Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

59Titik Tengah dan Garis Sejajar

Hubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga: ruas garis yang kamu peroleh selalu sejajar dengan sisi yang ketiga, dan panjangnya tepat setengahnya. “Teorema titik tengah” ini beserta konversnya adalah cicipan pertama sebuah gagasan besar — garis sejajar memotong panjang secara sebanding — yang mekar menjadi teorema Thales pada Bab 68.

59.1 Teorema titik tengah

Teorema 59.1 (Teorema titik tengah)

Pada segitiga $ABC$ , misalkan $I$ titik tengah $[AB]$ dan $J$ titik tengah $[AC]$ . Maka garis $(IJ)$ sejajar dengan $(BC)$ , dan

IJ = \frac{BC}{2} .

Gagasan buktinya. Misalkan $K$ titik simetris $I$ terhadap $J$ (yaitu setengah putaran, Bab 52). Segi empat $AICK$ punya diagonal $[IK]$ dan $[AC]$ yang berpotongan di titik tengah bersamanya $J$ : jadi ia jajargenjang, sehingga $KC$ sejajar dengan $AI$ , yaitu dengan $(AB)$ , dan $KC = AI = IB$ . Lalu $IBCK$ punya dua sisi berhadapan ( $[IB]$ dan $[KC]$ ) yang sejajar dan sama panjang: jadi ia pun jajargenjang (Teorema 52.9), sehingga $(IK) \parallel (BC)$ — yaitu $(IJ) \parallel (BC)$ — dan $BC = IK = 2\,IJ$ . ∎

Ruas garis titik tengah [IJ] (merah) sejajar dengan sisi ketiganya (BC) dan panjangnya setengahnya. — Ruas garis titik tengah $[IJ]$ (merah) sejajar dengan sisi ketiganya $(BC)$ dan panjangnya setengahnya.

Contoh 59.2

Pada segitiga $ABC$ dengan $BC = 9$ cm, titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan $J$ dari $[AC]$ dihubungkan. Tanpa pengukuran apa pun: $(IJ) \parallel (BC)$ dan $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. Segitiga kecil $AIJ$ adalah salinan $ABC$ berukuran setengahnya — kelilingnya pun setengah keliling $ABC$ .

Teorema 59.3 (Konvers)

Pada segitiga $ABC$ , garis yang melalui titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan sejajar dengan $(BC)$ memotong sisi $[AC]$ di titik tengahnya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 59.4

Sebuah jalan setapak menyeberangi ladang berbentuk segitiga, bermula di tengah salah satu tepinya lalu berjalan sejajar dengan tepi yang di seberangnya. Konversnya menjamin bahwa jalannya keluar tepat di tengah tepi yang lain — tanpa perlu mengukur di sisi yang jauh.

Metode 59.5 (Memilih antara teorema dan konversnya)

Dua titik tengah diketahui $\Rightarrow$ pakailah teorema langsungnya: simpulkan kesejajaran dan setengah panjangnya.
Satu titik tengah dan satu garis sejajar diketahui $\Rightarrow$ pakailah konversnya: simpulkan bahwa titik potongnya adalah titik tengah.
Tulislah segitiga yang mana, titik tengah yang mana dan teorema yang mana yang kamu pakai — satu kalimat untuk masing-masing.

59.2 Segitiga berukuran setengah

Proposisi 59.6 (Segitiga titik tengah)

Menghubungkan ketiga titik tengah sisi sebuah segitiga memotongnya menjadi empat segitiga yang luasnya sama, masing-masing salinan aslinya berukuran setengah.

Bukti. Tiap sisi segitiga titik tengahnya sejajar dengan sebuah sisi $ABC$ dan panjangnya setengahnya (Teorema 59.1, yang dipakai tiga kali). Keempat segitiga kecilnya punya sisi dengan ketiga panjang yang sama, jadi keempatnya salinan yang identik; bersama-sama keempatnya mengubin $ABC$ , jadi masing-masing punya seperempat luasnya. ∎

Segitiga titik tengah IJK memotong ABC menjadi empat segitiga yang sama — gambar yang layak diingat. — Segitiga titik tengah $IJK$ memotong $ABC$ menjadi empat segitiga yang sama — gambar yang layak diingat.

Catatan 59.7 (Menuju Thales)

Teorema titik tengah adalah keadaan “satu setengah” dari kenyataan yang lebih umum: garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong kedua sisi lainnya dengan perbandingan yang sama — sepertiga dan sepertiga, dua perlima dan dua perlima … Pernyataan umum itu adalah teorema Thales (Bab 68); keadaan titik tengahnya satu-satunya yang diperlukan tahun ini.

59.3 Latihan

Latihan 59.1 ★

Pada segitiga $RST$ , $M$ adalah titik tengah $[RS]$ dan $N$ titik tengah $[RT]$ , dengan $ST = 7$ cm. Apa yang dapat dikatakan tentang garis $(MN)$ dan panjang $MN$ ? Sebutkan teorema yang kamu pakai.

Solusi

Solusi Latihan 59.1.

$M$ dan $N$ adalah titik tengah dua sisi segitiga $RST$ : menurut teorema titik tengah (Teorema 59.1), $(MN) \parallel (ST)$ dan $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

Latihan 59.2 ★

Pada segitiga $ABC$ , $I$ adalah titik tengah $[AB]$ dan garis melalui $I$ yang sejajar dengan $(BC)$ memotong $[AC]$ di $J$ , dengan $AC = 11$ cm. Hitunglah $AJ$ , sambil menyebut teorema yang dipakai.

Solusi

Solusi Latihan 59.2.

$I$ adalah titik tengah dan $(IJ) \parallel (BC)$ : menurut konversnya (Teorema 59.3), $J$ adalah titik tengah $[AC]$ , jadi $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

Latihan 59.3 ★

Gambarlah segitiga $ABC$ dengan $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, letakkan titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan $J$ dari $[AC]$ , lalu ukurlah $IJ$ untuk memeriksa teoremanya. Hitunglah keliling $AIJ$ tanpa mengukur apa pun lagi.

Solusi

Solusi Latihan 59.3.

Pengukurannya memberi $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ . Keliling $AIJ$ : $AI = 4$ , $AJ = 3$ , $IJ = 3.5$ : seluruhnya $10.5$ cm — yaitu setengah keliling $ABC$ ( $8 + 6 + 7 = 21$ cm).

Latihan 59.4 ★

$IJK$ adalah segitiga titik tengah $ABC$ , yang sisinya berukuran $10$ , $12$ dan $16$ cm. Sebutkan ketiga sisi $IJK$ dan kelilingnya. Bagaimana perbandingan kedua kelilingnya?

Solusi

Solusi Latihan 59.4.

Tiap sisi $IJK$ adalah setengah sebuah sisi $ABC$ : $5$ , $6$ dan $8$ cm. Kelilingnya: $19$ cm, yaitu setengah $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

Latihan 59.5 ★

Luas sebuah segitiga adalah $36$ cm $^2$ . Berapa luas segitiga titik tengahnya? Berapa luas tiap segitiga kecil dari keempatnya?

Solusi

Solusi Latihan 59.5.

Segitiga titik tengahnya adalah salah satu dari keempat segitiga yang sama pada Proposisi 59.6: luasnya $\frac{36}{4} = 9$ cm $^2$ — dan tiap segitiga kecil dari keempatnya berluas $9$ cm $^2$ .

Latihan 59.6 ★★

Pada segitiga $ABC$ , $I$ adalah titik tengah $[AB]$ , $J$ titik tengah $[AC]$ dan $K$ titik tengah $[BC]$ . Tunjukkan bahwa $IJKB$ adalah jajargenjang. (Bandingkan $[IJ]$ dan $[BK]$ : sejajarkah? samakah?)

Solusi

Solusi Latihan 59.6.

Menurut teorema titik tengah pada $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$ , yaitu $(IJ) \parallel (BK)$ , dan $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (karena $K$ titik tengah $[BC]$ ). Dua sisi berhadapan $IJKB$ sejajar dan sama panjang: jadi ia jajargenjang (Teorema 52.9, kriteria 3).

Latihan 59.7 ★★

Sebuah layar berbentuk segitiga punya tepi terbawah sepanjang $6.4$ m. Sebuah jahitan penguat menghubungkan titik tengah kedua tepi lainnya. Berapa panjang jahitan yang diperlukan? Bagaimana kalau jahitannya justru menghubungkan titik yang terletak pada seperempat tiap tepinya, bermula dari titik sudut yang di atas? (Dugalah dengan gambar; buktinya milik Thales, Bab 68.)

Solusi

Solusi Latihan 59.7.

Jahitannya menghubungkan dua titik tengah: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Pada seperempat dari titik sudut atasnya, gambarnya menyarankan jahitan sepanjang $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, sejajar dengan alasnya — yang dibenarkan Thales pada Bab 68.

Latihan 59.8 ★★

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $A$ , $M$ adalah titik tengah sisi miringnya $[BC]$ , dan garis sejajar $(AB)$ yang melalui $M$ memotong $[AC]$ di $N$ .

Tunjukkan bahwa $N$ adalah titik tengah $[AC]$ .
Jelaskan mengapa $(MN)$ tegak lurus terhadap $(AC)$ .

Solusi

Solusi Latihan 59.8.

1. $M$ adalah titik tengah $[BC]$ dan $(MN) \parallel (AB)$ : menurut konvers teorema titik tengah (pada segitiga $ABC$ , sisi $[AC]$ ), $N$ adalah titik tengah $[AC]$ .

2. $(MN) \parallel (AB)$ dan $(AB) \perp (AC)$ (sudut siku-siku di $A$ ): garis yang sejajar dengan $(AB)$ juga tegak lurus terhadap $(AC)$ (Proposisi 40.3). Jadi $(MN) \perp (AC)$ — ruas garis $[MN]$ adalah potongan garis sumbu yang sekali lagi menunjukkan bahwa $MA = MC$ (Teorema 60.1).

Latihan 59.9 ★★★

Misalkan $ABCD$ segi empat apa pun, dan $I$ , $J$ , $K$ , $L$ titik tengah $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ (yaitu dugaan pada Latihan 52.11).

Terapkan teorema titik tengah pada segitiga $ABC$ untuk ruas garis $[IJ]$ , dan pada segitiga $ACD$ untuk ruas garis $[LK]$ : bandingkan masing-masing dengan diagonal $[AC]$ .
Simpulkan bahwa $IJKL$ selalu jajargenjang.

Solusi

Solusi Latihan 59.9.

1. Pada segitiga $ABC$ , $I$ dan $J$ adalah titik tengah $[AB]$ dan $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ dan $IJ = \frac{AC}{2}$ . Pada segitiga $ACD$ , $L$ dan $K$ adalah titik tengah $[DA]$ dan $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ dan $LK = \frac{AC}{2}$ .

2. Jadi $[IJ]$ dan $[LK]$ sejajar (keduanya sejajar dengan diagonal $(AC)$ ) dan sama panjang (keduanya setengah $AC$ ): $IJKL$ adalah jajargenjang (Teorema 52.9, kriteria 3) — untuk setiap segi empat $ABCD$ , seperti yang diduga pada Latihan 52.11.

59.4 Soal: Ketiga garis berat dan titik berat

Soal 59.1

Soal akhir pekan — garis berat sebuah segitiga bertemu di satu titik, pada dua pertiga sepanjang masing-masingnya

Potonglah sebuah segitiga dari karton yang kaku dan ia akan seimbang, benar-benar datar, di atas ujung pensil yang diletakkan pada satu titik istimewa: titik berat segitiganya. Soal ini mencari titik itu. Garis berat sebuah segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi yang di seberangnya. Kamu akan membuktikan — dengan teorema titik tengah yang dipakai dua kali, dengan cara yang tidak terduga — bahwa ketiga garis beratnya melewati satu titik, lalu menemukan letaknya dengan tepat.

Bagian I — Pemanasan.

Gambarlah segitiga $ABC$ yang besar (tanpa bentuk khusus), lukislah titik tengah $I$ dari $[AB]$ , $J$ dari $[AC]$ dan $K$ dari $[BC]$ , lalu gambarlah ketiga garis beratnya $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Apa yang kamu amati?
Buktikan bahwa sebuah garis berat memotong segitiganya menjadi dua segitiga yang luasnya sama. (Bandingkan alas dan tingginya, lalu pakailah rumus luasnya: alas $\times$ tinggi $\div\ 2$ .) Untuk segitiga seluas $36$ cm $^2$ , berapa luas kedua kepingnya?
Pada segitiga $ABC$ , apa yang dikatakan Teorema 59.1 tentang ruas garis $[IJ]$ ?

Bagian II — Dua garis berat bertemu pada dua pertiganya. Garis berat $[BJ]$ dan $[CI]$ berpotongan di sebuah titik; sebutlah $G$ . Misalkan $M$ titik tengah $[GB]$ dan $N$ titik tengah $[GC]$ .

Terapkan teorema titik tengah pada segitiga $GBC$ : apa yang dikatakannya tentang ruas garis $[MN]$ ?
Simpulkan bahwa $(IJ) \parallel (MN)$ dan $IJ = MN$ , lalu simpulkan dengan Teorema 52.9 bahwa $IJNM$ adalah jajargenjang.
Jelaskan mengapa $I$ dan $N$ keduanya terletak pada garis berat $(CI)$ , dan $J$ dan $M$ keduanya pada garis berat $(BJ)$ — jadi diagonal jajargenjang $IJNM$ adalah $[IN]$ dan $[JM]$ , dan keduanya berpotongan tepat di $G$ . Lalu apa yang dikatakan definisi jajargenjang tentang $G$ ?
Simpulkan bahwa $BM = MG = GJ$ , lalu simpulkan:

$BG = 2 \times GJ$

— titik $G$ duduk pada garis berat $[BJ]$ pada dua pertiga jalan dari titik sudut $B$ . Nyatakan dan berilah alasan untuk hasil serupa pada garis berat $[CI]$ .
Sekarang lupakan $[CI]$ lalu jalankan alasan yang persis sama pada pasangan garis berat $[BJ]$ dan $[AK]$ : titik potongnya juga duduk pada dua pertiga $[BJ]$ dari $B$ . Jelaskan mengapa itu memaksanya menjadi titik $G$ yang sama — lalu simpulkan bahwa ketiga garis beratnya melewati $G$ .
Pada segitiga yang garis beratnya $[BJ]$ berukuran $9$ cm, berapa jarak $G$ dari $B$ , dan dari $J$ ?
Berilah alasan (satu kalimat) bahwa $AG = 2 \times GK$ juga.

Bagian III — Enam irisan yang sama, dan koordinat. Ketiga garis berat itu memotong segitiganya menjadi enam segitiga kecil di sekeliling $G$ .

Pada segitiga $GBC$ , ruas garis $[GK]$ adalah garis berat. Simpulkan bahwa kedua segitiga kecil $GBK$ dan $GKC$ punya luas yang sama.
Dengan memakai pertanyaan 2 pada segitiga $ABK$ dan $AKC$ (keduanya dipotong garis berat $[AK]$ milik $ABC$ ), tunjukkan bahwa segitiga $ABG$ dan $ACG$ punya luas yang sama. Dengan mengulanginya memakai garis berat yang lain, simpulkan bahwa ketiga segitiga $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ semuanya berluas sepertiga luas $ABC$ .
Masing-masing dari ketiga segitiga itu terpotong menjadi dua oleh sepotong garis berat (misalnya $[GI]$ adalah garis berat segitiga $ABG$ — dilihat dari titik sudut yang mana?). Simpulkan: keenam irisan kecil di sekeliling $G$ semuanya punya luas yang sama, yaitu seperenam segitiganya.
Pada kisi berkoordinat, gambarlah $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ dan $C(0, 6)$ , dengan $K(3, 3)$ titik tengah $[BC]$ . Pakailah teorema dua pertiga pada Bagian II untuk menghitung koordinat $G$ pada garis berat $[AK]$ ; lalu periksalah bahwa titik yang sama duduk pada dua pertiga garis berat $[BJ]$ , dengan $J(0, 3)$ . Bandingkan koordinat $G$ dengan rata-rata

$\frac{0 + 6 + 0}{3}, \qquad \frac{0 + 0 + 6}{3} .$
Penutup tentang keseimbangannya: dengan memakai pertanyaan 2 dan 8, jelaskan mengapa segitiga kartonnya seimbang di atas mata pisau yang dibaringkan sepanjang garis berat mana pun — karton yang sama banyak pada tiap sisinya — dan mengapa karena itu ujung pensilnya harus diletakkan di $G$ , yaitu titik yang disebut para fisikawan sebagai titik berat. (Bukti keseimbangan yang benar-benar ketat perlu hitung integral pada volume di tingkat universitas; luas yang sama membuatnya masuk akal untuk hari ini.)

Solusi

Solusi Soal 59.1.

1. Segitiga apa pun yang digambar, ketiga garis beratnya tampak melewati satu titik, yang terletak di dalam segitiganya, jelas lebih dekat ke titik tengah tiap sisinya daripada ke titik sudut yang di seberangnya. Sisa soalnya membuktikannya.

2. Ambillah garis berat $[AK]$ pada segitiga $ABC$ : segitiga $ABK$ dan $AKC$ punya alas $BK$ dan $KC$ yang sama panjang ( $K$ adalah titik tengah $[BC]$ ) yang dibawa garis yang sama $(BC)$ , dan tinggi yang sama: yaitu jarak dari $A$ ke $(BC)$ . Menurut rumus luasnya, masing-masing berluas alas $\times$ tinggi $\div\ 2$ , dengan alas yang sama dan tinggi yang sama: jadi luasnya sama. Untuk segitiga seluas $36$ cm $^2$ : dua keping seluas $18$ cm $^2$ masing-masing.

3. $I$ dan $J$ adalah titik tengah sisi $[AB]$ dan $[AC]$ pada segitiga $ABC$ , jadi menurut Teorema 59.1: $(IJ) \parallel (BC)$ dan $IJ = \frac{BC}{2}$ .

4. $M$ dan $N$ adalah titik tengah sisi $[GB]$ dan $[GC]$ pada segitiga $GBC$ , jadi menurut teorema yang sama: $(MN) \parallel (BC)$ dan $MN = \frac{BC}{2}$ .

5. Baik $(IJ)$ maupun $(MN)$ sejajar dengan $(BC)$ , jadi keduanya sejajar satu sama lain; dan $IJ = \frac{BC}{2} = MN$ . Karena itu segi empat $IJNM$ punya dua sisi berhadapan, $[IJ]$ dan $[NM]$ , yang sejajar dan sama panjang: menurut kriteria 3 pada Teorema 52.9, $IJNM$ adalah jajargenjang.

6. $G$ terletak pada garis berat $[CI]$ , dan $N$ adalah titik tengah $[GC]$ , yaitu ruas garis yang dibawa garis berat yang sama: jadi $I$ , $N$ (dan $G$ , $C$ ) semuanya terletak pada $(CI)$ . Begitu pula $J$ , $M$ dan $G$ terletak pada garis berat $(BJ)$ . Pada jajargenjang $IJNM$ , diagonalnya adalah $[IN]$ dan $[JM]$ ; keduanya dibawa kedua garis berat itu, yang berpotongan di $G$ — jadi diagonalnya berpotongan di $G$ . Menurut definisi jajargenjang (kriteria 1 pada Teorema 52.9: diagonalnya punya titik tengah yang sama), $G$ adalah titik tengah $[IN]$ dan $[JM]$ : jadi $GI = GN$ dan $GJ = GM$ .

7. $M$ adalah titik tengah $[GB]$ , jadi $BM = MG$ ; dan $MG = GJ$ menurut pertanyaan 6. Karena itu $BM = MG = GJ$ : potongan garis berat $[BJ]$ terpotong menjadi tiga bagian yang sama, yang $BG$ mengambil dua:

BG = 2 \times GJ .

Secara simetris, $N$ adalah titik tengah $[GC]$ dan $GN = GI$ , jadi $CN = NG = GI$ dan $CG = 2 \times GI$ : pada garis berat $[CI]$ pun, titik potongnya duduk pada dua pertiga jalan dari titik sudutnya.

8. Alasannya tidak memakai apa pun yang khusus tentang pasangan $[BJ]$ , $[CI]$ : kalau dijalankan pada pasangan $[BJ]$ , $[AK]$ , alasan itu menunjukkan bahwa titik potongnya juga terletak pada $[BJ]$ pada dua pertiga jalan dari $B$ . Tetapi hanya ada satu titik pada ruas garis $[BJ]$ yang berjarak $\frac23 BJ$ dari $B$ — jadi titik potong $[BJ]$ dan $[AK]$ adalah $G$ yang persis sama. Karena itu ketiga garis beratnya melewati $G$ : ketiganya konkuren.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm dan $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

10. Menurut pertanyaan 8, perhitungan dua pertiga yang sama berlaku pada garis berat $[AK]$ (jalankan alasan pertanyaan 4–7 dengan pasangan $[AK]$ , $[BJ]$ ): $AG = 2 \times GK$ .

11. Pada segitiga $GBC$ , titik $K$ adalah titik tengah sisi $[BC]$ , jadi $[GK]$ adalah garis berat $GBC$ ; menurut pertanyaan 2, segitiga $GBK$ dan $GKC$ punya luas yang sama.

12. Garis berat $[AK]$ memotong $ABC$ menjadi $ABK$ dan $AKC$ yang luasnya sama (pertanyaan 2). Dengan membuang dari masing-masingnya segitiga kecil pada pertanyaan 11:

\text{luas}(ABG) = \text{luas}(ABK) - \text{luas}(GBK), \qquad \text{luas}(ACG) = \text{luas}(AKC) - \text{luas}(GKC),

dan luas yang dibuang itu sama, jadi $\text{luas}(ABG) = \text{luas}(ACG)$ . Perhitungan yang sama sepanjang garis berat $[BJ]$ — yang membagi dua $ABC$ menjadi $ABJ$ dan $CBJ$ , sedangkan $[GJ]$ , garis berat segitiga $GAC$ , membaginya menjadi $GAJ$ dan $GCJ$ — memberi $\text{luas}(ABG) = \text{luas}(CBG)$ . Jadi ketiga segitiga $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ punya luas yang sama, dan karena bersama-sama ketiganya mengubin $ABC$ , masing-masing berluas sepertiga seluruhnya.

13. Pada segitiga $ABG$ , titik $I$ adalah titik tengah sisi $[AB]$ , jadi $[GI]$ adalah garis berat $ABG$ dari titik sudut $G$ : ia memotong $ABG$ menjadi dua segitiga yang luasnya sama (pertanyaan 2), yaitu $AIG$ dan $IBG$ . Hal yang sama terjadi pada $BCG$ (garis berat $[GK]$ ) dan pada $CAG$ (garis berat $[GJ]$ ). Tiap sepertiga $ABC$ terpotong menjadi dua: keenam irisan di sekeliling $G$ masing-masing berluas $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ segitiganya.

14. Pada garis berat $[AK]$ , dari $A(0,0)$ ke $K(3,3)$ : $G$ duduk pada dua pertiga jalannya, jadi koordinatnya adalah $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$ . Pada garis berat $[BJ]$ , dari $B(6, 0)$ ke $J(0, 3)$ : dua pertiga jalannya berarti menambahkan dua pertiga perpindahannya ( $-6$ mendatar, $+3$ tegak):

\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right) = (2, 2) .

Titik yang sama — seperti yang dijanjikan pertanyaan 8. Dan $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ , $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$ : koordinat titik beratnya adalah rata-rata koordinat ketiga titik sudutnya.

15. Menurut pertanyaan 2, mata pisau yang dibaringkan sepanjang sebuah garis berat punya karton yang sama banyak pada tiap sisinya (luasnya sama), jadi segitiganya seimbang sepanjang masing-masing dari ketiga garis beratnya. Titik keseimbangannya harus terletak pada ketiga garis keseimbangannya sekaligus, dan menurut pertanyaan 8 ketiga garis berat itu berbagi tepat satu titik: yaitu $G$ . Di situlah ujung pensilnya diletakkan. (Luas yang sama pada kedua sisinya adalah versi alasan yang masuk akal; versi yang jujur, yang menimbang di mana kartonnya duduk dan bukan hanya berapa banyaknya, perlu hitung integral pada volume di tingkat universitas — yang membenarkan $G$ .)