Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

44Perbandingan Senilai dan Data

Kalau tiga buku tulis berharga $6$ euro, maka enam buku tulis berharga $12$ : lipatduakan buku tulisnya, lipatduakan harganya. Besaran yang berperilaku seperti ini disebut sebanding — salah satu gagasan yang paling berguna dalam seluruh matematika, yang dikembangkan lebih jauh pada Bab 49. Bab ini ditutup dengan membaca dan menggambar diagram data sederhana.

44.1 Besaran yang sebanding

Definisi 44.1 (Perbandingan senilai)

Dua besaran disebut sebanding jika nilai besaran yang satu diperoleh dari nilai besaran yang lain dengan mengalikannya selalu dengan bilangan yang sama, yang disebut koefisien perbandingan.

Contoh 44.2

Buku tulis seharga $2$ euro masing-masing:

buku tulis	$3$	$5$	$8$	$12$
harga (euro)	$6$	$10$	$16$	$24$

Setiap harganya adalah banyaknya buku tulis $\times 2$ : koefisiennya $2$ (harga satuannya). Cara cepat memeriksa bahwa sebuah tabel sebanding: semua “hasil bagi kolom” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ harus sama — di sini semuanya sama dengan $2$ .

Contoh 44.3 (Sebuah bukan-contoh)

Umur dan tinggi badan tidak sebanding: anak berumur $12$ tahun tidak dua kali lebih tinggi daripada anak berumur $6$ tahun. Periksalah dengan bilangan: $1.50$ m pada umur $12$ tahun dan $1.15$ m pada umur $6$ tahun memberi hasil bagi $\frac{1.50}{12} = 0.125$ dan $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — tidak sama.

Metode 44.4 (Melengkapi tabel perbandingan senilai)

Tiga cara, yang bebas dipilih:

koefisien: carilah pengalinya dari satu kolom yang lengkap, lalu terapkan pada kolom yang lain;
kolom: sebuah kolom dapat dikalikan dengan bilangan, atau dua kolom dapat dijumlahkan, untuk menghasilkan kolom yang baru;
kembali ke satuan: carilah dulu nilai untuk satu barang, lalu kalikan.

Contoh 44.5

Lima cangkir yang sama berharga $15$ euro; berapa harga delapan cangkir?

Kembali ke satuan: satu cangkir berharga $15 \div 5 = 3$ euro, jadi delapan cangkir berharga $8 \times 3 = 24$ euro.

Kolom: $8 = 5 + 3$ ; tiga cangkir berharga $\frac{3}{5}$ dari $15$ , yaitu $9$ ; jadi delapan cangkir berharga $15 + 9 = 24$ euro. Jawaban yang sama, memang seharusnya begitu.

44.2 Persen

Definisi 44.6 (Persen)

“ $t\,\%$ dari suatu besaran” berarti pecahan $\frac{t}{100}$ dari besaran itu: $25\,\%$ dari $60$ adalah $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Persen adalah perbandingan senilai dengan koefisien $\frac{t}{100}$ .

Contoh 44.7

Sebuah kelas berisi $30$ murid punya $40\,\%$ murid perempuan. Banyaknya murid perempuan, selangkah demi selangkah: $40\,\%$ berarti $\frac{40}{100} = 0.4$ , dan $0.4 \times 30 = 12$ murid perempuan. Patokan yang berguna: $50\,\%$ adalah setengah, $25\,\%$ seperempat, $10\,\%$ sepersepuluh — jadi $10\,\%$ dari $30$ adalah $3$ , dan $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ adalah $4 \times 3 = 12$ : jawaban yang sama, dihitung di kepala.

44.3 Membaca dan menggambar diagram

Metode 44.8 (Membaca tabel atau diagram)

Apa pun gambarnya — tabel, diagram batang, atau grafik garis:

bacalah judulnya dan satuan pada kedua sumbunya lebih dulu;
untuk menjawab pertanyaan, carilah batang atau kolom yang tepat, lalu bacalah nilainya dengan cermat pada skalanya;
untuk membandingkan, bandingkan tinggi batangnya — tetapi periksalah bahwa sumbunya bermula dari $0$ , kalau tidak gambarnya dapat menyesatkan.

Contoh 44.9

Diagram batang di bawah ini menunjukkan banyaknya buku yang dipinjam di perpustakaan sekolah selama satu minggu.

Diagram batang: satu batang untuk satu hari, tingginya sama dengan hitungannya.

Bacaan: hari yang paling sibuk adalah Rabu ( $17$ buku). Selasa dan Kamis bersama-sama mencakup $8 + 6 = 14$ buku — lebih sedikit daripada Jumat sendirian ( $15$ ). Seluruhnya untuk satu minggu: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ buku.

Besaran yang sebanding punya grafik yang sangat mudah dikenali: titiknya berbaris pada sebuah garis lurus yang melalui titik asal (di sini buku tulis seharga 3 euro masing-masing; garis putus-putusnya membaca harga 6 buku tulis: 18 euro). — Besaran yang sebanding punya grafik yang sangat mudah dikenali: titiknya berbaris pada sebuah garis lurus yang melalui titik asal (di sini buku tulis seharga $3$ euro masing-masing; garis putus-putusnya membaca harga $6$ buku tulis: $18$ euro).

44.4 Latihan

Latihan 44.1 ★

Apakah tabelnya sebanding? Berilah alasan dengan menghitung hasil baginya.

kg apel	$2$	$3$	$5$
harga (euro)	$5$	$7.5$	$12.5$

umur (tahun)	$2$	$4$	$8$
tinggi (cm)	$85$	$103$	$130$

Solusi

Solusi Latihan 44.1.

Apel: hasil baginya $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — semuanya sama: sebanding (harganya $2.50$ per kg).

Umur dan tinggi: $\frac{85}{2} = 42.5$ tetapi $\frac{103}{4} = 25.75$ — tidak sama: tidak sebanding.

Latihan 44.2 ★

Empat croissant berharga $4.80$ euro. Carilah harga satu croissant, lalu harga tujuh croissant.

Solusi

Solusi Latihan 44.2.

Satu croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ euro. Tujuh: $7 \times 1.20 = 8.40$ euro.

Latihan 44.3 ★

Lengkapilah tabel perbandingan senilai ini (koefisiennya dulu!):

liter bahan bakar	$10$	$25$	$?$	$60$
harga (euro)	$18$	$?$	$72$	$?$

Solusi

Solusi Latihan 44.3.

Koefisiennya: $18 \div 10 = 1.8$ euro per liter. Lalu $25$ L berharga $25 \times 1.8 = 45$ euro; $72$ euro membeli $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L berharga $60 \times 1.8 = 108$ euro.

Latihan 44.4 ★

Sebuah mobil memakai $6$ L bahan bakar setiap $100$ km. Berapa bahan bakar untuk $250$ km? Untuk $350$ km? Sejauh apa ia dapat melaju dengan $27$ L?

Solusi

Solusi Latihan 44.4.

Untuk $250$ km: $2.5$ kali bahan bakar untuk $100$ km, jadi $2.5 \times 6 = 15$ L. Untuk $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Dengan $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ ratusan km, yaitu $450$ km.

Latihan 44.5 ★

Hitunglah di kepala, dengan memakai patokan pada Contoh 44.7: $50\,\%$ dari $84$ ; $25\,\%$ dari $200$ ; $10\,\%$ dari $63$ ; $30\,\%$ dari $70$ .

Solusi

Solusi Latihan 44.5.

$50\,\%$ dari $84$ : setengahnya, $42$ . $25\,\%$ dari $200$ : seperempatnya, $50$ . $10\,\%$ dari $63$ : sepersepuluhnya, $6.3$ . $30\,\%$ dari $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Latihan 44.6 ★

Di sebuah sekolah berisi $450$ murid, $60\,\%$ makan di kantin. Berapa murid itu? Berapa yang tidak?

Solusi

Solusi Latihan 44.6.

$60\,\%$ dari $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ murid makan di kantin; $450 - 270 = 180$ murid tidak.

Latihan 44.7 ★

Dengan diagram batang pada Contoh 44.9: pada hari apa saja buku yang dipinjam kurang dari $10$ ? Berapa buku lebih banyak yang dipinjam pada hari Rabu daripada pada hari Kamis?

Solusi

Solusi Latihan 44.7.

Kurang dari $10$ buku: Selasa ( $8$ ) dan Kamis ( $6$ ). Rabu dikurangi Kamis: $17 - 6 = 11$ buku lebih banyak.

Latihan 44.8 ★

Suhu pada tengah hari dari Senin sampai Jumat adalah $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ derajat. Gambarlah diagram batang data ini (pilihlah skala yang masuk akal), lalu bacalah hari yang paling panas.

Solusi

Solusi Latihan 44.8.

Diagram batang dengan lima batang setinggi $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ (skala setiap $2$ atau $5$ derajat berjalan baik). Hari paling panas: Jumat ( $20$ derajat).

Latihan 44.9 ★★

Sebuah resep untuk $6$ orang memerlukan $450$ g tepung dan $3$ butir telur. Sesuaikan untuk $10$ orang. (Untuk telurnya, berpikirlah dulu sebelum menulis bilangan desimal butir telur!)

Solusi

Solusi Latihan 44.9.

Untuk $10$ orang, kalikan dengan $\frac{10}{6} = \frac53$ : tepungnya $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Telurnya: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — untunglah bilangan bulat. (Kalau bukan, orang akan membulatkannya ke atas agar cukup.)

Latihan 44.10 ★★

Dengan kelajuan tetap, seorang pengendara sepeda menempuh $24$ km dalam $1$ jam.

Sejauh apa ia melaju dalam $2$ jam? Dalam setengah jam? Dalam $1$ jam $30$ menit?
Berapa lama waktu yang ia perlukan untuk $60$ km?

Solusi

Solusi Latihan 44.10.

1. Dalam $2$ jam: $48$ km. Dalam setengah jam: $12$ km. Dalam $1$ jam $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ jam, yaitu $2$ jam $30$ menit.

Latihan 44.11 ★★

Sebuah toko menawarkan “potongan $20\,\%$ untuk semuanya”. Hitunglah potongannya dan harga barunya untuk: bola seharga $15$ euro; raket seharga $40$ euro. Apakah harga barunya sebanding dengan harga lamanya? Berapa koefisiennya?

Solusi

Solusi Latihan 44.11.

Bola: potongannya $20\,\%$ dari $15 = 3$ euro, harga barunya $12$ euro. Raket: potongannya $8$ euro, harga barunya $32$ euro. Harga barunya adalah $80\,\%$ harga lamanya pada setiap keadaan: sebanding, dengan koefisien $0.8$ .

Latihan 44.12 ★★★

Dua batang lilin yang sama tingginya dinyalakan pada saat yang sama. Yang tebal habis terbakar dalam $6$ jam, yang tipis dalam $4$ jam, masing-masing dengan lajunya sendiri yang tetap. Setelah berapa lama lilin yang tipis tepat setengah tinggi lilin yang tebal? (Nyatakan tinggi yang tersisa setelah $t$ jam sebagai pecahan dari tinggi awalnya.)

Solusi

Solusi Latihan 44.12.

Setelah $t$ jam, lilin yang tebal sudah terbakar $\frac t6$ tingginya: ia berdiri setinggi $1 - \frac t6$ dari tinggi awalnya; yang tipis setinggi $1 - \frac t4$ . Kita menginginkan

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{yaitu}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Lalu $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , jadi $t = 3$ jam. Periksa: setelah $3$ jam lilin yang tebal berdiri setinggi $1 - \frac36 = \frac12$ dan yang tipis setinggi $1 - \frac34 = \frac14$ — memang setengahnya.

44.5 Soal: Peta, denah, dan cara berbohong dengan diagram

Soal 44.1

Soal akhir pekan — skala sebuah peta adalah perbandingan senilai: panjang mengikuti koefisiennya, luas mengikuti kuadratnya, dan diagram yang digambar buruk menipu mata

Setiap peta, denah lantai dan model menuruti satu aturan: panjang yang sebenarnya dan panjang yang digambar itu sebanding (Definisi 44.1). Koefisiennya punya nama yang terkenal — yaitu skala — dan ia menyembunyikan dua perangkap yang sengaja dipasang soal ini: luas tidak mengikuti skalanya, dan persen, seperti diagram, sepenuhnya bergantung pada apa yang menjadi pembandingnya.

Bagian I — Membaca sebuah peta. Sebuah peta pendakian berskala $1:100\,000$ : setiap sentimeter pada peta mewakili $100\,000$ sentimeter di tanah.

Ubahlah $100\,000$ cm menjadi kilometer. Berapa km yang diwakili $1$ cm peta ini?
Dua desa terletak $7.5$ cm terpisah pada peta; tepi sebuah danau berupa kurva sepanjang $12$ cm. Sebutkan jarak yang sebenarnya.
Sebuah jalan Romawi yang benar-benar lurus panjangnya $20$ km. Berapa panjangnya pada peta?
Peta kedua mengumumkan “ $1$ cm untuk $5$ km”. Tulislah skalanya dalam bentuk $1: \,?$ . Peta mana di antara keduanya yang menunjukkan lebih banyak kerincian untuk daerah yang sama?
Buatlah tabel kecil (jarak pada peta $1$ , $2$ , $7.5$ cm melawan jarak yang sebenarnya) untuk peta pendakian itu, lalu jelaskan mengapa skala tepat merupakan perbandingan senilai dalam arti Definisi 44.1. Berapa koefisien yang mengubah sentimeter-pada-peta menjadi kilometer?

Bagian II — Denah kamar tidur Zahra. Zahra menggambar denah kamar tidurnya — persegi panjang $4$ m kali $3$ m — dengan skala $1:50$ .

Berapa ukuran kamarnya pada denah itu?
Tempat tidurnya berukuran $2$ m kali $0.9$ m, dan pintunya selebar $80$ cm. Sebutkan ketiga ukuran itu pada denahnya.
Sekarang perangkapnya. Hitunglah luas kamar yang sebenarnya dalam m $^2$ , lalu luas denahnya dalam cm $^2$ . Ubahlah luas yang sebenarnya menjadi cm $^2$ (Definisi 43.5) lalu bagilah dengan luas denahnya: apakah hasil baginya $50$ ?
Jelaskan bilangan yang kamu temukan: pada denah $1:50$ , setiap sentimeter persegi kertas mewakili persegi sebenarnya berukuran $50$ cm kali $50$ cm. Berapa cm $^2$ sebenarnya itu? Nyatakan aturannya: ketika panjang dibagi $50$ , luas dibagi …
Sebuah permadani bundar menutupi $6$ cm $^2$ pada denahnya. Berapa luas yang sebenarnya ia tutupi, dalam cm $^2$ lalu dalam m $^2$ ?

Bagian III — Cara berbohong dengan diagram (dan dengan persen).

Sebuah toko menjual senilai $105$ euro pada hari Sabtu dan $110$ pada hari Minggu. Manajernya menggambar diagram batang yang sumbu tegaknya bermula dari $100$ : batang Sabtu naik $5$ satuan kecil, batang Minggu $10$ . Apa yang disarankan gambarnya tentang hari Minggu, dan apa yang sebenarnya terjadi? (Hitunglah kenaikan hari Minggu sebagai persen dari hari Sabtu, sampai persen terdekat.) Peringatan yang mana pada Metode 44.8 yang diabaikan sang manajer?
Gambarlah ulang (atau jelaskan) diagram yang jujur, dengan sumbunya bermula dari $0$ : bagaimana perbandingan kedua batangnya sekarang?
Sebuah koleksi bertambah dari $40$ menjadi $60$ perangko: hitunglah kenaikannya sebagai persen dari nilai awalnya. Lalu ia menyusut kembali dari $60$ menjadi $40$ : hitunglah penurunannya sebagai persen dari nilai awal yang itu. Mengapa kedua jawabannya berbeda, padahal $20$ perangkonya sama?
Musim obral: sebuah mantel seharga $100$ euro mendapat “potongan $20\,\%$ ”, dan di kasir ada tambahan “potongan $10\,\%$ dari harga yang sudah dipotong”. Hitunglah harga akhirnya selangkah demi selangkah. Apakah potongan seluruhnya $30\,\%$ ? Jelaskan kepada pembelinya berapa sebenarnya.
Penutupnya, kembali ke peta pada pertanyaan 4 ( $1$ cm untuk $5$ km): sebuah hutan menempati $3$ cm $^2$ pada peta itu. Berapa luasnya yang sebenarnya, dalam km $^2$ ? Tutuplah dengan aturan seluruh soal ini: panjang mengikuti skalanya, luas mengikuti …

Solusi

Solusi Soal 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: satu sentimeter pada peta adalah satu kilometer di tanah.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km antara kedua desa; $12$ cm $\rightarrow 12$ km tepi danau.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm pada peta.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, jadi skalanya $1:500\,000$ . Peta pendakiannya ( $1:100\,000$ ) yang lebih rinci: ia memakai $5$ cm kertas ketika peta yang lain hanya menghabiskan $1$ cm.

peta (cm)	$1$	$2$	$7.5$
sebenarnya (km)	$1$	$2$	$7.5$

Jarak sebenarnya $=$ jarak pada peta $\times 1$ (dalam satuan ini): selalu pengali yang sama, dan itu tepat definisi perbandingan senilai (Definisi 44.1). Koefisiennya di sini $1$ kilometer per sentimeter.

6. $4$ m $= 400$ cm dan $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm dan $300 \div 50 = 6$ : denahnya menunjukkan persegi panjang $8$ cm $\times$ $6$ cm.

7. Tempat tidur: $200 \div 50 = 4$ cm kali $90 \div 50 = 1.8$ cm. Pintu: $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Luas sebenarnya: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Luas denahnya: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . Setelah diubah: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , dan

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

Hasil baginya bukan $50$ melainkan $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Satu cm $^2$ kertas mewakili persegi sebenarnya berukuran $50$ cm kali $50$ cm, yang memuat $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Jadi ketika panjang dibagi $50$ , luas dibagi $50 \times 50 = 2\,500$ : luas mengikuti kuadrat skalanya.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , dan $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. Gambarnya menyarankan bahwa hari Minggu menjual dua kali lebih banyak (batangnya dua kali lebih tinggi). Yang sebenarnya: kenaikannya $5$ euro dari $105$ , dan $5 \div 105 \approx 0.048$ : kira-kira $5\,\%$ lebih banyak, bukan $100\,\%$ lebih banyak. Manajernya mengabaikan peringatan untuk memeriksa bahwa sumbunya bermula dari $0$ (Metode 44.8).

12. Dengan sumbu yang bermula dari $0$ , batangnya naik sampai $105$ dan $110$ satuan kecil: dua batang yang tingginya hampir sama, yaitu gambar yang jujur untuk selisih $5\,\%$ .

13. Naik: kenaikannya $20$ perangko dari awal $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . Turun: penurunannya $20$ perangko dari awal $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Sama-sama $20$ perangko, tetapi nilai awalnya berbeda — persen selalu berupa pecahan dari sesuatu, dan “sesuatu” itu sudah berubah.

14. Setelah potongan $20\,\%$ : $100 - 20 = 80$ euro. Tambahan $10\,\%$ berlaku pada $80$ : potongannya $8$ euro, harga akhirnya $72$ euro. Potongan seluruhnya: $28$ euro dari $100$ , jadi $28\,\%$ — bukan $30\,\%$ . Potongan kedua bekerja pada harga yang sudah dipotong, jadi euronya lebih kecil: persen dari besaran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.

15. Pada peta itu, $1$ cm mewakili $5$ km, jadi $1$ cm $^2$ mewakili $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (aturan pertanyaan 9). Hutannya: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Panjang mengikuti skalanya; luas mengikuti kuadratnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium