Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

48Bentuk Aljabar

Sebuah huruf dalam perhitungan mewakili bilangan yang belum kita ketahui, atau mewakili semua bilangan sekaligus: menulis $P = 4c$ memberi keliling setiap persegi dalam satu rumus. Bab ini mengajarkan aturan penulisannya, cara mengganti nilainya, dan cara menyederhanakan bentuk yang sederhana — awal dari aljabar, yang dilanjutkan pada Bab 57.

48.1 Menulis dengan huruf

Definisi 48.1 (Bentuk aljabar)

Bentuk aljabar adalah perhitungan yang memuat satu huruf atau lebih, masing-masing mewakili sebuah bilangan. Aturan penulisannya:

tanda $\times$ dibuang di depan huruf atau tanda kurung: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
tetapi tandanya tetap di antara dua bilangan: $3 \times 5$ tidak boleh ditulis $35$ !
$a \times a$ ditulis $a^2$ (“ $a$ kuadrat”), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ ditulis $a$ , dan $0a$ adalah $0$ .

Contoh 48.2

Sederhanakan penulisannya:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(bilangannya di depan)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Contoh 48.3 (Rumus adalah bentuk aljabar)

Untuk persegi panjang dengan panjang $L$ dan lebar $w$ : keliling $P = 2(L + w)$ , luas $A = Lw$ . Satu rumus merangkum persegi panjang yang tak hingga banyaknya sekaligus — itulah seluruh gunanya huruf.

Dua rumus, yang berlaku untuk setiap persegi panjang: gantilah nilai L dan w untuk memperoleh bilangan. — Dua rumus, yang berlaku untuk setiap persegi panjang: gantilah nilai $L$ dan $w$ untuk memperoleh bilangan.

48.2 Mengganti nilai

Metode 48.4 (Menghitung nilai sebuah bentuk)

Untuk menghitung nilai sebuah bentuk pada nilai hurufnya yang diberikan:

tulislah ulang bentuknya dengan mengembalikan tanda $\times$ yang tersembunyi: $3a + a^2$ adalah $3 \times a + a \times a$ ;
gantilah setiap huruf dengan nilainya, dengan memberi tanda kurung di sekelilingnya bila perlu;
hitunglah, sambil menuruti urutan pengerjaan pada Bab 45.

Contoh 48.5

Hitunglah nilai $E = 3x + x^2$ untuk $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Hitunglah nilai $F = 2(a + 3b)$ untuk $a = 4$ dan $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Menyederhanakan bentuk

Proposisi 48.6 (Mengumpulkan suku sejenis)

Suku yang memuat bagian huruf yang sama dapat dikumpulkan dengan menjumlahkan bagian bilangannya (inilah sifat distributif, Teorema 45.6, yang dibaca terbalik):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Suku dengan bagian huruf yang berbeda (seperti $3x$ dan $5y$ , atau $x$ dan $x^2$ ) tidak dapat dikumpulkan.

Contoh 48.7

Sederhanakan $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , dengan memilah sukunya:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Hati-hati: $7x + 9$ itu bukan $16x$ ! Ujilah dengan $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ dan $7 \times 1 + 9 = 16$ cocok, tetapi $16x$ juga akan bernilai $16$ — ujilah dengan $x = 2$ : bentuk aslinya memberi $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , dan $7 \times 2 + 9 = 23$ , sedangkan $16 \times 2 = 32$ . Penyederhanaan $7x + 9$ benar, $16x$ salah.

Metode 48.8 (Menguji sebuah kesamaan)

Untuk memeriksa apakah dua bentuk mungkin sama untuk setiap nilai:

gantilah dengan nilai yang sama pada keduanya, sedikitnya dua kali (misalnya $x = 2$ dan $x = 10$ ; hindari $0$ dan $1$ , keduanya menyembunyikan terlalu banyak perbedaan);
kalau hasilnya berbeda walau sekali saja, kedua bentuk itu tidak sama — satu contoh penyangkal membunuh pernyataan umum;
kalau hasilnya cocok, kesamaannya baru masuk akal: pembuktiannya memerlukan aljabar (menjabarkan, menyederhanakan).

Contoh 48.9

Apakah $2(x + 3)$ sama dengan $2x + 6$ untuk setiap $x$ ? Menjabarkan membuktikannya: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . Apakah $(x + 1)^2$ sama dengan $x^2 + 1$ ? Ujilah $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ tetapi $2^2 + 1 = 5$ . Bukan — dan satu contoh penyangkal sudah menjadi bukti lengkap untuk “bukan”.

48.4 Menghasilkan bentuk aljabar

Contoh 48.10 (Dari keadaan menjadi bentuk)

Sebuah taksi memungut $4$ euro ditambah $2$ euro per kilometer. Untuk perjalanan sejauh $k$ kilometer harganya

p = 4 + 2k \quad\text{euro}.

Untuk $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euro. Bentuk itu adalah jawaban umumnya; menggantikan nilai menghasilkan setiap jawaban khususnya.

Contoh 48.11 (Trik bilangan)

“Pikirkan sebuah bilangan, lipatduakan, tambahkan $10$ , bagi dengan $2$ , lalu kurangkan bilanganmu tadi.” Sebutlah bilangan itu $n$ lalu ikuti langkahnya:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Semua orang memperoleh $5$ , berapa pun $n$ tadi — hurufnya menjelaskan sihirnya.

48.5 Latihan

Latihan 48.1 ★

Sederhanakan penulisannya:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solusi

Solusi Latihan 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Latihan 48.2 ★

Kembalikan tanda $\times$ -nya:

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solusi

Solusi Latihan 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Latihan 48.3 ★

Hitunglah nilainya untuk $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solusi

Solusi Latihan 48.3.

Untuk $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Latihan 48.4 ★

Hitunglah nilai $3a + 2b$ dan $a b + 5$ untuk $a = 4$ , $b = 1.5$ .

Solusi

Solusi Latihan 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Latihan 48.5 ★

Sederhanakanlah:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solusi

Solusi Latihan 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Latihan 48.6 ★

Berikan rumus untuk: keliling persegi dengan sisi $c$ ; keliling segitiga sama kaki dengan alas $b$ dan kaki $s$ ; harga $n$ buah roti seharga $1.20$ euro masing-masing.

Solusi

Solusi Latihan 48.6.

Persegi: $P = 4c$ . Segitiga sama kaki: $P = b + 2s$ . Roti: $p = 1.20\,n$ euro.

Latihan 48.7 ★

Pasangkan setiap bentuk dengan gambarannya: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Gambarannya: “setengah dari $n$ ”; “dua kali $n$ ”; “kuadrat dari $n$ ”; “dua lebih banyak daripada $n$ ”.

Solusi

Solusi Latihan 48.7.

$2n$ : dua kali lipatnya; $n + 2$ : dua lebih banyak daripada $n$ ; $n^2$ : kuadratnya; $\frac n2$ : setengahnya.

Latihan 48.8 ★★

Dengan Metode 48.8, putuskan (dengan bukti atau contoh penyangkal) apakah kesamaan berikut berlaku untuk setiap $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solusi

Solusi Latihan 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : benar untuk setiap $x$ (sifat distributif — ini sebuah bukti, tidak perlu diuji).

$2x + 5 = 7x$ : ujilah $x = 2$ : kiri $9$ , kanan $14$ — salah secara umum (ia hanya berlaku untuk $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : ujilah $x = 3$ : kiri $6$ , kanan $9$ — salah secara umum ( $x + x = 2x$ ).

Latihan 48.9 ★★

Sebuah persegi panjang berlebar $w$ dan panjangnya $3$ cm lebih daripada lebarnya.

Nyatakan panjangnya, lalu kelilingnya, dalam $w$ , lalu sederhanakan.
Hitunglah kelilingnya untuk $w = 5$ cm, secara langsung dan dengan rumusmu yang sudah disederhanakan. Jawabannya sama?

Solusi

Solusi Latihan 48.9.

1. Panjangnya: $w + 3$ . Kelilingnya:

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Untuk $w = 5$ : secara langsung, sisinya $5$ dan $8$ , jadi $P = 2 \times 13 = 26$ cm; dengan rumusnya, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Keduanya cocok.

Latihan 48.10 ★★

Ikutilah trik pada Contoh 48.11 dengan huruf: “pikirkan sebuah bilangan, tambahkan $6$ , kalikan dengan $3$ , kurangi $18$ , lalu bagi dengan bilangan awalmu” (anggap bilangan itu bukan nol). Apa yang diperoleh semua orang?

Solusi

Solusi Latihan 48.10.

Mengikuti langkahnya dengan huruf $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Semua orang memperoleh $3$ .

Latihan 48.11 ★★★

Gambar di bawah ini adalah persegi dengan sisi $a$ yang pojoknya dipotong berupa persegi dengan sisi $b$ ( $b$ lebih kecil daripada $a$ ). Tulislah dua bentuk yang berbeda untuk luasnya (satu sebagai selisih, satu dengan memotong bangun L itu menjadi dua persegi panjang), lalu periksalah bahwa keduanya cocok untuk $a = 5$ , $b = 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 48.11.

Sebagai selisih: $A = a^2 - b^2$ . Dengan memotong huruf L itu menjadi dua persegi panjang: satu jalur selebar penuh setinggi $a - b$ dan, di atasnya, sebuah persegi panjang yang lebih sempit:

A = a(a - b) + b(a - b)

(persegi panjang bawah selebar $a$ dan setinggi $a - b$ , persegi panjang atas selebar $a - b$ dan setinggi $b$ memberi ragam $a(a-b) + (a-b)b$ — sama saja). Untuk $a = 5$ , $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , dan $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Kedua bentuknya cocok — dan memang selalu cocok: inilah kesamaan $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ pada Bab 66 yang sedang menyamar.

48.6 Soal: Peramal batang korek api

Soal 48.1

Soal akhir pekan — pola yang bertumbuh dan suku ke- $n$ -nya: tiga rumus untuk satu pola, dan pola terkenal yang patah pada langkah keenam

Susunlah batang korek api menjadi sebaris persegi: satu persegi, lalu dua, lalu tiga … Berapa batang yang diperlukan gambar yang keseratus? Membilangnya satu per satu akan memakan seluruh akhir pekan; sebuah rumus dalam $n$ menjawab seketika untuk setiap gambar sekaligus — persis itulah gunanya huruf (Contoh 48.3). Tetapi hati-hati: soal ini ditutup dengan pola termasyhur yang bermain jujur selama lima langkah lalu mengkhianati semua orang yang mempercayainya.

Bagian I — Sebaris persegi. Gambar $1$ adalah satu persegi dari batang korek api ( $4$ batang); setiap gambar berikutnya menambah satu persegi lagi yang berbagi sisi dengan persegi sebelumnya.

Gambarlah gambar $1$ sampai $4$ lalu bilanglah batangnya.
Jelaskan mengapa setiap persegi baru memakan tepat $3$ batang tambahan, lalu pakailah hal itu untuk meramalkan hitungan gambar $10$ tanpa rumus apa pun.
Berilah alasan untuk rumusnya: gambar $n$ memerlukan $3n + 1$ batang. (Dari mana datangnya “ $+1$ ” yang kesepian itu?) Periksalah dengan pertanyaan 1.
Amir bernalar dengan cara lain: “ $4$ batang untuk persegi yang pertama, lalu $3$ batang untuk masing-masing $n - 1$ persegi yang lain”, sehingga memberi $4 + 3(n - 1)$ . Jabarkan lalu sederhanakan bentuknya (Proposisi 48.6): apakah ia sepakat dengan pertanyaan 3?
Lina membilang dengan cara ketiga: “ $2n$ batang mendatar, dan $n + 1$ batang tegak.” Tulislah rumusnya, sederhanakan, lalu simpulkan. Setelah itu jawablah pertanyaan pembukanya: berapa batang untuk gambar $100$ ?

Bagian II — Segitiga, meja, dan berjalan mundur.

Sebaris segitiga dari batang korek api (setiap segitiga baru bersandar pada yang sebelumnya): bilanglah batangnya untuk $1$ , $2$ , $3$ segitiga, lalu berilah alasan untuk rumus $2n + 1$ pada $n$ segitiga.
Berjalan mundur: dengan tepat $49$ batang, berapa segitiga yang dapat dibuat sebaris? (Bongkarlah rumusnya selangkah demi selangkah.)
Meja jamuan berbentuk persegi menampung satu tamu pada tiap sisi yang kosong. Ketika $n$ meja dirapatkan menjadi satu baris panjang, jelaskan mengapa rumus tempat duduknya $2n + 2$ , lalu periksalah untuk $1$ , $2$ , $3$ meja.
Sebuah pesta menantikan $30$ tamu. Berapa meja yang diperlukan satu baris? Penyedia jamuannya malah membelah meja yang sama menjadi dua baris berisi tujuh: berapa tamu yang muat sekarang? Jelaskan keuntungannya dengan rumusnya.
Pola titik: gambar $n$ adalah huruf L dari titik, setinggi $n$ titik dan selebar $n$ titik (titik pojoknya dibilang sekali). Bilanglah titik gambar $1$ , $2$ , $3$ , carilah rumusnya, lalu namailah bilangan yang dihasilkannya. (Kalau ditumpuk bersama, huruf L ini menutup sebuah persegi — ceritanya dilanjutkan pada Soal 57.1.)

Bagian III — Percaya, uji, buktikan.

Seorang teman sekelas menyatakan bahwa gambar $n$ pada Bagian I memerlukan $3(n + 2) - 5$ batang. Selesaikan pernyataannya dengan menjabarkan lalu menyederhanakan — tanpa perlu diuji.
“Mengkuadratkan membuat bilangan menjadi lebih besar, jadi $n^2 \geq n$ untuk setiap bilangan $n$ .” Ujilah pernyataan itu untuk $n = 2$ , $3$ , $10$ ; lalu carilah bilangan yang membuatnya gagal. Apa yang dibuktikan ketiga uji yang berhasil tadi, dan apa yang dibuktikan satu kegagalan itu (Metode 48.8)?
Tandailah titik pada sebuah lingkaran lalu gambarlah setiap ruas garis di antaranya, lalu bilanglah daerah di dalam lingkarannya. Kerjakan untuk $2$ , $3$ , $4$ dan $5$ titik (letakkan titiknya tidak merata, agar tidak ada tiga ruas garis yang berpotongan di satu titik dalam). Catatlah hitungannya. Rumus apa yang dibisikkan polanya?
Sekarang $6$ titik, digambar besar dan tidak merata, dibilang dengan sangat hati-hati (ada banyak daerah kecil). Berapa daerah yang kamu temukan — dan apa yang terjadi pada dugaannya?
Pesan moralnya, dalam dua kalimat: apa yang diperlukan untuk membuktikan dugaan pelipatduaan itu, dan mengapa rumus batang korek api pada Bagian I dan II tidak pernah berada dalam bahaya semacam itu? Rayakan dengan ramalan yang terbukti: berapa batang untuk sebaris $2\,026$ persegi?

Solusi

Solusi Soal 48.1.

1. Gambar $1$ sampai $4$ memerlukan $4$ , $7$ , $10$ , $13$ batang.

2. Persegi yang baru berbagi satu sisi dengan gambar sebelumnya, jadi hanya $3$ dari $4$ sisinya yang berupa batang baru. Dari gambar $4$ ( $13$ batang), enam persegi lagi memakan $6 \times 3 = 18$ : gambar $10$ memerlukan $13 + 18 = 31$ batang.

3. Membaca barisnya dari kiri: ia bermula dengan satu batang tegak, lalu masing-masing dari $n$ persegi itu menyumbang sisi atas, sisi bawah dan sisi kanan — $3$ batang untuk tiap persegi. Seluruhnya: $3n + 1$ ; “ $+1$ ” itu adalah batang tegak yang paling awal. Periksa: $n = 1, 2, 3, 4$ memberi $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : rumus Amir menjabar menjadi bentuk sederhana yang persis sama. Sepakat sepenuhnya.

5. Lina: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — sama lagi. Tiga cara memandang, satu bentuk sederhana. Gambar $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ batang.

6. Hitungannya: $3$ , $5$ , $7$ batang. Setiap segitiga baru bersandar pada sisi yang sudah ada dan hanya menambah $2$ batang, mulai dari $3$ : gambar $n$ memerlukan $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ batang.

7. Bongkarlah $2n + 1 = 49$ : membuang batang yang pertama menyisakan $48$ , lalu setiap segitiga bernilai $2$ : $48 \div 2 = 24$ segitiga.

8. Pada sebaris $n$ meja, setiap meja menawarkan sisi atas dan sisi bawahnya ( $2n$ tempat duduk), dan kedua meja di ujung menawarkan satu sisi tambahan masing-masing ( $+2$ ): $2n + 2$ tempat duduk. Periksa: $4$ , $6$ , $8$ untuk $n = 1, 2, 3$ .

9. Satu baris: $2n + 2 \geq 30$ memerlukan $2n \geq 28$ , jadi $14$ meja. Membelah $14$ meja yang sama menjadi dua baris berisi $7$ : setiap barisnya menampung $2 \times 7 + 2 = 16$ , bersama-sama $32$ — dua lebih banyak daripada satu baris, karena setiap baris baru membawa dua ujung yang baru. (Setiap pembelahan menambah $2$ tempat duduk; para penyedia jamuan tahu itu.)

10. Huruf L berukuran $n$ punya $n$ titik ke atas dan $n$ titik melintang, dengan titik pojoknya dipakai bersama: $n + n - 1 = 2n - 1$ titik. Gambar $1$ , $2$ , $3$ : $1$ , $3$ , $5$ titik — yaitu bilangan ganjil. Kalau disarangkan satu mengelilingi yang lain, huruf L itu mengisi persegi titik $n \times n$ : itulah cerita Soal 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : pernyataannya menyusut menjadi rumus yang sudah dibuktikan, jadi ia benar untuk setiap $n$ — ditegakkan oleh aljabar, bukan oleh contoh.

12. Ujinya: $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : semuanya lulus. Tetapi $n = 0.5$ memberi $n^2 = 0.25 < 0.5$ : pernyataannya gagal. Ketiga uji tadi tidak membuktikan apa pun tentang semua bilangan (ketiganya sekadar gagal menemukan masalah); satu contoh penyangkal itulah yang membuktikan pernyataan umumnya salah (Metode 48.8). Sebuah huruf mewakili setiap bilangan — termasuk bilangan desimal.

13. Daerahnya: $2$ titik $\to 2$ ; $3$ titik $\to 4$ ; $4$ titik $\to 8$ ; $5$ titik $\to 16$ . Polanya membisikkan “setiap titik melipatduakan hitungannya”: $32$ daerah yang diharapkan untuk $6$ titik.

14. Pembilangan yang teliti memberi $31$ daerah — bukan $32$ . Dugaan pelipatduaannya mati: ia selamat empat kali pemeriksaan lalu gagal pada yang kelima. (Contoh penyangkal ini cukup terkenal sehingga punya nama, “perangkap daerah lingkaran”; jangan memakai jalan pintas titik yang merata — tiga tali busur yang bertemu di satu titik akan menggabungkan daerah dan merusak hitungannya.)

15. Pembuktiannya memerlukan alasan struktural mengapa menambah satu titik melipatduakan daerahnya — dan alasan itu tidak ada: pelipatduaannya hanyalah kebetulan pada kasus yang kecil. Rumus batang korek api aman karena masing-masing dibaca langsung dari susunannya (setiap persegi jelas memakan $3$ batang, setiap meja jelas menawarkan $2$ tempat duduk): struktur, bukan pengujian. Ramalan yang terbukti: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ batang.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Bentuk aljabar

Lihat semua 395 istilah di glosarium