Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

40Garis, Lingkaran dan Sudut

Geometri bermula dari penggaris, penggaris siku dan jangka. Bab ini menetapkan kosakatanya — titik, ruas garis, sinar garis, garis dan lingkaran — memperkenalkan dua kedudukan istimewa garis (sejajar dan tegak lurus), lalu mengajarkan cara mengukur dan menggambar sudut.

40.1 Titik, ruas garis, garis

Definisi 40.1 (Objek dasar)

Melalui dua titik berbeda $A$ dan $B$ lewat:

ruas garis $[AB]$ : bagian garis di antara $A$ dan $B$ (ia punya panjang, ditulis $AB$ );
sinar garis $[AB)$ : bermula di $A$ , melalui $B$ dan berlanjut selamanya;
garis $(AB)$ : memanjang selamanya ke kedua arah. Dua titik menentukan tepat satu garis.

Titik yang terletak pada garis yang sama disebut segaris.

Dua titik yang sama, tiga objek yang berbeda. Kurungnya mengatakan mana yang berhenti dan mana yang berlanjut: [ berhenti, ( berlanjut. — Dua titik yang sama, tiga objek yang berbeda. Kurungnya mengatakan mana yang berhenti dan mana yang berlanjut: $[$ berhenti, $($ berlanjut.

40.2 Garis sejajar dan garis tegak lurus

Definisi 40.2 (Tegak lurus, sejajar)

Dua garis disebut tegak lurus jika keduanya berpotongan membentuk sudut siku-siku; kita menulis $d_1 \perp d_2$ dan menandai sudut siku-sikunya dengan persegi kecil. Dua garis disebut sejajar jika keduanya tidak pernah bertemu, sejauh apa pun diperpanjang; kita menulis $d_1 \parallel d_2$ .

Sebuah perpotongan siku-siku (ditandai persegi kecil) dan dua garis sejajar: arahnya sama, tanpa titik potong.

Proposisi 40.3 (Dua fakta yang berguna)

Jika dua garis sama-sama tegak lurus terhadap garis ketiga, keduanya sejajar satu sama lain.
Jika dua garis sejajar, setiap garis yang tegak lurus terhadap salah satunya juga tegak lurus terhadap yang lain.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 40.4 (Menggambar dengan penggaris siku)

Untuk menggambar garis tegak lurus terhadap garis $d$ melalui titik $P$ :

letakkan satu tepi sudut siku-siku itu sepanjang garis $d$ ;
geser penggaris siku itu sepanjang $d$ sampai tepinya yang lain mencapai $P$ ;
gambarlah garis sepanjang tepi itu, lalu tandai sudut siku-sikunya.

Untuk garis sejajar melalui $P$ : gambarlah garis tegak lurus terhadap $d$ , lalu garis tegak lurus terhadap garis itu melalui $P$ (Proposisi 40.3).

40.3 Lingkaran

Definisi 40.5 (Lingkaran)

Lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $r$ adalah himpunan semua titik yang berjarak tepat $r$ dari $O$ . Ruas garis dari pusat ke lingkaran disebut jari-jari; ruas garis yang menghubungkan dua titik lingkaran melalui pusatnya disebut diameter — panjangnya $2r$ ; ruas garis yang menghubungkan dua titik lingkaran disebut tali busur.

Sebuah lingkaran dengan jari-jari [OM], diameter [AB] (tali busur yang melalui pusat, dua kali panjang jari-jari) dan tali busur [CD]. — Sebuah lingkaran dengan jari-jari $[OM]$ , diameter $[AB]$ (tali busur yang melalui pusat, dua kali panjang jari-jari) dan tali busur $[CD]$ .

Contoh 40.6

“Gambarlah lingkaran berpusat $O$ yang melalui $A$ ”: bukalah jangka dari $O$ ke $A$ — jari-jarinya adalah jarak $OA$ — lalu putar. Setiap titik lingkaran ini berjarak sama dari $O$ seperti $A$ .

40.4 Sudut

Definisi 40.7 (Sudut)

Dua sinar garis $[AB)$ dan $[AC)$ dengan titik pangkal yang sama $A$ membentuk sudut $\widehat{BAC}$ ; titik $A$ adalah titik sudutnya (selalu huruf yang di tengah!). Sudut diukur dalam derajat ( $^\circ$ ), dari $0^\circ$ sampai $360^\circ$ untuk satu putaran penuh. Sebuah sudut disebut:

siku-siku jika besarnya $90^\circ$ ;
lancip jika besarnya kurang daripada $90^\circ$ ;
tumpul jika besarnya antara $90^\circ$ dan $180^\circ$ ;
lurus jika besarnya $180^\circ$ (kedua sinar garisnya membentuk sebuah garis).

Empat keluarga sudut. Sudut siku-siku (90) adalah patokannya: lancip berarti lebih kecil, tumpul berarti lebih besar. — Empat keluarga sudut. Sudut siku-siku ( $90^\circ$ ) adalah patokannya: lancip berarti lebih kecil, tumpul berarti lebih besar.

Metode 40.8 (Mengukur sudut dengan busur derajat)

Letakkan pusat busur derajat tepat pada titik sudutnya;
luruskan garis $0^\circ$ -nya dengan salah satu sisi sudut itu;
bacalah skala yang dilewati sisi yang lain — dengan memakai skala yang bermula dari $0$ pada sisi yang diluruskan tadi;
periksalah dengan mata: sudut lancip harus terbaca kurang daripada $90^\circ$ , sudut tumpul lebih.

Contoh 40.9

Sebelum mengukur, taksirlah dulu! Sudut yang sedikit lebih terbuka daripada pojok selembar kertas berukuran sedikit di atas $90^\circ$ ; setengah sudut siku-siku adalah $45^\circ$ ; sepertiga sudut siku-siku adalah $30^\circ$ . Kalau busur derajatmu menyebut $150^\circ$ untuk sudut yang terlihat lancip, kamu membaca skala yang salah: ukuran yang benar adalah $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Latihan

Latihan 40.1 ★

Gambarlah tiga titik $A$ , $B$ , $C$ yang tidak segaris. Gambarlah dengan warna berbeda: ruas garis $[AB]$ , sinar garis $[CA)$ , garis $(BC)$ .

Solusi

Solusi Latihan 40.1.

Lukisan bebas. Ruas garisnya berhenti di $A$ dan $B$ ; sinar garisnya bermula di $C$ lalu berlanjut melewati $A$ ; garisnya berlanjut ke kedua arah melewati $B$ dan $C$ .

Latihan 40.2 ★

Benar atau salah? “ $[AB]$ dan $[BA]$ adalah ruas garis yang sama.” “ $[AB)$ dan $[BA)$ adalah sinar garis yang sama.” “ $(AB)$ dan $(BA)$ adalah garis yang sama.” Jelaskan setiap jawabanmu.

Solusi

Solusi Latihan 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: benar — bagian di antara kedua titik itu tidak bergantung pada urutannya.

“ $[AB) = [BA)$ ”: salah — $[AB)$ bermula di $A$ , $[BA)$ bermula di $B$ ; keduanya menunjuk ke arah yang berlawanan.

“ $(AB) = (BA)$ ”: benar — kedua nama itu menjelaskan garis tak terbatas yang sama.

Latihan 40.3 ★

Gambarlah sebuah garis $d$ dan titik $P$ yang tidak pada $d$ . Lukislah dengan penggaris siku: garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $P$ , lalu garis sejajar dengan $d$ melalui $P$ . Jelaskan langkahmu.

Solusi

Solusi Latihan 40.3.

Langkahnya: geser penggaris siku sepanjang $d$ sampai tepi tegak lurusnya melalui $P$ ; gambarlah garis tegak lurus itu, sebut saja $p$ . Lalu gambarlah garis tegak lurus terhadap $p$ melalui $P$ dengan cara yang sama: menurut Proposisi 40.3 garis itu sejajar dengan $d$ .

Latihan 40.4 ★

Garis $a$ dan $b$ sama-sama tegak lurus terhadap garis $c$ , dan garis keempat $e$ tegak lurus terhadap $a$ . Apa yang dapat kamu katakan tentang $a$ dan $b$ ? Tentang $e$ dan $c$ ? Berilah alasan dengan Proposisi 40.3.

Solusi

Solusi Latihan 40.4.

$a$ dan $b$ sama-sama tegak lurus terhadap garis yang sama $c$ , jadi $a \parallel b$ (fakta 1). Untuk $e$ dan $c$ : keduanya tegak lurus terhadap garis yang sama $a$ (diketahui $e \perp a$ , dan $a \perp c$ berarti $c \perp a$ juga), jadi fakta 1 berlaku lagi: $e \parallel c$ .

Latihan 40.5 ★

Gambarlah lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $3$ cm. Letakkan titik $M$ pada lingkaran, titik $N$ di dalamnya, titik $P$ di luarnya. Apa yang dapat kamu katakan tentang jarak $OM$ , $ON$ , $OP$ dibandingkan dengan $3$ cm?

Solusi

Solusi Latihan 40.5.

$OM = 3$ cm tepat ( $M$ pada lingkaran); $ON < 3$ cm ( $N$ di dalam); $OP > 3$ cm ( $P$ di luar).

Latihan 40.6 ★

Sebuah lingkaran berdiameter $9$ cm. Berapa jari-jarinya? Lingkaran lain berjari-jari $2.6$ cm: berapa diameternya?

Solusi

Solusi Latihan 40.6.

Jari-jari $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diameter $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Latihan 40.7 ★

Sebutkan nama sudut yang ditandai dengan tiga huruf, lalu golongkan (lancip, siku-siku, tumpul, lurus): sudut $72^\circ$ dengan titik sudut $R$ di antara sinar garis menuju $S$ dan $T$ ; sudut $148^\circ$ dengan titik sudut $B$ di antara sinar garis menuju $A$ dan $C$ ; sudut $90^\circ$ dengan titik sudut $O$ di antara sinar garis menuju $M$ dan $N$ .

Solusi

Solusi Latihan 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : lancip. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : tumpul. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : siku-siku. (Titik sudutnya selalu huruf yang di tengah.)

Latihan 40.8 ★

Taksirlah, lalu ukurlah dengan busur derajat, ketiga sudut sebuah segitiga yang kamu gambar sendiri. Jumlahkan ketiga ukurannya: apa yang kamu peroleh? (Simpanlah jawabanmu untuk Bab 51.)

Solusi

Solusi Latihan 40.8.

Ukurannya bergantung pada segitiga yang digambar, tetapi jumlah ketiga sudutnya selalu (sangat dekat dengan) $180^\circ$ — selisih yang kecil berasal dari ketidaktelitian pengukuran. Bab 51 membuktikan bahwa jumlahnya tepat $180^\circ$ .

Latihan 40.9 ★

Gambarlah sudut $\widehat{xOy}$ sebesar $65^\circ$ dengan busur derajat, lalu sudut $130^\circ$ . Bagaimana kamu dapat memperoleh sudut yang kedua dari yang pertama tanpa busur derajat?

Solusi

Solusi Latihan 40.9.

Lukisan bebas. Untuk memperoleh $130^\circ$ dari $65^\circ$ tanpa busur derajat: salinlah sudut $65^\circ$ itu dua kali berdampingan ( $65 + 65 = 130$ ), misalnya dengan kertas kalkir atau dengan menyalin sudut memakai jangka dan penggaris.

Latihan 40.10 ★★

Dua desa $A$ dan $B$ digambar pada sebuah peta. Di mana titik yang berjarak $3$ cm dari $A$ dan $2$ cm dari $B$ ? Gambarlah yang memperlihatkan ada berapa titik semacam itu ( $0$ , $1$ atau $2$ , bergantung pada jarak $AB$ ).

Solusi

Solusi Latihan 40.10.

Titik yang berjarak $3$ cm dari $A$ membentuk lingkaran berpusat $A$ dengan jari-jari $3$ cm; titik yang berjarak $2$ cm dari $B$ membentuk lingkaran berpusat $B$ dengan jari-jari $2$ cm. Titik yang diminta adalah perpotongan kedua lingkaran itu: dua titik jika keduanya berpotongan ( $AB$ tepat di antara $1$ dan $5$ cm), satu titik jika keduanya bersinggungan ( $AB = 5$ cm atau $AB = 1$ cm), tidak ada jika keduanya terlalu berjauhan atau yang satu di dalam yang lain.

Latihan 40.11 ★★

Sebuah jam menunjukkan pukul 3: berapa sudut di antara kedua jarumnya? Pertanyaan yang sama pada pukul 5, dan pada pukul 6. (Satu putaran penuh adalah $360^\circ$ untuk $12$ jam.)

Solusi

Solusi Latihan 40.11.

Ada $12$ tanda jam yang membelah satu putaran penuh menjadi $12$ sudut sebesar $360 \div 12 = 30^\circ$ . Pada pukul 3 kedua jarumnya merentang $3$ tanda: $90^\circ$ (sudut siku-siku). Pada pukul 5: $5 \times 30 = 150^\circ$ . Pada pukul 6: $180^\circ$ (sudut lurus).

Latihan 40.12 ★★★

Gambarlah ruas garis $[AB]$ sepanjang $6$ cm. Lukislah titik $C$ sedemikian sehingga $AC = BC = 6$ cm, hanya dengan jangka, lalu ukurlah sudut $\widehat{CAB}$ . Segitiga apa yang kamu bangun, dan apa dugaanmu tentang sudutnya?

Solusi

Solusi Latihan 40.12.

Gambarlah dua busur berjari-jari $6$ cm yang berpusat di $A$ dan di $B$ ; titik potongnya adalah $C$ . Ketiga sisinya berukuran $6$ cm: jadi segitiganya sama sisi, dan setiap sudutnya berukuran $60^\circ$ (pengukurannya membenarkan hal itu). Dugaan: segitiga sama sisi punya tiga sudut yang sama besar, masing-masing $60^\circ$ .

40.6 Soal: Geometri pada muka jam

Soal 40.1

Soal akhir pekan — sudut sebagai pecahan dari satu putaran: membacanya pada jam, memburu saat kedua jarum bertemu, lalu mengiris satu hari menjadi diagram lingkaran

Sebuah jam adalah busur derajat yang menunjukkan waktu: mukanya adalah satu putaran penuh $360^\circ$ , yang dipotong oleh dua belas tanda jam menjadi dua belas sudut yang sama. Latihan 40.11 mengukur jarumnya pada pukul 3 dan pukul 6; soal ini membangun teorinya secara lengkap — termasuk saat ketika tidak satu pun jarum menunjuk sebuah tanda — menjawab pertanyaan yang jarang dijawab benar oleh orang dewasa (“berapa sering kedua jarum duduk tepat bertumpuk?”), lalu ditutup dengan mengiris satu hari penuh menjadi diagram lingkaran.

Bagian I — Pecahan dari satu putaran.

Satu putaran penuh berukuran $360^\circ$ . Berapa derajat setengah putaran, seperempat putaran, dan seperdua belas putaran?
Kedua belas tanda jam memotong muka jam itu menjadi dua belas sudut yang sama besar di pusatnya. Berapa derajat di antara dua tanda yang bertetangga? Perolehlah kembali jawaban Latihan 40.11 untuk pukul 3 dengan membilang tandanya.
Sebutkan sudut di antara kedua jarum pada pukul 1, pukul 4 dan pukul 7. (Pada pukul 7 kedua jarum memisahkan mukanya menjadi dua sudut; “sudut di antara kedua jarum” selalu berarti yang lebih kecil.)
Jarum menit itu menempuh satu putaran penuh dalam $60$ menit. Berapa derajat yang disapunya setiap menit?
Jarum jam berjalan dari satu tanda ke tanda berikutnya — $30^\circ$ — dalam $60$ menit. Berapa derajat yang disapu jarum itu setiap menit? (Sebuah bilangan desimal, Bab 38.)

Bagian II — Saat ketika tidak ada yang menunjuk sebuah tanda.

Pada pukul 3:30, jarum menit menunjuk angka $6$ . Di mana tepatnya jarum jam? Hitunglah sudut setiap jarum dari angka $12$ (diukur searah jarum jam), lalu simpulkan sudut di antara kedua jarum.
Pada pukul 6:30 banyak orang menduga kedua jarumnya bertumpuk. Terkalah dulu, lalu hitunglah sudutnya seperti pada pertanyaan 6. Siapa yang benar?
Hitunglah sudut di antara kedua jarum pada pukul 9:15.
Jelaskan mengapa, di suatu saat antara pukul 1:00 dan 1:10, kedua jarum pasti bertumpuk tepat: di mana jarum menit terhadap jarum jam pada pukul 1:00, dan di mana pada pukul 1:10? Jarum mana yang berjalan lebih cepat, dan mengapa hal itu menyelesaikannya?
Dalam dua belas jam, berapa kali kedua jarum duduk tepat bertumpuk? (Satu pertemuan terjadi pada setiap rentang antara jam yang berurutan — dengan satu kekecualian: apa yang terjadi antara pukul 11 dan 12? Sebutkan waktu pertemuan yang kira-kira lalu bilanglah.) Berapa kali dalam satu hari penuh?

Bagian III — Sudut di sekeliling sebuah titik: diagram lingkaran.

Kedua belas juring pada muka jam bersama-sama mengisi seluruh mukanya: sudutnya berjumlah $360^\circ$ . Jelaskan mengapa hal ini benar untuk kumpulan sudut mana pun yang berbagi satu titik sudut dan mengisi satu putaran penuh di sekelilingnya, tanpa tumpang tindih dan tanpa celah.
Zahra mencatat harinya yang $24$ jam: tidur $9$ jam, sekolah $6$ jam, bermain $3$ jam, makan $2$ jam, selebihnya $4$ jam. Ia menginginkan sebuah diagram lingkaran: sebuah cakram yang setiap kegiatannya mendapat satu juring, dengan sudut yang sebanding dengan waktunya. Berapa pecahan hari untuk setiap kegiatan, dan berapa derajat untuk juringnya? Periksa bahwa kelima sudutnya berjumlah $360^\circ$ .
Jelaskan, selangkah demi selangkah, cara menggambar diagram lingkaran Zahra dengan jangka dan busur derajat (Metode 40.8): ke mana jari-jari yang pertama diarahkan, dan bagaimana setiap juring baru bermula di tempat juring sebelumnya berakhir.
Pada diagram lingkaran sebuah hari yang lain, satu juringnya berukuran tepat $90^\circ$ . Berapa pecahan cakramnya, dan berapa jam yang diwakilinya?
Penutupnya, kembali ke jam: dalam $24$ jam, berapa putaran penuh yang ditempuh jarum jam? Jarum menit? Jarum detik? (Salah satu jawabannya lebih dari seribu.)

Solusi

Solusi Soal 40.1.

1. Setengah putaran: $360 \div 2 = 180^\circ$ . Seperempat: $360 \div 4 = 90^\circ$ . Seperdua belas: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Dua belas sudut sama besar yang mengisi $360^\circ$ : $30^\circ$ di antara tanda yang bertetangga. Pada pukul 3 kedua jarumnya merentang $3$ tanda: $3 \times 30 = 90^\circ$ — sudut siku-siku, seperti yang ditemukan pada Latihan 40.11.

3. Pada pukul 1: $1 \times 30 = 30^\circ$ . Pada pukul 4: $4 \times 30 = 120^\circ$ . Pada pukul 7 kedua jarumnya merentang $7$ tanda di satu sisi, $7 \times 30 = 210^\circ$ , jadi sudut di antara kedua jarumnya adalah sisi yang lain: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ dalam $60$ menit: $360 \div 60 = 6^\circ$ setiap menit.

5. $30^\circ$ dalam $60$ menit: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ setiap menit — setengah derajat. Jarum jam merayap, jarum menit melangkah lebar.

6. Dalam $30$ menit sejak pukul 3:00, jarum jam sudah berpindah $30 \times 0.5 = 15^\circ$ melewati angka $3$ : ia duduk tepat di tengah antara angka $3$ dan $4$ , pada $90 + 15 = 105^\circ$ dari angka $12$ . Jarum menit menunjuk angka $6$ : $180^\circ$ . Sudut di antara kedua jarumnya: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. Perhitungan mengalahkan terkaan: jarum menit ada di $180^\circ$ , tetapi jarum jam sudah meninggalkan angka $6$ — ia ada di $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . Sudut di antara kedua jarumnya $195 - 180 = 15^\circ$ : dekat, tetapi tidak bertumpuk.

8. Jarum menit di angka $3$ : $90^\circ$ . Jarum jam: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Selisihnya: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , jadi sudut di antara kedua jarumnya $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — hampir sudut lurus.

9. Pada pukul 1:00 jarum menit ( $0^\circ$ ) berada di belakang jarum jam ( $30^\circ$ ). Pada pukul 1:10 jarum menit ( $60^\circ$ ) berada di depannya ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). Jarum menit berjalan lebih cepat ( $6^\circ$ setiap menit melawan $0.5^\circ$ ), jadi antara pukul 1:00 dan 1:10 ia menyusul lalu melewati jarum jam — pada saat melewati itulah kedua jarumnya tepat bertumpuk.

10. Penyusulan yang sama terjadi berulang-ulang: kedua jarumnya bertemu tepat pada pukul 12:00, lalu kira-kira pada 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 dan 10:55. Pertemuan yang mungkin diharapkan antara pukul 11 dan 12 jatuh tepat pada pukul 12:00, yang sudah memulai putaran berikutnya — jadi dalam dua belas jam kedua jarumnya berimpit $11$ kali, bukan $12$ . Dalam satu hari penuh: $22$ kali.

11. Sudut yang berbagi satu titik sudut, tanpa tumpang tindih dan tanpa celah, memenuhi satu putaran penuh di sekeliling titik itu: menyapu sekali mengelilingi titik itu melewati setiap sudutnya tepat sekali, dan satu sapuan penuh adalah $360^\circ$ . Jadi ukurannya berjumlah $360^\circ$ — berapa pun banyak sudutnya dan berapa pun besarnya.

12. Setiap jam dalam sehari bernilai $360 \div 24 = 15^\circ$ . Jadi:

\text{tidur } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{sekolah } 90^\circ, \quad \text{bermain } 45^\circ, \quad \text{makan } 30^\circ, \quad \text{lainnya } 60^\circ,

dan $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : lingkarannya penuh, tanpa celah dan tanpa tumpang tindih (pertanyaan 11).

13. Gambarlah sebuah lingkaran dengan jangka beserta satu jari-jari (garis awalnya). Letakkan pusat busur derajat pada pusat lingkaran itu, garis $0^\circ$ -nya pada jari-jari tadi, lalu tandai $135^\circ$ ; gambarlah jari-jari yang baru: juring tidur selesai. Lalu letakkan garis $0^\circ$ -nya pada jari-jari itu lalu tandai $90^\circ$ untuk sekolah, dan seterusnya — setiap juring bermula di tempat juring sebelumnya berakhir. Setelah juring terakhir, gambarnya menutup tepat pada jari-jari awalnya.

14. $90^\circ$ adalah $\frac{90}{360} = \frac14$ cakramnya (Metode 39.7), jadi ia mewakili seperempat hari: $24 \div 4 = 6$ jam.

15. Jarum jam menempuh satu putaran dalam $12$ jam: $2$ putaran sehari. Jarum menit, satu putaran setiap jam: $24$ putaran. Jarum detik, satu putaran setiap menit: $24 \times 60 = 1\,440$ putaran sehari.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium