Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

60Segitiga Siku-siku dan Kosinus

Dua kenyataan yang indah mengikat segitiga siku-siku pada lingkaran: segitiga siku-siku muat persis dalam setengah lingkaran, dengan sisi miringnya menjadi diameter. Dan satu bilangan, yaitu kosinus sebuah sudut, menyandikan bentuk setiap segitiga siku-siku yang bersudut itu — perbandingan trigonometri yang pertama, mendahului saudaranya sinus dan tangen (Bab 69).

60.1 Segitiga siku-siku dan lingkarannya

Teorema 60.1 (Teorema lingkaran)

Kalau segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ , maka $A$ terletak pada lingkaran yang diameternya sisi miringnya $[BC]$ .
Sebaliknya, kalau $A$ terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$ (dengan $A \neq B, C$ ), maka segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ .

Setara dengan itu: pada segitiga siku-siku, titik tengah sisi miringnya berjarak sama dari ketiga titik sudutnya — garis berat dari sudut siku-sikunya berukuran setengah sisi miringnya.

Bukti untuk 1. Misalkan $O$ titik tengah $[BC]$ dan $D$ titik simetris $A$ terhadap $O$ . Diagonal $ABDC$ berpotongan di titik tengah bersamanya $O$ , jadi $ABDC$ adalah jajargenjang (Definisi 52.7) — dengan sudut siku-siku di $A$ : jadi ia persegi panjang. Diagonal persegi panjang sama panjang, jadi $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : titik $A$ berjarak $\frac{BC}{2}$ dari $O$ , yaitu terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$ . (Bagian 2 dibuktikan dengan menjalankan alasannya mundur.) ∎

Di mana pun A duduk pada lingkarannya, sudut BAC siku-siku — yaitu dugaan pada , yang kini menjadi teorema. Garis berat merahnya [OA] adalah jari-jari: yaitu setengah sisi miringnya. — Di mana pun $A$ duduk pada lingkarannya, sudut $\widehat{BAC}$ siku-siku — yaitu dugaan pada Latihan 41.10, yang kini menjadi teorema. Garis berat merahnya $[OA]$ adalah jari-jari: yaitu setengah sisi miringnya.

Contoh 60.2

Sebuah segitiga punya sisi miring $10$ cm. Tanpa mengetahui apa pun lagi, garis berat dari sudut siku-sikunya berukuran $5$ cm, dan lingkaran luar segitiganya berjari-jari $5$ cm, berpusat di titik tengah sisi miringnya.

60.2 Kosinus sebuah sudut lancip

Definisi 60.3 (Kosinus)

Pada segitiga siku-siku, untuk sudut lancip $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{sisi samping } \theta}{\text{sisi miring}}

— yaitu sisi siku-siku yang menyentuh $\theta$ , dibagi sisi miringnya. Perbandingan ini hanya bergantung pada sudutnya, bukan pada besar segitiganya: semua segitiga siku-siku dengan sudut lancip yang sama adalah perbesaran satu sama lain, dan perbesaran mempertahankan perbandingan panjang (Bab 59 memulai kisah ini; Bab 68 menyelesaikannya).

Dua segitiga siku-siku yang berbagi sudut : yang kecil adalah pengecilan yang besar, jadi samping miring sama untuk keduanya — nilai bersama itulah . — Dua segitiga siku-siku yang berbagi sudut $\theta$ : yang kecil adalah pengecilan yang besar, jadi $\frac{\text{samping}}{\text{miring}}$ sama untuk keduanya — nilai bersama itulah $\cos\theta$ .

Proposisi 60.4 (Nilai dan batas pertamanya)

Untuk setiap sudut lancip $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , dan kosinusnya turun ketika sudutnya membuka: sudut yang lebih lebar punya kosinus yang lebih kecil. Patokannya: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (nilai ekstremnya bersesuaian dengan segitiga yang memipih).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 60.5 (Memakai kosinus)

Pada segitiga siku-siku, ketika besaran yang diketahui dan yang dicari adalah sudut lancip, sisi sampingnya, dan sisi miringnya:

tulislah definisinya: $\cos\theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$ dengan nilai yang diketahui pada tempatnya;
selesaikan persamaan kecilnya untuk yang belum diketahui (dengan mengalikan atau membagi);
untuk sudut yang belum diketahui, terapkan $\cos^{-1}$ pada kalkulator terhadap perbandingan yang dihitung;
pemeriksaan akal sehat: panjangnya harus keluar lebih pendek daripada sisi miringnya; sudutnya benar-benar antara $0^\circ$ dan $90^\circ$ .

Contoh 60.6 (Mencari sebuah sisi)

Jalur landai sepanjang $6$ m membentuk sudut $20^\circ$ dengan tanah yang mendatar. Jarak mendatar yang ditempuhnya (sisi samping $20^\circ$ , dengan sisi miring $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Contoh 60.7 (Mencari sebuah sudut)

Pada segitiga siku-siku, sisi samping sudut $\theta$ berukuran $3.5$ dan sisi miringnya $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Latihan

Latihan 60.1 ★

Sebuah segitiga siku-siku punya sisi miring $13$ cm. Berapa panjang garis berat dari titik sudut siku-sikunya? Berapa jari-jari lingkaran yang melalui ketiga titik sudutnya?

Solusi

Solusi Latihan 60.1.

Garis berat dari sudut siku-sikunya: setengah sisi miringnya, yaitu $6.5$ cm (Teorema 60.1). Lingkaran luarnya berpusat di titik tengah sisi miringnya dengan jari-jari $6.5$ cm.

Latihan 60.2 ★

Gambarlah lingkaran berdiameter $8$ cm dengan diameter $[BC]$ , pilihlah titik $A$ mana pun pada lingkarannya lalu gambarlah $ABC$ . Sudut yang mana yang siku-siku? Sebutkan teoremanya. Ukurlah $AB$ dan $AC$ lalu periksalah Pythagoras.

Solusi

Solusi Latihan 60.2.

Sudut di $A$ siku-siku ( $[BC]$ adalah diameter: bagian 2 pada Teorema 60.1). Ukurannya memenuhi $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , sampai ketelitian pengukurannya.

Latihan 60.3 ★

Pada segitiga $DEF$ yang siku-siku di $D$ , sebutkan sisi samping sudut $\widehat E$ , sisi depannya, dan sisi miringnya. Tulislah $\cos \widehat E$ sebagai sebuah perbandingan.

Solusi

Solusi Latihan 60.3.

Sisi miringnya: $[EF]$ (yang di seberang sudut siku-siku $D$ ). Sisi samping $\widehat E$ : $[ED]$ . Sisi depannya: $[DF]$ . Jadi $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Latihan 60.4 ★

Hitunglah besaran yang hilang ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

sisi miring $10$ , sudut $35^\circ$ : berapa sisi sampingnya?
sisi samping $6$ , sudut $50^\circ$ : berapa sisi miringnya?

Solusi

Solusi Latihan 60.4.

1. sisi sampingnya $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. sisi miringnya $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Latihan 60.5 ★

Pada sebuah segitiga siku-siku, sisi samping $\theta$ berukuran $8$ dan sisi miringnya $10$ . Hitunglah $\cos\theta$ , lalu $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Solusi

Solusi Latihan 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , jadi $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Latihan 60.6 ★

Jelaskan mengapa $\cos\theta$ tidak pernah dapat bernilai $1.2$ untuk sudut lancip sebuah segitiga siku-siku.

Solusi

Solusi Latihan 60.6.

$\cos\theta$ adalah sisi siku-siku dibagi sisi miring, dan sisi miringnya adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku: jadi hasil baginya selalu lebih kecil daripada $1$ . Nilai $1.2$ akan berarti sisi siku-siku yang lebih panjang daripada sisi miringnya — mustahil.

Latihan 60.7 ★★

Sebuah luncuran tali sepanjang $25$ m menurun dari sebuah anjungan ke tanah, dengan membentuk sudut $12^\circ$ terhadap arah mendatar ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). Berapa jarak mendatar yang direntangnya?

Solusi

Solusi Latihan 60.7.

Rentang mendatarnya $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Latihan 60.8 ★★

Urutkan tanpa kalkulator: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (pakailah Proposisi 60.4). Lalu periksalah dengan kalkulator.

Solusi

Solusi Latihan 60.8.

Kosinusnya turun ketika sudutnya membesar (Proposisi 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Dengan kalkulator: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Latihan 60.9 ★★

Tangga sepanjang $L$ bersandar pada tembok dengan sudut $\theta$ antara tangga dan tanah. Kakinya $1.2$ m dari tembok dan $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Hitunglah $L$ , lalu tinggi yang tercapainya (dengan Pythagoras).

Solusi

Solusi Latihan 60.9.

Jarak di tanahnya adalah sisi samping $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , jadi $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Tingginya (dengan Pythagoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Latihan 60.10 ★★

$[BC]$ adalah diameter sebuah lingkaran berpusat $O$ dan berjari-jari $4.5$ cm, dan $A$ adalah titik pada lingkarannya dengan $AB = 5.4$ cm.

Mengapa $ABC$ siku-siku di $A$ ?
Hitunglah $AC$ , lalu $\cos \widehat B$ .

Solusi

Solusi Latihan 60.10.

1. $A$ berada pada lingkaran berdiameter $[BC]$ : jadi sudut siku-siku di $A$ (Teorema 60.1).

2. $BC = 9$ cm (dua kali jari-jarinya). Dengan Pythagoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Dan $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Latihan 60.11 ★★★

Dengan memakai setengah segitiga sama sisi bersisi $1$ (yang dipotong sepanjang sebuah tinggi), berilah alasan untuk patokan $\cos 60^\circ = \frac12$ pada Proposisi 60.4. (Di mana kaki tingginya jatuh pada alasnya? Versi trigonometri lengkapnya adalah Contoh 69.9.)

Solusi

Solusi Latihan 60.11.

Pada segitiga sama sisi bersisi $1$ , tinggi dari salah satu titik sudutnya jatuh di titik tengah sisi yang di seberangnya (yaitu sumbu simetrinya). Setengah segitiganya siku-siku dengan sisi miring $1$ (satu sisi penuh), sudut $60^\circ$ di titik sudut alasnya, dan sisi samping $\frac12$ (setengah alasnya). Karena itu

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 Soal: Hubungan Euclid, dan Pythagoras sekali lagi

Soal 60.1

Soal akhir pekan — garis tinggi segitiga siku-siku: $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , bukti kedua Pythagoras, dan mesin untuk melukis akar kuadrat

Turunkanlah, dari sudut siku-siku sebuah segitiga siku-siku, garis tegak lurus ke sisi miringnya: ruas garis pendek ini — yaitu garis tingginya — memenuhi hubungan yang begitu berguna sehingga Euclid menaruhnya di jantung karyanya Elements. Pada soal ini sifat yang mendefinisikan kosinus, “perbandingannya hanya bergantung pada sudutnya” (Definisi 60.3), membuktikan semuanya; di sepanjang jalannya kamu akan membuktikan ulang teorema Pythagoras lewat jalan yang sama sekali berbeda, lalu berakhir dengan mesin penggaris dan jangka yang melukis $\sqrt2$ , $\sqrt5$ , $\sqrt{n}$ untuk setiap bilangan bulat $n$ .

Sepanjang soal ini, $ABC$ adalah segitiga yang siku-siku di $A$ , dan $H$ adalah kaki garis tegak lurus dari $A$ ke sisi miringnya $[BC]$ , sehingga $H$ terletak antara $B$ dan $C$ dan $AH \perp BC$ .

Bagian I — Satu sudut, dua segitiga.

Dengan memakai jumlah sudut segitiga (Teorema 51.3) pada $ABH$ dan pada $ABC$ , tunjukkan bahwa $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : garis tingginya memotong segitiga siku-sikunya menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang membawa sudut yang sama seperti aslinya.
Segitiga $ABC$ (yang siku-siku di $A$ ) dan $ABH$ (yang siku-siku di $H$ ) berbagi sudut $\widehat B$ . Tulislah $\cos\widehat B$ pada masing-masingnya, lalu simpulkan dari Definisi 60.3 bahwa

$AB^2 = BH \times BC .$

(Untuk berpindah dari perbandingan yang sama ke hasil kali yang sama, kalikan kedua ruasnya dengan kedua penyebutnya, Teorema 57.5.)
Nyatakan lalu buktikan hubungan kembarnya di titik sudut $C$ :

$AC^2 = CH \times CB .$
Ambillah segitiga $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Hitunglah $BH$ dan $CH$ dari pertanyaan 2 dan 3, lalu periksalah bahwa $BH + HC = BC$ .
Secara umum, nyatakan $BH$ dan $CH$ sebagai pecahan yang hanya memuat ketiga sisinya. Dalam arti apa kaki $H$ membelah sisi miringnya “sebanding dengan kuadrat kedua sisi siku-sikunya”?

Bagian II — Pythagoras lagi, dan garis tingginya.

Jumlahkan hubungan pada pertanyaan 2 dan 3 lalu pakailah $BH + HC = BC$ untuk memperoleh

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

yaitu teorema Pythagoras (Teorema 58.1), yang dibuktikan ulang — tanpa teka-teki luas sama sekali (bandingkan Latihan 58.11).
Terapkan Pythagoras pada segitiga kecil $ABH$ untuk menulis $AH^2 = AB^2 - BH^2$ , gantilah $AB^2$ dengan $BH \times BC$ , lalu faktorkan $BH$ untuk membuktikan hubungan garis tinggi Euclid:

$AH^2 = BH \times HC .$
Hitunglah luas $ABC$ dengan dua cara — sisi siku-sikunya sebagai alas dan tinggi, lalu sisi miringnya sebagai alas (Teorema 53.3) — lalu simpulkan hubungan yang ketiga:

$AB \times AC = BC \times AH .$
Kembali ke segitiga $3$ – $4$ – $5$ : hitunglah $AH$ dengan pertanyaan 8, lalu periksalah hubungan garis tinggi pada pertanyaan 7 secara angka, memakai nilai $BH$ dan $CH$ yang ditemukan pada pertanyaan 4.
Kaki garis tingginya membelah sisi miring suatu segitiga siku-siku menjadi ruas $BH = 2$ cm dan $HC = 8$ cm. Hitunglah garis tingginya $AH$ .

Bagian III — Mesin untuk akar kuadrat. Gambarlah ruas garis $[BC]$ yang tersusun dari dua potongan yang ditata ujung ke ujung: $BH = p$ dan $HC = q$ . Gambarlah setengah lingkaran berdiameter $[BC]$ , lalu misalkan $A$ titik tempat garis tegak lurus terhadap $(BC)$ di $H$ memotongnya.

Dengan memakai Teorema 60.1, jelaskan mengapa segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ — sehingga pertanyaan 7 berlaku dan

$AH^2 = p \times q .$

(Panjang $AH$ disebut rata-rata geometri dari $p$ dan $q$ .)
Ambillah $p = 1$ dan $q = 2$ . Berapa $AH^2$ ? Panjang terkenal yang mana pada Contoh 58.9 yang baru saja dilukis gambar penggaris dan jangkamu?
Uraikan resep yang melukis ruas garis sepanjang $\sqrt n$ untuk bilangan bulat $n \geq 1$ mana pun, lalu sebutkan pilihan $p$ dan $q$ yang melukis $\sqrt 5$ .
Misalkan $O$ pusat setengah lingkarannya. Jelaskan mengapa $AH$ tidak pernah dapat melampaui jari-jarinya $\frac{p + q}{2}$ , dan untuk letak $H$ yang mana keduanya sama.
Simpulkan ketaksamaannya: untuk semua bilangan positif $p$ dan $q$ ,

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

dengan kesamaan persis ketika $p = q$ . Lalu buktikan ulang tanpa geometri sama sekali: jabarkan $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ lalu kenalilah sebuah kesamaan istimewa (Soal 57.1).

Solusi

Solusi Soal 60.1.

1. Pada segitiga $ABH$ , yang siku-siku di $H$ , jumlah sudutnya (Teorema 51.3) memberi $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , jadi $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . Pada segitiga $ABC$ , yang siku-siku di $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , jadi $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . Karena itu $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : kedua segitiga kecilnya mengulang sudut $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ milik aslinya.

2. Pada $ABC$ (yang siku-siku di $A$ ), sisi samping $\widehat B$ adalah $AB$ dan sisi miringnya $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . Pada $ABH$ (yang siku-siku di $H$ ), sisi samping $\widehat B$ adalah $BH$ dan sisi miringnya $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . Perbandingannya hanya bergantung pada sudutnya (Definisi 60.3), jadi

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

dengan mengalikan kedua ruasnya dengan $BC \times AB$ (Teorema 57.5): $AB^2 = BH \times BC$ .

3. Segitiga $ABC$ (yang siku-siku di $A$ ) dan $ACH$ (yang siku-siku di $H$ ) berbagi sudut $\widehat C$ . Sisi samping dibagi sisi miring pada masing-masingnya:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ berbunyi $9 = BH \times 5$ , jadi $BH = 1.8$ ; dan $16 = CH \times 5$ memberi $CH = 3.2$ . Periksa: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — memang harus begitu, karena $H$ terletak pada sisi miringnya antara $B$ dan $C$ .

5. Dengan membagi tiap hubungannya dengan $BC$ :

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

Jadi $BH$ dan $CH$ sebanding dengan $AB^2$ dan $AC^2$ : kaki garis tingginya membelah sisi miringnya dengan perbandingan kuadrat kedua sisi siku-sikunya ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ pada pertanyaan 4).

6. Dengan menjumlahkan kedua hubungannya lalu memfaktorkan $BC$ (sifat distributif):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

Inilah Teorema 58.1, yang diperoleh dari kosinusnya saja — bukti yang sungguh berbeda dari teka-teki luas empat segitiga pada Latihan 58.11.

7. Pythagoras pada $ABH$ (yang siku-siku di $H$ , dengan sisi miring $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . Dengan mengganti $AB^2$ dengan $BH \times BC$ (pertanyaan 2) lalu memfaktorkan $BH$ :

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. Dengan sisi siku-sikunya sebagai alas dan tinggi, luas $ABC$ adalah $\frac{AB \times AC}{2}$ ; dengan sisi miringnya $[BC]$ sebagai alas, tingginya persis $AH$ , jadi luasnya juga $\frac{BC \times AH}{2}$ (Teorema 53.3). Dengan menyamakan lalu mengalikan dua: $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . Pemeriksaan pertanyaan 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ dan $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . Sama.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , jadi $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

11. Titik $A$ terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$ (dan berbeda dari $B$ dan $C$ ), jadi menurut bagian 2 pada Teorema 60.1 segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ . Menurut pelukisannya $(AH) \perp (BC)$ dengan $H$ antara $B$ dan $C$ : ruas garis $[AH]$ persis garis tinggi pada pertanyaan 7, dan $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : gambarnya melukis, hanya dengan penggaris dan jangka, ruas garis yang kuadratnya $2$ — yaitu diagonal persegi satuan, $\sqrt2 \approx 1.414$ , pada Contoh 58.9.

13. Resepnya: tatalah ujung ke ujung dua ruas garis sepanjang $p = 1$ dan $q = n$ ; gambarlah setengah lingkaran yang diameternya seluruh ruas garisnya (panjangnya $n + 1$ ); dirikanlah garis tegak lurus di titik sambungannya; garis itu memotong setengah lingkarannya di titik yang jaraknya ke titik sambungan adalah $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ . Untuk $\sqrt5$ : ambillah $p = 1$ dan $q = 5$ (setengah lingkaran berdiameter $6$ ).

14. $A$ berada pada lingkaran berpusat $O$ , jadi $OA = \frac{p+q}{2}$ , yaitu jari-jarinya. Kalau $H \neq O$ , segitiga $AHO$ siku-siku di $H$ dengan sisi miring $[OA]$ , dan sisi siku-siku lebih pendek daripada sisi miringnya: $AH < OA$ . Kalau $H = O$ , maka $AH = OA$ persis. Pada semua keadaannya $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , dengan kesamaannya persis ketika $H$ adalah pusatnya — yaitu ketika $p = q$ .

15. Dengan mengkuadratkan $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (kedua ruasnya positif) lalu memakai $AH^2 = pq$ :

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

dengan kesamaannya persis untuk $p = q$ . Bukti ulang secara aljabar, dengan kesamaan istimewa (Soal 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

yaitu sebuah kuadrat, jadi tidak pernah negatif — dan bernilai nol persis ketika $p = q$ . Rata-rata geometri dua bilangan tidak pernah melampaui setengah jumlahnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Kosinus

Lihat semua 395 istilah di glosarium