Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

27Simetri

Kupu-kupu, wajah manusia, kepingan salju: alam menyukai bangun yang kedua paruhnya berimpit ketika dilipat. Bab ini menjelajahi simetri dengan lipatan dan kertas berpetak — lukisan dengan penggaris siku menunggu pada Bab 42.

27.1 Melipat dan mencocokkan

Definisi 27.1 (Sumbu simetri)

Sebuah garis disebut sumbu simetri sebuah bangun bila melipat bangun itu sepanjang garis tersebut membuat kedua paruhnya berimpit tepat. Sebuah bangun dapat tidak punya sumbu, punya satu sumbu, atau punya beberapa sumbu.

Lipatlah sepanjang garis putus-putus: kedua paruhnya berimpit. Segitiga terakhir tidak punya lipatan yang berhasil — ia tanpa sumbu simetri.

Contoh 27.2 (Menguji dengan kertas kalkir)

Jiplaklah gambarnya, baliklah kertas kalkirnya sepanjang sumbu yang diduga, lalu letakkan kembali: kalau jiplakannya menutupi gambar itu dengan tepat, sumbunya asli. Mata saja sering tertipu — diagonal sebuah persegi panjang terlihat seperti sumbu, tetapi uji lipatan mengatakan tidak (cobalah!).

27.2 Melengkapi gambar di kertas berpetak

Metode 27.3 (Bayangan sebuah gambar terhadap garis petak)

Sumbunya adalah garis tegak (atau mendatar) pada petak itu.

Ambillah setiap titik sudut gambar itu satu per satu;
bilanglah jaraknya ke sumbu dalam satuan petak;
letakkan titik sudut bayangannya pada jarak yang sama di sisi yang lain, pada baris (atau kolom) yang sama;
hubungkan titik sudut bayangannya dengan urutan yang sama, lalu periksa: bayangannya adalah kembaran cermin gambar itu.

Melengkapi terhadap sumbu merah: setiap titik sudut melompat ke jarak yang sama di sisi yang lain. Titik sudut yang menyentuh sumbu akan tetap di tempatnya.

Contoh 27.4 (Bentuk sama, ukuran sama, tetapi terbalik)

Bayangannya punya panjang dan sudut yang persis sama dengan aslinya: simetri menyalin gambar — tetapi membaliknya, seperti tangan kiri dan tangan kanan. Kalau huruf aslinya F, bayangan cerminnya adalah F yang terbalik, bukan F yang lain.

27.3 Sumbu bangun-bangun yang biasa

Contoh 27.5 (Membilang sumbu)

Dengan melipat:

persegi: $4$ sumbu (dua melalui tengah sisi yang berhadapan, dua sepanjang diagonalnya);
persegi panjang: $2$ sumbu (hanya melalui tengah sisi yang berhadapan!);
segitiga sama kaki: $1$ ; segitiga sama sisi: $3$ ;
lingkaran: setiap garis yang melalui pusatnya — sumbunya lebih banyak daripada yang dapat dibilang.

Contoh 27.6 (Simetri pada abjad)

A, M, T, U, V punya sumbu tegak; B, C, D, E punya sumbu mendatar; H, I, O, X punya keduanya. Kata yang tersusun dari huruf yang tepat juga bisa simetris: MUM punya sumbu tegak; OXO berhasil ke dua arah.

27.4 Latihan

Latihan 27.1 ★

Jiplak lalu lipatlah: mana di antara bangun ini yang punya sumbu simetri — persegi; persegi panjang (yang bukan persegi); segitiga sembarang (semua sisinya berbeda); lingkaran?

Solusi

Solusi Latihan 27.1.

Persegi: ya ( $4$ sumbu). Persegi panjang: ya ( $2$ ). Segitiga sembarang: tidak ada lipatan yang berhasil. Lingkaran: ya — setiap garis yang melalui pusatnya.

Latihan 27.2 ★

Gambarlah sumbu simetri dari: persegi; persegi panjang; segitiga sama sisi. Berapa sumbu untuk masing-masing?

Solusi

Solusi Latihan 27.2.

Persegi: $4$ (dua garis tengah, dua diagonal). Persegi panjang: $2$ (hanya garis tengahnya). Segitiga sama sisi: $3$ (satu melalui tiap titik sudut).

Latihan 27.3 ★

Pakailah uji kertas kalkir pada Contoh 27.2 untuk menunjukkan bahwa diagonal persegi panjang $6 \times 4$ bukan sumbu simetri.

Solusi

Solusi Latihan 27.3.

Ketika dilipat sepanjang diagonalnya, kedua paruh segitiga itu punya bentuk yang sama tetapi tidak saling menutupi — yang satu “terbalik arah”: jiplakannya mendarat di samping gambar, bukan di atasnya. Jadi diagonalnya bukan sumbu.

Latihan 27.4 ★

Di kertas berpetak, gambarlah sumbu tegak dan huruf L (setinggi tiga petak, selebar dua petak) pada jarak $2$ petak dari sumbu itu. Lukislah bayangan cerminnya.

Solusi

Solusi Latihan 27.4.

Huruf L bayangannya berada $2$ petak di sisi yang lain dari sumbu, tertulis terbalik (huruf L cermin), dengan ukuran yang sama.

Latihan 27.5 ★

Di kertas berpetak, gambarlah sumbu mendatar dan sebuah bendera kecil (segitiga $1 \times 1$ pada tiang setinggi $3$ petak) di atasnya. Lengkapilah gambarnya dengan simetri di bawah sumbu itu.

Solusi

Solusi Latihan 27.5.

Gambar yang lengkap menunjukkan bendera itu beserta pantulannya yang terbalik di bawah sumbu, tiang di bawah tiang.

Latihan 27.6 ★

Sebuah bangun menyentuh sumbu simetrinya di titik $P$ . Di mana bayangan $P$ ? Jelaskan dengan gambar lipatannya.

Solusi

Solusi Latihan 27.6.

$P$ tidak berpindah: melipat sepanjang sumbu membiarkan setiap titik pada sumbu tetap di tempatnya — $P$ adalah bayangannya sendiri.

Latihan 27.7 ★

Golongkanlah huruf kapital A, B, E, F, H, N, O, T: bersumbu tegak? bersumbu mendatar? keduanya? bukan keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 27.7.

Bersumbu tegak: A, H, O, T. Bersumbu mendatar: B, E, H, O. Keduanya: H, O. Bukan keduanya: F, N.

Latihan 27.8 ★

Sebuah segitiga punya sisi $5$ cm, $5$ cm dan $3$ cm. Apakah ia punya sumbu simetri? Sisi mana yang dipertukarkan oleh lipatan itu?

Solusi

Solusi Latihan 27.8.

Ya: segitiganya sama kaki, dan sumbunya melalui ujung di antara kedua sisi $5$ cm dan tengah alas $3$ cm. Lipatan itu mempertukarkan kedua sisi yang sama panjang.

Latihan 27.9 ★★

Di kertas berpetak, gambarlah bangunmu sendiri yang punya tepat dua sumbu simetri, lalu gambarlah kedua sumbunya. (Petunjuk: pikirkan persegi panjang, atau tanda tambah.)

Solusi

Solusi Latihan 27.9.

Setiap bangun dengan tepat dua sumbu berhasil: persegi panjang (yang bukan persegi), tanda tambah dengan lengan dua panjang yang berbeda (mendatar panjang, tegak pendek), atau bangun lonjong. Kedua sumbunya selalu berpotongan di pusat bangun itu.

Latihan 27.10 ★★

Separuh sebuah gambar simetris diberikan: paruh kiri sebuah rumah (dinding persegi dan separuh atap segitiga), dengan sumbu tegak sepanjang tepi kanannya. Jelaskan atau gambarlah rumah yang lengkap. Bagaimana panjang paruh kanan yang dilengkapi itu dibandingkan dengan paruh kirinya?

Solusi

Solusi Latihan 27.10.

Rumah yang lengkap adalah paruh kiri beserta kembaran cerminnya: dinding selebar dua kali separuh dinding, di bawah atap segitiga yang utuh. Setiap panjang di kanan sama dengan pasangannya di kiri — simetri menyalin panjang dengan tepat.

Latihan 27.11 ★★

Aya menyatakan: “setiap segitiga dengan dua sisi sama panjang punya sumbu simetri, dan setiap segitiga yang punya sumbu simetri punya dua sisi sama panjang.” Ujilah kedua pernyataannya pada gambar: segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga sembarang. Apakah lipatannya mendukung dia?

Solusi

Solusi Latihan 27.11.

Gambarnya mendukung kedua arah: segitiga sama kaki terlipat sepanjang garis yang melalui ujungnya (dua sisi sama panjang $\to$ sumbu); segitiga sama sisi terlipat dengan tiga cara; segitiga sembarang tidak punya sumbu (tidak ada sisi yang sama panjang $\to$ tidak ada sumbu). Pernyataan ganda Aya benar — itu akan dibuktikan pada Bab 42.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Sumbu simetri

Lihat semua 395 istilah di glosarium