Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

65Akar Kuadrat

Berapa panjang diagonal persegi bersisi $1$ ? Teorema Pythagoras menjawab $\sqrt 2$ , yaitu bilangan yang kuadratnya $2$ — dan yang ternyata bukan pecahan. Bab ini mendefinisikan akar kuadrat, menetapkan aturan berhitung dengannya, lalu mengajarkan cara menyederhanakan bentuk seperti $\sqrt{75}$ .

65.1 Definisi dan sifat pertamanya

Definisi 65.1 (Akar kuadrat)

Misalkan $a \geq 0$ . Akar kuadrat dari $a$ , yang ditulis $\sqrt a$ , adalah satu-satunya bilangan taknegatif yang kuadratnya $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{dan}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Bilangan negatif tidak punya akar kuadrat, karena setiap kuadrat bernilai taknegatif.

Contoh 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . Akar kuadrat pertama yang perlu dihafal adalah akar kuadrat sempurna: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

Diagonal persegi satuan punya panjang √12 + 12 = √2 1.414, menurut teorema Pythagoras ( mengingatkannya). Bilangan ini irasional: desimalnya tidak pernah berulang. — Diagonal persegi satuan punya panjang $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , menurut teorema Pythagoras (Bab 69 mengingatkannya). Bilangan ini irasional: desimalnya tidak pernah berulang.

Proposisi 65.3 (Akar kuadrat sebuah kuadrat)

Untuk setiap bilangan real $x$ (positif atau bukan):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{kalau } x \geq 0,\\ -x & \text{kalau } x < 0 . \end{cases}

Bukti. Bilangan $\abs{x}$ bernilai taknegatif dan kuadratnya $x^2$ (sebuah bilangan dan lawannya punya kuadrat yang sama). Karena ia satu-satunya bilangan taknegatif yang kuadratnya $x^2$ , maka ia $\sqrt{x^2}$ . ∎

Contoh 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : akar kuadratnya “melupakan” tandanya, bukan memulihkannya. Khususnya $\sqrt{x^2} = x$ itu keliru untuk $x$ yang negatif.

65.2 Hasil kali dan hasil bagi akar kuadrat

Teorema 65.5 (Aturan perkalian dan pembagian)

Untuk semua $a \geq 0$ dan $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{dan untuk } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Bukti. Bilangan $\sqrt a \times \sqrt b$ bernilai taknegatif (yaitu hasil kali bilangan taknegatif), dan kuadratnya adalah

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Karena ketunggalan bilangan taknegatif yang kuadratnya $ab$ , bilangan itu sama dengan $\sqrt{ab}$ . Aturan hasil baginya dibuktikan dengan cara yang sama. ∎

Catatan 65.6 (Tidak ada aturan seperti itu untuk jumlah!)

$\sqrt{a + b}$ bukan $\sqrt a + \sqrt b$ pada umumnya:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{tetapi}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Metode 65.7 (Menyederhanakan $\sqrt n$ )

Untuk menyederhanakan akar kuadrat sebuah bilangan bulat:

carilah kuadrat sempurna terbesar yang membagi $n$ (faktorkan $n$ kalau perlu);
pisahkan dengan aturan hasil kalinya lalu keluarkan kuadratnya: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
periksalah bahwa tidak ada kuadrat sempurna yang membagi apa yang tertinggal di bawah akarnya.

Contoh 65.8

Sederhanakan $\sqrt{75}$ : karena $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Sederhanakan $\sqrt{72}$ : karena $72 = 36 \times 2$ , berlaku $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . Dan sebuah hasil bagi: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Contoh 65.9 (Menjumlahkan akar kuadrat)

Jumlah akar kuadrat menyederhana hanya ketika akarnya sejenis. Hitunglah $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , dengan menyederhanakan tiap sukunya lebih dahulu:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

jadi jumlahnya adalah $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Contoh 65.10 (Menjabarkan dengan akar kuadrat)

Kesamaan aljabar berlaku pula untuk akar kuadrat. Jabarkan $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ dengan $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Dan dengan kesamaan yang ketiga, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

hasil kali dua bilangan irasional dapat menjadi bilangan bulat.

65.3 Persamaan $x^2 = a$

Teorema 65.11 (Menyelesaikan $x^2 = a$ )

Kalau $a > 0$ , persamaan $x^2 = a$ punya persis dua penyelesaian: $\sqrt a$ dan $-\sqrt a$ ;
kalau $a = 0$ , satu-satunya penyelesaiannya adalah $0$ ;
kalau $a < 0$ , tidak ada penyelesaiannya.

Bukti. Tulislah ulang $x^2 = a$ menjadi $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ ketika $a \geq 0$ , lalu faktorkan sebagai selisih kuadrat:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

jadi $x = \sqrt a$ atau $x = -\sqrt a$ (keduanya berimpit ketika $a = 0$ ). Ketika $a < 0$ tidak ada penyelesaiannya, karena $x^2 \geq 0 > a$ untuk setiap $x$ . ∎

Menyelesaikan x2 = 3 pada parabola y = x2: garis mendatar y = 3 memotongnya di kedua absis ±√3. — Menyelesaikan $x^2 = 3$ pada parabola $y = x^2$ : garis mendatar $y = 3$ memotongnya di kedua absis $\pm\sqrt3$ .

Contoh 65.12

$x^2 = 16$ : penyelesaiannya $4$ dan $-4$ . $x^2 = 5$ : penyelesaiannya $\sqrt5$ dan $-\sqrt5$ (nilai persisnya; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : tidak ada penyelesaiannya. $3x^2 = 21$ : bagilah dengan 3 lebih dahulu, $x^2 = 7$ , penyelesaiannya $\pm\sqrt7$ .

65.4 Latihan

Latihan 65.1 ★

Hitunglah tanpa kalkulator:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solusi

Solusi Latihan 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (karena $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Latihan 65.2 ★

Sederhanakan:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solusi

Solusi Latihan 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Latihan 65.3 ★

Hitunglah lalu sederhanakan:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solusi

Solusi Latihan 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Latihan 65.4 ★

Selesaikan: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solusi

Solusi Latihan 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ atau $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ atau $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ berarti $x^2 = -4 < 0$ : tidak ada penyelesaiannya.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , jadi $x = 5$ atau $x = -5$ .

Latihan 65.5 ★

Sederhanakan menjadi satu suku: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , lalu $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solusi

Solusi Latihan 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Latihan 65.6 ★★

Jabarkan lalu sederhanakan:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solusi

Solusi Latihan 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Latihan 65.7 ★★

Sebuah ladang berbentuk persegi berluas $6400$ m $^2$ . Berapa panjang sisinya? Berapa diagonalnya (nilai persisnya, lalu dibulatkan ke meter terdekat)?

Solusi

Solusi Latihan 65.7.

Sisinya: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonalnya (dengan Pythagoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Latihan 65.8 ★★

Tunjukkan bahwa $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $\sqrt2$ ). Pakailah trik yang sama untuk menulis $\dfrac{6}{\sqrt3}$ dan $\dfrac{10}{\sqrt5}$ tanpa akar kuadrat pada penyebutnya.

Solusi

Solusi Latihan 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Latihan 65.9 ★★

Benar atau salah? Berilah alasan dengan bukti atau contoh penyangkal.

Untuk semua $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Untuk semua $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Untuk semua $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solusi

Solusi Latihan 65.9.

1. Benar: inilah aturan hasil kalinya (Teorema 65.5).

2. Salah: $\sqrt{9 + 16} = 5$ tetapi $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Salah untuk $x$ yang negatif: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . Pernyataan yang benar adalah $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Benar: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Latihan 65.10 ★★★

Misalkan $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Hitunglah $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ , lalu simpulkan bentuk $x$ yang lebih sederhana. Pertanyaan yang sama untuk $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (bidiklah kuadrat berbentuk $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , dan perhatikan tandanya).

Solusi

Solusi Latihan 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Jadi $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (yaitu bilangan taknegatif, jadi akarnya tinggal membuang kuadratnya).

Serupa dengan itu $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , dan $\sqrt5 - 2 > 0$ , jadi $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (bukan $2 - \sqrt5$ , yang bernilai negatif!).

65.5 Soal: Bilangan yang bukan pecahan

Soal 65.1

Soal akhir pekan — bukti legendaris bahwa $\sqrt2$ irasional, banyak sepupunya, dan resep Heron yang luar biasa baik untuk menghampirinya

Diagonal persegi satuan adalah panjang yang benar-benar nyata — kamu menggambarnya pada Contoh 58.9 — namun, seperti yang ditemukan kaum Pythagoras dengan ngeri kira-kira dua puluh lima abad lalu, tidak ada pecahan apa pun yang menakarnya. Legenda menyatakan bahwa penemuan itu dihukum dengan penenggelaman. Soal ini menuntunmu melewati bukti yang abadi (empat pertanyaan dan bukti itu menjadi milikmu seumur hidup), memperbanyak korbannya, lalu berakhir dengan resep yang dipakai para insinyur selama dua ribu tahun untuk menjinakkan bilangan yang tidak terjinakkan.

Bagian I — Buktinya.

Pertama buruslah bilangannya: periksalah bahwa $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , lalu bahwa $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , dengan mengkuadratkan batasnya. Satu angka lagi: di antara bilangan tiga desimal yang mana $\sqrt2$ terletak?
Sekarang andaikan — demi memperoleh kontradiksi — bahwa $\sqrt2 = \frac ab$ untuk suatu pecahan yang paling sederhana (Metode 64.16). Kuadratkan kedua ruasnya lalu tunjukkan bahwa $a^2 = 2 b^2$ . Bagaimana sifat ganjil-genap $a^2$ ?
Kenyataan ganjil-genap pada Soal 58.1 berkata: bilangan ganjil punya kuadrat yang ganjil. Simpulkan bahwa $a$ genap, tulislah $a = 2k$ , sulihkan — lalu tunjukkan bahwa $b$ pun pasti genap.
Di manakah kontradiksinya? Simpulkan, lalu nyatakan teoremanya secara lengkap: $\sqrt2$ irasional — ia bukan hasil bagi bilangan bulat.
Buktinya bersandar sekali, secara diam-diam, pada kata “paling sederhana”. Tunjukkan langkah persis mana yang akan runtuh tanpa kata itu, lalu jelaskan mengapa mengandaikan bentuk paling sederhana itu sah sejak awalnya.

Bagian II — Korbannya berlipat ganda.

Gaya bukti kedua, lewat pemfaktoran prima (Teorema 64.6): pada $a^2 = 3b^2$ , bandingkan sifat ganjil-genap eksponen $3$ pada tiap ruasnya (Soal 64.1: kuadrat membawa eksponen yang genap). Simpulkan bahwa $\sqrt3$ irasional.
Jalankan alasan eksponen yang sama pada $a^2 = n b^2$ untuk bilangan bulat $n$ yang umum: untuk $n$ yang mana alasan itu menghasilkan kontradiksi, dan untuk yang mana ia gagal? Nyatakan hasil lengkapnya: $\sqrt n$ irasional persis ketika …
Buktikan lema perisainya: bilangan rasional yang bukan nol dikali bilangan irasional bersifat irasional. (Andaikan $r x = q$ dengan $r, q$ rasional, $r \neq 0$ , lalu carilah $x$ .) Simpulkan bahwa $2\sqrt2$ dan $\frac{\sqrt2}{2}$ irasional.
Buktikan bahwa $1 + \sqrt2$ irasional. Lalu yang cantik: dengan mengandaikan $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rasional, hitunglah $s^2$ , sendirikan $\sqrt6$ , lalu temukan kontradiksinya.
Redamlah semangatnya: berikan dua bilangan irasional yang jumlahnya rasional, dan dua yang hasil kalinya rasional. (Keirasionalan tidak terpelihara oleh aritmetika — tiap keadaannya perlu buktinya sendiri.)

Bagian III — Resep Heron. Dua ribu tahun sebelum ada kalkulator, Heron dari Aleksandria menghampiri $\sqrt2$ seperti ini: tebaklah $x$ ; gantilah tebakanmu dengan rata-rata $x$ dan $\frac2x$ ; ulangi.

Mulailah dari tebakan $x = 1$ lalu hitunglah dua tebakan berikutnya sebagai pecahan yang persis.
Hitunglah tebakan ketiganya, sekali lagi sebagai pecahan yang persis, beserta nilai desimalnya. Bandingkan dengan pertanyaan 1: berapa desimal $\sqrt2$ yang sudah benar?
Gagasan di balik resepnya: persegi panjang berluas $2$ dengan satu sisinya $x$ punya sisi yang lain $\frac2x$ . Tunjukkan bahwa $\sqrt2$ selalu terletak di antara $x$ dan $\frac2x$ (tinjaulah kedua keadaan $x^2 > 2$ dan $x^2 < 2$ ), jadi merata-ratakan kedua sisinya memeras persegi panjangnya menuju sebuah persegi.
Tebakan $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ menyembunyikan permata: hitunglah $3^2 - 2 \times 2^2$ , lalu $17^2 - 2 \times 12^2$ , lalu $577^2 - 2 \times 408^2$ . Bagian I membuktikan $a^2 - 2b^2 = 0$ mustahil — seberapa dekat pecahan Heron itu dengan yang mustahil?
Penutupnya, dalam dua kalimat: diagonal persegi satuan itu ada di atas kertas, tidak ada pecahan yang menakarnya, dan penulisan desimalnya tidak pernah dapat berulang (Soal 63.1). Jenis “bilangan baru” apa yang karena itu harus dimuat garis bilangannya — dan di bagian mana pada seri ini kisah lengkapnya diceritakan?

Solusi

Solusi Soal 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Tiga desimal: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , jadi $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. Mengkuadratkan $\sqrt2 = \frac ab$ memberi $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , karena itu $a^2 = 2b^2$ : jadi bilangan $a^2$ adalah dua kali sebuah bilangan bulat — yaitu genap.

3. Kalau $a$ ganjil, maka $a^2$ akan ganjil (Soal 58.1); karena $a^2$ genap, maka $a$ genap: $a = 2k$ . Dengan menyulihkannya: $4k^2 = 2b^2$ , jadi $b^2 = 2k^2$ genap, dan menurut kenyataan ganjil-genap yang sama $b$ pun genap.

4. $a$ dan $b$ yang keduanya genap berarti keduanya habis dibagi $2$ — tetapi $\frac ab$ tadi paling sederhana, sehingga tidak berbagi pembagi bersama. Kontradiksi: pecahan yang diandaikan itu tidak dapat ada. Teorema: $\sqrt2$ irasional.

5. Kontradiksinya sepenuhnya hidup pada kata “paling sederhana”: tanpa kata itu, “ $a$ dan $b$ keduanya genap” tidak bertentangan dengan apa pun. Mengandaikan bentuk paling sederhana itu sah karena setiap pecahan punya bentuk paling sederhana (Metode 64.16: bagilah dengan FPB-nya) — kalau $\sqrt2$ berupa pecahan apa pun, ia akan berupa pecahan yang paling sederhana, dan pecahan seperti itu mustahil.

6. Pada pemfaktoran prima, kuadrat membawa eksponen yang genap (Soal 64.1). Pada $a^2 = 3b^2$ , eksponen $3$ genap di ruas kirinya, tetapi ganjil di ruas kanannya (genap dari $b^2$ , ditambah satu). Tidak ada bilangan yang punya dua pemfaktoran (Teorema 64.6): jadi kontradiksi, dan $\sqrt3$ irasional.

7. Pada $a^2 = n b^2$ , alasannya menemukan bilangan prima yang sifat ganjil-genap eksponennya bertentangan persis ketika ada bilangan prima yang muncul pada $n$ dengan eksponen yang ganjil. Kalau setiap eksponen $n$ genap, maka $n$ adalah kuadrat sempurna ( $n = m^2$ , dan $\sqrt n = m$ bilangan bulat). Hasil lengkapnya: $\sqrt n$ irasional untuk setiap bilangan bulat $n$ yang bukan kuadrat sempurna — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. Dari $r x = q$ dengan $r \neq 0$ : $x = \frac qr$ , yaitu hasil bagi bilangan rasional, jadi rasional. Jadi kalau $x$ irasional, $r x$ tidak dapat rasional: $2\sqrt2$ dan $\frac{\sqrt2}{2}$ irasional (dengan pengali $2$ dan $\frac12$ ).

9. Kalau $1 + \sqrt2 = q$ rasional, maka $\sqrt2 = q - 1$ akan rasional: kontradiksi. Kalau $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rasional, maka $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ akan rasional juga, sehingga memberi $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ yang rasional — tetapi $\sqrt6$ irasional (pertanyaan 7). Jadi $\sqrt2 + \sqrt3$ irasional.

10. Jumlahnya: $\sqrt2$ dan $-\sqrt2$ (atau $\sqrt2$ dan $1 - \sqrt2$ ) masing-masing irasional, dengan jumlah rasional $0$ dan $1$ . Hasil kalinya: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . Keirasionalan dapat menguap dalam aritmetika — karena itulah buktinya satu per satu.

11. Dari $x = 1$ : rata-rata $1$ dan $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$ . Lalu rata-rata $\frac32$ dan $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Dibandingkan $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : lima desimalnya benar sesudah tiga langkah — resepnya kira-kira melipatduakan desimal yang benar pada tiap putarannya.

13. Kalau $x^2 > 2$ (tebakannya terlalu besar), maka $x > \sqrt2$ , dan $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : jadi sisi pasangannya terlalu kecil. Kalau $x^2 < 2$ , ketaksamaannya terbalik. Bagaimanapun juga $\sqrt2$ duduk di antara $x$ dan $\frac2x$ , jadi rata-ratanya — yaitu tebakan berikutnya — lebih dekat daripada sisi yang lebih buruk dari keduanya: persegi panjang berluas $2$ itu makin mempersegi pada tiap langkahnya.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Setiap tebakan Heron $\frac ab$ memenuhi $a^2 - 2b^2 = 1$ : Bagian I membuktikan bahwa mengenai $0$ itu mustahil, dan pecahan ini meleset dari yang mustahil tepat satu satuan — sedekat yang pernah dapat dicapai bilangan bulat.

15. Garis bilangannya pasti memuat bilangan di luar pecahan — yaitu panjang seperti $\sqrt2$ , yang penulisan desimalnya berjalan selamanya tanpa berulang: itulah bilangan real. Pembangunannya yang jujur adalah kisah untuk buku Sekolah Menengah dan, dengan kekakuan penuh, buku universitasnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Akar kuadrat

Lihat semua 395 istilah di glosarium

65.1 Definisi dan sifat pertamanya

65.2 Hasil kali dan hasil bagi akar kuadrat

65.3 Persamaan x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Latihan

65.5 Soal: Bilangan yang bukan pecahan

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

65.3 Persamaan $x^2 = a$