengahnya — lalu hubungkan keempat ujungnya.)

Solusi

Solusi Latihan 41.8.

Gambarlah ruas garis sepanjang $6$ cm; titik tengahnya $O$ ; garis tegak lurus di $O$ ; padanya, dua titik berjarak $2$ cm dari $O$ di kedua sisinya. Menghubungkan keempat ujungnya memberi belah ketupat (keempat titik sudutnya berjarak $3$ cm dan $2$ cm dari $O$ sepanjang garis yang tegak lurus, jadi keempat sisinya sama panjang menurut simetri).

Latihan 41.9 ★★

Tulislah program melukis untuk segitiga sama kaki dengan alas $4$ cm dan kaki $6$ cm, dengan gaya Contoh 41.8. Tukarkanlah dengan teman sekelas: dapatkah ia mengikutinya tanpa melihat gambarmu?

Solusi

Solusi Latihan 41.9.

Satu program yang benar: 1. gambarlah ruas garis $[BC]$ dengan $BC = 4$ cm; 2. gambarlah busur berpusat $B$ dengan jari-jari $6$ cm di atas $[BC]$ ; 3. gambarlah busur berpusat $C$ dengan jari-jari $6$ cm di atas $[BC]$ ; 4. namailah $A$ titik potong kedua busur itu; 5. gambarlah ruas garis $[AB]$ dan $[AC]$ .

Latihan 41.10 ★★

Gambarlah lingkaran berpusat $O$ dan salah satu diameternya $[AB]$ . Letakkan sembarang titik $M$ pada lingkaran lalu gambarlah segitiga $AMB$ . Ukurlah sudut $\widehat{AMB}$ . Geserlah $M$ lalu ukur lagi. Apa dugaanmu? (Fakta yang mengejutkan ini dibuktikan pada Bab 60.)

Solusi

Solusi Latihan 41.10.

Bagaimanapun letak $M$ pada lingkaran, sudut $\widehat{AMB}$ berukuran $90^\circ$ : segitiga $AMB$ siku-siku di $M$ setiap kali $[AB]$ menjadi diameter. Pembuktiannya menunggu Bab 60.

Latihan 41.11 ★★

Sebuah segi empat punya diagonal yang sama panjang dan saling memotong di titik tengah bersamanya. Pilahlah bangun apa ia pastinya, dengan memakai Proposisi 41.4: persegi panjang, belah ketupat atau persegi? (Hati-hati: hanya satu sifat yang diberikan.)

Solusi

Solusi Latihan 41.11.

Diagonal yang saling memotong di titik tengahnya dan sama panjang: itulah daftar sifat persegi panjang (Proposisi 41.4). Tidak ada yang memaksa diagonalnya tegak lurus, jadi ia tidak harus berupa belah ketupat atau persegi — persegi panjang adalah jawaban yang tepat (persegi juga memenuhinya, tetapi tidak dipaksakan).

Latihan 41.12 ★★★

Pada petak titik $4 \times 4$ , berapa persegi berbeda yang dapat kamu gambar dengan pojoknya pada titik petak — termasuk juga persegi yang “miring”? Gambarlah sedikitnya satu persegi miring lalu jelaskan mengapa sisinya sama panjang.

Solusi

Solusi Latihan 41.12.

Dengan $4 \times 4$ titik ada $3 \times 3$ petak. Persegi yang sejajar petak: sisi $1$ , $2$ atau $3$ memberi $9 + 4 + 1 = 14$ persegi. Persegi miring juga ada: yang kecil, yang sisinya diagonal petak $1 \times 1$ (seperti $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — ada empat; dan yang lebih besar, yang sisinya diagonal persegi panjang $2 \times 1$ , seperti $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — ada dua. Keempat sisi persegi semacam itu sama panjang karena semuanya diagonal persegi panjang yang identik. Seluruhnya: $14 + 4 + 2 = 20$ persegi. (Hitungan mana pun yang menyertakan satu contoh miring yang benar dan $14$ persegi sejajar petak sudah merupakan keberhasilan pada tingkat ini.)

41.4 Soal: Apa yang diketahui oleh diagonalnya

Soal 41.1

Soal akhir pekan — membangun kembali setiap segi empat istimewa hanya dari diagonalnya, dan membilang diagonal segi banyak mana pun

Proposisi 41.4 membaca sebuah bangun lalu menceritakan diagonalnya. Soal ini memainkan permainan itu secara terbalik: diberikan hanya dua ruas garis yang berpotongan — calon diagonalnya — bangun apa yang muncul kalau keempat ujungnya dihubungkan? Kamu akan menyusun “kamus diagonal” yang lengkap, memahami mengapa lukisan belah ketupat pada Latihan 41.8 berhasil, bertemu bangun yang belum punya nama, lalu menutupnya dengan membilang diagonal segi banyak yang sisinya jauh lebih dari empat.

Bagian I — Kamus diagonal. Untuk setiap pertanyaan, gambarlah kedua ruas garis seperti yang dijelaskan, hubungkan keempat ujungnya berurutan, lalu kenali segi empat yang kamu peroleh.

Dua ruas garis yang masing-masing $6$ cm, saling tegak lurus, berpotongan di titik tengah bersamanya. Ukurlah keempat sisi dan keempat sudut bangun yang dihasilkan: bangun apa itu?
Dua ruas garis $8$ cm dan $5$ cm, saling tegak lurus, berpotongan di titik tengah bersamanya. Bangun apa yang muncul (Latihan 41.8)?
Dua ruas garis yang masing-masing $7$ cm — sama panjang tetapi tidak saling tegak lurus — berpotongan di titik tengah bersamanya. Ukurlah sisi dan sudutnya: bangun apa dugaanmu?
Dua ruas garis $8$ cm dan $5$ cm, tidak saling tegak lurus, berpotongan di titik tengah bersamanya. Bangun yang kamu peroleh bukan salah satu dari ketiga bangun pada Definisi 41.3 — jelaskan apa yang kamu lihat (sisi mana yang tampak sama panjang? sejajar?). Segi empat ini menerima namanya pada Bab 52.
Rangkumlah pertanyaan 1–4 menjadi kamus dengan empat baris: diagonalnya sama panjang / tegak lurus / keduanya / bukan keduanya (selalu berpotongan di titik tengahnya) $\rightarrow$ nama (atau gambaran) bangunnya.

Bagian II — Mengapa lukisannya berhasil.

Pada pertanyaan 2, kedua diagonalnya memotong bangun itu menjadi empat segitiga siku-siku di sekeliling titik potongnya. Berapa panjang kedua sisi siku-siku setiap segitiga itu? Jelaskan mengapa keempat segitiganya adalah salinan persis satu sama lain, lalu simpulkan mengapa keempat sisi bangunnya sama panjang — rahasia Latihan 41.8.
Simpulkan sebuah uji yang hanya memakai jangka: setelah membangun bangun apa pun dari diagonalnya, bagaimana kamu dapat memeriksa hanya dengan jangka (tanpa mengukur dengan penggaris) bahwa keempat sisinya sama panjang?
Tulislah program melukis (Metode 41.7) untuk persegi yang diagonalnya berukuran $6$ cm — bukan sisinya.
Pada persegi di pertanyaan 8, apakah sisinya lebih panjang atau lebih pendek daripada $3$ cm — setengah diagonalnya? Ukurlah untuk mengetahuinya. Setengah jawabannya sudah dapat dibuktikan: berjalan dari satu pojok ke pojok berikutnya lewat pusatnya adalah memutar sejauh $3 + 3$ cm, dan jalan lurus selalu lebih pendek daripada memutar — jadi sisinya lebih pendek daripada $6$ cm. (Membuktikan bahwa ia juga mengalahkan $3$ cm, dan menghitungnya dengan tepat, adalah tugas Bab 58.)
Sebuah baris baru untuk kamusnya: gambarlah ruas garis $[AC]$ sepanjang $8$ cm; padanya, tandailah titik $H$ berjarak $3$ cm dari $A$ ; melalui $H$ gambarlah ruas garis tegak lurus $[BD]$ sepanjang $5$ cm dengan $H$ sebagai titik tengah ruas itu. Hubungkan $ABCD$ . Bangun ini disebut layang-layang (satu diagonalnya membagi dua diagonal yang lain, tegak lurus). Dengan memakai segitiga pojok seperti pada pertanyaan 6, carilah sisi mana pada layang-layang yang sama panjang dengan sisi mana.

Bagian III — Membilang diagonal. Diagonal sebuah segi banyak menghubungkan dua titik sudut yang bukan tetangga.

Gambarlah segi empat, segi lima (lima titik sudut) dan segi enam (enam titik sudut), lalu gambarlah semua diagonalnya. Bilanglah: ada berapa pada masing-masing?
Membilang tanpa menggambar, untuk segi enam: dari satu titik sudut, ada berapa diagonal yang berangkat? (Ke berapa dari keenam titik sudut itu ia tidak dapat dihubungkan oleh diagonal?) Mengalikannya dengan keenam titik sudut membilang setiap diagonal tepat dua kali — mengapa? Perolehlah kembali hitunganmu pada pertanyaan 11. (Pembilangan ganda yang sama muncul pada jabat tangan di Soal 37.1.)
Pakailah cara pada pertanyaan 12 untuk membilang diagonal segi banyak dengan $10$ titik sudut, lalu dengan $20$ titik sudut.
Sebuah segi banyak punya tepat $44$ diagonal. Berapa titik sudutnya? (Cobalah cara pada pertanyaan 13 pada beberapa calon.)
Ujilah caramu pada segi banyak yang paling kecil: berapa diagonal yang dipunyai segitiga, dan apa jawaban cara pembilangan pada pertanyaan 12? Tutuplah dengan satu kalimat tentang persamaan jabat tangan dan diagonal.

Solusi

Solusi Soal 41.1.

1. Keempat sisinya berukuran sama (kira-kira $4.2$ cm) dan keempat sudutnya siku-siku: bangunnya sebuah persegi. (Diagonal yang sama panjang memberi sudut siku-siku, seperti pada persegi panjang; diagonal yang tegak lurus memberi sisi yang sama panjang, seperti pada belah ketupat; keduanya sekaligus memberi persegi, yaitu Proposisi 41.4 yang dibaca terbalik.)

2. Sebuah belah ketupat: empat sisi sama panjang (kira-kira $4.7$ cm), tetapi tanpa sudut siku-siku — ini persis lukisan pada Latihan 41.8.

3. Keempat sudutnya ternyata siku-siku tetapi sisinya terdiri atas dua panjang yang berbeda: sebuah persegi panjang — inilah keadaan pada Latihan 41.11.

4. Tidak ada pernyataan sama panjang yang bertahan setelah diukur dan tidak ada sudut siku-siku yang muncul; tetapi sisi yang berhadapan sama panjang dua-dua dan tampak sejajar. Inilah “persegi panjang yang miring” pada umumnya, yang diagonalnya sekadar saling membagi dua — yaitu jajargenjang, yang dinamai dan dipelajari pada Bab 52.

5. Diagonal yang berpotongan di titik tengah bersamanya:

diagonalnya…	bangunnya
sama panjang dan tegak lurus	persegi
tegak lurus saja	belah ketupat
sama panjang saja	persegi panjang
bukan keduanya	si tanpa nama (lihat Bab 52)

6. Setiap segitiga pojoknya punya satu sisi siku-siku pada tiap diagonal: setengah dari $8$ cm dan setengah dari $5$ cm, jadi sisi siku-sikunya $4$ cm dan $2.5$ cm, dengan sudut siku-siku di antaranya — data yang sama untuk keempatnya. Segitiga yang dibangun dari dua sisi siku-siku yang sama beserta sudut siku-siku di antaranya adalah salinan persis satu sama lain (bangunlah: bukaan jangkanya identik). Karena itu keempat sisi miringnya — yaitu sisi bangun itu — sama panjang: bangunnya belah ketupat.

7. Bukalah jangka sepanjang satu sisi, lalu jalankan ia mengelilingi bangun itu: kalau jarum dan pensilnya mendarat tepat pada tiap pasang pojok yang bertetangga, keempat sisinya sama dengan bukaan itu. Tidak perlu penggaris.

8. Programnya:

Gambarlah ruas garis $[AC]$ dengan $AC = 6$ cm lalu letakkan titik tengahnya $O$ (ukurlah $3$ cm dari $A$ ).
Gambarlah garis tegak lurus terhadap $(AC)$ di $O$ .
Padanya, letakkan $B$ dan $D$ berjarak $3$ cm dari $O$ , satu di tiap sisi.
Hubungkan $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonalnya sama panjang ( $6$ cm), tegak lurus, dan saling membagi dua: menurut kamusnya, $ABCD$ adalah persegi.

9. Pengukurannya memberi kira-kira $4.2$ cm: lebih panjang daripada $3$ cm — terkaan yang lazim, “setengah diagonalnya”, ternyata salah. Setengah jawaban yang dapat dibuktikan: untuk pergi dari pojok $A$ ke pojok $B$ berikutnya, kita dapat berjalan lurus pada sisi $[AB]$ , atau memutar lewat pusatnya $A \to O \to B$ yang memakan $3 + 3 = 6$ cm; sisi yang lurus lebih pendek, jadi sisinya berukuran kurang daripada $6$ cm. Bahwa ia juga lebih daripada $3$ cm adalah yang ditunjukkan penggaris; Bab 58 akan membuktikannya dan memberi nilai tepatnya ( $3$ cm dikalikan akar kuadrat $2$ , kira-kira $4.24$ cm).

10. Keempat segitiga pojok di $H$ sekarang terdiri atas dua pasang yang sepadan: dua dengan sisi siku-siku $3$ cm dan $2.5$ cm (sisi miringnya $[AB]$ dan $[AD]$ ), dua dengan sisi siku-siku $5$ cm dan $2.5$ cm (sisi miringnya $[CB]$ dan $[CD]$ ). Jadi $AB = AD$ dan $CB = CD$ : layang-layang punya dua pasang sisi bertetangga yang sama panjang (belah ketupat adalah layang-layang istimewa yang keempat sisinya sepadan).

11. Segi empat: $2$ diagonal. Segi lima: $5$ . Segi enam: $9$ .

12. Dari satu titik sudut segi enam, diagonalnya menuju setiap titik sudut kecuali dirinya sendiri dan kedua tetangganya: $6 - 3 = 3$ diagonal. Enam titik sudut meluncurkan $6 \times 3 = 18$ ujung diagonal — tetapi setiap diagonal sudah terbilang pada kedua ujungnya, sekali dari tiap ujungnya, persis seperti jabat tangan yang dibilang oleh kedua orang yang berjabat (Soal 37.1). Hitungan yang sebenarnya: $18 \div 2 = 9$ . Itu cocok dengan gambarnya.

13. Sepuluh titik sudut: $10 - 3 = 7$ dari masing-masing, jadi $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonal. Dua puluh titik sudut: $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonal.

14. Cobalah beberapa calon: $10$ titik sudut memberi $35$ (pertanyaan 13); $11$ titik sudut memberi $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Ketemu: segi banyak itu punya $11$ titik sudut.

15. Segitiga sama sekali tidak punya diagonal: yang “bukan tetangga” dari setiap titik sudutnya adalah … tidak seorang pun, karena kedua titik sudut yang lain sama-sama tetangganya. Caranya sepakat: $3 - 3 = 0$ dari setiap titik sudut, seluruhnya $0$ . Jabat tangan dan diagonal adalah hitungan yang sama dengan pakaian yang berbeda: pasangan yang dipilih dari sebuah kelompok, tiap pasangan dibilang sekali — matematika mendaur ulang gagasannya yang bagus.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium